MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1) = (1, -2, 1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz - D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 - D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમતલ $x + 2y - 2z - \alpha = 0$ માટે,$A=1, B=2, C=-2, D=\alpha$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $5 = \frac{|1(1) + 2(-2) - 2(1) - \alpha|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 - 4 - 2 - \alpha|}{\sqrt{9}} = \frac{|-5 - \alpha|}{3}$.
$\alpha > 0$ હોવાથી,$|-5 - \alpha| = 5 + \alpha$ થાય. તેથી,$5 = \frac{5 + \alpha}{3} \implies 15 = 5 + \alpha \implies \alpha = 10$.
સમતલનું સમીકરણ $x + 2y - 2z = 10$ છે.
$P(1, -2, 1)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાના દિકગુણોત્તર $(1, 2, -2)$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{-2} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+1, 2k-2, -2k+1)$ સ્વરૂપનું છે.
આ બિંદુ સમતલ પર હોવાથી: $(k+1) + 2(2k-2) - 2(-2k+1) = 10$.
$k + 1 + 4k - 4 + 4k - 2 = 10 \implies 9k - 5 = 10 \implies 9k = 15 \implies k = \frac{5}{3}$.
$k = \frac{5}{3}$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા: $x = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$,$y = 2(\frac{5}{3}) - 2 = \frac{4}{3}$,$z = -2(\frac{5}{3}) + 1 = -\frac{7}{3}$.
આમ,લંબપાદના યામ $\left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{7}{3}\right)$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-2}{3} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(2k+1, 4k+3, 3k+2)$ છે।
સદિશ $\vec{PQ} = (2k+1-3, 4k+3-8, 3k+2-2) = (2k-2, 4k-5, 3k)$.
રેખાખંડ $PQ$ એ સમતલ $3x + 2y - 2z + 15 = 0$ ને સમાંતર છે, તેથી તે સમતલના અભિલંબ $\vec{n} = (3, 2, -2)$ ને લંબ હશે।
તેથી, $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$.
$(2k-2)(3) + (4k-5)(2) + (3k)(-2) = 0$.
$6k - 6 + 8k - 10 - 6k = 0$.
$8k - 16 = 0 \implies k = 2$.
$k=2$ મૂકતા, $\vec{PQ} = (2(2)-2, 4(2)-5, 3(2)) = (2, 3, 6)$.
અંતર એ $\vec{PQ}$ નું માન છે: $\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ એકમ}$.

(A) રેખાનું સમીકરણ $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b}$ છે,જ્યાં $\bar{a} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{b} = \hat{i} - 2\hat{j}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ છે,જ્યાં $\bar{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $d = 4$ છે.
સૌ પ્રથમ,$\bar{b} \cdot \bar{n} = (1)(2) + (-2)(1) + (0)(1) = 2 - 2 + 0 = 0$ ગણીને તપાસો કે રેખા સમતલને સમાંતર છે કે નહીં.
$\bar{b} \cdot \bar{n} = 0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખા અને સમતલ વચ્ચેનું અંતર $D = \frac{|\bar{a} \cdot \bar{n} - d|}{|\bar{n}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\bar{a} \cdot \bar{n} = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(1) = 6 - 2 + 1 = 5$ ગણો.
$|\bar{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ ગણો.
આમ,$D = \frac{|5 - 4|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ એકમ.

(A) સમતલનું સમીકરણ પ્રચલિત સ્વરૂપમાં $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ આપેલ છે,જ્યાં $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ શોધવા માટે,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ ગણીએ:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - (-2)) - \hat{j}(3 - 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
સમતલનું કાર્તેઝિય સ્વરૂપ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે,જે $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ તરીકે લખી શકાય.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} - \hat{j}) \cdot (5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (1)(5) + (-1)(-2) + (0)(-3) = 5 + 2 = 7$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $5x - 2y - 3z = 7$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz = D$ નું અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 5, B = -2, C = -3$,અને $D = 7$ છે.
$d = \frac{|7|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-3)^2}} = \frac{7}{\sqrt{25 + 4 + 9}} = \frac{7}{\sqrt{38}}$ એકમ.

(A) રેખા બિંદુઓ $A(1,3,2)$ અને $B(1,2,1)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = B - A = (1-1, 2-3, 1-2) = (0, -1, -1)$ છે.
સમતલ બિંદુ $P(2,1,-1)$ અને $A(1,3,2)$ માંથી પસાર થાય છે. સદિશ $\vec{PA} = (1-2, 3-1, 2-(-1)) = (-1, 2, 3)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v} \times \vec{PA} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3+2) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(0-1) = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $-1(x-2) + 1(y-1) - 1(z+1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $-x+2+y-1-z-1 = 0$ એટલે કે $-x+y-z = 0$ અથવા $x-y+z = 0$ થાય છે.
આ સમતલ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,અંતઃખંડો $p, q, r$ બધા $0$ છે.
તેથી,$p+q+r = 0+0+0 = 0$.

