MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$.
તફાવત સદિશનું માન ધ્યાનમાં લો:
$|\bar{a} - \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1 + 1 - 2(1)(1)\cos \theta = 2 - 2\cos \theta = 2(1 - \cos \theta) = 2(2\sin^2(\theta/2)) = 4\sin^2(\theta/2)$.
આમ,$|\bar{a} - \bar{b}| = 2\sin(\theta/2)$.
તે જ રીતે,સરવાળા સદિશ માટે:
$|\bar{a} + \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1 + 1 + 2(1)(1)\cos \theta = 2 + 2\cos \theta = 2(1 + \cos \theta) = 2(2\cos^2(\theta/2)) = 4\cos^2(\theta/2)$.
આમ,$|\bar{a} + \bar{b}| = 2\cos(\theta/2)$.
હવે,બંને માનનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{|\bar{a} - \bar{b}|}{|\bar{a} + \bar{b}|} = \frac{2\sin(\theta/2)}{2\cos(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$.
તેથી,$\tan(\theta/2) = \frac{|\bar{a} - \bar{b}|}{|\bar{a} + \bar{b}|}$.

(C) ધારો કે $\bar{d} = \bar{b} + \bar{c}$. $\bar{a}$ નો $\bar{d}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{a} \cdot \bar{d}}{|\bar{d}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\bar{d}$ નો $\bar{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{d} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{\bar{a} \cdot \bar{d}}{|\bar{d}|} = 2 \times \frac{\bar{d} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|}$.
$\bar{a} \cdot \bar{d} = \bar{d} \cdot \bar{a}$ હોવાથી,આપણે આ પદને દૂર કરી શકીએ છીએ (ધારીને કે $\bar{a} \cdot \bar{d} \neq 0$),જે $\frac{1}{|\bar{d}|} = \frac{2}{|\bar{a}|}$ તરફ દોરી જાય છે,જેનો અર્થ છે કે $|\bar{a}| = 2|\bar{d}|$.
હવે,$|\bar{d}|^2 = |\bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2|\bar{b}||\bar{c}| \cos(\frac{\pi}{4})$ ની ગણતરી કરો.
$|\bar{d}|^2 = (2 \sqrt{2})^2 + 4^2 + 2(2 \sqrt{2})(4) \frac{1}{\sqrt{2}} = 8 + 16 + 16 = 40$.
આમ,$|\bar{d}| = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$.
અંતે,$|\bar{a}| = 2|\bar{d}| = 2(2 \sqrt{10}) = 4 \sqrt{10}$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = |\overline{BC}| = 8$,$b = |\overline{CA}| = 7$,અને $c = |\overline{AB}| = 10$ છે.
આપણે $\overline{AC}$ પર $\overline{AB}$ નો પ્રક્ષેપ શોધવાનો છે.
$\triangle ABC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$.
કિંમતો મૂકતા,$8^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10) \cos(A)$.
$64 = 49 + 100 - 140 \cos(A)$.
$64 = 149 - 140 \cos(A)$.
$140 \cos(A) = 149 - 64 = 85$.
$\cos(A) = \frac{85}{140} = \frac{17}{28}$.
$\overline{AC}$ પર સદિશ $\overline{AB}$ નો પ્રક્ષેપ $|\overline{AB}| \cos(A)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રક્ષેપ $= 10 \times \frac{17}{28} = \frac{170}{28} = \frac{85}{14}$ એકમ.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$ થાય.
આપણને સમીકરણ $|\bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{3}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = 3$ મળે.
ગુણધર્મ $|\bar{x}|^2 = \bar{x} \cdot \bar{x}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+\bar{b}) = 3$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$ મળે.
$|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$ કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 1^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1$,તેથી $\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{2} = (1)(1) \cos \theta$,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(B) કારણ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$ અને $\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$,સદિશ $\bar{a}$ એ $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$\bar{a}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\bar{b} \times \bar{c}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\bar{a} = k(\bar{b} \times \bar{c})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
કારણ કે $\bar{a}$ એકમ સદિશ છે,$|\bar{a}| = 1$,તેથી $|k| |\bar{b} \times \bar{c}| = 1$.
માન $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{b}| |\bar{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા,$|k| \cdot \frac{1}{2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|k| = 2$,તેથી $k = \pm 2$.
આમ,$\bar{a} = \pm 2(\bar{b} \times \bar{c})$.

(A) બે સદિશો $\bar{p}$ અને $\bar{q}$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય તે માટે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\bar{p} \cdot \bar{q} < 0$.
આપેલ છે કે $\bar{p} = m \hat{i} - 6 \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\bar{q} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 2m \hat{k}$.
તેથી,$\bar{p} \cdot \bar{q} = (m)(1) + (-6)(2) + (3)(2m) = m - 12 + 6m = 7m - 12$.
ખૂણો ગુરુકોણ હોવા માટે,$7m - 12 < 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $7m < 12$ અથવા $m < \frac{12}{7}$.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$,$|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=2, |\bar{c}|=1$,અને $\bar{b} \cdot \bar{c} = 1$.
સદિશ $\bar{d}$ એ $\bar{a}+\bar{b}$ અને $2\bar{b}-\bar{c}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,$\bar{d} = x(\bar{a}+\bar{b}) + y(2\bar{b}-\bar{c}) = x\bar{a} + (x+2y)\bar{b} - y\bar{c}$.
$\bar{d} \cdot \bar{a} = 1$ આપેલ હોવાથી:
$(x\bar{a} + (x+2y)\bar{b} - y\bar{c}) \cdot \bar{a} = x|\bar{a}|^2 + (x+2y)(\bar{b} \cdot \bar{a}) - y(\bar{c} \cdot \bar{a}) = x(1) + 0 - 0 = x$.
તેથી,$x = 1$.
હવે,$\bar{d} = \bar{a} + (1+2y)\bar{b} - y\bar{c}$.
$|\bar{d}|^2 = \bar{d} \cdot \bar{d} = (\bar{a} + (1+2y)\bar{b} - y\bar{c}) \cdot (\bar{a} + (1+2y)\bar{b} - y\bar{c})$.
$|\bar{d}|^2 = |\bar{a}|^2 + (1+2y)^2|\bar{b}|^2 + y^2|\bar{c}|^2 + 2(1+2y)(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 2y(\bar{a} \cdot \bar{c}) - 2y(1+2y)(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
કિંમતો મૂકતા:
$|\bar{d}|^2 = 1 + (1+4y+4y^2)(4) + y^2(1) + 0 - 0 - 2y(1+2y)(1)$.
$|\bar{d}|^2 = 1 + 4 + 16y + 16y^2 + y^2 - 2y - 4y^2$.
$|\bar{d}|^2 = 13y^2 + 14y + 5$.

