int frac{cos 2 x cdot sin 4 x}{cos ^4 xleft(1 | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{\cos 2x \sin 4x}{\cos^4 x (1 + \cos^2 2x)} dx$. $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$ और $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ का उपयोग

Vedclass · Accepted Answer

$\log \left(\frac{(1+\cos 2 x)^2}{1+\cos ^2 2 x}\right)+\sec ^2 x+c$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \frac{\cos 2x \sin 4x}{\cos^4 x (1 + \cos^2 2x)} dx$. $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$ और $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,$\cos^4 x = \frac{(1 + \cos 2x)^2}{4}$ प्राप्त होता है। इन मानों को रखने पर,$I = \int \frac{\cos 2x (2 \sin 2x \cos 2x)}{\frac{(1 + \cos 2x)^2}{4} (1 + \cos^2 2x)} dx = 8 \int \frac{\cos^2 2x \sin 2x}{(1 + \cos 2x)^2 (1 + \cos^2 2x)} dx$. माना $t = \cos 2x$,तब $dt = -2 \sin 2x dx$,अर्थात $\sin 2x dx = -\frac{dt}{2}$. $I = 8 \int \frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} (-\frac{dt}{2}) = -4 \int \frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} dt$. आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर: $\frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} = \frac{A}{1+t} + \frac{B}{(1+t)^2} + \frac{Ct+D}{1+t^2}$. हल करने पर $A = 0, B = -1/2, C = 1/2, D = 1/2$ प्राप्त होता है। $I = -4 \int (-\frac{1}{2(1+t)^2} + \frac{t+1}{2(1+t^2)}) dt = 2 \int \frac{1}{(1+t)^2} dt - 2 \int \frac{t}{1+t^2} dt - 2 \int \frac{1}{1+t^2} dt$. $I = -\frac{2}{1+t} - \log(1+t^2) - 2 	an^{-1}(t) + c$. $t = \cos 2x$ रखकर सरल करने पर सही विकल्प प्राप्त होता है।

$\int \frac{\cos 2 x \cdot \sin 4 x}{\cos ^4 x\left(1+\cos ^2 2 x\right)} d x=$

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यदि $\int x^{49} \left[ \operatorname{Tan}^{-1} x^{50} + \frac{x^{50}}{1 + x^{100}} \right] dx = \frac{x^n}{k} f(x) + c$ है,तो $f(x) - f\left(\sqrt[k]{x^n}\right) =$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+3$,जहाँ $x > 0$ है। तो $18 \int \limits_1^2 f(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

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