(A) બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
અહીં,ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ $P(2, -1, 4)$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $\vec{OP} = (2, -1, 4)$ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ છે.
તેથી,$a = 2, b = -1, c = 4$.
સમતલનું સમીકરણ $2(x-2) - 1(y-(-1)) + 4(z-4) = 0$ થશે.
$2(x-2) - 1(y+1) + 4(z-4) = 0$.
$2x - 4 - y - 1 + 4z - 16 = 0$.
$2x - y + 4z - 21 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 8x + 12 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(x - 6)(x - 2) = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x = 6$ અથવા $x = 2$.
$3$-પરિમાણીય અવકાશમાં,સમીકરણ $x = k$ એ $YZ$-સમતલને સમાંતર સમતલ દર્શાવે છે.
તેથી,$x = 6$ અને $x = 2$ એ બે અલગ-અલગ સમતલો દર્શાવે છે,જે બંને $YZ$-સમતલને સમાંતર છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ પરના લંબની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
આપેલ બિંદુ $P = (1, 1.5, 2)$ અને સમતલ $2x - 2y + 4z + 17 = 0$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|2(1) - 2(1.5) + 4(2) + 17|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|2 - 3 + 8 + 17|}{\sqrt{4 + 4 + 16}}$
$d = \frac{|24|}{\sqrt{24}}$
$d = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} - \frac{z}{5} = 1$ છે.
તેને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a = 2, b = -3, c = -5$ મળે છે.
આમ,બિંદુઓના યામ $A(2, 0, 0)$,$B(0, -3, 0)$ અને $C(0, 0, -5)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ ધરાવતા ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \sqrt{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{(2 \times -3)^2 + (-3 \times -5)^2 + (-5 \times 2)^2}$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{(-6)^2 + (15)^2 + (-10)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 225 + 100} = \frac{1}{2} \sqrt{361} = \frac{19}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$ છે.
સમતલ યામ અક્ષોને $A, B, C$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$y=0, z=0$ લેતા,$x=2$ મળે,તેથી $A = (2, 0, 0)$.
$x=0, z=0$ લેતા,$y=3$ મળે,તેથી $B = (0, 3, 0)$.
$x=0, y=0$ લેતા,$z=6$ મળે,તેથી $C = (0, 0, 6)$.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો $\vec{AB} = B - A = (-2, 3, 0)$ અને $\vec{AC} = C - A = (-2, 0, 6)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 6 \end{vmatrix} = 18\hat{i} + 12\hat{j} + 6\hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{18^2 + 12^2 + 6^2} = \sqrt{504} = 6\sqrt{14}$ છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 6\sqrt{14} = 3\sqrt{14}$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1) = (-1, 2, -4)$ છે અને સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ છે,જ્યાં $a = 1, b = -1, c = -2, d = 1$ છે.
ધારો કે પ્રતિબિંબ $P'(x', y', z')$ છે.
સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = \frac{z' - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$.
પહેલા $ax_1 + by_1 + cz_1 + d$ ની કિંમત શોધો:
$1(-1) - 1(2) - 2(-4) + 1 = -1 - 2 + 8 + 1 = 6$.
હવે $a^2 + b^2 + c^2$ ની કિંમત શોધો:
$1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
હવે આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x' - (-1)}{1} = \frac{y' - 2}{-1} = \frac{z' - (-4)}{-2} = -2 \frac{6}{6} = -2$.
$x', y', z'$ માટે ઉકેલતા:
$x' + 1 = -2 \implies x' = -3$.
$y' - 2 = 2 \implies y' = 4$.
$z' + 4 = 4 \implies z' = 0$.
આમ,પ્રતિબિંબ $(-3, 4, 0)$ છે.

(A) ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ $P(-1, -1, 2)$ છે.
આ બિંદુ $P$ સમતલ પર આવેલું છે અને સદિશ $\vec{OP} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ એ સમતલનો અભિલંબ છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
અહીં,$\vec{a} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $((x+1)\hat{i} + (y+1)\hat{j} + (z-2)\hat{k}) \cdot (-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 0$.
$-(x+1) - (y+1) + 2(z-2) = 0$.
$-x - 1 - y - 1 + 2z - 4 = 0$.
$-x - y + 2z - 6 = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $x + y - 2z + 6 = 0$ મળે છે.

(C) બે સમતલો $P_1: x+2y-z+1=0$ અને $P_2: 3x-y-4z+3=0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+2y-z+1) + \lambda(3x-y-4z+3) = 0$.
આ સમતલ બિંદુ $(1,1,1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે $x=1, y=1, z=1$ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(1+2(1)-1+1) + \lambda(3(1)-1-4(1)+3) = 0$.
$(1+2-1+1) + \lambda(3-1-4+3) = 0$.
$3 + \lambda(1) = 0 \implies \lambda = -3$.
હવે $\lambda = -3$ ને મુખ્ય સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+2y-z+1) - 3(3x-y-4z+3) = 0$.
$x+2y-z+1 - 9x+3y+12z-9 = 0$.
$-8x + 5y + 11z - 8 = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $8x - 5y - 11z + 8 = 0$ મળે છે.

(C) બે સમતલો $P_1: \overline{r} \cdot \overline{n}_1 = d_1$ અને $P_2: \overline{r} \cdot \overline{n}_2 = d_2$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(\overline{r} \cdot \overline{n}_1 - d_1) + \lambda(\overline{r} \cdot \overline{n}_2 - d_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમતલો $P_1: \overline{r} \cdot(2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}) - 1 = 0$ અને $P_2: \overline{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}) + 4 = 0$ છે.
માગેલ સમતલનું સમીકરણ $\overline{r} \cdot((2+\lambda) \hat{i} + (-3-\lambda) \hat{j} + 4 \hat{k}) - 1 + 4\lambda = 0$ થશે.
આ સમતલ $\overline{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + 8 = 0$ ને લંબ છે.
તેથી,તેમના અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(2+\lambda)(2) + (-3-\lambda)(-1) + (4)(1) = 0$.
$4 + 2\lambda + 3 + \lambda + 4 = 0 \implies 3\lambda + 11 = 0 \implies \lambda = -\frac{11}{3}$.
$\lambda$ ની કિંમત સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $\overline{r} \cdot((2-\frac{11}{3}) \hat{i} + (-3+\frac{11}{3}) \hat{j} + 4 \hat{k}) - 1 + 4(-\frac{11}{3}) = 0$.
$\overline{r} \cdot(-\frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + 4 \hat{k}) - 1 - \frac{44}{3} = 0$.
$3$ વડે ગુણતા: $\overline{r} \cdot(-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) - 3 - 44 = 0$.
$\overline{r} \cdot(-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) = 47$.
$\overline{r} \cdot(-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) = \mu$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\mu = 47$ મળે છે.