(B) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{d_1} = 2\bar{a} - \bar{b}$ અને $\vec{d_2} = 4\bar{a} - 5\bar{b}$ આપેલ છે.
સદિશ ગુણાકાર કરતા:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (2\bar{a} - \bar{b}) \times (4\bar{a} - 5\bar{b})$
$= 2\bar{a} \times 4\bar{a} - 2\bar{a} \times 5\bar{b} - \bar{b} \times 4\bar{a} + \bar{b} \times 5\bar{b}$
$\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$ હોવાથી,
$= -10(\bar{a} \times \bar{b}) - 4(\bar{b} \times \bar{a})$
$\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$ હોવાથી,
$= -10(\bar{a} \times \bar{b}) + 4(\bar{a} \times \bar{b}) = -6(\bar{a} \times \bar{b})$.
તેનું માન $|-6(\bar{a} \times \bar{b})| = 6 |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(45^{\circ})$ થાય.
$|\bar{a}| = 1$,$|\bar{b}| = 1$,અને $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = 6 \times 1 \times 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
આમ,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\bar{b} = \hat{j} - \hat{k}$,અને $\bar{c} = \hat{k} - \hat{i}$.
કારણ કે $[\bar{b} \bar{c} \bar{d}] = 0$,સદિશ $\bar{d}$ એ $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ સાથે સમતલીય હોવો જોઈએ.
તેથી,$\bar{d} = x\bar{b} + y\bar{c} = x(\hat{j} - \hat{k}) + y(\hat{k} - \hat{i}) = -y\hat{i} + x\hat{j} + (y - x)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{d} = 0$,તેથી $(\hat{i} - \hat{j}) \cdot (-y\hat{i} + x\hat{j} + (y - x)\hat{k}) = 0$.
$-y - x = 0 \implies y = -x$.
$\bar{d}$ માં $y = -x$ મૂકતા,આપણને $\bar{d} = x\hat{i} + x\hat{j} - 2x\hat{k} = x(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ મળે છે.
$\bar{d}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|\bar{d}| = 1 \implies |x| \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = 1 \implies |x| \sqrt{6} = 1 \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
તેથી,$\bar{d} = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$.

(A) આપેલ છે કે $|\bar{a}| = 5$,$|\bar{b}| = 12$,અને $|\bar{c}| = 13$.
દરેક સદિશ બાકીના બેના સરવાળાને લંબ હોવાથી:
$\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0 \implies \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$
$\bar{b} \cdot (\bar{a} + \bar{c}) = 0 \implies \bar{b} \cdot \bar{a} + \bar{b} \cdot \bar{c} = 0$
$\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0 \implies \bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$
આ સમીકરણો પરથી સાબિત થાય છે કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,$\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$,અને $\bar{c} \cdot \bar{a} = 0$.
હવે,માનનો વર્ગ લેતા:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 5^2 + 12^2 + 13^2 + 2(0 + 0 + 0)$
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 25 + 144 + 169 = 338$
તેથી,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{338}$.

(A) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\vec{d_1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \alpha\hat{k}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધો:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & \alpha \end{vmatrix} = \hat{i}(-\alpha - 6) - \hat{j}(\alpha - 4) + \hat{k}(3 - (-2)) = -(\alpha + 6)\hat{i} - (\alpha - 4)\hat{j} + 5\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-(\alpha + 6))^2 + (-(\alpha - 4))^2 + 5^2} = \sqrt{(\alpha^2 + 12\alpha + 36) + (\alpha^2 - 8\alpha + 16) + 25} = \sqrt{2\alpha^2 + 4\alpha + 77}$.
ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \sqrt{2\alpha^2 + 4\alpha + 77} = \frac{\sqrt{93}}{2}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2\alpha^2 + 4\alpha + 77 = 93 \implies 2\alpha^2 + 4\alpha - 16 = 0 \implies \alpha^2 + 2\alpha - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(\alpha + 4)(\alpha - 2) = 0$.
તેથી,$\alpha = -4$ અથવા $\alpha = 2$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{m} \times \overline{q} = \overline{r} \times \overline{q}$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $(\overline{m} - \overline{r}) \times \overline{q} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\overline{m} - \overline{r})$ એ $\overline{q}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$\overline{m} - \overline{r} = t \overline{q}$ કોઈ અદિશ $t$ માટે,જે આપે છે $\overline{m} = \overline{r} + t \overline{q}$.
આપેલ સદિશોની કિંમત મૂકતા: $\overline{m} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 7 \hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (4+t) \hat{i} + (-3+t) \hat{j} + (7+t) \hat{k}$.
આપણને આપેલ છે કે $\overline{m} \cdot \overline{p} = 0$,જ્યાં $\overline{p} = 2 \hat{i} + \hat{k}$.
તેથી,$((4+t) \hat{i} + (-3+t) \hat{j} + (7+t) \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{k}) = 0$.
$2(4+t) + 0(-3+t) + 1(7+t) = 0$.
$8 + 2t + 7 + t = 0 \implies 3t + 15 = 0 \implies t = -5$.
$\overline{m}$ ના સમીકરણમાં $t = -5$ મૂકતા:
$\overline{m} = (4-5) \hat{i} + (-3-5) \hat{j} + (7-5) \hat{k} = -\hat{i} - 8 \hat{j} + 2 \hat{k}$.

(D) આપેલ છે: $|\bar{a}| = \sqrt{31}$,$|\bar{b}| = \frac{1}{2}$,$|\bar{c}| = 2$,અને $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{2\pi}{3}$ છે.
$2(\bar{a} \times \bar{b}) = 3(\bar{c} \times \bar{a})$ પરથી,આપણે $2(\bar{a} \times \bar{b}) + 3(\bar{a} \times \bar{c}) = 0$ લખી શકીએ,જેનો અર્થ છે કે $\bar{a} \times (2\bar{b} + 3\bar{c}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\bar{a}$ એ $(2\bar{b} + 3\bar{c})$ ને સમાંતર છે. ધારો કે $2\bar{b} + 3\bar{c} = k\bar{a}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|2\bar{b} + 3\bar{c}|^2 = k^2|\bar{a}|^2$.
$4|\bar{b}|^2 + 9|\bar{c}|^2 + 12(\bar{b} \cdot \bar{c}) = k^2(31)$.
$4(\frac{1}{4}) + 9(4) + 12(\frac{1}{2})(2)\cos(\frac{2\pi}{3}) = 31k^2$.
$1 + 36 + 12(-1/2) = 31k^2 \implies 31 = 31k^2 \implies k^2 = 1$.
આપણે $X = \left|\frac{\bar{a} \times \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{b}}\right|^2$ શોધવાનું છે.
$\bar{a} \times (2\bar{b} + 3\bar{c}) = 0$ હોવાથી,$2(\bar{a} \times \bar{b}) = -3(\bar{a} \times \bar{c})$,તેથી $\bar{a} \times \bar{c} = -\frac{2}{3}(\bar{a} \times \bar{b})$.
તેથી $|\bar{a} \times \bar{c}|^2 = \frac{4}{9}|\bar{a} \times \bar{b}|^2$.
ગણતરી કરતા અંતિમ જવાબ $11$ મળે છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{p} = -\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{q} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{r} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{s} = -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે બે પાસપાસેની બાજુઓ $PQ$ અને $QR$ ની લંબાઈ ગણીએ.
સદિશ $\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - (-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = 2\hat{i}$.
બાજુ $PQ$ ની લંબાઈ $|\vec{PQ}| = |2\hat{i}| = 2$ છે.
સદિશ $\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = -2\hat{j}$.
બાજુ $QR$ ની લંબાઈ $|\vec{QR}| = |-2\hat{j}| = 2$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની પાસપાસેની બાજુઓની લંબાઈના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = |\vec{PQ}| \times |\vec{QR}| = 2 \times 2 = 4$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{c} = \hat{j} - \hat{k}$.
આપણને $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{c}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $\bar{a}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = \bar{a} \times \bar{c}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{b}$.
અહીં $\bar{a} \cdot \bar{a} = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$ હોવાથી,$(\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - 3\bar{b} = \bar{a} \times \bar{c}$ મળે.
ધારો કે $\bar{v} = \bar{a} \times \bar{c} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{j} - \hat{k}) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\bar{b}$ નો $\bar{v}$ પરનો પ્રક્ષેપ $l = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{v}|}{|\bar{v}|}$ છે.
$(\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - 3\bar{b} = \bar{v}$ માં $\bar{v}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$(\bar{a} \cdot \bar{b})(\bar{a} \cdot \bar{v}) - 3(\bar{b} \cdot \bar{v}) = \bar{v} \cdot \bar{v} = |\bar{v}|^2$.
$\bar{a} \cdot \bar{v} = \bar{a} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 0$ હોવાથી,$-3(\bar{b} \cdot \bar{v}) = |\bar{v}|^2$ મળે.
આમ,$|\bar{b} \cdot \bar{v}| = \frac{|\bar{v}|^2}{3}$.
તેથી $l = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{v}|}{|\bar{v}|} = \frac{|\bar{v}|^2}{3|\bar{v}|} = \frac{|\bar{v}|}{3}$.
$|\bar{v}|^2 = (-2)^2 + 1^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6$.
તેથી $l = \frac{\sqrt{6}}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $l^2 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$3l^2 = 3 \times \frac{2}{3} = 2$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}=\bar{0}$.
સરવાળાનો તેની સાથે જ ડોટ ગુણાકાર લેતા: $(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) \cdot (\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) = \bar{0} \cdot \bar{0} = 0$.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
વર્ગોની ગણતરી કરતા: $9 + 16 + 25 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
$50 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = -50$.
તેથી,$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = -25$.

(C) કારણ કે $\bar{d}$ એ $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\bar{d}$ એ $\bar{b} \times \bar{c}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\bar{b} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -2 \\ -1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6+8) - \hat{j}(3-2) + \hat{k}(4-2) = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ ગણો.
ધારો કે $\bar{d} = k(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$.
આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{d} = 18$,તેથી $(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot k(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) = 18$.
$k(4 - 3 + 8) = 18 \implies 9k = 18 \implies k = 2$.
આમ,$\bar{d} = 4 \hat{i} - 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
હવે,$\bar{a} \times \bar{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12+8) - \hat{j}(8-16) + \hat{k}(-4-12) = 20 \hat{i} + 8 \hat{j} - 16 \hat{k}$ ગણો.
અંતે,$|\bar{a} \times \bar{d}|^2 = 20^2 + 8^2 + (-16)^2 = 400 + 64 + 256 = 720$.

(D) આપેલ છે કે $\bar{p} \times \bar{b} = \bar{c} \times \bar{b}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $\bar{p} \times \bar{b} - \bar{c} \times \bar{b} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $(\bar{p} - \bar{c}) \times \bar{b} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\bar{p} - \bar{c})$ એ $\bar{b}$ ને સમાંતર છે,તેથી કોઈ અદિશ $t$ માટે $\bar{p} - \bar{c} = t\bar{b}$ થાય.
આમ,$\bar{p} = \bar{c} + t\bar{b} = (3\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + t(2\hat{i}-\hat{k}) = (3+2t)\hat{i} - \hat{j} + (1-t)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\bar{p} \cdot \bar{a} = 0$,જ્યાં $\bar{a} = \hat{i} + \hat{j}$,તેથી $((3+2t)\hat{i} - \hat{j} + (1-t)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 0$.
$(3+2t)(1) + (-1)(1) + (1-t)(0) = 0$.
$3 + 2t - 1 = 0 \implies 2t + 2 = 0 \implies t = -1$.
$\bar{p}$ ના સમીકરણમાં $t = -1$ મૂકતા:
$\bar{p} = (3 + 2(-1))\hat{i} - \hat{j} + (1 - (-1))\hat{k} = (3-2)\hat{i} - \hat{j} + (1+1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{d_1} = 3 \hat{i} + \lambda \hat{j} + 2 \hat{k}$ અને $\vec{d_2} = \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધીએ:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & \lambda & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3\lambda + 4) - \hat{j}(9 - 2) + \hat{k}(-6 - \lambda) = (3\lambda + 4) \hat{i} - 7 \hat{j} - (6 + \lambda) \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(3\lambda + 4)^2 + (-7)^2 + (-(6 + \lambda))^2} = \sqrt{10\lambda^2 + 36\lambda + 101}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{1}{2} \sqrt{10\lambda^2 + 36\lambda + 101} = \frac{\sqrt{117}}{2}$,તેથી $10\lambda^2 + 36\lambda + 101 = 117$.
$10\lambda^2 + 36\lambda - 16 = 0 \implies 5\lambda^2 + 18\lambda - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(5\lambda - 2)(\lambda + 4) = 0$.
તેથી,$\lambda = -4$ અથવા $\lambda = 0.4$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$\lambda = -4$ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}$ છે.
જો $A$ ને ઉગમબિંદુ તરીકે લેવામાં આવે,તો $B$ અને $C$ ના નવા સ્થાન સદિશો $\vec{B'} = \vec{b} - \vec{a}$ અને $\vec{C'} = \vec{c} - \vec{a}$ થશે.
$\vec{B'} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) = 0\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{C'} = (2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{B'} \times \vec{C'}$ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\vec{B'} \times \vec{C'} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}$.
$= \hat{i}((-1)(3) - (2)(1)) - \hat{j}((0)(3) - (2)(1)) + \hat{k}((0)(1) - (-1)(1))$.
$= \hat{i}(-3 - 2) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(0 + 1)$.
$= -5\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.

(A) ચતુષ્ફલકના બે ફલક વચ્ચેનો ખૂણો એ તેમના લંબ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ,ફલક $OAB$ માટે લંબ સદિશ $\vec{n_1}$ શોધો. $\vec{n_1} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(3-2) + \hat{k}(1-4) = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
ત્યારબાદ,ફલક $ABC$ માટે લંબ સદિશ $\vec{n_2}$ શોધો. $\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AC}$.
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = (-1-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+2) - \hat{j}(1+4) + \hat{k}(-1-2) = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
ફલક વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3) = 5 + 5 + 9 = 19$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}$.
$\cos \theta = \frac{19}{\sqrt{35} \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(A) ધારો કે $\bar{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{c} = 3$,તેથી $x + y + z = 3$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $\bar{a} \times \bar{c} = \bar{b}$,ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$\bar{a} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z-y)\hat{i} - (z-x)\hat{j} + (y-x)\hat{k}$.
આને $\bar{b} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ સાથે સરખાવતા:
$z - y = 0 \implies z = y$
$-(z - x) = 1 \implies x - z = 1 \implies x = z + 1$
$y - x = -1$
$z = y$ અને $x = z + 1$ ને સમીકરણ $1$ માં મુકતા:
$(z + 1) + z + z = 3 \implies 3z + 1 = 3 \implies 3z = 2 \implies z = \frac{2}{3}$.
તેથી $y = \frac{2}{3}$ અને $x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.
આમ,$\bar{c} = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$.
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\bar{c} = 5\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
આપણને $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $\bar{c}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા,$\bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = \bar{c} \cdot \bar{a}$.
કારણ કે $\bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$,તેથી $\bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ થવું જોઈએ.
$\bar{c} \cdot \bar{a} = (5)(1) + (-3)(1) + (2)(-1) = 5 - 3 - 2 = 0$.
શરત સંતોષાય છે,તેથી $\bar{b}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
લઘુત્તમ માન ધરાવતો સદિશ $\bar{b} = \frac{\bar{c} \times \bar{a}}{|\bar{c}|^2}$ દ્વારા મળે છે.
$\bar{c} \times \bar{a} = \hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$.
$|\bar{c}|^2 = 38$.
તેથી $\bar{b} = \frac{1}{38}(\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k})$.
$|\bar{b}| = \frac{\sqrt{114}}{38}$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ મેળ ખાતું નથી,તેથી જવાબ $D$ છે.

(B) $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} |\bar{c} - \bar{b}| \times h$ છે,જ્યાં $h$ એ શિરોબિંદુ $A$ માંથી દોરેલો વેધ છે.
ક્ષેત્રફળ માટેના બંને સૂત્રોને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} |\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}| = \frac{1}{2} |\bar{c} - \bar{b}| \times h$.
$h$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h = \frac{|\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}|}{|\bar{c} - \bar{b}|}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $y = \log_7 x$. $x > 0$ હોવાથી,$y$ એ $(-\infty, \infty)$ માં કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત લઈ શકે છે.
સદિશો $\overline{a} = (cy) \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\overline{b} = y \hat{i} + (3cy) \hat{j} - 4 \hat{k}$ છે.
સદિશો ગુરુકોણ બનાવે તે માટે તેમનો અદિશ ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ: $\overline{a} \cdot \overline{b} < 0$.
$\overline{a} \cdot \overline{b} = (cy)(y) + (2)(3cy) + (3)(-4) < 0$
$cy^2 + 6cy - 12 < 0$.
આ દ્વિઘાત પદાવલિ $y$ માટે હંમેશા ઋણ રહે તે માટે,$y^2$ નો સહગુણક ઋણ $(c < 0)$ હોવો જોઈએ અને વિવેચક $D$ ઋણ હોવો જોઈએ.
$D = (6c)^2 - 4(c)(-12) < 0$
$36c^2 + 48c < 0$
$12c(3c + 4) < 0$.
બીજ $c = 0$ અને $c = -4/3$ છે. અસમતા $c \in (-4/3, 0)$ માટે સાચી છે.
આમ,$c \in (-4/3, 0)$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ છે કે $|\overline{a}|=5$ અને $|\overline{b}|=3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\overline{a} \times \overline{b}| = |\overline{a}| |\overline{b}| \sin \theta$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5 \sqrt{5} = 5 \times 3 \times \sin \theta$.
$5 \sqrt{5} = 15 \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{5 \sqrt{5}}{15} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
આમ,$\cos \theta = \pm \frac{2}{3}$.
$\theta$ એ ગુરુકોણ હોવાથી,$\cos \theta$ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $\cos \theta = -\frac{2}{3}$.
હવે,$\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| |\overline{b}| \cos \theta$.
$\overline{a} \cdot \overline{b} = 5 \times 3 \times (-\frac{2}{3}) = 15 \times (-\frac{2}{3}) = -10$.

(C) આપેલ છે કે $|\bar{a}| = 2, |\bar{b}| = 3, |\bar{c}| = 4$.
કારણ કે $\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0$,તેથી $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$.
કારણ કે $\bar{b} \cdot (\bar{c} + \bar{a}) = 0$,તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0$.
કારણ કે $\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0$,તેથી $\bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$,એટલે કે $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = 0$.
હવે,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$.
કિંમતો મૂકતા: $|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(0) = 4 + 9 + 16 = 29$.
તેથી,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{29}$.

(D) $\bar{a}$ નો $\bar{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{a} \cdot \bar{c}}{|\bar{c}|} = \frac{10}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\bar{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ અને $\bar{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\bar{a} \cdot \bar{c} = (\alpha)(1) + (3)(2) + (-1)(-2) = \alpha + 6 + 2 = \alpha + 8$.
$|\bar{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
તેથી,$\frac{\alpha + 8}{3} = \frac{10}{3} \implies \alpha + 8 = 10 \implies \alpha = 2$.
હવે,$\bar{b} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & \beta \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 2\beta) - \hat{j}(-6 - \beta) + \hat{k}(6 + 1) = (2 - 2\beta) \hat{i} + (6 + \beta) \hat{j} + 7 \hat{k}$.
આપેલ છે $\bar{b} \times \bar{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$2 - 2\beta = -6 \implies -2\beta = -8 \implies \beta = 4$.
તેથી,$\alpha + \beta = 2 + 4 = 6$.

