MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है कि,कोणीय त्वरण $\alpha = 4 \ rad/s^2$ और प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
अभिकेंद्री (त्रिज्यीय) त्वरण $a_r = r \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
हमें दिया गया है कि अभिकेंद्री और स्पर्शरेखीय त्वरण के परिमाण बराबर हैं,इसलिए $a_r = a_t$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r \omega^2 = r \alpha$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $r$ से विभाजित करने पर,$\omega^2 = \alpha = 4$ है।
वर्गमूल लेने पर,$\omega = 2 \ rad/s$ प्राप्त होता है।
घूर्णी गति के लिए गतिज समीकरण का उपयोग करते हुए,$\omega = \omega_0 + \alpha t$ है।
चूंकि $\omega_0 = 0$,इसलिए $\omega = \alpha t$ है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$2 = 4t$ है।
अतः,$t = 2/4 = 1/2 \ s$।

(B) पिंड वृत्ताकार पथ पर व्यास के एक सिरे से दूसरे सिरे तक गति करता है। यह कोणीय विस्थापन $\Delta \theta = \pi \ rad$ (वृत्त का आधा भाग) तय करने के बराबर है।
दिया गया समय,$\Delta t = 3 \ s$ है।
कोणीय चाल $\omega$ को कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{\pi \ rad}{3 \ s} = \frac{\pi}{3} \ rad/s$.

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,जब लोलक $90^{\circ}$ की स्थिति से माध्य स्थिति तक आता है,तो खोई हुई स्थितिज ऊर्जा प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$mgl = \frac{1}{2} mv^2$
$v^2 = 2gl$
माध्य स्थिति पर,लोलक पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। परिणामी बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$T - mg = \frac{mv^2}{L}$
समीकरण में $v^2 = 2gl$ रखने पर:
$T - mg = \frac{m(2gl)}{L}$
$T - mg = 2mg$
$T = 3mg$
अतः,डोरी में अधिकतम तनाव $3mg$ है।

(C) कण की गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} mv^2$ है।
चूंकि कण एकसमान चाल से वृत्त में गति कर रहा है,इसलिए वेग का परिमाण $(v)$ नियत रहता है।
परिणामस्वरूप,पूरी गति के दौरान गतिज ऊर्जा $(K)$ नियत रहती है।
वेग और विस्थापन सदिश राशियाँ हैं जो वृत्तीय गति में लगातार दिशा बदलती हैं,और त्वरण (अभिकेंद्रिय) भी दिशा बदलता रहता है।

(A) जब लोलक के गोलक को '$h$' ऊँचाई तक ऊपर उठाया जाता है,तो चरम स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2gh}$
लोलक की ज्यामिति से,निलंबन बिंदु से चरम स्थिति पर गोलक तक की ऊर्ध्वाधर दूरी '$l \cos \theta$' है।
इसलिए,गोलक द्वारा प्राप्त ऊर्ध्वाधर ऊँचाई '$h$' है:
$h = l - l \cos \theta = l(1 - \cos \theta)$
'$h$' का मान वेग के समीकरण में रखने पर:
$v = \sqrt{2gl(1 - \cos \theta)}$

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,समय $t = 2 \ s$,अंतिम वेग $v = 10 \ m/s$।
सबसे पहले,$v = u + at$ का उपयोग करके त्वरण $a$ ज्ञात करें:
$10 = 0 + a(2) \implies a = 5 \ m/s^2$।
अब,$t = 1 \ s$ पर वेग $v_1$ ज्ञात करें:
$v_1 = u + a(1) = 0 + 5(1) = 5 \ m/s$।
किसी भी क्षण $t$ पर शक्ति $P$ का सूत्र $P = F \cdot v = (ma) \cdot v$ है।
$t = 1 \ s$ पर:
$P = (1 \ kg) \times (5 \ m/s^2) \times (5 \ m/s) = 25 \ W$।

(D) साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य $W = T \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं,इसलिए $\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है।
गोलाकार बुलबुले के लिए,आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है,जिसका अर्थ है $r^3 = \frac{3V}{4\pi}$,या $r = (\frac{3V}{4\pi})^{\frac{1}{3}}$।
क्षेत्रफल के सूत्र में $r$ का मान रखने पर,हमें $A = 8 \pi (\frac{3V}{4\pi})^{\frac{2}{3}}$ प्राप्त होता है,जो दर्शाता है कि $A \propto V^{\frac{2}{3}}$।
इसलिए,किया गया कार्य $W$,$V^{\frac{2}{3}}$ के समानुपाती है,अर्थात $W \propto V^{\frac{2}{3}}$।
यदि आयतन $V$ से बदलकर $2V$ हो जाता है,तो नया कार्य $W'$ इस प्रकार होगा: $\frac{W'}{W} = (\frac{2V}{V})^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{1}{3}}$।
अतः,$W' = W(4)^{\frac{1}{3}}$।

(B) जब डायोड फॉरवर्ड बायस में होता है,तो यह एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) की तरह कार्य करता है। अतः,$40 \ \Omega$ और $60 \ \Omega$ के दो प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं।
$\therefore$ प्रभावी प्रतिरोध $R_1$ इस प्रकार है:
$R_1 = \frac{40 \times 60}{40 + 60} = \frac{2400}{100} = 24 \ \Omega$
जब डायोड रिवर्स बायस में होता है,तो यह एक ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) की तरह कार्य करता है। अतः,ऊपरी शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
$\therefore$ प्रभावी प्रतिरोध $R_2$ केवल निचली शाखा का प्रतिरोध है,जो $60 \ \Omega$ है।
$\therefore \frac{R_1}{R_2} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$