(A) આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
માગેલ સમતલ બંનેને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ થશે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(2 - 6) + \hat{k}(3 - 6) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ લઈ શકીએ.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
$2(x - 1) - 4(y - 2) + 3(z - 1) = 0$.
$2x - 2 - 4y + 8 + 3z - 3 = 0$.
$2x - 4y + 3z + 3 = 0$.

(A) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$.
બિંદુઓ $(2,1,0)$,$(3,-2,4)$ અને $(1,-3,3)$ મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 1 & -3 & 4 \\ -1 & -4 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(-9 + 16) - (y-1)(3 + 4) + z(-4 - 3) = 0$
$7(x-2) - 7(y-1) - 7z = 0 \implies x - y - z - 1 = 0$.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ નું સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ થી અંતર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ છે.
બિંદુ $(5,3,-1)$ અને સમતલ $x - y - z - 1 = 0$ માટે:
$d = \frac{|1(5) - 1(3) - 1(-1) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|5 - 3 + 1 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ એકમ.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + by + cz = 0$ છે,જે $ax + by + cz - a = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તે $(0,1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a(0) + b(1) + c(0) - a = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b = a$.
તેથી સમીકરણ $ax + ay + cz - a = 0$ અથવા $x + y + \frac{c}{a}z - 1 = 0$ બને છે.
ધારો કે $k = \frac{c}{a}$,તો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ છે.
સમતલ $x+y-3=0$ નો અભિલંબ $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ છે.
બંને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે,તેથી $\cos(45^{\circ}) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{2} = \frac{4}{2(2+k^2)}$,જે $2+k^2 = 4$ આપે છે,તેથી $k^2 = 2$,એટલે કે $k = \pm \sqrt{2}$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x + y \pm \sqrt{2}z - 1 = 0$ મળે છે.

(C) રેખા $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{2}$ છે,તેથી તેનો દિશા સદિશ $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમતલ $2x - y + \sqrt{\lambda}z + 4 = 0$ છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + \sqrt{\lambda}\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{1}{3} = \frac{|(1)(2) + (2)(-1) + (2)(\sqrt{\lambda})|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (\sqrt{\lambda})^2}}$.
$\frac{1}{3} = \frac{|2 - 2 + 2\sqrt{\lambda}|}{\sqrt{9} \sqrt{5 + \lambda}} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{9} = \frac{4\lambda}{9(5 + \lambda)}$.
$5 + \lambda = 4\lambda$,જેનો અર્થ છે કે $3\lambda = 5$,તેથી $\lambda = \frac{5}{3}$.
આમ,$\lambda + 1 = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$.

(A) ચાર બિંદુઓ $A, B, C, D$ સમતલીય હોય જો સદિશો $\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC}$ નો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોય.
આપેલ છે $A(2-x, 2, 2)$,$B(2, 2-y, 2)$,$C(2, 2, 2-z)$ અને $D(1, 1, 1)$.
$\vec{DA} = (1-x, 1, 1)$,$\vec{DB} = (1, 1-y, 1)$,$\vec{DC} = (1, 1, 1-z)$.
નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} 1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1-y & 1 \\ 1 & 1 & 1-z \end{vmatrix} = 0$ લેતા.
વિસ્તરણ કરતા: $(1-x)(yz-y-z) + z + y = 0$.
$yz - y - z - xyz + xy + xz + z + y = 0$.
$yz + xy + xz - xyz = 0$.
$xyz$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$.

(A) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ થાય.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (3, 2, 5)$,$(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$,$(x_2, y_2, z_2) = (4, 3, 3)$,અને $(a_2, b_2, c_2) = (k, 1, 2)$ છે.
શરત મુજબ $\begin{vmatrix} 4-3 & 3-2 & 3-5 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $1(2 - (-k)) - 1(2 - (-k^2)) - 2(1 - k) = 0$.
$1(2 + k) - 1(2 + k^2) - 2 + 2k = 0$.
$2 + k - 2 - k^2 - 2 + 2k = 0$.
$-k^2 + 3k - 2 = 0$.
$k^2 - 3k + 2 = 0$.
$(k-1)(k-2) = 0$.
આમ,$k = 1$ અથવા $k = 2$.

(D) બે સમતલોની છેદરેખા બંને સમતલોના અભિલંબ સદિશોને લંબ હોય છે. ધારો કે અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = 3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ અભિલંબ સદિશોના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે: $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}$.
$\vec{v} = \hat{i}((-1)(-2) - (1)(4)) - \hat{j}((3)(-2) - (1)(1)) + \hat{k}((3)(4) - (-1)(1))$.
$\vec{v} = \hat{i}(2 - 4) - \hat{j}(-6 - 1) + \hat{k}(12 + 1)$.
$\vec{v} = -2 \hat{i} + 7 \hat{j} + 13 \hat{k}$.
આમ,રેખા $-2 \hat{i} + 7 \hat{j} + 13 \hat{k}$ સદિશને સમાંતર છે.

(B) રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{k}=\frac{z}{2}$ અને $L_2: \frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખાઓ સમતલીય હોવાથી,શરત $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 0)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (-1, -1, 0)$.
તેથી,$\begin{vmatrix} -1-1 & -1-(-1) & 0-0 \\ 2 & k & 2 \\ 5 & 2 & k \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 2 & k & 2 \\ 5 & 2 & k \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $-2(k^2 - 4) = 0 \implies k^2 = 4 \implies k = \pm 2$.
કિસ્સો $1$: જો $k=2$,તો રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}$ અને $\frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}$ છે. અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}$ છે. સમતલનું સમીકરણ $0(x-1) + 6(y+1) - 6(z-0) = 0 \implies y - z + 1 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $k=-2$,તો રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{2}$ અને $\frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-2}$ છે. અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 2 \\ 5 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k}$ છે. સમતલનું સમીકરણ $0(x-1) + 14(y+1) + 14(z-0) = 0 \implies y + z + 1 = 0$ છે.
બંનેને જોડતા,સમીકરણ $y \pm z + 1 = 0$ મળે છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ છે.
સમતલ $x + 2y + 3z = 4$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
ધારો કે રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$.
આપેલ છે કે $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$,તેથી $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,એટલે કે $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\sin \theta$ માટેનું સૂત્ર $\frac{|(1)(1) + (2)(2) + (\lambda)(3)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}}$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$|5 + 3\lambda| = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2)$.
$25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2$.
$30\lambda = 20$.
$\lambda = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.

