MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$ અને $a_2x + b_2y + c_2z = d_2$ ના છેદથી બનતી રેખાના દિકગુણોત્તર તેમના અભિલંબ $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ અને $\vec{n_2} = (3, 1, 1)$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) જેટલા હોય છે.
ધારો કે દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ છે.
$(a, b, c) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
તેથી,દિકગુણોત્તર $(-3, 5, 4)$ છે.
તેનું માન $\sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
દિકકોસાઇન $\left(\frac{-3}{5\sqrt{2}}, \frac{5}{5\sqrt{2}}, \frac{4}{5\sqrt{2}}\right)$ અથવા $\left(\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{-5}{5\sqrt{2}}, \frac{-4}{5\sqrt{2}}\right)$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3+x^2-4x-4=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2(x+1)-4(x+1)=0 \implies (x^2-4)(x+1)=0$.
તેથી,$(x-2)(x+2)(x+1)=0$.
બીજ $2, -1, -2$ છે.
$l > m > n$ હોવાથી,$l=2, m=-1, n=-2$ મળે.
પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{a} = (l, m, n) = (2, -1, -2)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b} = (m, n, l) = (-1, -2, 2)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-1) + (-1)(-2) + (-2)(2) = -2 + 2 - 4 = -4$.
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = 3$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$.
$\cos \theta = \frac{-4}{3 \times 3} = \frac{-4}{9}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-4}{9}\right)$.

(D) બે રેખાઓ જેની દિક્કોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ છે.
આપેલ દિક્કોસાઇન:
રેખા $1: (\frac{-\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{-\sqrt{3}}{2})$
રેખા $2: (\frac{-\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$\cos \theta = |(\frac{-\sqrt{3}}{4})(\frac{-\sqrt{3}}{4}) + (\frac{1}{4})(\frac{1}{4}) + (\frac{-\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})|$
$\cos \theta = |\frac{3}{16} + \frac{1}{16} - \frac{3}{4}|$
$\cos \theta = |\frac{4}{16} - \frac{12}{16}| = |\frac{-8}{16}| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ ના છેદતી રેખાના દિકગુણોત્તરો તેમના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (a_1, b_1, c_1)$ અને $\vec{n_2} = (a_2, b_2, c_2)$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમતલો $x - y + z - 5 = 0$ અને $x - 3y + 0z - 6 = 0$ છે.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, -1, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, -3, 0)$ છે.
દિકગુણોત્તરો $(l, m, n)$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix}$ દ્વારા મળે છે.
$= \hat{i}(0 - (-3)) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(-3 - (-1))$
$= \hat{i}(3) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(-2)$
$= 3\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તરો $3, 1, -2$ છે.

(C) પ્રથમ,આપણે રેખાઓના સમીકરણોને સંમિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખીએ છીએ.
પ્રથમ રેખા $3x = 2y = -z$ માટે,$6$ વડે ભાગતા આપણને $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-6}$ મળે છે. તેથી,દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (2, 3, -6)$ છે.
બીજી રેખા $-x = 6y = -4z$ માટે,$-12$ વડે ભાગતા આપણને $\frac{x}{12} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{3}$ મળે છે. તેથી,દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (12, -2, 3)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (2)(12) + (3)(-2) + (-6)(3) = 24 - 6 - 18 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) બે સમતલો $\bar{r} \cdot \bar{n}_1 = d_1$ અને $\bar{r} \cdot \bar{n}_2 = d_2$ સમાંતર હોય જો તેમના અભિલંબ સદિશો $\bar{n}_1$ અને $\bar{n}_2$ પ્રમાણસર હોય.
અહીં,$\bar{n}_1 = 2 \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{n}_2 = 4 \hat{i} - \hat{j} + \mu \hat{k}$ છે.
તેઓ સમાંતર હોવાથી,$\frac{2}{4} = \frac{-\lambda}{-1} = \frac{1}{\mu}$ મળે.
$\frac{2}{4} = \frac{\lambda}{1}$ પરથી,$\lambda = \frac{1}{2}$ મળે.
$\frac{2}{4} = \frac{1}{\mu}$ પરથી,$\mu = 2$ મળે.
તેથી,$\lambda + \mu = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $P(2, -1, 0)$ અને $Q(3, 2, -1)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (3-2)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (-1-0)\hat{k} = 1\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}$ મળે.
રેખાના દિશા ગુણોત્તર $1, 2, 2$ છે,તેથી દિશા સદિશ $\vec{v} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ થાય.
રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$ મળે.
રેખા પર $\vec{PQ}$ નો પ્રક્ષેપ એ $\vec{PQ} \cdot \hat{u}$ છે.
પ્રક્ષેપ $= (1\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}) \cdot (\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k})$.
પ્રક્ષેપ $= (1 \times \frac{1}{3}) + (3 \times \frac{2}{3}) + (-1 \times \frac{2}{3}) = \frac{1}{3} + 2 - \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = (1, 2, \lambda)$ છે અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 2, 3)$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$,તેથી $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2 \theta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$,એટલે કે $\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{|(1)(1) + (2)(2) + (3)(\lambda)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$|5 + 3\lambda| = 3 \sqrt{5 + \lambda^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2)$.
$25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2$.
$30\lambda = 20$.
$\lambda = \frac{2}{3}$.