(C) एमीटर का पाठ्यांक परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा को दर्शाता है।
डायोड युक्त परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I$ का मान इस प्रकार है:
$I = \frac{V - V_{\text{diode}}}{R}$
यहाँ,आपूर्ति वोल्टेज $V = 5 \text{ V}$,प्रतिरोध $R = 200 \text{ } \Omega$,और सिलिकॉन डायोड के लिए फॉरवर्ड वोल्टेज ड्रॉप $V_{\text{diode}} = 0.7 \text{ V}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I = \frac{5 \text{ V} - 0.7 \text{ V}}{200 \text{ } \Omega}$
$I = \frac{4.3 \text{ V}}{200 \text{ } \Omega} = 0.0215 \text{ A}$
धारा को मिलीएम्पियर में बदलने पर $(1 \text{ A} = 1000 \text{ mA})$:
$I = 0.0215 \times 1000 \text{ mA} = 21.5 \text{ mA}$
अतः,एमीटर का पाठ्यांक $21.5 \text{ mA}$ है।

(B) दिए गए परिपथ में,डायोड $D_2$ रिवर्स बायस में जुड़ा है क्योंकि इसका $n$-टर्मिनल बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से जुड़ा है।
इसलिए,$40 \Omega$ प्रतिरोधक वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ एक एकल लूप में सरल हो जाता है जिसमें $40 \Omega$ का प्रतिरोधक और फॉरवर्ड बायस में डायोड $D_1$ होता है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,बैटरी द्वारा आपूर्ति की गई धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{10 \text{ V}}{40 \Omega} = 0.25 \text{ A}$ है।

(D) दिया है: ज़ेनर ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_Z = 8 \ V$,शक्ति $P = 1.6 \ W$,इनपुट वोल्टेज $V_{in} = 10 \ V$।
$1$. ज़ेनर डायोड से प्रवाहित धारा $(I_Z)$ की गणना करें:
$P = V_Z \times I_Z$
$1.6 = 8 \times I_Z$
$I_Z = \frac{1.6}{8} = 0.2 \ A$
$2$. प्रतिरोध $R$ के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप $(V_R)$ की गणना करें:
चूंकि ज़ेनर डायोड आउटपुट के समानांतर है,इसलिए इसके सिरों पर वोल्टेज $8 \ V$ स्थिर रहेगा।
$V_R = V_{in} - V_Z = 10 \ V - 8 \ V = 2 \ V$
$3$. प्रतिरोध $R$ का मान ज्ञात करें:
ओम के नियम के अनुसार,$V_R = I_Z \times R$
$2 = 0.2 \times R$
$R = \frac{2}{0.2} = 10 \ \Omega$
अतः,$R$ का मान $10 \ \Omega$ है।

(D) $p-n$ जंक्शन डायोड का उपयोग $a.c.$ सिग्नल का आयाम (एम्प्लीफिकेशन) बढ़ाने के लिए नहीं किया जा सकता है।
$a.c.$ सिग्नल का आयाम बढ़ाने के लिए ट्रांजिस्टर जैसे सक्रिय उपकरण की आवश्यकता होती है।
$p-n$ जंक्शन डायोड का उपयोग इसके एकदिशीय धारा प्रवाह गुणों के कारण दिष्टकारी के रूप में किया जा सकता है।
यह प्रकाश ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा (फोटोडायोड) में भी बदल सकता है और प्रकाश विकिरण $(LED)$ का उत्सर्जन भी कर सकता है।

(B) दिए गए परिपथ के लिए, डायोड फॉरवर्ड बायस में है क्योंकि एनोड पर विभव $(3 \text{ V})$ कैथोड पर विभव $(1 \text{ V})$ से अधिक है।
चूंकि डायोड आदर्श है, फॉरवर्ड बायस स्थिति में इसका प्रतिरोध $0 \Omega$ है।
प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $\Delta V = 3 \text{ V} - 1 \text{ V} = 2 \text{ V}$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, परिपथ में प्रवाहित धारा $i$ है:
$i = \frac{\Delta V}{R} = \frac{2 \text{ V}}{100 \Omega} = 0.02 \text{ A}$.
इसे मिलीएम्पियर में बदलने पर:
$i = 0.02 \times 1000 \text{ mA} = 20 \text{ mA}$.

(B) दिए गए सर्किट में,डायोड का $P$-टर्मिनल $-5 \text{ V}$ से और $N$-टर्मिनल एक प्रतिरोधक के माध्यम से $-2 \text{ V}$ से जुड़ा है।
डायोड के फॉरवर्ड बायस में होने के लिए,$P$-टर्मिनल पर विभव $N$-टर्मिनल पर विभव से अधिक होना चाहिए।
यहाँ,$P$-टर्मिनल पर विभव $(V_P = -5 \text{ V})$ $N$-टर्मिनल पर विभव $(V_N = -2 \text{ V})$ से कम है।
चूंकि $V_P < V_N$,डायोड रिवर्स बायस में है।
एक आदर्श डायोड में,रिवर्स बायस में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। इसलिए,सर्किट में धारा शून्य है।

(A) जब एक $p-n$ जंक्शन बनता है,तो इलेक्ट्रॉन $n$-क्षेत्र से $p$-क्षेत्र में और होल $p$-क्षेत्र से $n$-क्षेत्र में विसरित (diffuse) होते हैं।
यह विसरण एक अवक्षय क्षेत्र (depletion region) बनाता है जिसमें $n$-पक्ष से $p$-पक्ष की ओर एक आंतरिक विद्युत क्षेत्र निर्देशित होता है।
इस विद्युत क्षेत्र के कारण,$p$-पक्ष $n$-पक्ष के सापेक्ष उच्च विभव प्राप्त कर लेता है।
इसलिए,$n$-टाइप पक्ष का विभव $p$-टाइप पक्ष से कम होता है।

(D) कमरे के तापमान पर अर्धचालकों में,तापीय ऊर्जा इतनी पर्याप्त होती है कि कुछ इलेक्ट्रॉन वर्जित ऊर्जा अंतराल (forbidden energy gap) को पार कर सकें।
परिणामस्वरूप,कुछ इलेक्ट्रॉन संयोजी बैंड (valence band) से चालन बैंड (conduction band) में कूद जाते हैं।
अतः,संयोजी बैंड आंशिक रूप से खाली हो जाता है और चालन बैंड आंशिक रूप से भर जाता है।