(A) બિંદુઓ $Q(3,-4,-5)$ અને $R(2,-3,1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{2-3} = \frac{y-(-4)}{-3-(-4)} = \frac{z-(-5)}{1-(-5)}$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{x-3}{-1} = \frac{y+4}{1} = \frac{z+5}{6} = k$ મળે છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3-k, -4+k, -5+6k)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x+y+z=7$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(3-k) + (-4+k) + (-5+6k) = 7$.
$6 - 2k - 4 + k - 5 + 6k = 7$.
$5k - 3 = 7 \implies 5k = 10 \implies k = 2$.
છેદબિંદુ $(3-2, -4+2, -5+12) = (1, -2, 7)$ છે.
$P(3,4,4)$ અને $(1,-2,7)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(3-1)^2 + (4-(-2))^2 + (4-7)^2}$ છે.
$= \sqrt{2^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$ એકમ.

(A) રેખાઓ $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+3}{\lambda}$ અને $L_2: \frac{x-2}{2} = \frac{y-6}{3} = \frac{z-3}{\lambda}$ છે.
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $A(0, 2, -3)$ અને $B(2, 6, 3)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{v_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \lambda\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = -\lambda\hat{i} + \lambda\hat{j} - \hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $-\lambda x + \lambda y - 2\lambda - z - 3 = 0$ છે.
આને $-\lambda(x - y + 2) - (z + 3) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$\lambda$ ની તમામ કિંમતો માટે,$x - y + 2 = 0$ અને $z = -3$ હોવું જોઈએ.

(D) રેખા બિંદુ $P(3, -5, -2)$ માંથી પસાર થાય છે. કારણ કે રેખા સમતલ $\alpha x + 3y - z + \beta = 0$ માં આવેલી છે,તેથી બિંદુ $P$ એ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ:
$\alpha(3) + 3(-5) - (-2) + \beta = 0$
$3\alpha - 15 + 2 + \beta = 0$
$3\alpha + \beta = 13$ (સમીકરણ $1$).
વળી,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \alpha\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$:
$(2)(\alpha) + (-1)(3) + (2)(-1) = 0$
$2\alpha - 3 - 2 = 0$
$2\alpha = 5$
$\alpha = \frac{5}{2}$.
$\alpha = \frac{5}{2}$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$3(\frac{5}{2}) + \beta = 13$
$\frac{15}{2} + \beta = 13$
$\beta = 13 - \frac{15}{2} = \frac{26-15}{2} = \frac{11}{2}$.
આમ,$\alpha = \frac{5}{2}$ અને $\beta = \frac{11}{2}$ મળે છે.

(D) પ્રથમ,રેખાઓને સંમિત સ્વરૂપમાં લખો:
રેખા $1$: $x = a(y - 1/a) = z - 2 \implies \frac{x}{1} = \frac{y - 1/a}{1/a} = \frac{z - 2}{1}$. બિંદુ $P_1 = (0, 1/a, 2)$,દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (1, 1/a, 1)$.
રેખા $2$: $x = 3(y - 2/3) = b(z - 2/b) \implies \frac{x}{1} = \frac{y - 2/3}{1/3} = \frac{z - 2/b}{1/b}$. બિંદુ $P_2 = (0, 2/3, 2/b)$,દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (1, 1/3, 1/b)$.
રેખાઓ સમતલીય હોવા માટે,અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $[\vec{P_1P_2}, \vec{v_1}, \vec{v_2}] = 0$ હોવો જોઈએ.
$\vec{P_1P_2} = (0, 2/3 - 1/a, 2/b - 2)$.
નિશ્ચાયક છે:
$|\begin{matrix} 0 & 2/3 - 1/a & 2/b - 2 \\ 1 & 1/a & 1 \\ 1 & 1/3 & 1/b \end{matrix}| = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-(2/3 - 1/a)(1/b - 1) + (2/b - 2)(1/3 - 1/a) = 0$.
$-(2/3 - 1/a)(1/b - 1) + 2(1/b - 1)(1/3 - 1/a) = 0$.
$(1/b - 1) [-(2/3 - 1/a) + 2(1/3 - 1/a)] = 0$.
$(1/b - 1) [-2/3 + 1/a + 2/3 - 2/a] = 0$.
$(1/b - 1)(-1/a) = 0$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$1/b - 1 = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $b = 1$.
આમ,$b = 1$ અને $a$ કોઈપણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે. સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) બિંદુ $A(3, -4, 5)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-2}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{2} = \frac{y+4}{1} = \frac{z-5}{-2} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2r+3, r-4, -2r+5)$ સ્વરૂપનું છે.
આ બિંદુ $P$ સમતલ $2x + 5y - 6z = 16$ પર હોવાથી,આપણે $P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2r+3) + 5(r-4) - 6(-2r+5) = 16$.
$4r + 6 + 5r - 20 + 12r - 30 = 16$.
$21r - 44 = 16$.
$21r = 60$.
$r = \frac{60}{21} = \frac{20}{7}$.
અંતર $AP$ એ $(3, -4, 5)$ અને $(2r+3, r-4, -2r+5)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $\sqrt{(2r)^2 + (r)^2 + (-2r)^2} = \sqrt{4r^2 + r^2 + 4r^2} = \sqrt{9r^2} = 3|r|$ થાય.
$r = \frac{20}{7}$ મૂકતા,આપણને $3 \times \frac{20}{7} = \frac{60}{7}$ એકમ મળે છે.