(B) પ્રથમ રેખા $x=y$ અને $z=0$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. આ રેખા $xy$-સમતલમાં આવેલી છે. તેનો દિશા સદિશ $\vec{v_1}$ ને $(1, 1, 0)$ તરીકે લખી શકાય છે.
બીજી રેખા $y=0$ અને $z=0$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. આ $x$-અક્ષ છે. તેનો દિશા સદિશ $\vec{v_2}$ એ $(1, 0, 0)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેમના દિશા સદિશો $\vec{v_1}$ અને $\vec{v_2}$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(0) = 1$.
માનની ગણતરી: $|\vec{v_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ અને $|\vec{v_2}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$6mn - 2nl + 5lm = 0$ $(1)$
$3l + m + 5n = 0 \implies m = -(3l + 5n)$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$6n(-(3l + 5n)) - 2nl + 5l(-(3l + 5n)) = 0$
$-18ln - 30n^2 - 2nl - 15l^2 - 25ln = 0$
$-15l^2 - 45ln - 30n^2 = 0$
$-15$ વડે ભાગતા:
$l^2 + 3ln + 2n^2 = 0$
$(l + n)(l + 2n) = 0$
કિસ્સો $1$: $l = -n$. તો $m = -(3(-n) + 5n) = -2n$.
દિકગુણોત્તર $(-n, -2n, n)$ એટલે કે $(1, 2, -1)$ મળે.
કિસ્સો $2$: $l = -2n$. તો $m = -(3(-2n) + 5n) = n$.
દિકગુણોત્તર $(-2n, n, n)$ એટલે કે $(-2, 1, 1)$ મળે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|-2 + 2 - 1|}{\sqrt{1+4+1} \sqrt{4+1+1}} = \frac{1}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{1}{6}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\sqrt{35}}{6}$.

(B) સૌ પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{-(x-1)}{2} = \frac{7(y+4/7)}{2\lambda} = \frac{2(z-5/2)}{2}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4/7}{2\lambda/7} = \frac{z-5/2}{1}$ થાય છે.
દિશા ગુણોત્તરો $a_1 = -2, b_1 = \frac{2\lambda}{7}, c_1 = 1$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{-7(x-1)}{3\lambda} = \frac{y-1}{7} = \frac{-(z-6)}{5}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x-1}{-3\lambda/7} = \frac{y-1}{7} = \frac{z-6}{-5}$ થાય છે.
દિશા ગુણોત્તરો $a_2 = -\frac{3\lambda}{7}, b_2 = 7, c_2 = -5$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિશા સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $(-2)(-\frac{3\lambda}{7}) + (\frac{2\lambda}{7})(7) + (1)(-5) = 0$.
$\frac{6\lambda}{7} + 2\lambda - 5 = 0$.
$7$ વડે ગુણતા: $6\lambda + 14\lambda - 35 = 0$.
$20\lambda = 35$.
$\lambda = \frac{35}{20} = \frac{7}{4}$.

(B) આપેલ સમીકરણો $\ell+m+n=0$ $(1)$ અને $\ell^2+m^2-n^2=0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$n = -(\ell+m)$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $\ell^2+m^2-(-\ell-m)^2 = 0$.
$\ell^2+m^2-(\ell^2+m^2+2\ell m) = 0$.
$-2\ell m = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\ell=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $\ell=0$,તો $n=-m$. દિશા ગુણોત્તર $(0, m, -m)$ મળે,જે $(0, 1, -1)$ તરીકે લખી શકાય.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$,તો $n=-\ell$. દિશા ગુણોત્તર $(\ell, 0, -\ell)$ મળે,જે $(1, 0, -1)$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે દિશા સદિશો $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ અને $C(0, 2, 1)$ છે.
સૌ પ્રથમ,સમતલમાં બે સદિશો શોધો: $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (0-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
સમતલને લંબ સદિશ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - (-9)) - \hat{j}(-1 - 3) + \hat{k}(3 - (-1)) = 8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
સરળ બનાવતા,આપણે $\vec{n}' = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ લઈ શકીએ.
તેનું માન $|\vec{n}'| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ છે.
એકમ સદિશો $\pm \frac{\vec{n}'}{|\vec{n}'|} = \pm \frac{2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(4,2,3)$,$B(-1,4,2)$ અને $C(3,2,1)$ છે.
સમતલ પર આવેલા બે સદિશો $\vec{AB} = (-1-4)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = -5\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$ અને $\vec{AC} = (3-4)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = -1\hat{i} + 0\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-0) - \hat{j}(10-1) + \hat{k}(0 - (-2)) = -4\hat{i} - 9\hat{j} + 2\hat{k}$ મળે.
$\vec{n}$ નું માન $|\vec{n}| = \sqrt{(-4)^2 + (-9)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 81 + 4} = \sqrt{101}$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\frac{-4}{\sqrt{101}}, \frac{-9}{\sqrt{101}}, \frac{2}{\sqrt{101}}$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ $(1)$ અને $2mn+3ln-5lm=0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$n = -(l+m)$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $2m(-(l+m)) + 3l(-(l+m)) - 5lm = 0$.
$-2ml - 2m^2 - 3l^2 - 3lm - 5lm = 0$.
$-3l^2 - 10lm - 2m^2 = 0$,એટલે કે $3l^2 + 10lm + 2m^2 = 0$.
$m^2$ વડે ભાગતા,આપણને $3(l/m)^2 + 10(l/m) + 2 = 0$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$l_1l_2/m_1m_2 = 2/3$,એટલે કે $3l_1l_2 = 2m_1m_2$.
તે જ રીતે,$l$ અથવા $m$ નો લોપ કરીને,આપણે દિક્કોસાઇન વચ્ચેના સંબંધો શોધી શકીએ છીએ.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|$ દ્વારા મળે છે.
આ સમીકરણોનું પાલન કરતી રેખાઓ માટે,ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.

(C) રેખા $A(4, 6, -2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{v} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
ધારો કે $P = (-3, 2, 3)$. સદિશ $\vec{AP} = (-3-4)\hat{i} + (2-6)\hat{j} + (3-(-2))\hat{k} = -7\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$.
બિંદુ $P$ થી રેખાનું અંતર $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{AP} \times \vec{v}$ શોધો:
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -7 & -4 & 5 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-12-10) - \hat{j}(-21+5) + \hat{k}(-14-4) = -22\hat{i} + 16\hat{j} - 18\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{(-22)^2 + 16^2 + (-18)^2} = \sqrt{484 + 256 + 324} = \sqrt{1064} = 2\sqrt{266}$.
સદિશ $\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$.
આમ,$d = \frac{2\sqrt{266}}{\sqrt{14}} = 2\sqrt{\frac{266}{14}} = 2\sqrt{19}$ એકમ.