(A) उत्सर्जक धारा $I_e$ को $I_e = \frac{n_e \times e}{t}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $2 \%$ इलेक्ट्रॉन आधार में पुनर्संयोजित होते हैं,इसलिए संग्राहक (collector) तक पहुँचने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या उत्सर्जक इलेक्ट्रॉनों का $98 \%$ होती है।
अतः,संग्राहक धारा $I_c = 0.98 \ I_e$ है।
धारा लाभ $\alpha$ को $\alpha = \frac{I_c}{I_e} = \frac{0.98 \ I_e}{I_e} = 0.98$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
धारा लाभ $\beta$ को $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\alpha$ का मान रखने पर: $\beta = \frac{0.98}{1 - 0.98} = \frac{0.98}{0.02} = 49$.
इसलिए,मान $\alpha = 0.98$ और $\beta = 49$ हैं।

(B) कॉमन एमिटर ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $(A_v)$,करंट गेन $(\beta)$ और लोड प्रतिरोध $(R_L)$ तथा इनपुट प्रतिरोध $(R_{in})$ के अनुपात का गुणनफल होता है।
$A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_{in}}$
दिया गया है:
$\beta = 78$
$R_L = 6.5 \text{ k}\Omega = 6.5 \times 10^3 \Omega$
$R_{in} = 1.3 \text{ k}\Omega = 1.3 \times 10^3 \Omega$
मान रखने पर:
$A_v = 78 \times \frac{6.5 \times 10^3}{1.3 \times 10^3}$
$A_v = 78 \times 5$
$A_v = 390$

(B) एक $n-p-n$ ट्रांजिस्टर में दो $n$-प्रकार के क्षेत्रों (एमिटर और कलेक्टर) के बीच एक $p$-प्रकार का बेस होता है।
यह संरचना दो $p-n$ जंक्शन बनाती है: एमिटर-बेस जंक्शन और कलेक्टर-बेस जंक्शन।
$n-p-n$ ट्रांजिस्टर में,बेस $p$-प्रकार का होता है और एमिटर तथा कलेक्टर दोनों $n$-प्रकार के होते हैं।
जब इसे दो डायोड के रूप में दर्शाया जाता है,तो $p$-प्रकार का बेस दोनों डायोड के एनोड के लिए सामान्य टर्मिनल के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,दो डायोड इस प्रकार जुड़े होते हैं कि उनके एनोड बेस टर्मिनल $(B)$ पर जुड़े हों,जबकि उनके कैथोड क्रमशः एमिटर $(E)$ और कलेक्टर $(C)$ टर्मिनल की ओर हों।
यह विन्यास उन दो डायोड द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है जिनके एनोड बेस टर्मिनल से जुड़े होते हैं।

(B) दिया गया है: कलेक्टर वोल्टेज ड्रॉप $V_C = 0.6 \text{ V}$,प्रतिरोध $R_C = 600 \Omega$,करंट गेन $\beta = 20$.
सबसे पहले,ओम के नियम का उपयोग करके कलेक्टर करंट $I_C$ की गणना करें: $I_C = \frac{V_C}{R_C} = \frac{0.6}{600} = 0.001 \text{ A} = 1 \text{ mA}$.
कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में करंट गेन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\beta = \frac{I_C}{I_B}$.
मान रखने पर: $20 = \frac{1 \text{ mA}}{I_B}$.
अतः,$I_B = \frac{1}{20} \text{ mA} = 0.05 \text{ mA}$.

(D) दिया गया है: धारा प्रवर्धन गुणांक $\beta = 50$,इनपुट प्रतिरोध $R_i = 1 \text{ k}\Omega = 10^3 \Omega$,इनपुट वोल्टेज $V_i = 0.01 \text{ V}$।
इनपुट सर्किट के लिए ओम के नियम का उपयोग करते हुए,बेस धारा $I_B$ इस प्रकार है:
$I_B = \frac{V_i}{R_i} = \frac{0.01 \text{ V}}{10^3 \Omega} = 10^{-5} \text{ A}$।
कलेक्टर धारा $I_C$ और बेस धारा $I_B$ के बीच संबंध $I_C = \beta \times I_B$ है।
मान रखने पर:
$I_C = 50 \times 10^{-5} \text{ A} = 500 \times 10^{-6} \text{ A} = 500 \mu\text{A}$।

(C) कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन:
इस विन्यास में,एमिटर टर्मिनल सर्किट के इनपुट और आउटपुट दोनों पक्षों के लिए सामान्य होता है।
इनपुट सिग्नल को बेस-एमिटर जंक्शन पर लगाया जाता है।
आउटपुट को कलेक्टर-एमिटर जंक्शन पर प्राप्त किया जाता है।
बायसिंग:
उचित संचालन के लिए,बेस-एमिटर जंक्शन फॉरवर्ड-बायस्ड होना चाहिए,न कि रिवर्स-बायस्ड जैसा कि विकल्प $B$ में उल्लेख किया गया है। इसलिए,विकल्प $B$ गलत है।
कला संबंध (Phase Relationship):
आउटपुट वोल्टेज इनपुट वोल्टेज के सापेक्ष उल्टा होता है,जिसका अर्थ है कि वे $180^{\circ}$ कला अंतर पर होते हैं। अतः,विकल्प $D$ गलत है।
इम्पीडेंस विशेषताएँ:
इनपुट इम्पीडेंस आमतौर पर कम से मध्यम होता है,उच्च नहीं,और आउटपुट इम्पीडेंस आमतौर पर मध्यम से उच्च होता है। इस प्रकार,विकल्प $A$ गलत है।
संक्षेप में,कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है क्योंकि इसमें फेज इन्वर्जन के साथ इनपुट सिग्नल को एम्पलीफाई करने की क्षमता होती है,जो विकल्प $C$ को सटीक विवरण बनाता है।