(D) $(1, 1, 1)$ અને $(2, 2, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{2-1} = \frac{y-1}{2-1} = \frac{z-1}{2-1} = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $x-1 = k$,$y-1 = k$,અને $z-1 = k$ મળે છે.
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+1, k+1, k+1)$ સ્વરૂપનું હોય છે.
આ બિંદુ $x + y + z = 9$ સમતલ પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(k+1) + (k+1) + (k+1) = 9$.
$3k + 3 = 9$.
$3k = 6$,જે આપણને $k = 2$ આપે છે.
$k = 2$ ને બિંદુના યામ $(k+1, k+1, k+1)$ માં મૂકતા,આપણને $(2+1, 2+1, 2+1) = (3, 3, 3)$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુ $(3, 3, 3)$ છે.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \tan^{-1}\left(\frac{2^{n-1}}{1+2^{2n-1}}\right)$ છે.
આપણે પદને $\frac{2^n - 2^{n-1}}{1 + 2^n \cdot 2^{n-1}}$ તરીકે લખી શકીએ.
$\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = \tan^{-1}(2^n) - \tan^{-1}(2^{n-1})$ મળે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} (\tan^{-1}(2^k) - \tan^{-1}(2^{k-1}))$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S_n = (\tan^{-1}(2^1) - \tan^{-1}(2^0)) + (\tan^{-1}(2^2) - \tan^{-1}(2^1)) + \dots + (\tan^{-1}(2^n) - \tan^{-1}(2^{n-1}))$.
$S_n = \tan^{-1}(2^n) - \tan^{-1}(1) = \tan^{-1}(2^n) - \frac{\pi}{4}$.
જેમ $n \to \infty$,$S_n = \tan^{-1}(\infty) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.
આપેલ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = |\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2$
$S = ( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} ) + ( |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} ) + ( |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{a} )$
$S = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$
આપેલ છે કે $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$,તેથી $|\vec{a}|^2=9, |\vec{b}|^2=25, |\vec{c}|^2=49$.
$S = 2(9+25+49) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 166 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \ge 0$.
તેથી,$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \ge -(9+25+49) = -83$.
તેથી,$S = 166 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \le 166 - (-83) = 249$.
આમ,આ પદાવલિ $249$ થી વધતી નથી.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
$P$ એ $BC$ ને $3:4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું હોવાથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \frac{4\vec{b} + 3\vec{c}}{7}$ છે.
$Q$ એ $CA$ ને $5:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું હોવાથી,$Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = \frac{3\vec{c} + 5\vec{a}}{8}$ છે.
ધારો કે $G$ એ $AP$ ને $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી $\vec{g} = \frac{1\vec{a} + k\vec{p}}{k+1} = \frac{\vec{a} + k(\frac{4\vec{b} + 3\vec{c}}{7})}{k+1} = \frac{7\vec{a} + 4k\vec{b} + 3k\vec{c}}{7(k+1)}$.
વળી,$G$ એ $BQ$ પર આવેલું હોવાથી,$\vec{g} = \frac{m\vec{q} + 1\vec{b}}{m+1} = \frac{m(\frac{3\vec{c} + 5\vec{a}}{8}) + \vec{b}}{m+1} = \frac{5m\vec{a} + 8\vec{b} + 3m\vec{c}}{8(m+1)}$.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{7}{7(k+1)} = \frac{5m}{8(m+1)} \implies \frac{1}{k+1} = \frac{5m}{8(m+1)}$
$\frac{4k}{7(k+1)} = \frac{8}{8(m+1)} \implies \frac{4k}{7(k+1)} = \frac{1}{m+1}$
$\frac{3k}{7(k+1)} = \frac{3m}{8(m+1)} \implies \frac{k}{7(k+1)} = \frac{m}{8(m+1)}$
પ્રથમ અને ત્રીજા સમીકરણ પરથી,$\frac{1}{k+1} = 5 \times \frac{k}{7(k+1)} \implies 1 = \frac{5k}{7} \implies k = \frac{7}{5}$.
આમ,ગુણોત્તર $7:5$ છે.

(A) ધારો કે $\hat{a} = \frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}$ અને $\hat{b} = \frac{\overline{b}}{|\overline{b}|}$ એ અનુક્રમે $\overline{OA}$ અને $\overline{OB}$ ની દિશામાં એકમ સદિશો છે.
$\angle AOB$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક એ એકમ સદિશોના સરવાળાની દિશામાં હોય છે,જે $\hat{a} + \hat{b}$ છે.
આપેલ છે કે ખૂણાના દ્વિભાજક પરનો સદિશ $x\hat{a} + y\hat{b}$ છે,તેથી $x\hat{a} + y\hat{b} = k(\hat{a} + \hat{b})$ કોઈ અદિશ $k \neq 0$ માટે.
$\hat{a}$ અને $\hat{b}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = k$ અને $y = k$ મળે છે.
તેથી,$x = y$,જેનો અર્થ છે કે $x - y = 0$.

(B) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{v}$ છે. કારણ કે $\vec{v}$ એ $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ સાથે સમતલીય છે,તેથી તે $\vec{v} = \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-4) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(2-1) = -3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ શોધો.
હવે,$\vec{v} = \vec{c} \times (-3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-1) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(1+3) = 0\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$ થાય.
$\bar{a}+\bar{b}$ એક એકમ સદિશ હોવાથી,$|\bar{a}+\bar{b}| = 1$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = 1^2$ મળે.
$|\bar{x}|^2 = \bar{x} \cdot \bar{x}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+\bar{b}) = 1$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1$ મળે.
$|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$ ની કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 1^2 + 2|\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = 1$ મળે.
$1 + 1 + 2(1)(1) \cos \theta = 1$.
$2 + 2 \cos \theta = 1$.
$2 \cos \theta = -1$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$ મળે.

(C) ચાર બિંદુઓ $A, B, C,$ અને $D$ સમતલીય હોય જો સદિશો $\vec{AB}, \vec{AC},$ અને $\vec{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
પ્રથમ,આપણે સદિશો શોધીએ:
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (p-2)\hat{k} = \hat{i} + 0\hat{j} + (p-2)\hat{k}$
$\vec{AC} = (1-1)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (3-2)\hat{k} = 0\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AD} = (2-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (0-2)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$
હવે,નિશ્ચાયક ગણીએ:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & p-2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(-2) - (1)(1)) - 0(...) + (p-2)((0)(1) - (-1)(1)) = 0$
$1(2 - 1) + (p-2)(1) = 0$
$1 + p - 2 = 0$
$p - 1 = 0$
$p = 1$

(B) બે રેખાઓ $\overline{r} = \overline{a_1} + \lambda \overline{v_1}$ અને $\overline{r} = \overline{a_2} + \mu \overline{v_2}$ ત્યારે જ છેદે જો તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $0$ હોય.
છેદન માટેની શરત $(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{v_1} \times \overline{v_2}) = 0$ છે.
અહીં,$\overline{a_1} = \overline{a}$,$\overline{v_1} = \overline{b} \times \overline{c}$,$\overline{a_2} = \overline{c}$,અને $\overline{v_2} = \overline{a} \times \overline{b}$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા: $(\overline{c} - \overline{a}) \cdot ((\overline{b} \times \overline{c}) \times (\overline{a} \times \overline{b})) = 0$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $(\overline{x} \times \overline{y}) \times \overline{z} = (\overline{x} \cdot \overline{z})\overline{y} - (\overline{y} \cdot \overline{z})\overline{x}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(\overline{b} \times \overline{c}) \times (\overline{a} \times \overline{b})$ ને સરળ બનાવીએ.
ધારો કે $\overline{d} = \overline{a} \times \overline{b}$. તો $(\overline{b} \times \overline{c}) \times \overline{d} = (\overline{b} \cdot \overline{d})\overline{c} - (\overline{c} \cdot \overline{d})\overline{b}$.
કારણ કે $\overline{d} = \overline{a} \times \overline{b}$,$\overline{b} \cdot \overline{d} = 0$ અને $\overline{c} \cdot \overline{d} = [\overline{c} \overline{a} \overline{b}] = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$ થાય.
આમ,સદિશ ગુણાકાર $-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] \overline{b}$ મળે છે.
શરત $(\overline{c} - \overline{a}) \cdot (-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] \overline{b}) = 0$ બને છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] (\overline{c} \cdot \overline{b} - \overline{a} \cdot \overline{b}) = 0$.
આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જો $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 0$ હોય.

(C) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એક જ સમતલમાં હોય જો અને તો જ તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = m \hat{i} + m \hat{j} + n \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 0 \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = n \hat{i} + n \hat{j} + p \hat{k}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} m & m & n \\ 1 & 0 & 1 \\ n & n & p \end{vmatrix} = 0$.
બીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-1 \begin{vmatrix} m & n \\ n & p \end{vmatrix} + 0 - 1 \begin{vmatrix} m & m \\ n & n \end{vmatrix} = 0$.
$-1(mp - n^2) - 1(mn - mn) = 0$.
$-(mp - n^2) - 0 = 0$.
$n^2 - mp = 0 \implies n^2 = mp$.
આ શરત સૂચવે છે કે $m, n, p$ એ $G$.$P$. (સમગુણોત્તર શ્રેણી) માં છે.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = 1$.
આપેલ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$|\bar{a}+\bar{b}|^2+|\bar{a}+\bar{c}|^2=8$
$(|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2+2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (|\bar{a}|^2+|\bar{c}|^2+2\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$
કારણ કે $|\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2 = |\bar{c}|^2 = 1$,તેથી:
$(1+1+2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (1+1+2\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$
$4 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) = 4$
$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 2$.
બે એકમ સદિશોના ડોટ પ્રોડક્ટનું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,બે ડોટ પ્રોડક્ટનો સરવાળો $2$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $\bar{a} \cdot \bar{b} = 1$ અને $\bar{a} \cdot \bar{c} = 1$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $\bar{a} = \bar{b} = \bar{c}$.
હવે,જરૂરી પદાવલિની ગણતરી કરતા:
$|\bar{a}+3\bar{b}|^2+|\bar{a}+3\bar{c}|^2 = |\bar{a}+3\bar{a}|^2+|\bar{a}+3\bar{a}|^2$
$= |4\bar{a}|^2 + |4\bar{a}|^2$
$= 16|\bar{a}|^2 + 16|\bar{a}|^2$
$= 16(1) + 16(1) = 32$.

