MHT CET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
यहाँ $T_1 = T$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$ और $\gamma = 3/2$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $T V^{\gamma-1} = T_2 (2V)^{\gamma-1}$।
$T_2 = T \left(\frac{V}{2V}\right)^{\gamma-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{3/2-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} = \frac{T}{\sqrt{2}}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ होता है।
मान रखने पर: $W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R T (1 - 1/\sqrt{2})}{1/2}$।
$W = 2 R T \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} R T (\sqrt{2}-1) = R T (2 - \sqrt{2})$।

(D) आइसोकोरिक (स्थिर आयतन) स्थितियों के तहत,आयतन में परिवर्तन $dV = 0$ होता है।
चूंकि किया गया कार्य $dW = P \cdot dV$ है,इसलिए $dW = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$ होता है।
$dW = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $dQ = dU$ प्राप्त होता है।

(B) कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक दक्षता $\eta_1 = 50 \% = 0.5$ और स्रोत का तापमान $T_{H1} = 600 \ K$ दिया गया है।
$0.5 = 1 - \frac{T_C}{600} \implies \frac{T_C}{600} = 0.5 \implies T_C = 300 \ K$.
अब,सिंक का तापमान $T_C = 300 \ K$ स्थिर रखते हुए दक्षता को $\eta_2 = 70 \% = 0.7$ तक बढ़ाया जाता है।
$0.7 = 1 - \frac{300}{T_{H2}}$.
$\frac{300}{T_{H2}} = 1 - 0.7 = 0.3$.
$T_{H2} = \frac{300}{0.3} = 1000 \ K$.
अतः,स्रोत का नया तापमान $1000 \ K$ होगा।

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $R = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$T$ गोले का तापमान है और $T_0$ परिवेश का तापमान है।
दिया गया है: $T_1 = 627^{\circ} C = 627 + 273 = 900 \ K$,$T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$,और $T_0 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
ऊष्मा हानि की दरों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$ है।
मान रखने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{900^4 - 300^4}{600^4 - 300^4} = \frac{(300 \times 3)^4 - 300^4}{(300 \times 2)^4 - 300^4}$.
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{300^4 (3^4 - 1)}{300^4 (2^4 - 1)} = \frac{81 - 1}{16 - 1} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3} \approx 5.33$.
अतः,अनुपात लगभग $5.3$ है।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $(i)$ के लिए,सिंक का तापमान $T_C = 100 \ K$ और स्रोत का तापमान $T_H = 600 \ K$ है।
अतः,$\eta_1 = 1 - \frac{100}{600} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
स्थिति $(ii)$ के लिए,सिंक का तापमान $T_C = T \ K$ और स्रोत का तापमान $T_H = 960 \ K$ है।
अतः,$\eta_2 = 1 - \frac{T}{960}$।
चूंकि दोनों स्थितियों में दक्षता समान है,इसलिए $\eta_1 = \eta_2$।
$\frac{5}{6} = 1 - \frac{T}{960}$।
$\frac{T}{960} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$।
$T = \frac{960}{6} = 160 \ K$।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
यहाँ,स्रोत का तापमान $T_1 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500 \ K$ है।
सिंक का तापमान $T_2 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
इन मानों को रखने पर: $\eta = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$ या $\frac{2}{5}$।
हम जानते हैं कि दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_1}$,जहाँ $W$ किया गया कार्य है और $Q_1$ दी गई ऊष्मा है।
दिया गया है $Q_1 = 50 \ kJ$,इसलिए $W = \eta \times Q_1$।
$W = 0.4 \times 50 \ kJ = 20 \ kJ$।

(B) रेफ्रिजरेटर का निष्पादन गुणांक $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T_1$ गर्म रिज़र्वोयर का तापमान है और $T_2$ ठंडे रिज़र्वोयर का तापमान है।
हीट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
हम दक्षता को $\eta = \frac{1}{\frac{T_1}{T_1 - T_2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\frac{T_1}{T_1 - T_2} = \frac{(T_1 - T_2) + T_2}{T_1 - T_2} = 1 + \frac{T_2}{T_1 - T_2} = 1 + \beta$ है,
इस मान को दक्षता के समीकरण में रखने पर,हमें $\eta = \frac{1}{1 + \beta}$ प्राप्त होता है।

(B) एक आदर्श रेफ्रिजरेटर के लिए निष्पादन गुणांक $(COP)$,$\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$,जहाँ $T_2$ फ्रीजर का तापमान है और $T_1$ परिवेश (सिंक) का तापमान है।
दिया गया है: $\beta = 5$ और $T_2 = -13^{\circ} C = (-13 + 273) K = 260 K$.
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = \frac{260}{T_1 - 260}$
$5(T_1 - 260) = 260$
$5T_1 - 1300 = 260$
$5T_1 = 1560$
$T_1 = 312 K$
सेल्सियस में बदलने पर: $T_1 = (312 - 273)^{\circ} C = 39^{\circ} C$.

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
दिया गया है $V_i = V_0$,$V_f = \frac{V_0}{32}$,और $\gamma = \frac{7}{5}$.
तब $\gamma - 1 = \frac{7}{5} - 1 = \frac{2}{5}$.
मान रखने पर: $T_i (V_0)^{2/5} = T_f \left(\frac{V_0}{32}\right)^{2/5}$.
$T_f = T_i \left(\frac{V_0}{V_0/32}\right)^{2/5} = T_i (32)^{2/5}$.
चूंकि $32 = 2^5$,इसलिए $T_f = T_i (2^5)^{2/5} = T_i (2^2) = 4T_i$.
$T_f = xT_i$ की तुलना $T_f = 4T_i$ से करने पर,हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(C) समतापीय स्थितियों में,तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,बुलबुलों के अंदर हवा के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है।
मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P = P_0 + \frac{4S}{r}$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है और $S$ पृष्ठ तनाव है।
छोटे बुलबुलों के लिए,$P \approx \frac{4S}{r}$।
$PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,स्थिर $T$ और $n$ के लिए,$PV$ स्थिर रहता है।
$P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_R V_R$
$\left(\frac{4S}{r_1}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_1^3\right) + \left(\frac{4S}{r_2}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right) = \left(\frac{4S}{R}\right) \left(\frac{4}{3} \pi R^3\right)$
$\frac{16}{3} \pi S r_1^2 + \frac{16}{3} \pi S r_2^2 = \frac{16}{3} \pi S R^2$
$r_1^2 + r_2^2 = R^2$
$R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = Nk_B T$ के अनुसार,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $k_B$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
जार $P$ के लिए,समीकरण है: $PV = N_P k_B T$ ... $(i)$
जार $Q$ के लिए,समीकरण है: $(2P) \left( \frac{V}{4} \right) = N_Q k_B (2T)$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\frac{PV}{2} = N_Q k_B (2T)$
$\Rightarrow PV = 4 N_Q k_B T$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$N_P k_B T = 4 N_Q k_B T$
$N_P = 4 N_Q$
अतः,जार $P$ और जार $Q$ में अणुओं की संख्या का अनुपात $\frac{N_P}{N_Q} = 4:1$ है।