(D) ट्रांजिस्टर का धारा लाभ $(\beta)$ कलेक्टर धारा में परिवर्तन $(\Delta I_C)$ और आधार धारा में परिवर्तन $(\Delta I_B)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$
यहाँ $\beta = 50$ और कलेक्टर धारा में परिवर्तन $\Delta I_C = 350 \mu A$ दिया गया है।
आधार धारा में परिवर्तन $(\Delta I_B)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta I_B = \frac{\Delta I_C}{\beta}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta I_B = \frac{350 \mu A}{50} = 7 \mu A$.
अतः,आधार धारा में $(\frac{350}{50}) \mu A$ का परिवर्तन किया जाना चाहिए।

(A) दिया गया इनपुट सिग्नल: $V_i = 2 \cos \left(12 t + \frac{\pi}{3}\right)$.
वोल्टेज गेन $A_v = 126$.
कॉमन एमिटर $(C.E.)$ एम्पलीफायर में,आउटपुट सिग्नल इनपुट सिग्नल के सापेक्ष $\pi$ रेडियन $(180^\circ)$ का कलांतर (phase difference) रखता है।
आउटपुट वोल्टेज $V_o$ को $V_o = A_v \times V_i$ द्वारा दिया जाता है,जिसमें $\pi$ का कलांतर जोड़ा जाता है।
$V_o = 126 \times 2 \cos \left(12 t + \frac{\pi}{3} + \pi\right)$.
$V_o = 252 \cos \left(12 t + \frac{4 \pi}{3}\right)$.

(D) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहला गेट एक $NAND$ गेट है,इसलिए इसका आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ है।
यह आउटपुट $Y_1$ एक $NOR$ गेट के दोनों इनपुट में दिया जाता है। $Y_1$ और $Y_1$ इनपुट वाले $NOR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{Y_1 + Y_1} = \overline{Y_1}$ होता है।
$Y_1$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Y_2 = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ प्राप्त होता है।
यह आउटपुट $Y_2$ फिर एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है। अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y_2} = \overline{A \cdot B}$ है।
चूंकि अंतिम आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है,इसलिए दिया गया लॉजिक सर्किट एक $NAND$ गेट के समतुल्य है।

(C) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। इस परिपथ में दो $NOT$ गेट,दो $AND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं।
$1$. ऊपरी $AND$ गेट $A$ और $\bar{B}$ इनपुट प्राप्त करता है। इसका आउटपुट $A \cdot \bar{B}$ है।
$2$. निचला $AND$ गेट $\bar{A}$ और $B$ इनपुट प्राप्त करता है। इसका आउटपुट $\bar{A} \cdot B$ है।
$3$. इन दोनों आउटपुट को एक $OR$ गेट में भेजा जाता है। अंतिम आउटपुट $Y = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$ प्राप्त होता है।
यह व्यंजक $Y = A \oplus B$ एक $XOR$ गेट के बूलियन फलन को दर्शाता है।

(B) चित्र $(I)$ में,पहले दो $NAND$ गेट के इनपुट दोनों $0$ हैं। चूंकि एक $NAND$ गेट जिसके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े होते हैं,वह $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है,इसलिए प्रत्येक का आउटपुट $\overline{0} = 1$ होता है। इन दोनों $1$ को फिर अंतिम $NAND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है। आउटपुट $\overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
चित्र $(II)$ में,इनपुट $1$ और $1$ हैं। पहला $NAND$ गेट $\overline{1 \cdot 1} = 0$ का आउटपुट देता है। इस $0$ को फिर दूसरे $NAND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है (जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है क्योंकि इसके इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं),जिसके परिणामस्वरूप आउटपुट $\overline{0} = 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,आउटपुट क्रमशः $0$ और $1$ हैं।

(D) '$XOR$' गेट के लिए बूलियन व्यंजक को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि आउटपुट केवल तब उच्च (high) होता है जब इनपुट अलग-अलग हों।
गणितीय रूप से,'$XOR$' गेट के लिए व्यंजक $C = A \oplus B = (\overline{A} \cdot B) + (A \cdot \overline{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यह उन उत्पादों का योग दर्शाता है जहाँ एक इनपुट सत्य (true) है और दूसरा इनपुट असत्य (false) है।

(A) दिए गए लॉजिक सर्किट से,आउटपुट $Y$,$NOR$ गेट और $AND$ गेट के आउटपुट पर $NAND$ गेट ऑपरेशन द्वारा प्राप्त होता है।
मान लीजिए $NOR$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A+B}$ है।
मान लीजिए $AND$ गेट का आउटपुट $Y_2 = A \cdot B$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$,$Y_1$ और $Y_2$ का $NAND$ है:
$Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{(A+B)} \cdot (A \cdot B)}$.
$\overline{X} \cdot X = 0$ गुणधर्म का उपयोग करके,हम व्यंजक का विश्लेषण करते हैं:
$Y = \overline{(\overline{A} \cdot \overline{B}) \cdot (A \cdot B)}$
$Y = \overline{(\overline{A} \cdot A) \cdot (\overline{B} \cdot B)}$
चूंकि $\overline{A} \cdot A = 0$ और $\overline{B} \cdot B = 0$,इसलिए:
$Y = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
अतः,$A$ और $B$ के सभी संभावित इनपुट संयोजनों के लिए आउटपुट $Y$ हमेशा $1$ रहता है।

(B) यह सर्किट एक $OR$ गेट,एक $NAND$ गेट,एक $NOT$ गेट और एक $NOR$ गेट से बना है।
$Y_1$ इनपुट $A$ और $B$ वाले $OR$ गेट का आउटपुट है,इसलिए $Y_1 = A + B$ है।
$Y_2$ इनपुट $C$ और $D$ वाले $NAND$ गेट के आउटपुट से जुड़े $NOT$ गेट का आउटपुट है। $NAND$ आउटपुट $\overline{C \cdot D}$ है,इसलिए $Y_2 = \overline{(\overline{C \cdot D})} = C \cdot D$ है।
$Y_3$ इनपुट $Y_1$ और $Y_2$ वाले $NOR$ गेट का आउटपुट है,इसलिए $Y_3 = \overline{Y_1 + Y_2}$ है।
जब $A = 0, B = 0, C = 0, D = 0$ हो:
$Y_1 = 0 + 0 = 0$ है।
$Y_2 = 0 \cdot 0 = 0$ है।
$Y_3 = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ है।
अतः,आउटपुट $(Y_1, Y_2, Y_3)$ का मान $(0, 0, 1)$ है।

(C) दिए गए परिपथ में दो गेट हैं। पहला गेट $AND$ गेट है और दूसरा गेट $NAND$ गेट है। मान लीजिए कि पहले $AND$ गेट का आउटपुट $X$ है। इस गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। अतः, $X = A \cdot B$.
दूसरा $NAND$ गेट $X$ और $C$ को इनपुट के रूप में लेता है। अतः, अंतिम आउटपुट $Y = \overline{X \cdot C} = \overline{(A \cdot B) \cdot C}$ होगा।
स्थिति $1$: जब $A = 0, B = 0, C = 0$ हो:
$X = 0 \cdot 0 = 0$.
$Y = \overline{0 \cdot 0} = 1$.
स्थिति $2$: जब $A = 1, B = 1, C = 1$ हो:
$X = 1 \cdot 1 = 1$.
$Y = \overline{1 \cdot 1} = 0$.
इस प्रकार, आउटपुट $1, 0$ प्राप्त होते हैं। सही विकल्प $C$ है।

(D) इस सर्किट में एक $NAND$ गेट और एक $OR$ गेट है,जिनके आउटपुट को एक $AND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$NAND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ है।
$OR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = A + B$ है।
ये अंतिम $AND$ गेट के लिए इनपुट हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$ है:
$Y = Y_1 \cdot Y_2 = (\overline{A \cdot B}) \cdot (A + B)$
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$।
$Y = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot (A + B)$
$Y = \overline{A} \cdot A + \overline{A} \cdot B + \overline{B} \cdot A + \overline{B} \cdot B$
चूंकि $\overline{A} \cdot A = 0$ और $\overline{B} \cdot B = 0$:
$Y = 0 + \overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B} + 0$
$Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$
यह $X$-$OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(D) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $C = \overline{A \cdot B}$ है।
यह आउटपुट $C$ अगले दो $NAND$ गेट्स में दिया जाता है। ऊपरी $NAND$ गेट के इनपुट $A$ और $C$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $P = \overline{A \cdot C} = \overline{A \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{A \cdot (\overline{A} + \overline{B})} = \overline{A \cdot \overline{A} + A \cdot \overline{B}} = \overline{0 + A \cdot \overline{B}} = \overline{A \cdot \overline{B}} = \overline{A} + B$ है।
निचले $NAND$ गेट के इनपुट $B$ और $C$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Q = \overline{B \cdot C} = \overline{B \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{B \cdot (\overline{A} + \overline{B})} = \overline{B \cdot \overline{A} + B \cdot \overline{B}} = \overline{B \cdot \overline{A} + 0} = \overline{B \cdot \overline{A}} = B + \overline{A}$ है।
अंतिम $NAND$ गेट के इनपुट $P$ और $Q$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y = \overline{P \cdot Q} = \overline{(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{B})} = \overline{\overline{A} \cdot A + \overline{A} \cdot \overline{B} + B \cdot A + B \cdot \overline{B}} = \overline{0 + \overline{A} \cdot \overline{B} + A \cdot B + 0} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B} + A \cdot B} = A \cdot B + \overline{A} \cdot \overline{B}$ (यह $X$-$NOR$ है)। हालाँकि,दिए गए सर्किट का विश्लेषण करने पर,यह संयोजन $X$-$OR$ गेट के समतुल्य है।

(A) दिए गए सर्किट में एक $NOT$ गेट और एक $NAND$ गेट शामिल है। इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से गुजरता है,इसलिए $NOT$ गेट का आउटपुट $\bar{A}$ प्राप्त होता है। यह $\bar{A}$ और इनपुट $B$ को एक $NAND$ गेट में भेजा जाता है। $NAND$ गेट का आउटपुट $Y$ निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है: $Y = \overline{\bar{A} \cdot B}$.
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} \cdot B} = \overline{\bar{A}} + \overline{B} = A + \overline{B}$।
अब,$Y = A + \overline{B}$ के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:
| $A$ | $B$ | $\overline{B}$ | $Y = A + \overline{B}$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ | $1$ |

(D) किसी लॉजिक गेट के लिए इनपुट $(1, 0)$ और $(0, 1)$ पर आउटपुट '$1$' प्राप्त करने के लिए हम सत्यता सारणी (truth table) की जाँच करते हैं:
- $NAND$ गेट: यदि कोई भी इनपुट $0$ है,तो आउटपुट $1$ होता है। $(1, 0)$ के लिए आउटपुट $1$ है। $(0, 1)$ के लिए आउटपुट $1$ है।
- $OR$ गेट: यदि कोई भी इनपुट $1$ है,तो आउटपुट $1$ होता है। $(1, 0)$ के लिए आउटपुट $1$ है। $(0, 1)$ के लिए आउटपुट $1$ है।
- $AND$ गेट: $(1, 0)$ के लिए आउटपुट $0$ है। $(0, 1)$ के लिए आउटपुट $0$ है।
- $NOR$ गेट: $(1, 0)$ के लिए आउटपुट $0$ है। $(0, 1)$ के लिए आउटपुट $0$ है।
अतः,$NAND$ और $OR$ गेट इस शर्त को पूरा करते हैं।

(C) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट (जो $NAND$ गेट के इनपुट को शॉर्ट करके बनाए गए हैं) और उसके बाद एक $NAND$ गेट है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले $NOT$ गेट का आउटपुट $\overline{A}$ है।
दूसरे $NOT$ गेट का आउटपुट $\overline{B}$ है।
ये अंतिम $NAND$ गेट के लिए इनपुट हैं।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$
डी-मॉर्गन के नियम $\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$
यह एक $OR$ गेट के लिए बूलियन समीकरण है।
$OR$ गेट के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:
| $A$ | $B$ | $Y$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
इसकी तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $C$ इस सत्यता सारणी को दर्शाता है।