(B) ત્રણ સદિશો સુરેખ રીતે આધારિત હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર શૂન્ય હોય.
ધારો કે સદિશો $\vec{a} = (p+1) \hat{i} - 3 \hat{j} + p \hat{k}$,$\vec{b} = p \hat{i} + (p+1) \hat{j} - 3 \hat{k}$,અને $\vec{c} = -3 \hat{i} + p \hat{j} + (p+1) \hat{k}$ છે.
સુરેખ આધારિતતા માટેની શરત $\det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0$ છે.
$\begin{vmatrix} p+1 & -3 & p \\ p & p+1 & -3 \\ -3 & p & p+1 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(p+1)((p+1)^2 + 3p) + 3(p(p+1) - 9) + p(p^2 + 3(p+1)) = 0$.
$(p+1)(p^2 + 2p + 1 + 3p) + 3(p^2 + p - 9) + p(p^2 + 3p + 3) = 0$.
$(p+1)(p^2 + 5p + 1) + 3p^2 + 3p - 27 + p^3 + 3p^2 + 3p = 0$.
$(p^3 + 5p^2 + p + p^2 + 5p + 1) + 6p^2 + 6p + p^3 - 27 = 0$.
$2p^3 + 12p^2 + 12p - 26 = 0$.
$p^3 + 6p^2 + 6p - 13 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$p=1$ એ બીજ છે કારણ કે $1 + 6 + 6 - 13 = 0$.
$(p-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(p-1)(p^2 + 7p + 13) = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $p^2 + 7p + 13 = 0$ નો વિવેચક $D = 49 - 4(13) = 49 - 52 = -3 < 0$ છે.
આમ,$p$ માટે માત્ર એક જ વાસ્તવિક પૂર્ણાંક મૂલ્ય છે,જે $p=1$ છે.
તેથી,$p$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(D) સદિશ $\bar{c}$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,આપણે $\bar{c} = x\bar{a} + y\bar{b}$ લખી શકીએ,જ્યાં $x$ અને $y$ અદિશ છે.
$\bar{c} = x(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + y(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (2x + y)\hat{i} + (x + 2y)\hat{j} + (x - y)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\bar{c} \perp \bar{a}$,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ થાય.
$(2x + y)(2) + (x + 2y)(1) + (x - y)(1) = 0$.
$4x + 2y + x + 2y + x - y = 0 \implies 6x + 3y = 0 \implies y = -2x$.
$\bar{c}$ ના સમીકરણમાં $y = -2x$ મૂકતા:
$\bar{c} = x(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 2x(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = x(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} - 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}) = x(-3\hat{j} + 3\hat{k}) = 3x(-\hat{j} + \hat{k})$.
જો $x = 1/3$ લઈએ,તો $\bar{c} = -\hat{j} + \hat{k}$ મળે. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a} = (\lambda x) \hat{i} + (y) \hat{j} + (4z) \hat{k}$,$\vec{b} = (y) \hat{i} + (x) \hat{j} + (3y) \hat{k}$,અને $\vec{c} = (-z) \hat{i} + (-2z) \hat{j} - (\lambda + 1) \hat{k}$ છે.
શરત $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ મુજબ ઘટકોનો સરવાળો કરતા:
$i$-ઘટક: $\lambda x + y - z = 0$ $(1)$
$j$-ઘટક: $y + x - 2z = 0$ $(2)$
$k$-ઘટક: $4z + 3y - (\lambda + 1) = 0$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$x + y = 2z$. આ કિંમતોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ મેળવતા $\lambda = 2$ મળે છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
$P$ એ $AC$ ને $3:4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{p} = \frac{4\vec{a} + 3\vec{c}}{7}$.
$Q$ એ $BC$ ને $4:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{q} = \frac{3\vec{b} + 4\vec{c}}{7}$.
$M$ એ $BP$ અને $AQ$ નું છેદબિંદુ છે. મેનેલાઉસના પ્રમેય મુજબ $\triangle ACQ$ માટે રેખા $B-M-P$ સાથે: $\frac{AM}{MQ} \cdot \frac{QB}{BC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$.
અહીં $BQ:QC = 4:3$,તેથી $QB:BC = 4:7$.
અને $AP:PC = 3:4$,તેથી $CP:PA = 4:3$.
તેથી,$\frac{AM}{MQ} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{3} = 1$.
$\frac{AM}{MQ} \cdot \frac{16}{21} = 1 \implies \frac{AM}{MQ} = \frac{21}{16}$.
આમ,$M$ એ $AQ$ ને $21:16$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

(A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ એ બે ત્રિકોણ,$\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ ના ક્ષેત્રફળના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{a} \times (3\bar{a} + 2\bar{b})| = \frac{1}{2} |3(\bar{a} \times \bar{a}) + 2(\bar{a} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |0 + 2(\bar{a} \times \bar{b})| = |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{AD} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{b} \times (3\bar{a} + 2\bar{b})| = \frac{1}{2} |3(\bar{b} \times \bar{a}) + 2(\bar{b} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |-3(\bar{a} \times \bar{b}) + 0| = \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= |\bar{a} \times \bar{b}| + \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| = \frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}|$ છે.
આપેલ છે કે ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળના $\alpha$ ગણું છે,તેથી $\frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| = \alpha |\bar{a} \times \bar{b}|$.
તેથી,$\alpha = \frac{5}{2} = 2.5$.