(A) બે સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ગુરુકોણ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \cdot \bar{b} < 0$ હોય.
આપેલ છે કે $\bar{a} = 2x^2 \hat{i} + 4x \hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{b} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\bar{a} \cdot \bar{b} = (2x^2)(7) + (4x)(-2) + (1)(x) = 14x^2 - 8x + x = 14x^2 - 7x$.
ખૂણો ગુરુકોણ હોવા માટે,આપણે $14x^2 - 7x < 0$ ની જરૂર છે.
$7$ વડે ભાગતા,આપણને $2x^2 - x < 0$ મળે છે,જે $x(2x - 1) < 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x(2x - 1) = 0$ ના બીજ $x = 0$ અને $x = \frac{1}{2}$ છે.
અંતરાલો તપાસતા,અસમતા $x(2x - 1) < 0$ એ $0 < x < \frac{1}{2}$ માટે સાચી છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\bar{b}$ નો $\bar{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ = $\bar{c}$ નો $\bar{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ,તેથી $\frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = \frac{\bar{c} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\bar{b} \cdot \bar{a} = \bar{c} \cdot \bar{a}$,અથવા $(\bar{b} - \bar{c}) \cdot \bar{a} = 0$.
વળી,$\bar{b}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$.
આપણે $|\bar{a} + \bar{b} - \bar{c}|$ શોધવાનું છે.
ધારો કે $\bar{v} = \bar{a} + \bar{b} - \bar{c}$. તો $|\bar{v}|^2 = |\bar{a} + (\bar{b} - \bar{c})|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b} - \bar{c}|^2 + 2\bar{a} \cdot (\bar{b} - \bar{c})$.
કારણ કે $(\bar{b} - \bar{c}) \cdot \bar{a} = 0$,તેથી છેલ્લું પદ $0$ થશે.
$|\bar{b} - \bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2\bar{b} \cdot \bar{c} = 4^2 + 4^2 - 0 = 32$.
આમ,$|\bar{v}|^2 = |\bar{a}|^2 + 32 = 2^2 + 32 = 4 + 32 = 36$.
તેથી,$|\bar{a} + \bar{b} - \bar{c}| = \sqrt{36} = 6$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot (\bar{b}+\bar{c}) = 0$,$\bar{b} \cdot (\bar{c}+\bar{a}) = 0$,અને $\bar{c} \cdot (\bar{a}+\bar{b}) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$,$\bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0$,અને $\bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$.
ધારો કે $x = \bar{a} \cdot \bar{b}$,$y = \bar{b} \cdot \bar{c}$,અને $z = \bar{c} \cdot \bar{a}$.
તેથી $x+z=0$,$y+x=0$,અને $z+y=0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x=y=z=0$ મળે છે.
હવે,$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 = 2^2 = 4$.
$|\bar{b}+\bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 = 6^2 = 36$.
$|\bar{c}+\bar{a}|^2 = |\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 = 4^2 = 16$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2) = 4 + 36 + 16 = 56$,તેથી $|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 = 28$.
હવે $|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 28 + 0 = 28$.
તેથી,$|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$,તેથી $|\bar{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 9$,એટલે કે $|\bar{a}| = 3$.
આપેલ છે કે $|\bar{c} - \bar{a}| = 2\sqrt{2}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$ મળે.
કારણ કે $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{c}|$,ધારો કે $|\bar{c}| = x$. તેથી $x^2 + 9 - 2x = 8$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $x^2 - 2x + 1 = 0$ મળે,એટલે કે $(x-1)^2 = 0$,જે દર્શાવે છે કે $|\bar{c}| = 1$.
હવે,$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-2) - \hat{j}(1+2) + \hat{k}(-1-2) = 0\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
તેથી,$|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$\bar{a} \times \bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
આપણે $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(60^{\circ})$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા: $(3\sqrt{2}) \times (1) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$.

(B) ધારો કે $\vec{u} = \overline{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ અને $\vec{v} = \overline{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
પ્રથમ,માન ગણો: $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{225} = 15$ અને $|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} = \frac{-2 + 20 + 22}{15 \times 3} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.
તેથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - (8/9)^2} = \frac{\sqrt{17}}{9}$.
જ્યારે $\vec{v}$ ને $\alpha$ ખૂણે ફેરવીને $\vec{v}'$ બનાવવામાં આવે છે જેથી $\vec{v}' \perp \vec{u}$,ત્યારે $\vec{v}'$ અને $\vec{u}$ વચ્ચેનો નવો ખૂણો $90^\circ$ થાય છે.
આમ,$\alpha = |\theta - 90^\circ|$,તેથી $\cos \alpha = \sin \theta = \frac{\sqrt{17}}{9}$.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = (\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot \{(\overline{a} \times \overline{b}) \times (2 \overline{a}+\overline{b})\}$ છે.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ નિત્યસમ $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\overline{a} \times \overline{b}) \times (2 \overline{a}+\overline{b}) = -((2 \overline{a}+\overline{b}) \times (\overline{a} \times \overline{b}))$
$= -\{(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{b}) \overline{a} - ((2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{a}) \overline{b}\}$
અહીં $\overline{a} \cdot \overline{a} = 1$ અને $\overline{b} \cdot \overline{b} = 1$ (એકમ સદિશો) અને $\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = 0$ હોવાથી,સદિશો લંબ છે.
તેથી,$(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{b} = 2(\overline{a} \cdot \overline{b}) + \overline{b} \cdot \overline{b} = 0 + 1 = 1$.
અને $(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{a} = 2(\overline{a} \cdot \overline{a}) + \overline{b} \cdot \overline{a} = 2(1) + 0 = 2$.
આમ,પદાવલિ $- \{1 \cdot \overline{a} - 2 \cdot \overline{b}\} = 2 \overline{b} - \overline{a}$ બને છે.
હવે,$E = (\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot (2 \overline{b} - \overline{a}) = -(\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot (\overline{a}-2 \overline{b}) = -|\overline{a}-2 \overline{b}|^2$.
$|\overline{a}-2 \overline{b}|^2 = |\overline{a}|^2 + 4|\overline{b}|^2 - 4(\overline{a} \cdot \overline{b}) = 1 + 4(1) - 0 = 5$.
તેથી,$E = -5$.

(A) સહ-અંતિમ ધાર $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 12$,તેથી $\frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 12$,જેનો અર્થ છે કે $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 72$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારને $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\bar{b} \times \bar{c}$ પર $\bar{a}$ નો અદિશ પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})}{|\bar{b} \times \bar{c}|} = 4$ છે.
ધારો કે $X = |\bar{b} \times \bar{c}|$. તો $\frac{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{X} = 4$,તેથી $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 4X$.
આ કિંમતને ઘનફળના સમીકરણમાં મૂકતા: $|4X| = 72$.
તેથી,$4X = 72$,જે આપણને $X = \frac{72}{4} = 18$ આપે છે.
આમ,$|\bar{b} \times \bar{c}| = 18$.