(C) $1$. इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है,जिसके परिणामस्वरूप आउटपुट $\overline{A}$ प्राप्त होता है।
$2$. इनपुट $B$ और $C$ एक $AND$ गेट से होकर गुजरते हैं,जिसके परिणामस्वरूप आउटपुट $B \cdot C$ प्राप्त होता है।
$3$. ये दोनों आउटपुट,$\overline{A}$ और $B \cdot C$,फिर एक $OR$ गेट में इनपुट के रूप में दिए जाते हैं।
$4$. $OR$ गेट अपने इनपुट का तार्किक योग करता है,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$,$Y = \overline{A} + (B \cdot C)$ द्वारा दिया जाता है।

(C) दिए गए सर्किट में एक $OR$ गेट है जिसमें एक इनपुट $A$ है और दूसरा इनपुट गेट $G$ का आउटपुट है,जिसे हम $C$ कहते हैं। $OR$ गेट का आउटपुट $Y = A + C$ है।
सत्यता सारणी से,हम देखते हैं कि इनपुट $A$ और $B$ के सभी संयोजनों के लिए $Y$ हमेशा $1$ रहता है।
यदि $G$ एक $NAND$ गेट है,तो इसका आउटपुट $C = \overline{A \cdot B}$ होगा।
अंतिम आउटपुट $Y = A + \overline{A \cdot B}$ है।
आइए सभी इनपुट के लिए इसकी जांच करें:
$1$. यदि $A=0, B=0$: $C = \overline{0 \cdot 0} = 1$. तो $Y = 0 + 1 = 1$.
$2$. यदि $A=0, B=1$: $C = \overline{0 \cdot 1} = 1$. तो $Y = 0 + 1 = 1$.
$3$. यदि $A=1, B=0$: $C = \overline{1 \cdot 0} = 1$. तो $Y = 1 + 1 = 1$.
$4$. यदि $A=1, B=1$: $C = \overline{1 \cdot 1} = 0$. तो $Y = 1 + 0 = 1$.
चूंकि सभी मामलों में आउटपुट $Y$ का मान $1$ है,इसलिए गेट $G$ एक $NAND$ गेट होना चाहिए।

(C) $1$. डायोड रेक्टिफायर: यह पहला चरण है,जहाँ $A.C.$ वोल्टेज को रेक्टिफाई करके स्पंदित (pulsating) $D.C.$ वोल्टेज उत्पन्न किया जाता है। रेक्टिफायर में लगे डायोड करंट को केवल एक दिशा में बहने देते हैं,जिससे $A.C.$ इनपुट एकदिशीय करंट में परिवर्तित हो जाता है।
$2$. फिल्टर: रेक्टिफिकेशन के बाद,आउटपुट एक स्पंदित $D.C.$ होता है जिसमें अभी भी रिपल्स (तरंगें) होती हैं। एक फिल्टर (आमतौर पर एक कैपेसिटर या कैपेसिटर और इंडक्टर का संयोजन) इन रिपल्स को हटाकर अधिक स्थिर $D.C.$ आउटपुट प्रदान करता है।
$3$. वोल्टेज रेगुलेटर: अंतिम चरण वोल्टेज रेगुलेटर है,जो यह सुनिश्चित करता है कि $D.C.$ वोल्टेज स्थिर रहे,भले ही इनपुट $A.C.$ वोल्टेज में उतार-चढ़ाव हो या लोड में परिवर्तन हो। रेगुलेटर आवश्यकतानुसार करंट के प्रवाह को समायोजित करके आउटपुट वोल्टेज को एक स्थिर स्तर पर रखता है।
इसलिए,संचालन का सही क्रम है:
- डायोड रेक्टिफायर $\rightarrow$ फिल्टर $\rightarrow$ वोल्टेज रेगुलेटर

(A) सही उत्तर $a.c.$ से $d.c.$ है।
रेक्टिफायर एक विद्युत उपकरण है जो अल्टरनेटिंग करंट $(AC)$,जो समय-समय पर दिशा बदलता है,को डायरेक्ट करंट $(DC)$ में परिवर्तित करता है,जो केवल एक ही दिशा में बहता है।
चूंकि एक $p-n$ जंक्शन डायोड केवल एक दिशा में (फॉरवर्ड बायस) करंट को बहने देता है,इसलिए यह एक रेक्टिफायर के रूप में कार्य करता है।

(C) अर्धचालकों में,संयोजकता बैंड और चालन बैंड के बीच ऊर्जा अंतराल कम होता है।
कमरे के तापमान पर,तापीय ऊर्जा इतनी पर्याप्त होती है कि कुछ इलेक्ट्रॉन वर्जित ऊर्जा अंतराल (forbidden energy gap) को पार करके संयोजकता बैंड से चालन बैंड में जा सकें।
परिणामस्वरूप,कुछ इलेक्ट्रॉन चालन बैंड में चले जाते हैं,जिससे वह आंशिक रूप से भर जाता है।
साथ ही,यह प्रक्रिया संयोजकता बैंड में रिक्तियां (होल) छोड़ देती है,जिससे वह आंशिक रूप से खाली हो जाता है।
इसलिए,कमरे के तापमान पर,चालन बैंड और संयोजकता बैंड दोनों आंशिक रूप से भरे/खाली होते हैं।

(D) $p$-प्रकार का अर्धचालक एक आंतरिक अर्धचालक में त्रिसंयोजी अशुद्धि परमाणुओं (जैसे $Al$,$B$,$In$ आदि) को मिलाकर बनाया जाता है।
ये त्रिसंयोजी परमाणु वैलेंस बैंड में रिक्तियां पैदा करते हैं,जिन्हें होल कहा जाता है।
$p$-प्रकार के अर्धचालक में,होल बहुसंख्यक आवेश वाहक होते हैं,जबकि इलेक्ट्रॉन अल्पसंख्यक आवेश वाहक होते हैं।
इसलिए,सही कथन यह है कि इसे त्रिसंयोजी अशुद्धि के साथ डोप किया जाता है और होल बहुसंख्यक वाहक होते हैं।