(C) चूंकि संपीड़न अचानक होता है,इसलिए यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $V_2 = \frac{V_1}{4}$,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = 4$.
दिया गया है: $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma = (4)^{3/2}$.
मान की गणना करने पर: $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
अतः,अंतिम दाब $P_2 = 8 P_1$ होगा,जो प्रारंभिक दाब का $8$ गुना है।

(C) जब कंटेनर को अचानक रोका जाता है,तो गैस की गतिज ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
माना गैस के मोलों की संख्या $n$ है। गैस का कुल द्रव्यमान $m_{total} = nM$ है।
गैस की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} (nM) V^2$ है।
एकपरमाणुक गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ होता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{3}{2} R$ होती है।
गतिज ऊर्जा को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$\frac{1}{2} n M V^2 = n \left( \frac{3}{2} R \right) \Delta T$
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{3}{2} R \Delta T$
$\Delta T$ के लिए हल करने पर:
$\Delta T = \frac{MV^2}{3R}$

(C) समआयतनिक प्रक्रिया एक ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें निकाय का आयतन $(V)$ स्थिर रहता है।
$P-V$ आरेख में,एक स्थिर आयतन प्रक्रिया को एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा दर्शाया जाता है,क्योंकि $V$ के एक ही मान के लिए,दाब $(P)$ भिन्न हो सकता है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर:
ग्राफ $(A)$ में $P$,$V$ के समानुपाती है।
ग्राफ $(B)$ स्थिर दाब (समदाबी) को दर्शाता है।
ग्राफ $(C)$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा दिखाता है,जो इंगित करता है कि $P$ के बदलने पर भी $V$ स्थिर है।
ग्राफ $(D)$ एक वक्र दर्शाता है।
इसलिए,ग्राफ $(C)$ एक समआयतनिक प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है।

(A) आदर्श गैस का r.m.s. वेग $V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$, इसलिए $T \propto V_{\text{rms}}^2$ होगा।
यदि $V_{\text{rms}}$ को $3$ गुना कम किया जाता है, तो $T_2 = \frac{T_1}{3^2} = \frac{T_1}{9}$, अतः $\frac{T_1}{T_2} = 9$ होगा।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $TV^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$, जिसका अर्थ है $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$।
इसे व्यवस्थित करने पर $\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\gamma = 1.5$ है, इसलिए $\gamma - 1 = 0.5 = \frac{1}{2}$।
मान रखने पर: $\frac{V_2}{V_1} = (9)^{\frac{1}{1/2}} = (9)^2 = 81$।
अतः, गैस का $81$ गुना प्रसार करना होगा।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से अछूता रहता है,जिसका अर्थ है कि कोई ऊष्मा विनिमय नहीं होता है $(Q = 0)$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$। चूंकि $Q = 0$,हमारे पास $\Delta U = -W$ है,जिसका अर्थ है कि किया गया सारा कार्य आंतरिक ऊर्जा की कीमत पर होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए अवस्था का समीकरण $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है। कथन $PV = \text{नियतांक}$ एक समतापीय प्रक्रिया का वर्णन करता है,रुद्धोष्म का नहीं।
इसलिए,'$PV=$ नियतांक' कथन गलत है।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,निकाय को दी गई ऊष्मा $\Delta Q$ का मान $\Delta Q = \Delta U + dW$ होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
इस मान को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर: $0 = \Delta U + dW$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\Delta U = -dW$ प्राप्त होता है।
अतः,स्थिति $\Delta U = -dW$ एक रुद्धोष्म प्रक्रिया को दर्शाती है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ होता है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$,इसलिए $V = \frac{m}{\rho}$ होगा। इसे रुद्धोष्म समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$P \left(\frac{m}{\rho}\right)^{\gamma} = \text{नियतांक}$
$P \rho^{-\gamma} = \text{नियतांक}$
अतः,$\frac{P^{\prime}}{P} = \left(\frac{\rho^{\prime}}{\rho}\right)^{\gamma}$।
दिया गया है कि $\frac{\rho^{\prime}}{\rho} = 32$ और $\gamma = \frac{7}{5}$,इन मानों को रखने पर:
$\frac{P^{\prime}}{P} = (32)^{\frac{7}{5}}$
$\frac{P^{\prime}}{P} = (2^5)^{\frac{7}{5}} = 2^7 = 128$।

(D) नियत तापमान पर बॉयल के नियम के अनुसार,$P \propto \frac{1}{V}$,जिसका अर्थ है $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
माना प्रारंभिक दाब $P_1 = P$ है।
नया दाब $P_2 = P + 0.05P = 1.05P$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $P V_1 = 1.05P V_2$।
नए आयतन के लिए हल करने पर: $V_2 = \frac{V_1}{1.05} \approx 0.9524 V_1$।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V_1 = 0.9524 V_1 - V_1 = -0.0476 V_1$ है।
आयतन में प्रतिशत कमी $\frac{|\Delta V|}{V_1} \times 100 = 0.0476 \times 100 = 4.76 \%$ है।

(D) एक ऊष्मागतिक प्रक्रिया जिसमें निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,उसे रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस प्रक्रिया में,ऊष्मा का आदान-प्रदान $dQ = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$,इसलिए रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$dU = -dW$ होता है।

(C) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान पर निर्भर करती है $(U = f(T))$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$। चूंकि $\Delta U = 0$,इसलिए $\Delta Q = \Delta W$,जिसका अर्थ है कि विनिमय की गई सभी ऊर्जा का उपयोग कार्य करने में होता है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए प्रणाली का पर्यावरण के साथ पूर्ण तापीय संतुलन में होना आवश्यक है ताकि तापमान स्थिर बना रहे।
आदर्श गैस के लिए अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है। चूंकि $n$,$R$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $PV$ स्थिर होना चाहिए।
अतः,'$PV$ स्थिर नहीं है' कथन गलत है।

(C) तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूँकि $T$ और $\mu$ खंडों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{l}$,जिसका अर्थ है $nl = k$ (स्थिरांक)।
दिया गया है कि कुल लंबाई $l = l_1 + l_2 + l_3$,इसलिए प्रत्येक खंड की लंबाई $l_1 = \frac{k}{n_1}$,$l_2 = \frac{k}{n_2}$,और $l_3 = \frac{k}{n_3}$ के रूप में लिखी जा सकती है।
मूल लंबाई $l = \frac{k}{n}$ है।
इन मानों को लंबाई के समीकरण में रखने पर: $\frac{k}{n} = \frac{k}{n_1} + \frac{k}{n_2} + \frac{k}{n_3}$।
दोनों पक्षों को $k$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3}$ प्राप्त होता है।

(B) एक सरल आवर्त प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y=A \sin 2 \pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)$ है।
दिया गया समीकरण: $y=a \sin 2 \pi(b t-c x)$.
दोनों की तुलना करने पर,आयाम $A=a$,आवृत्ति $n = \frac{1}{T} = b$,और तरंग संख्या $\frac{1}{\lambda} = c$ प्राप्त होता है।
अधिकतम कण वेग $(v_p)_{\max} = A \omega = A(2 \pi n) = a(2 \pi b) = 2 \pi ab$ द्वारा दिया जाता है।
तरंग वेग $v = n \lambda = \frac{n}{1/\lambda} = \frac{b}{c}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$(v_p)_{\max} = \frac{1}{2} v$.
मान रखने पर: $2 \pi ab = \frac{1}{2} \left( \frac{b}{c} \right)$.
दोनों पक्षों से $b$ को हटाने पर: $2 \pi a = \frac{1}{2c}$.
$c$ के लिए हल करने पर: $c = \frac{1}{4 \pi a}$.

(D) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $Y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $Y = 6 \sin(12 \pi t - 0.02 \pi x + \frac{\pi}{3})$ की तुलना करने पर:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 12 \pi \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 0.02 \pi \ rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{\omega}{k}$
$v = \frac{12 \pi}{0.02 \pi}$
$v = \frac{12}{0.02} = \frac{1200}{2} = 600 \ m/s$.

(C) अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत नोड्स के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
दिया गया है, $\frac{\lambda}{2} = 5 \,cm = 0.05 \,m$।
अतः, तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2 \times 0.05 \,m = 0.1 \,m$।
कंपन की आवृत्ति $f$, तरंग वेग $v$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से $f = \frac{v}{\lambda}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $f = \frac{2 \,m/s}{0.1 \,m} = 20 \,Hz$।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$y_1 = a_1 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right)$
$y_2 = a_2 \cos \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi\right)$
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$ होता है।
अतः,$y_2$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$y_2 = a_2 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right)$
दोनों तरंगों के बीच कलान्तर $\Delta \Phi$ उनके तर्कों का अंतर है:
$\Delta \Phi = \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right) = \phi + \frac{\pi}{2}$
पथान्तर $\Delta x$ और कलान्तर $\Delta \Phi$ के बीच संबंध है:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \times \Delta \Phi$
$\Delta \Phi$ का मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \left(\phi + \frac{\pi}{2}\right)$

(D) दिया गया तरंग समीकरण $y = A \sin(2\omega t - 2kx)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega' t - k' x)$ के साथ तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega' = 2\omega$ और तरंग संख्या $k' = 2k$ प्राप्त होती है।
कण का वेग $v_p = \frac{dy}{dt} = A \cdot (2\omega) \cos(2\omega t - 2kx)$ है।
कण का अधिकतम वेग $v_{p,max} = 2A\omega$ है।
तरंग का वेग $v_w = \frac{\omega'}{k'} = \frac{2\omega}{2k} = \frac{\omega}{k}$ है।
दिया गया है कि $v_{p,max} = v_w$,इसलिए $2A\omega = \frac{\omega}{k}$ है।
अतः,$A = \frac{1}{2k}$।
चूंकि तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है,इसलिए हम इस मान को $A$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$A = \frac{1}{2(2\pi / \lambda)} = \frac{\lambda}{4\pi}$।

(C) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx + \phi)$ या $y = A \sin (kx - \omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $Y = 5 \sin (10 \pi t - 0.02 \pi x + \pi / 3)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हम कोणीय आवृत्ति $\omega$ और तरंग संख्या $k$ की पहचान करते हैं:
$\omega = 10 \pi \ rad/s$
$k = 0.02 \pi \ rad/m$
तरंग का वेग $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{\omega}{k}$
मान रखने पर:
$v = \frac{10 \pi}{0.02 \pi}$
$v = \frac{10}{0.02} = \frac{1000}{2} = 500 \ m/s$
अतः,तरंग का वेग $500 \ m/s$ है।

(B) प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $Y = a \sin (\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $Y = a \sin (2 \pi n t - \frac{2 \pi x}{5})$ के साथ तुलना करने पर:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi n$.
तरंग संख्या $k = \frac{2 \pi}{5}$.
तरंग वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi n}{2 \pi / 5} = 5n$.
कण का वेग $v_p = \frac{dY}{dt} = a \omega \cos (\omega t - kx)$.
अधिकतम कण वेग $v_m = a \omega = a (2 \pi n) = 2 \pi n a$.
अधिकतम कण वेग और तरंग वेग का अनुपात $\frac{v_m}{v} = \frac{2 \pi n a}{5n} = \frac{2 \pi a}{5}$ है।

(A) जब एक अनुप्रस्थ तरंग एक कठोर दीवार से टकराती है,तो उसका परावर्तन होता है। कठोर आधार के लिए सीमा शर्तों के अनुसार,तरंग में $180^{\circ}$ (या $\pi$ रेडियन) का कला परिवर्तन होता है। चूंकि माध्यम समान रहता है,इसलिए तरंग की गति नहीं बदलती है,हालांकि प्रसार की दिशा उलट जाती है। इसलिए,कला $180^{\circ}$ बदल जाती है,लेकिन वेग का परिमाण समान रहता है।

(C) तार $PQ$ के लिए प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m_{PQ} = \frac{0.06}{4.8} = \frac{1}{80} \ kg/m$ है।
तार $QR$ के लिए प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m_{QR} = \frac{0.2}{2.56} = \frac{5}{64} \ kg/m$ है।
तार $PQ$ में तरंग का वेग $v_{PQ} = \sqrt{\frac{T}{m_{PQ}}} = \sqrt{\frac{80}{1/80}} = \sqrt{6400} = 80 \ m/s$ है।
तार $PQ$ को पार करने में लगा समय $t_1 = \frac{L_{PQ}}{v_{PQ}} = \frac{4.8}{80} = 0.06 \ s$ है।
तार $QR$ में तरंग का वेग $v_{QR} = \sqrt{\frac{T}{m_{QR}}} = \sqrt{\frac{80}{5/64}} = \sqrt{\frac{80 \times 64}{5}} = \sqrt{16 \times 64} = 4 \times 8 = 32 \ m/s$ है।
तार $QR$ को पार करने में लगा समय $t_2 = \frac{L_{QR}}{v_{QR}} = \frac{2.56}{32} = 0.08 \ s$ है।
कुल लगा समय $t = t_1 + t_2 = 0.06 + 0.08 = 0.14 \ s$ है।

(C) कंपन करने वाले तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $T$ और $m$ स्थिर हैं,$f \propto \frac{1}{l}$,जिसका अर्थ है $fl = \text{स्थिरांक}$.
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ है।
प्रारंभ में,लंबाई $l_1 = 50 \ cm$ है और बीट आवृत्ति $3$ है,इसलिए तार की आवृत्ति $f_1 = f - 3$ (या $f + 3$) होगी।
लंबाई $1 \ cm$ कम करने के बाद,$l_2 = 49 \ cm$ हो जाती है। बीट आवृत्ति अभी भी $3$ है,इसलिए तार की आवृत्ति $f_2 = f + 3$ (या $f - 3$) होगी।
चूंकि $f_1 l_1 = f_2 l_2$,इसलिए $(f - 3) \times 50 = (f + 3) \times 49$.
$50f - 150 = 49f + 147$.
$50f - 49f = 147 + 150$.
$f = 297 \ Hz$.

(B) सोनोमीटर तार के लिए,आवृत्ति $n$ लंबाई $L$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(n \propto 1/L)$,इसलिए $n_1 L_1 = n_2 L_2$।
यहाँ $L_1 = 49 \ cm$ और $L_2 = 48 \ cm$ है,और प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = n$ है।
अतः $n \times 49 = n_2 \times 48$,जिससे $n_2 = \frac{49}{48} n$ प्राप्त होता है।
चूंकि लंबाई कम हो गई है,आवृत्ति बढ़ जाती है,इसलिए $n_2 > n_1$।
बीट आवृत्ति $n_2 - n_1 = 6$ दी गई है।
$n_2$ का मान रखने पर: $\frac{49}{48} n - n = 6$।
$\frac{n}{48} = 6$।
$n = 6 \times 48 = 288 \ Hz$।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब श्रोता स्रोत की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति बढ़ जाती है,इसलिए अंश $(V+V_L)$ होता है।
जब स्रोत श्रोता की ओर गति करता है,तो आभासी तरंगदैर्ध्य कम हो जाती है,जिससे आवृत्ति बढ़ जाती है,इसलिए हर $(V-V_S)$ होता है।
अतः,प्रेक्षित आवृत्ति $n$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n=n_0\left[\frac{V+V_{L}}{V-V_{s}}\right]$

(B) स्थिर स्रोत की ओर गतिमान प्रेक्षक के लिए,प्रेक्षित आवृत्ति $n_1 = n_0 \left[ \frac{v + v_L}{v} \right]$ द्वारा दी जाती है।
स्थिर प्रेक्षक की ओर गतिमान स्रोत के लिए,प्रेक्षित आवृत्ति $n_2 = n_0 \left[ \frac{v}{v - v_s} \right]$ द्वारा दी जाती है।
मान $v = 330 \,m/s$,$v_L = 50 \,m/s$,और $v_s = 50 \,m/s$ रखने पर:
$n_1 = n_0 \left[ \frac{330 + 50}{330} \right] = n_0 \left[ \frac{380}{330} \right] \approx 1.151 n_0$.
$n_2 = n_0 \left[ \frac{330}{330 - 50} \right] = n_0 \left[ \frac{330}{280} \right] \approx 1.178 n_0$.
दोनों परिणामों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $n_2 > n_1$.
इसलिए,पहले मामले की तुलना में दूसरे मामले में सुनी गई आवृत्ति अधिक होगी।

(D) जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा होता है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $n_b = \left( \frac{v}{v - v_s} \right) n$ द्वारा दी जाती है।
जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा होता है,तो सुनी गई आवृत्ति $n_a = \left( \frac{v}{v + v_s} \right) n$ होती है।
इन दो आवृत्तियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{n_b}{n_a} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$.
दिया गया अनुपात $\frac{n_b}{n_a} = \frac{11}{9}$ है,इसलिए:
$\frac{11}{9} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$.
तिर्यक गुणा करने पर:
$11(v - v_s) = 9(v + v_s)$
$11v - 11v_s = 9v + 9v_s$
$2v = 20v_s$
$v_s = \frac{2v}{20} = \frac{v}{10}$.

(B) वेग $(v)$,आवृत्ति $(n)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध $v = n \lambda$ है।
चूंकि दोनों ध्वनि स्रोत समान तापमान पर हैं,इसलिए दोनों स्थितियों में ध्वनि का वेग $(v)$ समान होगा।
मान लीजिए कि आवृत्तियाँ $n_1$ और $n_2$ हैं जो क्रमशः $\lambda_1 = 50 \ cm = 0.5 \ m$ और $\lambda_2 = 50.5 \ cm = 0.505 \ m$ तरंगदैर्ध्य के अनुरूप हैं।
हम जानते हैं कि $v = n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
अतः,$n_1 (0.5) = n_2 (0.505)$,जिसका अर्थ है $\frac{n_1}{n_2} = \frac{0.505}{0.5} = 1.01$.
दिया गया है कि $|n_1 - n_2| = 6 \ Hz$,इसलिए $n_1 = n_2 + 6$.
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{n_2 + 6}{n_2} = 1.01$.
$1 + \frac{6}{n_2} = 1.01 \implies \frac{6}{n_2} = 0.01$.
$n_2 = \frac{6}{0.01} = 600 \ Hz$.
अब,वेग की गणना करने पर: $v = n_2 \lambda_2 = 600 \times 0.505 \ m = 303 \ m/s$.

(A) डॉप्लर प्रभाव ध्वनि के स्रोत और प्रेक्षक के बीच सापेक्ष गति पर निर्भर करता है।
इस मामले में, यात्री (प्रेक्षक) और इंजन (स्रोत) दोनों एक ही ट्रेन में हैं।
चूंकि वे एक ही वेग से एक साथ चल रहे हैं, इसलिए स्रोत और श्रोता के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं है।
इसलिए, यात्री द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f$, सीटी की वास्तविक आवृत्ति $n$ के बराबर होती है।
अतः, $f = n$।

(A) जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर $v_S$ वेग से गति करता है,तो डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार आभासी आवृत्ति $n$ इस प्रकार दी जाती है: $n = n_0 \left( \frac{v}{v - v_S} \right)$,जहाँ $n_0$ वास्तविक आवृत्ति है और $v$ ध्वनि की गति है।
दिया गया है कि $v_S = \frac{v}{10}$,इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{n}{n_0} = \frac{v}{v - \frac{v}{10}}$
$\frac{n}{n_0} = \frac{v}{\frac{9v}{10}}$
$\frac{n}{n_0} = \frac{10}{9}$
अतः,आभासी और वास्तविक आवृत्ति का अनुपात $10:9$ है।

(B) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,पहले ओवरटोन की आवृत्ति $f_1 = \frac{3v_1}{4L_1}$ द्वारा दी जाती है।
एक खुली ऑर्गन पाइप के लिए,पहले ओवरटोन की आवृत्ति $f_2 = \frac{2v_2}{2L_2} = \frac{v_2}{L_2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि आवृत्तियाँ समान हैं,इसलिए $\frac{3v_1}{4L_1} = \frac{v_2}{L_2}$।
गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{1}{\rho K}}$ होती है,जहाँ $K$ संपीड्यता है। चूंकि दोनों गैसों के लिए $K$ समान है,इसलिए $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$।
अतः,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$।
इस मान को आवृत्ति समीकरण में रखने पर: $\frac{3}{4L_1} \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}} = \frac{1}{L_2}$।
$L_2$ के लिए हल करने पर,हमें $L_2 = \frac{4L_1}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$ प्राप्त होता है।

(B) एक खुली पाइप के लिए, अंत सुधार $e$ का सूत्र $e = 0.6 \times d$ होता है, जहाँ $d$ पाइप का आंतरिक व्यास है।
दिया गया है कि अंत सुधार $e = 0.8 \,cm$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $0.8 = 0.6 \times d$.
इसलिए, $d = \frac{0.8}{0.6} = \frac{4}{3} \,cm$.
चूंकि आंतरिक त्रिज्या $r$, व्यास $d$ की आधी होती है, इसलिए $r = \frac{d}{2}$ होगा।
$r = \frac{4/3}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \,cm$.
अतः, पाइप की आंतरिक त्रिज्या $\frac{2}{3} \,cm$ है।

(B) $l$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $v = 333 \,m/s$ और $l = 33.3 \,cm = 0.333 \,m$ दिया गया है।
$f_0 = \frac{333}{2 \times 0.333} = \frac{333}{0.666} = 500 \,Hz$।
एक खुली ऑर्गन पाइप में, सभी हार्मोनिक्स मौजूद होते हैं, इसलिए $n$-वां ओवरटोन $(n+1)$-वां हार्मोनिक होता है।
पांचवां ओवरटोन छठे हार्मोनिक के अनुरूप है।
पांचवें ओवरटोन की आवृत्ति $f_5 = 6 \times f_0 = 6 \times 500 \,Hz = 3000 \,Hz$ होगी।

(C) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
द्रव '$A$' के लिए दिया गया है: $h_1 = 5 \,cm$,पृष्ठ तनाव = $T_1$,घनत्व = $\rho_1$।
द्रव '$B$' के लिए दिया गया है: पृष्ठ तनाव $T_2 = 2T_1$,घनत्व $\rho_2 = 2\rho_1$,और नली की त्रिज्या $r$ तथा संपर्क कोण $\theta$ समान रहते हैं।
द्रव '$B$' के लिए सूत्र में मान रखने पर:
$h_2 = \frac{2T_2 \cos \theta}{r \rho_2 g} = \frac{2(2T_1) \cos \theta}{r(2\rho_1) g} = \frac{4T_1 \cos \theta}{2r \rho_1 g} = \frac{2T_1 \cos \theta}{r \rho_1 g}$।
चूंकि $h_1 = \frac{2T_1 \cos \theta}{r \rho_1 g} = 5 \,cm$ है,इसलिए $h_2 = h_1 = 5 \,cm$ प्राप्त होता है।
मीटर में बदलने पर: $5 \,cm = 0.05 \,m$।

(D) तनी हुई डोरी के लिए,मूल आवृत्ति (पहला हार्मोनिक) $n = \frac{v}{2l} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है।
दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $2n = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है।
पहला ओवरटोन मूल आवृत्ति के बाद अगली संभावित आवृत्ति है,जो $n_1 = \frac{2v}{2l} = \frac{v}{l} = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है।
इनकी तुलना करने पर,पहले ओवरटोन की आवृत्ति दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति के बराबर होती है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(B) $L$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n_{\text{open}} = \frac{v}{2L} = n$ द्वारा दी जाती है ... $(i)$
चूंकि पाइप डोरी के साथ अनुनाद में है,इसलिए डोरी की आवृत्ति $n_s = n = \frac{v}{2L}$ है।
जब नली को पानी में इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी लंबाई का $75 \%$ हिस्सा अंदर हो,तो वायु स्तंभ की शेष लंबाई $l_1 = 25 \% \times L = \frac{L}{4}$ होती है।
अब यह पाइप एक बंद ऑर्गन पाइप (एक सिरे पर बंद) के रूप में कार्य करती है।
इस बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n_{\text{closed}} = \frac{v}{4l_1} = \frac{v}{4(L/4)} = \frac{v}{L}$ है।
हमें डूबी हुई नली के वायु स्तंभ की मूल आवृत्ति $(n_{\text{closed}})$ और डोरी की आवृत्ति $(n_s)$ का अनुपात ज्ञात करना है:
अनुपात $= \frac{n_{\text{closed}}}{n_s} = \frac{v/L}{v/2L} = \frac{2}{1}$.

(A) $L_1$ लंबाई की बंद पाइप $A$ की मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{4L_1}$ द्वारा दी जाती है।
$L_2$ लंबाई की खुली पाइप $B$ के लिए,आवृत्तियाँ $n = \frac{mv}{2L_2}$ होती हैं,जहाँ $m = 1, 2, 3, \dots$ है। पहला ओवरटोन $m=2$ और दूसरा ओवरटोन $m=3$ होता है।
अतः,पाइप $B$ के दूसरे ओवरटोन की आवृत्ति $n_2 = \frac{3v}{2L_2}$ है।
यह दिया गया है कि आवृत्तियाँ एकसमान हैं,इसलिए $n_1 = n_2$.
अतः,$\frac{v}{4L_1} = \frac{3v}{2L_2}$।
अनुपात $\frac{L_1}{L_2}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{L_1}{L_2} = \frac{2}{4 \times 3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अनुपात $1:6$ है।

(C) मान लीजिए कि खुली पाइप की लंबाई $l$ है और बंद पाइप की लंबाई $L$ है। मान लीजिए हवा में ध्वनि की गति $v$ है।
खुली पाइप के लिए,$p$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_p = (p+1) \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है। दूसरा ओवरटोन $p=2$ के अनुरूप है,इसलिए $f_{o} = 3 \frac{v}{2l}$।
बंद पाइप के लिए,$p$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_p = (2p+1) \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है। पहला ओवरटोन $p=1$ के अनुरूप है,इसलिए $f_{c} = 3 \frac{v}{4L}$।
यह दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं: $f_{o} = f_{c}$।
$\frac{3v}{2l} = \frac{3v}{4L}$।
दोनों पक्षों से $3v$ को हटाने पर,हमें $\frac{1}{2l} = \frac{1}{4L}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$2l = 4L$,जिसे सरल करने पर $l = 2L$ प्राप्त होता है।

(A) तरंग का वेग $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $v = 50 \,m/s$ और $f = 200 \,Hz$ दिया गया है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करने पर:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{50}{200} = 0.25 \,m$।
अप्रगामी तरंग में, दो क्रमागत प्रस्पंदों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी $(\frac{\lambda}{2})$ होती है।
दूरी $= \frac{0.25 \,m}{2} = 0.125 \,m$।

(B) $l$ लंबाई और दोनों सिरों पर '$e$' अंत सुधार वाले खुले पाइप के लिए प्रभावी लंबाई $L_{eff} = l + 2e$ होती है।
खुले पाइप के लिए मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{2L_{eff}}$ होती है।
हार्मोनिक्स $n_p = p \cdot n_1$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $p = 1, 2, 3, \dots$ है।
पहला ओवरटोन $p=2$ है और दूसरा ओवरटोन $p=3$ है।
अतः,दूसरे ओवरटोन की आवृत्ति $n_3 = \frac{3v}{2(l+2e)}$ है।
संबंध $v = n_3 \lambda_3$ का उपयोग करते हुए,हमें $\lambda_3 = \frac{v}{n_3}$ प्राप्त होता है।
$n_3$ का मान रखने पर,$\lambda_3 = \frac{v}{\frac{3v}{2(l+2e)}} = \frac{2(l+2e)}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $l_1$ और $l_2$ पहले और दूसरे अनुनाद के लिए लंबाई हैं और $x$ अंत सुधार (end correction) है।
पहले अनुनाद के लिए: $l_1 + x = \frac{\lambda}{4}$
दूसरे अनुनाद के लिए: $l_2 + x = \frac{3\lambda}{4}$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{l_2 + x}{l_1 + x} = 3 \implies l_2 + x = 3l_1 + 3x \implies 2x = l_2 - 3l_1$
$2x = 70.2 - 3(22.7) = 70.2 - 68.1 = 2.1 \,cm \implies x = 1.05 \,cm$
तीसरे अनुनाद के लिए: $l_3 + x = \frac{5\lambda}{4} = 5(l_1 + x)$
$l_3 = 5l_1 + 4x = 5(22.7) + 4(1.05) = 113.5 + 4.2 = 117.7 \,cm$

(D) सीधी छड़ का चुम्बकीय आघूर्ण $M = m \times L$ है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है।
जब छड़ को अर्धवृत्ताकार चाप में मोड़ा जाता है,तो लंबाई $L$ अर्धवृत्त की चाप की लंबाई बन जाती है।
अतः,$L = \pi r$,जिससे त्रिज्या $r = \frac{L}{\pi}$ प्राप्त होती है।
नया चुम्बकीय आघूर्ण $M_{\text{new}}$ ध्रुव प्राबल्य $m$ और प्रभावी लंबाई (दोनों सिरों के बीच की दूरी,जो व्यास $2r$ है) का गुणनफल है।
$M_{\text{new}} = m \times (2r) = m \times \left( \frac{2L}{\pi} \right)$.
चूँकि $m = \frac{M}{L}$,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$M_{\text{new}} = \left( \frac{M}{L} \right) \times \left( \frac{2L}{\pi} \right) = \frac{2M}{\pi}$.

(D) चुंबकन $M$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया गया है,$M = \frac{m_{net}}{V}$।
इसलिए,कुल चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m_{net} = M \times V$ है।
बेलनाकार छड़ का आयतन $V = \pi r^2 l = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 l$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $M = 5.3 \times 10^3 \ A/m$,$l = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$d = 1 \ cm = 0.01 \ m$।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 0.005 \ m$।
$V = 3.142 \times (0.005)^2 \times 0.05 = 3.142 \times 25 \times 10^{-6} \times 0.05 = 3.9275 \times 10^{-6} \ m^3$।
$m_{net} = (5.3 \times 10^3) \times (3.9275 \times 10^{-6}) \approx 2.08 \times 10^{-2} \ J/T$।

(C) वृत्ताकार पथ में परिक्रमा कर रहे एक इलेक्ट्रॉन का कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $M_0$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$M_0 = \frac{-e}{2m_e} L$
जहाँ '$e$' इलेक्ट्रॉन का आवेश है,'$m_e$' इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,और '$L$' कोणीय संवेग है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $M_0$,इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग $L$ के सीधे समानुपाती होता है।

(D) धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $(m)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$m = nIA$
जहाँ $n$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के लिए,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$m = nI(\pi r^2)$
अतः,चुंबकीय आघूर्ण फेरों की संख्या $(n)$,धारा $(I)$,और कुंडली की त्रिज्या $(r)$ पर निर्भर करता है।

(A) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य है, $P$ आघूर्ण वाले द्विध्रुव के केंद्र से $x$ दूरी पर है। $27P$ आघूर्ण वाले द्विध्रुव से इसकी दूरी $(24 - x)$ होगी।
द्विध्रुव के अक्षीय बिंदु के लिए विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
जिस बिंदु पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य है, वहाँ दोनों द्विध्रुवों के कारण विद्युत क्षेत्र के परिमाण समान होने चाहिए:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2P}{x^3} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2(27P)}{(24 - x)^3}$
$\frac{1}{x^3} = \frac{27}{(24 - x)^3}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{3}{24 - x}$
$24 - x = 3x$
$4x = 24$
$x = 6 \,cm$.

(B) तार की लंबाई स्थिर रहती है। मान लीजिए $N_1 = n$ और $N_2$ नई कुंडली में फेरों की संख्या है।
चूंकि तार की कुल लंबाई $L = N_1 (2 \pi R) = N_2 (2 \pi R_2)$ है,जहाँ $R_2 = \frac{R}{3}$:
$N_1 (2 \pi R) = N_2 (2 \pi \frac{R}{3})$
$N_1 = \frac{N_2}{3} \implies N_2 = 3 N_1$.
कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $\mu = N I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = \pi R^2$ है।
मूल कुंडली के लिए: $\mu_1 = N_1 I (\pi R^2)$.
नई कुंडली के लिए: $\mu_2 = N_2 I (\pi R_2^2) = (3 N_1) I \pi (\frac{R}{3})^2 = 3 N_1 I \pi \frac{R^2}{9} = \frac{1}{3} N_1 I \pi R^2$.
अतः,अनुपात $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\frac{1}{3} N_1 I \pi R^2}{N_1 I \pi R^2} = \frac{1}{3}$.

(D) वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ है।
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = i \pi r^2$ है।
अनुपात $x = \frac{B}{M} = \frac{\mu_0 i / 2r}{i \pi r^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi r^3}$ है।
जब धारा $i$ दोगुनी $(2i)$ और त्रिज्या $r$ दोगुनी $(2r)$ हो जाती है,तो नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{\mu_0 (2i)}{2(2r)} = \frac{\mu_0 i}{2r} = B$ होता है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = (2i) \pi (2r)^2 = (2i) \pi (4r^2) = 8(i \pi r^2) = 8M$ होता है।
नया अनुपात $x' = \frac{B'}{M'} = \frac{B}{8M} = \frac{1}{8} \left( \frac{B}{M} \right) = \frac{x}{8}$ होगा।

(C) एक वृत्ताकार लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के लिए,क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ होता है।
अतः,$M = I (\pi R^2)$.
तार की लंबाई $L$ लूप की परिधि बनाती है,इसलिए $L = 2 \pi R$,जिसका अर्थ है $R = \frac{L}{2 \pi}$.
$R$ का मान चुंबकीय आघूर्ण के समीकरण में रखने पर:
$M = I \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2$
$M = I \pi \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right)$
$M = \frac{I L^2}{4 \pi}$
$L$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$L^2 = \frac{4 M \pi}{I}$
$L = \sqrt{\frac{4 M \pi}{I}}$ या $\left[ \frac{4 M \pi}{I} \right]^{\frac{1}{2}}$.

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के लिए,चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$qvB = \frac{mv^2}{R}$
$\therefore R = \frac{mv}{qB}$ ... $(i)$
यहाँ नई चाल $v' = \frac{v}{2}$ और नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = 2B$ दिया गया है।
नई त्रिज्या $R'$ इस प्रकार होगी:
$R' = \frac{mv'}{qB'} = \frac{m(v/2)}{q(2B)}$
$R' = \frac{mv}{4qB}$
समीकरण $(i)$ को $R'$ के व्यंजक में रखने पर:
$R' = \frac{R}{4}$

(C) $h$ दूरी पर स्थित $I_1$ और $I_2$ धारा वाले दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल $F/l = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi h}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए बल प्रतिकर्षी है।
संतुलन की स्थिति में,प्रतिकर्षी चुंबकीय बल तार $PQ$ पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है:
$F = mg$
$\frac{\mu_0 I^2 l}{2 \pi h} = mg$
दिया गया है: $I = 25 \,A$,$l = 1 \,m$,$m = 2.5 \,g = 2.5 \times 10^{-3} \,kg$,$g = 9.8 \,m/s^2$,$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$.
मान रखने पर:
$h = \frac{\mu_0 I^2 l}{2 \pi m g} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (25)^2 \times 1}{2 \pi \times (2.5 \times 10^{-3}) \times 9.8}$
$h = \frac{2 \times 10^{-7} \times 625}{2.5 \times 10^{-3} \times 9.8} = \frac{1250 \times 10^{-7}}{24.5 \times 10^{-3}} = \frac{1250}{24.5} \times 10^{-4} \,m \approx 51 \times 10^{-4} \,m \approx 5.1 \,mm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $5 \,mm$ है।

(D) एक वृत्ताकार धारा-वाही लूप द्वारा उसकी अक्ष पर किसी भी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र लूप की अक्ष की दिशा में होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन को उसी अक्ष के अनुदिश प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए उसका वेग सदिश $\vec{v}$,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर होता है।
अतः,वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta$ या तो $0^{\circ}$ है या $180^{\circ}$ है।
गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेन्ज बल सूत्र $F = qvB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin(0^{\circ}) = 0$ या $\sin(180^{\circ}) = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$F = 0$। इलेक्ट्रॉन कोई बल अनुभव नहीं करेगा।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित गतिकीय विद्युत वाहक बल (e.m.f.) का सूत्र है: $\varepsilon = B \cdot l \cdot v$।
दी गई मान:
चुंबकीय क्षेत्र $B = 5 \times 10^{-5} \ T$,
पंखों की लंबाई $l = 40 \ m$,
गति $v = 500 \ m/s$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\varepsilon = (5 \times 10^{-5} \ T) \times (40 \ m) \times (500 \ m/s)$
$\varepsilon = 5 \times 10^{-5} \times 20000$
$\varepsilon = 5 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^4$
$\varepsilon = 10 \times 10^{-1} \ V$
$\varepsilon = 1 \ V$।
अतः,उत्पन्न विद्युत वाहक बल $1 \ V$ है।

(B) क्यूरी के नियम के अनुसार,किसी अनुचुंबकीय पदार्थ का चुंबकन $M$,आरोपित चुंबकीय क्षेत्र $B$ के सीधे आनुपातिक और परम ताप $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे $M \propto \frac{B}{T}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
क्यूरी नियतांक $C$ को शामिल करने पर,हमें संबंध $M = C \frac{B}{T}$ प्राप्त होता है,जिसे $M = \frac{CB}{T}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) धारणशीलता (Retentivity) या अवशेष चुंबकत्व (Remanence) एक चुंबकीय पदार्थ की बाह्य चुंबकन क्षेत्र की अनुपस्थिति में भी चुंबकत्व बनाए रखने की क्षमता है।
जब चुंबकन बल $(H)$ को घटाकर शून्य कर दिया जाता है,तो पदार्थ में शेष बचे चुंबकीय प्रेरण $(B)$ को धारणशीलता कहा जाता है।
अतः,धारणशीलता $B$ के उस मान के अनुरूप है जब $H = 0$ होता है।

(C) दिया गया है: $N = 100$, $A = 2 \, m^2$, $\omega = 30 \, rad/s$, $B = 2 \times 10^{-2} \, T$, $R = 600 \, \Omega$.
कुंडली में प्रेरित अधिकतम विद्युत वाहक बल $(E_0)$ है:
$E_0 = N A B \omega$
$E_0 = 100 \times 2 \times (2 \times 10^{-2}) \times 30$
$E_0 = 100 \times 2 \times 0.02 \times 30 = 120 \, V$.
$A.C.$ परिपथ में व्यय होने वाली अधिकतम शक्ति है:
$P_{\max} = \frac{E_0^2}{2R}$
मान रखने पर:
$P_{\max} = \frac{120 \times 120}{2 \times 600}$
$P_{\max} = \frac{14400}{1200} = 12 \, W$.

(D) जब एक आवेश '$q$' वेग '$\overrightarrow{v}$' के साथ ऐसे क्षेत्र में गति करता है जहाँ विद्युत क्षेत्र '$\overrightarrow{E}$' और चुंबकीय क्षेत्र '$\overrightarrow{B}$' दोनों मौजूद हों,तो वह दो बल अनुभव करता है:
$1$. विद्युत बल: $\overrightarrow{F}_e = q\overrightarrow{E}$
$2$. चुंबकीय बल (लोरेंत्ज़ बल): $\overrightarrow{F}_m = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$
आवेश पर कार्य करने वाला कुल बल इन दोनों बलों का सदिश योग होता है,जिसे लोरेंत्ज़ बल कहा जाता है:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F}_e + \overrightarrow{F}_m = q\overrightarrow{E} + q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) जैसे ही छड़ चुंबक खोखले धातु के पाइप से गिरता है,पाइप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स लगातार बदलता रहता है।
फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,चुंबकीय फ्लक्स में यह परिवर्तन पाइप में एक विद्युत वाहक बल $(emf)$ प्रेरित करता है।
चूंकि पाइप एक सुचालक है,इसलिए यह प्रेरित $emf$ पाइप के शरीर के भीतर भंवर धाराओं (eddy currents) को प्रवाहित करता है।
लेंज के नियम के अनुसार,ये भंवर धाराएं एक चुंबकीय क्षेत्र बनाती हैं जो गिरते हुए चुंबक की गति का विरोध करता है।
यह विरोधी बल ऊपर की ओर कार्य करता है,जिससे चुंबक पर लगने वाला कुल नीचे की ओर का बल कम हो जाता है।
परिणामस्वरूप,चुंबक का शुद्ध त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ से कम होता है।

(A) प्रतिचुंबकीय पदार्थों की चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ छोटी और ऋणात्मक होती है। यह इलेक्ट्रॉनों की कक्षीय गति के कारण उत्पन्न होती है और अनिवार्य रूप से तापमान से स्वतंत्र होती है। इसके विपरीत, अनुचुंबकीय और लौहचुंबकीय पदार्थों की चुंबकीय प्रवृत्ति क्रमशः क्यूरी के नियम और क्यूरी-वाइस नियम के अनुसार तापमान पर निर्भर करती है।

(A) चुंबकीय परिरक्षण (Magnetic shielding) संवेदनशील उपकरण को उच्च चुंबकीय पारगम्यता (magnetic permeability) वाले पदार्थ,जैसे कि नरम लोहे,के खोल में रखकर प्राप्त किया जाता है।
जब एक बाहरी चुंबकीय क्षेत्र लगाया जाता है,तो चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हवा या आंतरिक स्थान के बजाय उच्च पारगम्यता वाले पदार्थ से गुजरना पसंद करती हैं।
यह प्रभावी रूप से चुंबकीय फ्लक्स को संरक्षित क्षेत्र के चारों ओर मोड़ देता है,जिससे उपकरण बाहरी चुंबकीय क्षेत्र से सुरक्षित हो जाता है।

(D) जब तार अंतिम वेग (terminal velocity) प्राप्त कर लेता है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य हो जाता है।
इसलिए,चुंबकीय बल = गुरुत्वाकर्षण बल
$iBl = mg$
चूंकि प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R}$ और प्रेरित विद्युत वाहक बल $e = Bvl$ है,इसलिए इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{Bvl}{R} \cdot Bl = mg$
$\frac{B^2 l^2 v}{R} = mg$
अंतिम वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v = \frac{mgR}{B^2 l^2}$

(B) रेडियोधर्मी विघटन के नियम के अनुसार,$t$ समय पर परमाणुओं की संख्या $N$ इस प्रकार दी जाती है: $N = N_0 e^{-\lambda t}$.
यहाँ,$N_0$ परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या है।
हमें $t = \frac{1}{2 \lambda}$ समय पर $\frac{N_0}{N}$ का अनुपात ज्ञात करना है।
समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda \times \frac{1}{2 \lambda}}$
$\frac{N}{N_0} = e^{-\frac{1}{2}}$
$\frac{N_0}{N}$ ज्ञात करने के लिए व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{N_0}{N} = e^{\frac{1}{2}}$
$\frac{N_0}{N} = \sqrt{e}$

(C) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को सूत्र $A = \lambda N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ अविघटित परमाणुओं की संख्या है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ है।
दो रेडियोधर्मी तत्वों के लिए,उनकी सक्रियता इस प्रकार है:
$A_1 = \lambda_1 N_1 = \frac{\ln 2}{T_1} N_1$
$A_2 = \lambda_2 N_2 = \frac{\ln 2}{T_2} N_2$
उनकी सक्रियता का अनुपात है:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{(\frac{\ln 2}{T_1}) N_1}{(\frac{\ln 2}{T_2}) N_2}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{N_1}{T_1} \times \frac{T_2}{N_2} = \frac{N_1 T_2}{N_2 T_1}$

(B) मान लीजिए कि मूल नाभिक ${ }_{Z} X^{A}$ है।
जब एक $\alpha$ कण $({ }_{2} He^{4})$ उत्सर्जित होता है,तो नाभिक ${ }_{Z-2} