यदि int frac{x^4+1}{x^6+1} dx = A tan^{-1} x | vedclass

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Question

(A) हमारे पास है,$\int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = A 	an^{-1} x + B 	an^{-1} x^3 + c$. माना $I = \int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = \int \frac{(x^4-x^2+1) +

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$\left(1, \frac{1}{3}\right)$

Vedclass · Answer

(A) हमारे पास है,$\int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = A 	an^{-1} x + B 	an^{-1} x^3 + c$. माना $I = \int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = \int \frac{(x^4-x^2+1) + x^2}{(x^2)^3 + 1^3} dx$. सर्वसमिका $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ का उपयोग करते हुए,$x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int \frac{x^4-x^2+1}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)} dx + \int \frac{x^2}{x^6+1} dx$. $I = \int \frac{1}{x^2+1} dx + \int \frac{x^2}{(x^3)^2+1} dx$. $I = 	an^{-1} x + \int \frac{x^2}{(x^3)^2+1} dx$. माना $x^3 = t$,तब $3x^2 dx = dt$,अर्थात $x^2 dx = \frac{1}{3} dt$. $I = 	an^{-1} x + \frac{1}{3} \int \frac{1}{t^2+1} dt = 	an^{-1} x + \frac{1}{3} 	an^{-1} t + c$. $I = 	an^{-1} x + \frac{1}{3} 	an^{-1} x^3 + c$. $A 	an^{-1} x + B 	an^{-1} x^3 + c$ से तुलना करने पर,हमें $A=1$ और $B=\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = A \tan^{-1} x + B \tan^{-1} x^3 + c$ है,तो $(A, B) =$

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$0 < x < 1$ के लिए,समाकलन $\int [\operatorname{Tan}^{-1}(1-x+x^2) + \operatorname{Tan}^{-1}(1-x)] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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