n 2 के सभी संभावित पूर्णांक मानों की संख्या | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$\sin \frac{\pi}{2n} + \cos \frac{\pi}{2n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$\left(\sin \frac{\pi}{2n} + \cos \frac{

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$3$

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(C) दिया गया है,$\sin \frac{\pi}{2n} + \cos \frac{\pi}{2n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$\left(\sin \frac{\pi}{2n} + \cos \frac{\pi}{2n}ight)^2 = \frac{n}{4}$$1 + \sin \frac{\pi}{n} = \frac{n}{4}$$\sin \frac{\pi}{n} = \frac{n-4}{4}$.चूंकि $n > 2$,$\frac{\pi}{n} \in (0, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए $\sin \frac{\pi}{n} > 0$,जिसका अर्थ है $n-4 > 0$,अर्थात $n > 4$.साथ ही,$\sin \frac{\pi}{2n} + \cos \frac{\pi}{2n} = \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2n}ight) = \frac{\sqrt{n}}{2}$.$\sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2n}ight) = \frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{n}{8}}$.चूंकि $\sin 	heta \le 1$,हमारे पास $\sqrt{\frac{n}{8}} \le 1 \Rightarrow n \le 8$ है।$n=8$ के लिए,$\sin \frac{\pi}{16} = \frac{8-4}{4} = 1$,जो असंभव है क्योंकि $\frac{\pi}{16} 
eq \frac{\pi}{2}$.अतः,$4 पूर्णांक मानों की संख्या $3$ है।

$n > 2$ के सभी संभावित पूर्णांक मानों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $\sin \frac{\pi}{2n} + \cos \frac{\pi}{2n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$ हो।

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