मान लीजिए f(x) = e^x cos x + 1. निम्नलिखित मे | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $f(x) = e^x \cos x + 1$. मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $f(x) = 0$ के दो क्रमागत मूल हैं ताकि $\alpha < \beta$ हो। अतः $f(\alpha)

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$f(x) = 0$ के किन्हीं दो क्रमागत मूलों के बीच हमेशा $e^x \sin x + 1 = 0$ का एक मूल होता है

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $f(x) = e^x \cos x + 1$. मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $f(x) = 0$ के दो क्रमागत मूल हैं ताकि $\alpha अतः $f(\alpha) = 0$ और $f(\beta) = 0$ है। चूंकि $f(x)$ अंतराल $[\alpha, \beta]$ पर सतत है और $(\alpha, \beta)$ पर अवकलनीय है,रोले के प्रमेय के अनुसार,$(\alpha, \beta)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो। हालांकि,फलन $g(x) = e^{-x} f(x) = \cos x + e^{-x}$ पर विचार करें। तब $g(\alpha) = 0$ और $g(\beta) = 0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार,$(\alpha, \beta)$ में एक $c$ ऐसा है कि $g'(c) = 0$ हो। $g'(x) = -\sin x - e^{-x} = 0$। दोनों पक्षों को $-e^x$ से गुणा करने पर,हमें $e^x \sin x + 1 = 0$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$\alpha$ और $\beta$ के बीच $e^x \sin x + 1 = 0$ का एक मूल स्थित है।

मान लीजिए $f(x) = e^x \cos x + 1$. निम्नलिखित में से कौन सा कथन हमेशा सत्य है?

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यदि $f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \end{cases}$ है,तो $f(x)$ पर रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है क्योंकि

अंतराल $[0, \pi]$ में फलन $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ के लिए रोले के प्रमेय का मान $c$ क्या है?

फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$[1, 3]$ अंतराल में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है। तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

यदि फलन $f(x)=\sqrt{x^2-4}$ अंतराल $[2, 4]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो $C$ का मान ज्ञात कीजिए।

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