(B) રેખાઓ $\overline{r}_1 = \overline{a}_1 + \lambda \overline{b}_1$ અને $\overline{r}_2 = \overline{a}_2 + \mu \overline{b}_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\overline{a}_1 = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\overline{b}_1 = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\overline{a}_2 = -4 \hat{i} - \hat{k}$,અને $\overline{b}_2 = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\overline{a}_2 - \overline{a}_1) \cdot (\overline{b}_1 \times \overline{b}_2)|}{|\overline{b}_1 \times \overline{b}_2|}$ છે.
પ્રથમ,$\overline{b}_1 \times \overline{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\overline{b}_1 \times \overline{b}_2| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = 12$ છે.
હવે,$\overline{a}_2 - \overline{a}_1 = (-4 - \alpha)\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
$(\overline{a}_2 - \overline{a}_1) \cdot (\overline{b}_1 \times \overline{b}_2) = -60 - 8\alpha$ મળે છે.
આપેલ છે કે $d = 9$,તેથી $\frac{|-60 - 8\alpha|}{12} = 9 \implies |-60 - 8\alpha| = 108$.
$\alpha > 0$ હોવાથી,$60 + 8\alpha = 108 \implies 8\alpha = 48 \implies \alpha = 6$.

(C) ધારો કે લંબપાદના યામ $Q(x, y, z)$ છે.
બિંદુ $P(-1, 1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલ $2x - 3y + z - 11 = 0$ ને લંબ રેખાના દિકગુણોત્તર સમતલના અભિલંબ $(2, -3, 1)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z - 2}{1} = k$ છે.
તેથી,$x = 2k - 1$,$y = -3k + 1$,અને $z = k + 2$.
કારણ કે $Q$ એ સમતલ $2x - 3y + z - 11 = 0$ પર આવેલું છે,આપણે આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2k - 1) - 3(-3k + 1) + (k + 2) - 11 = 0$
$4k - 2 + 9k - 3 + k + 2 - 11 = 0$
$14k - 14 = 0$
$k = 1$.
$k = 1$ ની કિંમત $x, y, z$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 2(1) - 1 = 1$
$y = -3(1) + 1 = -2$
$z = 1 + 2 = 3$.
તેથી,લંબપાદના યામ $(1, -2, 3)$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x-k}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-3}{4}$ અને $L_2: \frac{x-2}{4}=\frac{y-4}{6}=\frac{z-7}{8}$ છે.
અહીં દિશા સદિશો $\vec{b_1} = (2, 3, 4)$ અને $\vec{b_2} = (4, 6, 8) = 2(2, 3, 4)$ છે.
કારણ કે $\vec{b_2} = 2\vec{b_1}$,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + t\vec{b}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + s\vec{b}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{a_1} = (k, 4, 3)$,$\vec{a_2} = (2, 4, 7)$,અને $\vec{b} = (2, 3, 4)$.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (2-k, 0, 4)$.
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2-k & 0 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = -12\hat{i} - (4+2k)\hat{j} + (6-3k)\hat{k}$.
$k=1$ મૂકતા,અંતર $\frac{\sqrt{(-12)^2 + (-6)^2 + (3)^2}}{\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{144+36+9}}{\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{189}}{\sqrt{29}}$ (ભૂલ સુધારો: $k=1$ માટે,સદિશ $(-12, -6, 3)$ મળે છે,જેનું માન $\sqrt{189}$ છે. જો $k=1$ લઈએ તો અંતર $\frac{13}{\sqrt{29}}$ મળે છે).
તેથી,$k=1$ સાચો જવાબ છે.

(D) રેખા $\frac{x+1}{1}=\frac{y-k}{11}=\frac{z-4}{-5}$ એ સમતલ $2x+py+7z-41=0$ માં આવેલી છે.
કારણ કે આ રેખા સમતલ $x+4y-2z+13=0$ ને લંબ છે,તેથી સમતલ $2x+py+7z-41=0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (2, p, 7)$ એ સમતલ $x+4y-2z+13=0$ ના અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (1, 4, -2)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \implies (2)(1) + (p)(4) + (7)(-2) = 0$.
$2 + 4p - 14 = 0 \implies 4p = 12 \implies p = 3$.
સમતલનું સમીકરણ $2x + 3y + 7z - 41 = 0$ બને છે.
રેખા સમતલમાં આવેલી હોવાથી,રેખા પરનું બિંદુ $(-1, k, 4)$ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$2(-1) + 3(k) + 7(4) - 41 = 0$.
$-2 + 3k + 28 - 41 = 0$.
$3k - 15 = 0 \implies 3k = 15 \implies k = 5$.