(C) ધારો કે $\vec{a} = 4\hat{i}+7\hat{j}+8\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{i}+5\hat{j}+7\hat{k}$.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle B$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $AC$ ને $BA : BC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
લંબાઈ $BA$ અને $BC$ ની ગણતરી કરો:
$BA = |\vec{a} - \vec{b}| = |2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}| = \sqrt{4+16+16} = 6$.
$BC = |\vec{c} - \vec{b}| = |0\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}| = \sqrt{0+4+9} = \sqrt{13}$.
બિંદુ $D$ એ $AC$ ને $6 : \sqrt{13}$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,સ્થાન સદિશ $\vec{d} = \frac{6\vec{c} + \sqrt{13}\vec{a}}{6+\sqrt{13}}$ મળે છે.
$\vec{d} = \frac{(12+4\sqrt{13})\hat{i} + (30+7\sqrt{13})\hat{j} + (42+8\sqrt{13})\hat{k}}{6+\sqrt{13}}$.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$(1)$ $\bar{c} = 5\bar{a} + 6\bar{b}$
$(2)$ $3\bar{c} = \bar{a} - 4\bar{b}$
સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$3\bar{c} = 15\bar{a} + 18\bar{b}$
હવે,આને સમીકરણ $(2)$ સાથે સરખાવતા:
$15\bar{a} + 18\bar{b} = \bar{a} - 4\bar{b}$
$14\bar{a} = -22\bar{b}$
$\bar{a} = -\frac{11}{7}\bar{b}$
અહીં $\bar{a}$ એ $\bar{b}$ નો ઋણ અદિશ ગુણાંક હોવાથી,$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ સમરેખ છે અને વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
$\bar{a} = -\frac{11}{7}\bar{b}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\bar{c} = 5(-\frac{11}{7}\bar{b}) + 6\bar{b} = -\frac{55}{7}\bar{b} + \frac{42}{7}\bar{b} = -\frac{13}{7}\bar{b}$
$\bar{c}$ પણ $\bar{b}$ નો ઋણ અદિશ ગુણાંક હોવાથી,$\bar{c}$ અને $\bar{b}$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
$\bar{a} = -\frac{11}{7}\bar{b}$ અને $\bar{c} = -\frac{13}{7}\bar{b}$ હોવાથી,$\bar{a} = \frac{11}{13}\bar{c}$ મળે.
$\bar{a}$ એ $\bar{c}$ નો ધન અદિશ ગુણાંક હોવાથી,$\bar{a}$ અને $\bar{c}$ એક જ દિશામાં છે.
આમ,$\bar{a}$ અને $\bar{c}$ એક જ દિશામાં છે,જ્યારે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(B) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ બે ત્રિકોણ $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ ના ક્ષેત્રફળના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{a} \times (2\bar{a} + 3\bar{b})| = \frac{1}{2} |2(\bar{a} \times \bar{a}) + 3(\bar{a} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |0 + 3(\bar{a} \times \bar{b})| = \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{AD} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{b} \times (2\bar{a} + 3\bar{b})| = \frac{1}{2} |2(\bar{b} \times \bar{a}) + 3(\bar{b} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |-2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0| = |\bar{a} \times \bar{b}|$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| + |\bar{a} \times \bar{b}| = \frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$AB$ અને $AD$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}|$ છે.
આપેલ છે કે ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળના $\alpha$ ગણું છે,તેથી $\frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| = \alpha |\bar{a} \times \bar{b}|$.
આમ,$\alpha = \frac{5}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\overline{u}$ ની દિશામાં $\overline{v}$ નો પ્રક્ષેપ = $\overline{u}$ ની દિશામાં $\overline{w}$ નો પ્રક્ષેપ.
તેથી,$\frac{\overline{v} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|} = \frac{\overline{w} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|}$.
$|\overline{u}|=1$ હોવાથી,$\overline{v} \cdot \overline{u} = \overline{w} \cdot \overline{u}$ મળે,એટલે કે $(\overline{v}-\overline{w}) \cdot \overline{u} = 0$.
વળી,$\overline{v} \perp \overline{w}$ હોવાથી,$\overline{v} \cdot \overline{w} = 0$.
હવે,$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = (\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}) \cdot (\overline{u}-\overline{v}+\overline{w})$.
વિસ્તરણ કરતા:
$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = |\overline{u}|^2 + |\overline{v}|^2 + |\overline{w}|^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v}) + 2(\overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(\overline{v} \cdot \overline{w})$.
કિંમતો મુકતા:
$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v} - \overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(0)$.
$\overline{u} \cdot \overline{v} = \overline{u} \cdot \overline{w}$ હોવાથી,તે પદ શૂન્ય થશે.
તેથી,$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
આમ,$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}| = \sqrt{14}$.

(D) આપેલ છે કે $\bar{c} = (2 \bar{a} \times \bar{b}) - 3 \bar{b}$.
$\bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos \theta = \frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{|\bar{b}| |\bar{c}|}$.
પ્રથમ,$\bar{b} \cdot \bar{c} = \bar{b} \cdot (2 \bar{a} \times \bar{b} - 3 \bar{b}) = 2 \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) - 3 |\bar{b}|^2$ ગણો.
કારણ કે $\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 0$ (કારણ કે ક્રોસ પ્રોડક્ટ બંને સદિશોને લંબ હોય છે),તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0 - 3(4)^2 = -48$.
આગળ,$|\bar{c}|^2 = |2(\bar{a} \times \bar{b}) - 3 \bar{b}|^2 = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9|\bar{b}|^2 - 12 \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9(16) - 0$ ગણો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 - (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$.
તેથી,$|\bar{c}|^2 = 4(12) + 144 = 48 + 144 = 192$,જેનો અર્થ છે કે $|\bar{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.
હવે,$\cos \theta = \frac{-48}{4 \times 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

(B) ધારો કે $\bar{v} = (2 \bar{a} - \bar{b}) \cdot [(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a} + 2 \bar{b})]$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ નિત્યસમ $(\bar{x} \times \bar{y}) \times \bar{z} = (\bar{x} \cdot \bar{z}) \bar{y} - (\bar{y} \cdot \bar{z}) \bar{x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a} + 2 \bar{b}) = (\bar{a} \cdot (\bar{a} + 2 \bar{b})) \bar{b} - (\bar{b} \cdot (\bar{a} + 2 \bar{b})) \bar{a}$.
અહીં $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે $(|\bar{a}| = 1, |\bar{b}| = 1)$,ધારો કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = \cos \theta$.
તેથી $\bar{a} \cdot \bar{a} = 1$ અને $\bar{b} \cdot \bar{b} = 1$.
આમ,$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a} + 2 \bar{b}) = (1 + 2 \cos \theta) \bar{b} - (\cos \theta + 2) \bar{a}$.
હવે,$(2 \bar{a} - \bar{b}) \cdot [(1 + 2 \cos \theta) \bar{b} - (\cos \theta + 2) \bar{a}] = 2(1 + 2 \cos \theta)(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 2(\cos \theta + 2)(\bar{a} \cdot \bar{a}) - (1 + 2 \cos \theta)(\bar{b} \cdot \bar{b}) + (\cos \theta + 2)(\bar{b} \cdot \bar{a})$.
$= 2(1 + 2 \cos \theta) \cos \theta - 2(\cos \theta + 2) - (1 + 2 \cos \theta) + (\cos \theta + 2) \cos \theta$.
$= 2 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta - 2 \cos \theta - 4 - 1 - 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + 2 \cos \theta$.
$= 5 \cos^2 \theta - 5 = 5(\cos^2 \theta - 1) = -5 \sin^2 \theta$.
આપેલ છે કે $\bar{a} = \frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i} + \hat{k})$ અને $\bar{b} = \frac{1}{7}(2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k})$,તેથી $\cos \theta = \bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(6 + 0 - 6) = 0$.
આમ,$\sin^2 \theta = 1 - 0^2 = 1$.
તેથી કિંમત $-5(1) = -5$ થાય.