(C) ધારો કે $\bar{u} = \bar{a} \times \bar{b}$ અને $\bar{v} = \bar{c} \times \bar{d}$.
આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = |\bar{d}| = 1$.
$\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તે જ રીતે,$|\bar{c} \times \bar{d}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$[\bar{a} \bar{b} \bar{d}] \bar{c} - [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] \bar{d} = (\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{c} \times \bar{d}) = \bar{u} \times \bar{v}$.
તેનું માન $|\bar{u} \times \bar{v}| = |\bar{u}| |\bar{v}| \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{6}$.
$|\bar{u} \times \bar{v}| = (\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$.

(A) સદિશો $\vec{a}$,$\vec{b}$,અને $\vec{c}$ દ્વારા દર્શાવેલ ધાર ધરાવતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના માનાંક જેટલું હોય છે: $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$.
આ સદિશોના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયક જેટલું છે:
$V = |\det \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ \lambda & 1 & 1-\lambda \\ \mu & \lambda & 1+\lambda-\mu \end{bmatrix}|$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$V = |1(1(1+\lambda-\mu) - \lambda(1-\lambda)) - 0 + (-1)(\lambda(\lambda) - 1(\mu))|$.
$V = |(1+\lambda-\mu - \lambda + \lambda^2) - (\lambda^2 - \mu)|$.
$V = |1 + \lambda^2 - \mu - \lambda - \lambda^2 + \mu|$.
$V = |1 - \lambda|$.
આમ,ઘનફળ $V = |1 - \lambda|$ માત્ર $\lambda$ પર આધાર રાખે છે અને $\mu$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{c}| = 1$. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{a}| |\bar{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$.
આને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $((\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}) \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 5$.
કારણ કે $(\bar{a} \times \bar{c})$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{c}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\bar{c} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 0$.
આમ,સમીકરણ $(\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 5$ માં સરળ બને છે.
$\bar{a} \cdot \bar{c} = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} [\bar{b} \bar{a} \bar{c}] = 5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $[\bar{b} \bar{a} \bar{c}] = 10$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર ચક્રીય હોવાથી,$[\bar{b} \bar{a} \bar{c}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 10$.

(B) સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $V$ એ તેની ધાર $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i}+x \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j}+x \hat{k}$,અને $\vec{c} = x \hat{i}+\hat{k}$ છે.
ઘનફળ એ નિશ્ચાયક છે:
$V = |\det \begin{bmatrix} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ x & 0 & 1 \end{bmatrix}|$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$V = |1(1-0) - x(0-x^2) + 1(0-x)| = |1 + x^3 - x|$.
ધારો કે $f(x) = x^3 - x + 1$. મહત્તમ/ન્યૂનતમ કિંમત માટે $f'(x) = 3x^2 - 1 = 0$ લેતા,$x^2 = \frac{1}{3}$,તેથી $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}}$.
$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 + \frac{2}{3\sqrt{3}}$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $1 + \frac{2}{3\sqrt{3}}$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $1 - \frac{2}{3\sqrt{3}}$ છે.

(D) ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |(\vec{a}-\vec{d}) \cdot ((\vec{b}-\vec{d}) \times (\vec{c}-\vec{d})))|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બીજી રીતે,$V = \frac{1}{3} \times \text{Area}(\triangle ABC) \times h$,જ્યાં $h$ એ $D$ માંથી દોરેલો વેધ છે.
પ્રથમ,સદિશો $\vec{AB} = (2, -2, -3)$ અને $\vec{AC} = (4, 0, 6)$ મેળવો.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (-12, -24, 8)$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{n}| = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 576 + 64} = 14$ ચોરસ એકમ.
ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |(\vec{AD}) \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC})|$. $\vec{AD} = (-7, -7, 7)$.
$V = \frac{1}{6} |(-7, -7, 7) \cdot (-12, -24, 8)| = \frac{308}{6} = \frac{154}{3}$.
$V = \frac{1}{3} \times 14 \times h = \frac{154}{3}$ લેતા,$14h = 154$,તેથી $h = 11$ એકમ.

(C) સહ-અંતિમ કિનારીઓ $\bar{a}$,$\bar{b}$,અને $\bar{c}$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$.
આપેલ છે કે $V = 570$,તેથી $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 6 \times 570 = 3420$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$ એ સદિશોના ઘટકો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય છે:
$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \begin{vmatrix} -12 & 0 & p \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & -15 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = -12(3(-15) - (-1)(1)) - 0 + p(0(1) - 3(2))$
$= -12(-45 + 1) + p(-6)$
$= -12(-44) - 6p = 528 - 6p$.
તેથી $|528 - 6p| = 3420$,જેના બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $528 - 6p = 3420 \implies -6p = 2892 \implies p = -482$.
કિસ્સો $2$: $528 - 6p = -3420 \implies -6p = -3948 \implies p = 658$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$p = -482$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક એ બે સદિશ ગુણાકારોના અદિશ ગુણાકાર માટેની લેગ્રાન્જ ઓળખ છે,જે $(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{c} \times \bar{d}) = 0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(2)(3) + (3)(2) + (-1)(\lambda) = 0$.
$6 + 6 - \lambda = 0$.
$12 - \lambda = 0$.
તેથી,$\lambda = 12$.

(C) $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ સહ-અંતિમ ધાર ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V_{tetra} = \frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V_{tetra} = \frac{64}{3}$,તેથી $\frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = \frac{64}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 128$.
$\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ સહ-અંતિમ ધાર ધરાવતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[(\bar{a}+\bar{b}) (\bar{b}+\bar{c}) (\bar{c}+\bar{a})]|$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$[(\bar{a}+\bar{b}) (\bar{b}+\bar{c}) (\bar{c}+\bar{a})] = 2 [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.
આમ,ઘનફળ $|2 [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 2 \times 128 = 256$ ઘન એકમ થાય છે.