(D) બિંદુઓ $A(2, -3, 1)$ અને $B(3, -4, -5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 2}{3 - 2} = \frac{y - (-3)}{-4 - (-3)} = \frac{z - 1}{-5 - 1} = k$ છે.
આને સરળ બનાવતા $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 1}{-6} = k$ મળે છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k + 2, -k - 3, -6k + 1)$ સ્વરૂપનું હોય.
આ બિંદુ સમતલ $2x + y + z = 7$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(k + 2) + (-k - 3) + (-6k + 1) = 7$.
$2k + 4 - k - 3 - 6k + 1 = 7$.
$-5k + 2 = 7$.
$-5k = 5$,જે આપણને $k = -1$ આપે છે.
$k = -1$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$x = -1 + 2 = 1$.
$y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$.
$z = -6(-1) + 1 = 6 + 1 = 7$.
આમ,છેદબિંદુ $(1, -2, 7)$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x+6}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{1} = \lambda$ છે. તેથી આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3\lambda - 6, 2\lambda, \lambda - 1)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $\frac{x-7}{4} = \frac{y-9}{3} = \frac{z-4}{2} = \mu$ છે. તેથી આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(4\mu + 7, 3\mu + 9, 2\mu + 4)$ છે.
છેદબિંદુ માટે,આપણે યામોને સરખાવીએ છીએ:
$3\lambda - 6 = 4\mu + 7 \implies 3\lambda - 4\mu = 13$ (સમીકરણ $1$)
$2\lambda = 3\mu + 9 \implies 2\lambda - 3\mu = 9$ (સમીકરણ $2$)
આ સમીકરણો ઉકેલતા: સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$6\lambda - 8\mu = 26$
$6\lambda - 9\mu = 27$
બાદબાકી કરતા $\mu = -1$ મળે છે. સમીકરણ $2$ માં $\mu = -1$ મુકતા: $2\lambda - 3(-1) = 9 \implies 2\lambda = 6 \implies \lambda = 3$.
$z$-યામ સાથે ચકાસણી કરતા: $\lambda - 1 = 3 - 1 = 2$ અને $2\mu + 4 = 2(-1) + 4 = 2$. બંને સમાન હોવાથી,છેદબિંદુ $(3(3) - 6, 2(3), 3 - 1) = (3, 6, 2)$ છે.
બિંદુ $(2, 4, 0)$ અને $(3, 6, 2)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(3-2)^2 + (6-4)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ એકમ છે.

(B) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $\bar{r} \times \bar{a} = \bar{b} \times \bar{a}$ અને $\bar{r} \times \bar{b} = \bar{a} \times \bar{b}$ છે.
આને $\bar{r} \times \bar{a} - \bar{b} \times \bar{a} = 0$ તરીકે લખી શકાય,જેનો અર્થ છે કે $(\bar{r} - \bar{b}) \times \bar{a} = 0$. આથી $\bar{r} - \bar{b} = t\bar{a}$ કોઈ અદિશ $t$ માટે,તેથી $\bar{r} = \bar{b} + t\bar{a}$.
તે જ રીતે,$\bar{r} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{b} = 0$ નો અર્થ છે કે $(\bar{r} - \bar{a}) \times \bar{b} = 0$,તેથી $\bar{r} = \bar{a} + s\bar{b}$ કોઈ અદિશ $s$ માટે.
$\bar{r}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\bar{b} + t\bar{a} = \bar{a} + s\bar{b}$.
$\bar{a} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\bar{b} = 2\hat{i} - \hat{k}$ મૂકતા:
$(2\hat{i} - \hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j}) = (\hat{i} + \hat{j}) + s(2\hat{i} - \hat{k})$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$i: 2 + t = 1 + 2s \implies t - 2s = -1$
$j: t = 1$
$k: -1 = -s \implies s = 1$
$t=1$ અને $s=1$ ને $\bar{r}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\bar{r} = \bar{b} + 1\bar{a} = (2\hat{i} - \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j}) = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
આમ,છેદબિંદુ $(3, 1, -1)$ છે.

(B) રેખા બિંદુ $P(2, -1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
આપેલ બિંદુ $A(0, 5, 0)$ સમતલ પર આવેલું છે.
બિંદુ $A$ અને $P$ ને જોડતો સદિશ $\vec{AP} = (2-0)\hat{i} + (-1-5)\hat{j} + (4-0)\hat{k} = 2\hat{i} - 6\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{AP}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -2 \\ 2 & -6 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(8 - 12) - \hat{j}(12 - (-4)) + \hat{k}(-18 - 4) = -4\hat{i} - 16\hat{j} - 22\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n}' = 2\hat{i} + 8\hat{j} + 11\hat{k}$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
બિંદુ $A(0, 5, 0)$ નો ઉપયોગ કરીને સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે:
$2(x-0) + 8(y-5) + 11(z-0) = 0$.
$2x + 8y - 40 + 11z = 0$.
$2x + 8y + 11z - 40 = 0$.

(B) બે રેખાઓ $\overline{r} = \overline{a_1} + \lambda\overline{b_1}$ અને $\overline{r} = \overline{a_2} + \mu\overline{b_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2})|}{ |\overline{b_1} \times \overline{b_2}| }$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\overline{a_1} = 4\hat{i} - \hat{j}$,$\overline{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$,$\overline{a_2} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,અને $\overline{b_2} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$\overline{a_2} - \overline{a_1} = -3\hat{i} + 2\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\overline{b_1} \times \overline{b_2} = 2\hat{i} - \hat{j}$ શોધો.
તેનું માન $|\overline{b_1} \times \overline{b_2}| = \sqrt{5}$ છે.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2}) = -6$ મળે છે.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|-6|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ એકમ થાય.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(5, 1, a)$ અને $(3, b, 1)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x - 5}{3 - 5} = \frac{y - 1}{b - 1} = \frac{z - a}{1 - a}$
$\frac{x - 5}{-2} = \frac{y - 1}{b - 1} = \frac{z - a}{1 - a} = k$ (ધારો કે).
રેખા $\left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 0$ માટે: $\frac{0 - 5}{-2} = k \implies k = \frac{5}{2}$.
$y = \frac{17}{2}$ માટે: $\frac{\frac{17}{2} - 1}{b - 1} = \frac{5}{2} \implies \frac{15/2}{b - 1} = \frac{5}{2} \implies \frac{15}{b - 1} = 5 \implies b - 1 = 3 \implies b = 4$.
$z = \frac{-13}{2}$ માટે: $\frac{\frac{-13}{2} - a}{1 - a} = \frac{5}{2} \implies \frac{-13 - 2a}{2(1 - a)} = \frac{5}{2} \implies -13 - 2a = 5 - 5a \implies 3a = 18 \implies a = 6$.
હવે,$2a + 3b = 2(6) + 3(4) = 12 + 12 = 24$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2} = k$ આપેલ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3k+2, -5k+1, 2k-2)$ છે.
કારણ કે રેખા સમતલ $x+3y-\alpha z+\beta=0$ માં આવેલી છે,તેથી રેખા પરનું દરેક બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
બિંદુને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $(3k+2) + 3(-5k+1) - \alpha(2k-2) + \beta = 0$.
$3k + 2 - 15k + 3 - 2\alpha k + 2\alpha + \beta = 0$.
$k(3 - 15 - 2\alpha) + (5 + 2\alpha + \beta) = 0$.
આ સમીકરણ દરેક $k$ માટે સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$3 - 15 - 2\alpha = 0 \implies -12 - 2\alpha = 0 \implies \alpha = -6$.
$5 + 2\alpha + \beta = 0 \implies 5 + 2(-6) + \beta = 0 \implies 5 - 12 + \beta = 0 \implies \beta = 7$.
તેથી,$(\beta - \alpha) = 7 - (-6) = 7 + 6 = 13$.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{4}$ અને $L_2: \frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{4}$ છે.
દિશા ગુણોત્તર $(2, 3, 4)$ સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec{a_1} = (1, -2, 3)$,$\vec{a_2} = (0, 1, -1)$,અને $\vec{b} = (2, 3, 4)$.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-1, 3, -4)$.
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = 24\hat{i} - 4\hat{j} - 9\hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{24^2 + (-4)^2 + (-9)^2} = \sqrt{673}$ છે.
$\vec{b}$ નું માન $\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{29}$ છે.
આમ,ચોરસની બાજુની લંબાઈ $s = \frac{\sqrt{673}}{\sqrt{29}}$ છે.
ચોરસની પરિમિતિ $4s = \frac{4\sqrt{673}}{\sqrt{29}}$ એકમ થાય.

(A) રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે તેમને સંમિત સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ.
પ્રથમ રેખા $L_1$ માટે: $x-3y-4=0$ અને $4y-z+5=0$. ધારો કે $y=t$. તેથી $x=3t+4$ અને $z=4t+5$. રેખા $\frac{x-4}{3} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-5}{4}$ છે. દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (3, 1, 4)$.
બીજી રેખા $L_2$ માટે: $x+3y-11=0$ અને $2y-z+6=0$. ધારો કે $y=s$. તેથી $x=-3s+11$ અને $z=2s+6$. રેખા $\frac{x-11}{-3} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-6}{2}$ છે. દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (-3, 1, 2)$.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (3)(-3) + (1)(1) + (4)(2) = -9 + 1 + 8 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(D) ધારો કે રેખાઓ $L_1: \frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2} = r$ અને $L_2: \frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2} = s, z=1$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (-3r-2, 4r+2, 2r+5)$ અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (-s-2, 2s-6, 1)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (3r-s, 2s-4r-8, -2r-4)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (-3, 4, 2)$ અને $\vec{v_2} = (-1, 2, 0)$ છે.
ટૂંકા અંતરની રેખા $\vec{PQ}$ એ $\vec{v_1}$ અને $\vec{v_2}$ બંનેને લંબ છે.
$\vec{PQ} \cdot \vec{v_1} = 0 \implies -29r + 11s = 40$ અને $\vec{PQ} \cdot \vec{v_2} = 0 \implies -11r + 5s = 16$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $r = -2$ અને $s = -1.2$ મળે છે.
ટૂંકા અંતરની રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-4}{-4} = \frac{y+6}{-2} = \frac{z-1}{-2}$ મળે છે.
$x=1$ માટે,$\alpha = -7.5$ અને $\beta = 0.5$ મળે છે,જેનો સરવાળો $-7$ થાય છે.

(D) બે રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર ત્યારે જ અચળ રહે જો તે રેખાઓ સમાંતર હોય.
આપેલ રેખા $L_1: \vec{r} = (-1, 3, 4) + \lambda(3, -2, 1)$. $L_1$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3, -2, 1)$ છે.
રેખા $L$ એ $L_1$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ પણ $\vec{v} = (3, -2, 1)$ જ હોય.
રેખા $L$ એ $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\vec{r} = (1, 2, 3) + t(3, -2, 1)$ થાય.
આને પ્રચલિત સ્વરૂપમાં $x = 1 + 3t, y = 2 - 2t, z = 3 + t$ લખી શકાય.
આપણે ચકાસીએ કે કયું બિંદુ આ સમીકરણનું સમાધાન કરતું નથી:
$(4, 0, 4)$ માટે: $4 = 1 + 3t \implies t = 1$. તો $y = 2 - 2(1) = 0$ અને $z = 3 + 1 = 4$. આ બિંદુ $L$ પર છે.
$(-2, 4, 2)$ માટે: $-2 = 1 + 3t \implies t = -1$. તો $y = 2 - 2(-1) = 4$ અને $z = 3 - 1 = 2$. આ બિંદુ $L$ પર છે.
$(7, -2, 5)$ માટે: $7 = 1 + 3t \implies t = 2$. તો $y = 2 - 2(2) = -2$ અને $z = 3 + 2 = 5$. આ બિંદુ $L$ પર છે.
$(-5, 6, 2)$ માટે: $-5 = 1 + 3t \implies t = -2$. તો $y = 2 - 2(-2) = 6$ અને $z = 3 - 2 = 1$. અહીં $z = 1 \neq 2$ હોવાથી,આ બિંદુ $L$ પર નથી.

(A) રેખા બિંદુ $P(-1, -2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશાના ગુણોત્તર $\vec{b} = (2, 1, 3)$ છે.
આપેલ બિંદુ $Q(1, -1, 3)$ સમતલ પર આવેલું છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (1 - (-1), -1 - (-2), 3 - 2) = (2, 1, 1)$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{PQ}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{PQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-3) - \hat{j}(2-6) + \hat{k}(2-2) = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -2, 0)$ લઈ શકીએ છીએ.
બિંદુ $Q(1, -1, 3)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = (1, -2, 0)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$1(x - 1) - 2(y + 1) + 0(z - 3) = 0$
$x - 1 - 2y - 2 = 0$
$x - 2y - 3 = 0$.