(A) फॉस्फोरस एक पंचसंयोजी (pentavalent) अशुद्धि है (समूह $15$ का तत्व)।
जब एक अर्धचालक को पंचसंयोजी अशुद्धि के साथ डोप किया जाता है,तो यह $n$-प्रकार का अर्धचालक बन जाता है।
$n$-प्रकार के अर्धचालक में,इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n_{e})$,होल्स की संख्या $(n_{h})$ से बहुत अधिक होती है क्योंकि अशुद्धि परमाणु चालन बैंड (conduction band) में अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करते हैं।
इसलिए,$n_{e} \gg n_{h}$।

(C) $n$-प्रकार के अर्धचालक में,आंतरिक अर्धचालक में पंचसंयोजी अशुद्धि परमाणु (दाता परमाणु) मिलाए जाते हैं।
ये दाता परमाणु दाता ऊर्जा स्तर नामक अलग-अलग ऊर्जा स्तर बनाते हैं।
ये दाता ऊर्जा स्तर बैंड अंतराल के भीतर,चालन बैंड के ठीक नीचे स्थित होते हैं।
चूंकि ये स्तर चालन बैंड के बहुत करीब होते हैं,इसलिए इन स्तरों में मौजूद इलेक्ट्रॉन कमरे के तापमान पर आसानी से ऊष्मीय ऊर्जा प्राप्त करके चालन बैंड में जा सकते हैं।
इसलिए,सही विकल्प $(C)$ है।

(C) जब एक अर्धचालक में थोड़ी मात्रा में अशुद्धि परमाणु मिलाए जाते हैं,तो सामान्यतः इसकी प्रतिरोधकता घट जाती है।
व्याख्या:
अर्धचालक की चालकता $\sigma$ को $\sigma = n_{e} e \mu_{e} + n_{h} e \mu_{h}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $n_e$ और $n_h$ प्रति इकाई आयतन में इलेक्ट्रॉनों और होल्स की संख्या हैं,और $\mu_{e}$ और $\mu_{h}$ इलेक्ट्रॉनों और होल्स की गतिशीलता हैं।
जब अशुद्धि परमाणु मिलाए जाते हैं (डोपिंग),तो आवेश वाहकों ($n_e$ या $n_h$) की सांद्रता काफी बढ़ जाती है।
चूंकि चालकता $\sigma$ वाहक सांद्रता के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए चालकता बढ़ जाती है।
चूंकि प्रतिरोधकता $\rho$ चालकता का व्युत्क्रम है $(\rho = 1/\sigma)$,इसलिए चालकता में वृद्धि के कारण प्रतिरोधकता में कमी आती है।

(B) फोटोडायोड एक $p-n$ जंक्शन डायोड है जो रिवर्स बायस में संचालित होता है।
रिवर्स बायस में,धारा मुख्य रूप से जंक्शन के पार अल्पसंख्यक आवेश वाहकों के ड्रिफ्ट के कारण होती है।
जब बैंडगैप ऊर्जा से अधिक ऊर्जा वाला प्रकाश (फोटॉन) फोटोडायोड पर गिरता है,तो यह अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन-होल जोड़े उत्पन्न करता है।
ये फोटो-जनरेटेड अल्पसंख्यक वाहक विद्युत क्षेत्र द्वारा जंक्शन के पार खींच लिए जाते हैं,जिससे रिवर्स करंट बढ़ जाता है।
इसलिए,फोटोडायोड में रिवर्स करंट सीधे आपतित प्रकाश द्वारा उत्पन्न अल्पसंख्यक वाहकों की सांद्रता पर निर्भर करता है।

(A) प्रकाश की तीव्रता का पता लगाने के लिए उपयोग किया जाने वाला उपकरण $Photodiode$ है।
$Photodiode$ एक विशेष प्रकार का $PN$ जंक्शन डायोड है जो प्रकाश के संपर्क में आने पर विद्युत धारा उत्पन्न करता है।
इसे विशेष रूप से रिवर्स बायस मोड में संचालित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
जब जंक्शन पर प्रकाश पड़ता है,तो यह इलेक्ट्रॉन-होल जोड़े बनाता है,और आपतित प्रकाश की तीव्रता के साथ रिवर्स करंट बढ़ जाता है।
इसलिए,यह एक फोटोडिटेक्टर या फोटोसेंसर के रूप में कार्य करता है।

(B) विवर्तन बैंड की चौड़ाई (या क्रमिक निम्निष्ठ/उच्चिष्ठ के बीच की दूरी) सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि बैंड की चौड़ाई $\beta$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $\beta \propto \lambda$.
हम जानते हैं कि नीले प्रकाश की तरंग दैर्ध्य लाल प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से कम होती है,अर्थात $\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{red}}$.
चूंकि $\lambda$ घटता है,इसलिए बैंड की चौड़ाई $\beta$ भी घट जाती है।
अतः,विवर्तन बैंड संकीर्ण और एक-दूसरे के करीब हो जाते हैं।

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n^{\text{th}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए स्थिति $x_n = \frac{(2n+1) \lambda D}{2a}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda = 6195 Å$ तरंगदैर्ध्य के लिए दूसरे द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n=2)$ की स्थिति $x_2 = \frac{(2 \times 2 + 1) \lambda D}{2a} = \frac{5 \lambda D}{2a}$ है।
$\lambda_0$ तरंगदैर्ध्य के लिए तीसरे द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n=3)$ की स्थिति $x_3 = \frac{(2 \times 3 + 1) \lambda_0 D}{2a} = \frac{7 \lambda_0 D}{2a}$ है।
चूंकि स्थितियां संपाती हैं,$x_2 = x_3$,जिसका अर्थ है $\frac{5 \lambda D}{2a} = \frac{7 \lambda_0 D}{2a}$।
इसे सरल करने पर,हमें $5 \lambda = 7 \lambda_0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda_0 = \frac{5 \lambda}{7} = \frac{5 \times 6195 Å}{7} = 5 \times 885 Å = 4425 Å$।

(A) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n^{th}$ निम्निष्ठ की स्थिति $x_n = \frac{n D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D$ पर्दे की दूरी है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
दिया गया है:
$D = 50 \ cm = 0.5 \ m$
$\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$
$1^{st}$ और $3^{rd}$ निम्निष्ठ के बीच की दूरी: $\Delta x = x_3 - x_1 = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$x_3 - x_1 = (3 - 1) \frac{D \lambda}{d} = \frac{2 D \lambda}{d}$
$d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$d = \frac{2 D \lambda}{\Delta x}$
$d = \frac{2 \times 0.5 \times 600 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}}$
$d = \frac{600 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}} = 200 \times 10^{-6} \ m = 0.2 \ mm$.