(NONE) સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(12 - (-1)) - 1(6 - (-1)) + 1(2 - 4) = 1(13) - 1(7) + 1(-2) = 13 - 7 - 2 = 4$.
તેથી,ઘનફળ $V = 4$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ દ્વારા બનતા પાયાનું ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}|$ છે.
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 4) - \hat{j}(-1 - 2) + \hat{k}(4 - 2) = -5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
પાયાનું ક્ષેત્રફળ = $|-5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38}$.
ઊંચાઈ $h = V / \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} = 4 / \sqrt{38} = 4\sqrt{38}/38 = 2\sqrt{38}/19$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & 1+a^3 \\ b & b^2 & 1+b^3 \\ c & c^2 & 1+c^3 \end{array}\right|=0$
આને બે નિશ્ચાયકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \end{array}\right| = 0$
બીજા નિશ્ચાયકમાંથી $abc$ સામાન્ય લેતા:
$\left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| + abc \left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| = 0$
$(1 + abc) \left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right|$ એ વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક છે,જેની કિંમત $(a-b)(b-c)(c-a)$ થાય છે.
સદિશો $\overline{p}, \overline{q}, \overline{r}$ અસમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્યતર છે,જેનો અર્થ છે કે $a, b, c$ ભિન્ન છે,તેથી $(a-b)(b-c)(c-a) \neq 0$.
તેથી,$1 + abc = 0$,જે આપણને $abc = -1$ આપે છે.

(B) પ્રથમ,$|\bar{a}|^2 = 4^2 + 3^2 + 1^2 = 16 + 9 + 1 = 26$ ગણો.
વળી,$\bar{a} \cdot \bar{b} = (4)(1) + (3)(-2) + (1)(2) = 4 - 6 + 2 = 0$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{b}$ નો ઉપયોગ કરતા,કારણ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,આપણને $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = -|\bar{a}|^2 \bar{b} = -26\bar{b}$ મળે છે.
હવે,ધારો કે $\bar{v} = \bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = -26\bar{b}$.
તો $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{v}) = \bar{a} \times (\bar{a} \times (-26\bar{b})) = -26(\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}))$.
અગાઉના પરિણામને મૂકતા: $-26(-26\bar{b}) = 676\bar{b}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$.
આપેલ છે કે $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}}\bar{c}$.
$\bar{b}$ અને $\bar{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા (કારણ કે $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ અસમતલીય છે,તેથી તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે),આપણને મળે છે:
$\bar{a} \cdot \bar{c} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $-(\bar{a} \cdot \bar{b}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = \cos \theta$.
આમ,$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(C) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\bar{u} \times (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \cdot \bar{w})\bar{v} - (\bar{u} \cdot \bar{v})\bar{w}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે આપેલ પદનું વિસ્તરણ કરીએ:
$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$
$\bar{b} \times (\bar{c} \times \bar{a}) = (\bar{b} \cdot \bar{a})\bar{c} - (\bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a}$
આ બંનેનો સરવાળો કરતા: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c} + (\bar{b} \cdot \bar{a})\bar{c} - (\bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a} = \frac{1}{2}\bar{a}$
અહીં $(\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$ અને $(\bar{b} \cdot \bar{a})\bar{c}$ ઉડી જાય છે,તેથી: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a} = \frac{1}{2}\bar{a}$
પદ ગોઠવતા: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} = (\frac{1}{2} + \bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a}$
કારણ કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ સમરેખ નથી,તેથી સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ: $\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ અને $\frac{1}{2} + \bar{b} \cdot \bar{c} = 0$
$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0 \implies \theta_{ac} = 90^{\circ}$
$\bar{b} \cdot \bar{c} = -\frac{1}{2} \implies |\bar{b}||\bar{c}| \cos(\theta_{bc}) = -\frac{1}{2} \implies (1)(1) \cos(\theta_{bc}) = -\frac{1}{2} \implies \theta_{bc} = 120^{\circ}$
આમ,ખૂણાઓ $90^{\circ}$ અને $120^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\bar{b} \cdot \bar{c} = |\bar{b}| |\bar{c}| \cos(45^{\circ}) = 8$.
કિંમતો મૂકતા,$2 \times |\bar{c}| \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$,જેનો અર્થ છે કે $|\bar{c}| = 4 \sqrt{2}$.
કારણ કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ સમતલીય છે,સદિશ $\bar{b} \times \bar{c}$ એ $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે.
તેથી,$\bar{a}$ એ $\bar{b} \times \bar{c}$ ને લંબ છે.
ગુણધર્મ $|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})| = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}| \sin(90^{\circ}) = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}|$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{b}| |\bar{c}| \sin(45^{\circ}) = 2 \times 4 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$.
આમ,$|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})| = 1 \times 8 = 8$.

(A) આપેલ છે કે $\bar{b} \cdot \bar{c} = |\bar{b}| |\bar{c}| \cos(45^{\circ}) = 8$.
કિંમતો મૂકતા,$2 \cdot |\bar{c}| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$,જેનો અર્થ છે કે $|\bar{c}| = 4\sqrt{2}$.
કારણ કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ સમતલીય છે,સદિશ $\bar{v} = (\bar{b} \times \bar{c})$ એ $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે.
તેથી,$\bar{a}$ એ $(\bar{b} \times \bar{c})$ ને લંબ છે.
તેથી,$|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})| = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}| \sin(90^{\circ}) = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{b}| |\bar{c}| \sin(45^{\circ}) = 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$.
કારણ કે $|\bar{a}| = 1$,કિંમત $1 \cdot 8 = 8$ થાય છે.