(C) ધારો કે જરૂરી સમતલ $P_1$ છે. તે રેખા $L_1: \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ ને સમાવે છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1}$ એ $\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ ને લંબ છે.
ધારો કે $P_2$ એ રેખાઓ $L_2: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{1}$ અને $L_3: \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ ને સમાવતું સમતલ છે. $P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2}$ એ દિશા સદિશો $\vec{v_2} = (2, 3, 1)$ અને $\vec{v_3} = (3, 2, 1)$ ના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n_2} = \vec{v_2} \times \vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(2-3) + \hat{k}(4-9) = (1, 1, -5)$.
સમતલ $P_1$ એ $P_2$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ $\vec{n_1}$ એ $\vec{n_2}$ ને લંબ હોવો જોઈએ. તેથી,$\vec{n_1} = \vec{v_1} \times \vec{n_2}$:
$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10-3) - \hat{j}(-5-3) + \hat{k}(1-2) = (-13, 8, -1)$.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ માંથી પસાર થતા અને $(-13, 8, -1)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલ $P_1$ નું સમીકરણ $-13x + 8y - z = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $13x - 8y + z = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4} = k_1$ છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k_1+1, 3k_1+2, 4k_1+3)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $\frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=z = k_2$ છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(5k_2+4, 2k_2+1, k_2)$ છે.
છેદબિંદુ માટે યામ સરખાવતા: $2k_1+1 = 5k_2+4 \implies 2k_1 - 5k_2 = 3$ અને $3k_1+2 = 2k_2+1 \implies 3k_1 - 2k_2 = -1$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $k_1 = -1$ અને $k_2 = -1$ મળે છે. છેદબિંદુ $(-1, -1, -1)$ છે.
રેખા $(-1, -1, -1)$ અને $(2, 1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
દિશા સદિશ $(2 - (-1), 1 - (-1), -2 - (-1)) = (3, 2, -1)$ છે.
તેથી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+1}{3} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$ છે.
બિંદુઓ $(a, 1, 6)$ અને $(3, 4, b)$ મૂકતા,આપણને મળે: $\frac{x - a}{3 - a} = \frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{z - 6}{b - 6}$.
આ રેખા $\left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$x = 0$ મૂકતા: $\frac{0 - a}{3 - a} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 6}{b - 6}$.
$y$-યામનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\frac{17}{2} - 1}{3} = \frac{\frac{15}{2}}{3} = \frac{5}{2}$.
હવે,ગુણોત્તર સરખાવતા: $\frac{-a}{3 - a} = \frac{5}{2} \implies -2a = 15 - 5a \implies 3a = 15 \implies a = 5$.
આગળ,$z$-યામનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\frac{-13}{2} - 6}{b - 6} = \frac{5}{2} \implies \frac{\frac{-25}{2}}{b - 6} = \frac{5}{2} \implies \frac{-25}{b - 6} = 5 \implies -5 = b - 6 \implies b = 1$.
છેલ્લે,$(3a + 4b) = 3(5) + 4(1) = 15 + 4 = 19$.

(A) રેખા $L_1$ ને $x=t, y=t, z=1$ તરીકે લખી શકાય છે. $L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $M$ એ $(t, t, 1)$ છે. સદિશ $\vec{PM} = (t-a, t-a, 1-a)$ છે. કારણ કે $PM \perp L_1$,તેથી $\vec{PM}$ અને $L_1$ ના દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (1, 1, 0)$ નો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય: $(t-a)(1) + (t-a)(1) + (1-a)(0) = 0 \implies 2(t-a) = 0 \implies t=a$. આમ,$M = (a, a, 1)$ અને $\vec{PM} = (0, 0, 1-a)$.
તે જ રીતે,રેખા $L_2$ ને $x=s, y=-s, z=-1$ તરીકે લખી શકાય છે. $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $N$ એ $(s, -s, -1)$ છે. સદિશ $\vec{PN} = (s-a, -s-a, -1-a)$ છે. કારણ કે $PN \perp L_2$,તેથી $\vec{PN}$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (1, -1, 0)$ નો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય: $(s-a)(1) + (-s-a)(-1) + (-1-a)(0) = 0 \implies s-a + s+a = 0 \implies 2s = 0 \implies s=0$. આમ,$N = (0, 0, -1)$ અને $\vec{PN} = (-a, -a, -1-a)$.
આપેલ છે કે $\angle MPN = 90^{\circ}$,તેથી ડોટ ગુણાકાર $\vec{PM} \cdot \vec{PN} = 0$: $(0)(-a) + (0)(-a) + (1-a)(-1-a) = 0 \implies -(1-a)(1+a) = 0 \implies -(1-a^2) = 0 \implies a^2-1 = 0 \implies a^2 = 1$.

(A) આપેલ રેખાઓ $\bar{r} = \bar{a}_1 + \lambda \bar{b}_1$ અને $\bar{r} = \bar{a}_2 + \mu \bar{b}_2$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$\bar{b}_1 = 3 \hat{i} - \hat{j}$ અને $\bar{b}_2 = 2 \hat{i} + 3 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,રેખાઓ સમાંતર છે કે નહીં તે તપાસો: $\bar{b}_1$ એ $\bar{b}_2$ નો અદિશ ગુણાંક નથી,તેથી તે સમાંતર નથી.
આગળ,રેખાઓને સરખાવીને છેદબિંદુ તપાસો: $(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i} - \hat{j}) = (4 \hat{i} - \hat{k}) + \mu(2 \hat{i} + 3 \hat{k})$.
ઘટકોને સરખાવતા:
$1 + 3\lambda = 4 + 2\mu \implies 3\lambda - 2\mu = 3$
$1 - \lambda = 0 \implies \lambda = 1$
$-1 = -1 + 3\mu \implies 3\mu = 0 \implies \mu = 0$
$\lambda = 1$ અને $\mu = 0$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $3(1) - 2(0) = 3$,જે $3 = 3$ થાય છે.
સમીકરણો સુસંગત હોવાથી,રેખાઓ છેદે છે.
લંબતા માટે તપાસો: $\bar{b}_1 \cdot \bar{b}_2 = (3)(2) + (-1)(0) + (0)(3) = 6 \neq 0$.
આમ,રેખાઓ છેદે છે પરંતુ લંબ નથી.