(B) बाइप्रिज्म प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $W = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और सुसंगत स्रोतों के बीच की दूरी $d$ स्थिर है,इसलिए अनुपात $\frac{\lambda}{d}$ एक स्थिरांक है।
अतः,$\frac{W}{D} = \frac{\lambda}{d} = \text{स्थिरांक}$.
इसका अर्थ है कि $\frac{W_1}{D_1} = \frac{W_2}{D_2} = \frac{W_3}{D_3} = \frac{W_4}{D_4}$।

(C) विवर्तन पैटर्न की केंद्रीय अधिकतम चौड़ाई $W = \frac{2 \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन की दूरी है,और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
प्रारंभ में,$W = Y = \frac{2 \times 400 \times D}{d}$.
जब स्लिट का आधा हिस्सा ढक दिया जाता है,तो नई स्लिट चौड़ाई $d' = \frac{d}{2}$ हो जाती है।
नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = 600 \ nm$ है।
नई चौड़ाई $W'$ इस प्रकार है: $W' = \frac{2 \lambda' D}{d'} = \frac{2 \times 600 \times D}{d/2} = \frac{4 \times 600 \times D}{d}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{W'}{Y} = \frac{4 \times 600 \times D / d}{2 \times 400 \times D / d} = \frac{2400}{800} = 3$.
अतः,$W' = 3 Y$.

(A) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$ वें गौण उच्चिष्ठ के लिए शर्त $\sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2a}$ है।
प्रथम गौण उच्चिष्ठ $(n = 1)$ के लिए,$\sin \theta = \frac{3\lambda}{2a}$ होता है।
चूंकि कोण $\theta$ बहुत छोटा है,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$,जहाँ $x$ केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूरी है और $D$ पर्दे की दूरी है।
अतः,$x = \frac{3\lambda D}{2a}$।
दो तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ और $\lambda_2$ के लिए प्रथम गौण उच्चिष्ठ की स्थितियों के बीच का पृथक्करण $\Delta x = \frac{3D}{2a} (\lambda_2 - \lambda_1)$ है।
दिया गया है: $\lambda_1 = 590 \times 10^{-9} \ m$,$\lambda_2 = 596 \times 10^{-9} \ m$,$D = 2 \ m$,$a = 2.4 \times 10^{-3} \ m$।
मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{3 \times 2 \times (596 - 590) \times 10^{-9}}{2 \times 2.4 \times 10^{-3}}$
$\Delta x = \frac{6 \times 6 \times 10^{-9}}{4.8 \times 10^{-3}} = \frac{36 \times 10^{-9}}{4.8 \times 10^{-3}} = 7.5 \times 10^{-6} \ m$।

(C) $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$m^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y'_m = \frac{(2m - 1) \lambda_2 D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $5^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज $6^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज के साथ संपाती है,इसलिए $n = 5$ और $m = 6$ रखने पर:
$\frac{5 \lambda_1 D}{d} = \frac{(2 \times 6 - 1) \lambda_2 D}{2d}$
$\frac{5 \lambda_1 D}{d} = \frac{11 \lambda_2 D}{2d}$
दोनों पक्षों से $D$ और $d$ को हटाने पर:
$5 \lambda_1 = \frac{11 \lambda_2}{2}$
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{11}{5 \times 2} = \frac{11}{10}$

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$ वें निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta_n = n \lambda$ है।
$n$ वें द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta_n = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ है।
प्रथम निम्निष्ठ $(n=1)$ के लिए दिया गया है: $a \sin 30^{\circ} = 1 \cdot \lambda \Rightarrow a \cdot \frac{1}{2} = \lambda \Rightarrow a = 2\lambda$.
प्रथम द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n=1)$ के लिए: $a \sin \theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$.
समीकरण में $a = 2\lambda$ रखने पर: $(2\lambda) \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$.
$\sin \theta = \frac{3}{4} \Rightarrow \theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(C) $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_n = n \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
$8^{th}$ दीप्त फ्रिंज के लिए $(n=8)$: $x_8 = 8 \beta = 8 \times 0.6 \ mm = 4.8 \ mm$.
$n^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $x'_n = (n - 0.5) \beta$ द्वारा दी जाती है।
$6^{th}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n=6)$: $x'_6 = (6 - 0.5) \beta = 5.5 \beta = 5.5 \times 0.6 \ mm = 3.3 \ mm$.
$8^{th}$ दीप्त फ्रिंज और $6^{th}$ अदीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $\Delta x = x_8 - x'_6 = 4.8 \ mm - 3.3 \ mm = 1.5 \ mm$ है।

(B) फ्रिंज चौड़ाई $W$ का सूत्र $W = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन और स्लिट्स के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
इससे,अनुपात $\frac{d}{D} = \frac{\lambda}{W}$ प्राप्त होता है।
दो तरंग समूहों के बीच का कोण $\theta$ लगभग $\theta \approx \frac{d}{D}$ (रेडियन में) होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\theta = \frac{6 \times 10^{-7} \ m}{0.12 \times 10^{-3} \ m}$
$\theta = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.2 \times 10^{-4}}$
$\theta = 5 \times 10^{-3} \ rad$.