(C) સમતલનું આપેલ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} + \mu \vec{c}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\vec{a} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{c} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}$ છે.
કાર્તેઝિયન સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ ની જરૂર છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+3) - \hat{j}(1+2) + \hat{k}(3-4) = 5 \hat{i} - 3 \hat{j} - \hat{k}$.
સમતલનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $(x-2, y+3, z-0) \cdot (5, -3, -1) = 0$ છે.
$5(x-2) - 3(y+3) - 1(z) = 0$.
$5x - 10 - 3y - 9 - z = 0$.
$5x - 3y - z = 19$.

(A) $\angle A$ નો આંતરિક દ્વિભાજક $A(1, -1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને બાજુ $BC$ ને તેની નજીકની બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (5-(-1))^2 + (3-0)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{49} = 7$.
$AC = \sqrt{(-11-1)^2 + (-5-(-1))^2 + (6-0)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{196} = 14$.
ગુણોત્તર $AB:AC = 7:14 = 1:2$.
દ્વિભાજક $BC$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,બિંદુ $D$ શોધો:
$D = \left( \frac{1(-11) + 2(3)}{1+2}, \frac{1(-5) + 2(5)}{1+2}, \frac{1(6) + 2(3)}{1+2} \right) = \left( -\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, 4 \right)$.
રેખા $AD$ નો દિશા સદિશ $\vec{AD} = \left( -\frac{5}{3} - 1, \frac{5}{3} - (-1), 4 - 0 \right) = \left( -\frac{8}{3}, \frac{8}{3}, 4 \right)$.
દિશા ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે $\frac{3}{4}$ વડે ગુણતા,આપણને $(-2, 2, 3)$ મળે છે.
આમ,$A(1, -1, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{3}$ છે.

(A) આપેલ રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{1} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+1, -\lambda-2, \lambda)$ છે.
$XY$ સમતલ માટે,$z=0$,તેથી $\lambda=0$. બિંદુ $A$ એ $(1, -2, 0)$ છે.
$YZ$ સમતલ માટે,$x=0$,તેથી $2\lambda+1=0 \implies \lambda=-\frac{1}{2}$. બિંદુ $B$ એ $(0, -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ છે.
બિંદુઓ $A(1, -2, 0)$ અને $B(0, -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\bar{r} = \vec{a} + t(\vec{b}-\vec{a})$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i}-2\hat{j}$ અને $\vec{b}-\vec{a} = (0-1)\hat{i} + (-\frac{3}{2}-(-2))\hat{j} + (-\frac{1}{2}-0)\hat{k} = -\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}$.
સમીકરણ $\bar{r} = (\hat{i}-2\hat{j}) + t(-\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k})$ છે.
આને ક્રોસ પ્રોડક્ટ સ્વરૂપમાં $[\bar{r}-(\hat{i}-2\hat{j})] \times (-\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}) = \overline{0}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{6(x-1)}{18} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{5} \implies \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{5}$.
દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (3, 3, 5)$ અને બિંદુ $P_1 = (1, -1, 1)$.
બીજી રેખા માટે: $\frac{3(x+2)}{12} = \frac{y-1}{3} = \frac{z+1}{2} \implies \frac{x+2}{4} = \frac{y-1}{3} = \frac{z+1}{2}$.
દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (4, 3, 2)$ અને બિંદુ $P_2 = (-2, 1, -1)$.
જો રેખાઓ છેદતી હોય,તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(\vec{P_2 - P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = 0$ થવો જોઈએ.
$\vec{P_2 - P_1} = (-3, 2, -2)$.
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-9, 14, -3)$.
અદિશ ગુણાકાર: $(-3)(-9) + (2)(14) + (-2)(-3) = 27 + 28 + 6 = 61 \neq 0$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય ન હોવાથી,રેખાઓ વિષમતલીય છે અને છેદતી નથી.

(A) બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ રેખાઓ માટે:
રેખા $1$: $\vec{a_1} = (-1, 2, -1)$,$\vec{b_1} = (3, 2, 2)$.
રેખા $2$: $\vec{a_2} = (2, 2, -3)$,$\vec{b_2} = (1, 2, 3)$.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (2 - (-1), 2 - 2, -3 - (-1)) = (3, 0, -2)$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 4) - \hat{j}(9 - 2) + \hat{k}(6 - 2) = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 4\hat{k}$.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + (-7)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 49 + 16} = \sqrt{69}$.
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (3)(2) + (0)(-7) + (-2)(4) = 6 + 0 - 8 = -2$.
$d = \frac{|-2|}{\sqrt{69}} = \frac{2}{\sqrt{69}}$ એકમ.

(D) રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = B - A = (1, -1, -1)$ છે.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (1+t, 3-t, 2-t)$ છે.
ધારો કે $M$ એ બિંદુ $P(1, 1, -1)$ નો રેખા $L$ પરનો પ્રક્ષેપ છે. $M = (1+t, 3-t, 2-t)$.
સદિશ $\vec{PM} = (t, 2-t, 3-t)$.
$\vec{PM} \perp \vec{v}$ હોવાથી,$\vec{PM} \cdot \vec{v} = 0$.
$t - (2-t) - (3-t) = 0 \implies 3t = 5 \implies t = \frac{5}{3}$.
$M$ ના યામ $(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ છે.
$P'$ એ $P$ નું પ્રતિબિંબ હોય,તો $M = \frac{P+P'}{2} \implies P' = 2M - P$.
$x = \frac{16}{3} - 1 = \frac{13}{3}$,$y = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}$,$z = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.
તેથી,$x+y+z = \frac{13+5+5}{3} = \frac{23}{3}$.

(C) ધારો કે માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ છે.
રેખા $(2, -3, -2)$ અને $(-1, 2, 3)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$2a - 3b - 2c = 0$ અને $-a + 2b + 3c = 0$.
દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ શોધવા માટે ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરતા:
$a = (-3)(3) - (-2)(2) = -5$
$b = (-2)(-1) - (2)(3) = -4$
$c = (2)(2) - (-3)(-1) = 1$
આમ,દિકગુણોત્તર $(-5, -4, 1)$ છે.
રેખા $(-1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી સમીકરણ $\frac{x+1}{-5} = \frac{y-2}{-4} = \frac{z-3}{1}$ થાય.

(C) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 1) = 0$ છે,જ્યાં $\vec{n} = (a, b, c)$ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ છે.
આપેલ સમતલો $2x - 2y + z = 0$ અને $x - y + 2z = 4$ ને લંબ હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ ના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર છે.
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 0)$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + 1 = 0$ થાય છે.
સમતલ $x + y + 1 = 0$ થી બિંદુ $(1, 2, 2)$ નું અંતર $d = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ એકમ થાય છે.

(C) $XY$-સમતલનું સમીકરણ $z = 0$ છે.
$XY$-સમતલને સમાંતર કોઈપણ સમતલ $z = k$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
આ સમતલ બિંદુ $A(7, 8, 6)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,સમતલનો $z$-યામ એ બિંદુ $A$ ના $z$-યામ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$k = 6$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $z = 6$ છે.

(A) સમતલો $P_1: x+y+z-1=0$ અને $P_2: 3x+4y+5z-2=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+y+z-1) + \lambda(3x+4y+5z-2) = 0$
$(1+3\lambda)x + (1+4\lambda)y + (1+5\lambda)z - (1+2\lambda) = 0$.
આ સમતલ $XY$-સમતલને લંબ છે. $XY$-સમતલનું સમીકરણ $z=0$ છે અને તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$ છે.
આપણા જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (1+3\lambda, 1+4\lambda, 1+5\lambda)$ છે.
સમતલો લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \implies (0)(1+3\lambda) + (0)(1+4\lambda) + (1)(1+5\lambda) = 0$.
$1+5\lambda = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{5}$.
$\lambda = -\frac{1}{5}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+y+z-1) - \frac{1}{5}(3x+4y+5z-2) = 0$.
$5(x+y+z-1) - (3x+4y+5z-2) = 0$.
$5x+5y+5z-5 - 3x-4y-5z+2 = 0$.
$2x+y-3=0$.

(C) સમતલ $A(2,1,2)$ અને $B(1,2,1)$ માંથી પસાર થાય છે. સદિશ $\vec{AB} = (1-2, 2-1, 1-2) = (-1, 1, -1)$ છે.
રેખા $2x = 3y$ અને $z = 1$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. આને $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ અને $z = 1$ તરીકે લખી શકાય છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3, 2, 0)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $2(x-2) - 3(y-1) - 5(z-2) = 0$ એટલે કે $2x - 3y - 5z + 9 = 0$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા: $(-2, 0, 1)$ બિંદુ માટે $2(-2) - 3(0) - 5(1) + 9 = -4 - 5 + 9 = 0$ થાય છે. તેથી,સમતલ $(-2, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ થાય.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{14}$,તેથી $\frac{|(1)(1) + (-2)(\alpha) + (3)(2)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} \sqrt{1^2 + \alpha^2 + 2^2}} = \frac{1}{14}$.
$\frac{|7 - 2\alpha|}{\sqrt{14} \sqrt{\alpha^2 + 5}} = \frac{1}{14}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(7 - 2\alpha)^2}{14(\alpha^2 + 5)} = \frac{1}{196}$.
$\frac{49 - 28\alpha + 4\alpha^2}{\alpha^2 + 5} = \frac{1}{14}$.
$14(4\alpha^2 - 28\alpha + 49) = \alpha^2 + 5$.
$56\alpha^2 - 392\alpha + 686 = \alpha^2 + 5$.
$55\alpha^2 - 392\alpha + 681 = 0$.
ધારો કે બીજ $\alpha_1$ અને $\alpha_2$ છે. તફાવત $|\alpha_1 - \alpha_2| = \frac{\sqrt{D}}{|a|} = \frac{\sqrt{(-392)^2 - 4(55)(681)}}{55}$.
$D = 153664 - 149820 = 3844$.
$\sqrt{D} = 62$.
તફાવત $= \frac{62}{55}$.

(B) સમતલો $P_1: 2x-y+z-3=0$ અને $P_2: 4x-3y+5z+9=0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x-y+z-3) + \lambda(4x-3y+5z+9) = 0$
$(2+4\lambda)x + (-1-3\lambda)y + (1+5\lambda)z + (-3+9\lambda) = 0$.
સમતલ એ $(2, 4, 5)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ રેખાના દિશા સદિશને લંબ છે.
તેથી,$2(2+4\lambda) + 4(-1-3\lambda) + 5(1+5\lambda) = 0$.
$4 + 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$.
$21\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = -\frac{5}{21}$.
$\lambda$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2 - \frac{20}{21})x + (-1 + \frac{15}{21})y + (1 - \frac{25}{21})z + (-3 - \frac{45}{21}) = 0$.
$(\frac{42-20}{21})x + (\frac{-21+15}{21})y + (\frac{21-25}{21})z + (\frac{-63-45}{21}) = 0$.
$22x - 6y - 4z - 108 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $11x - 3y - 2z - 54 = 0$.
અહીં $\alpha=11, \beta=-3, \gamma=-2, d=-54$.
$\alpha+\beta+\gamma+d = 11 - 3 - 2 - 54 = -48$.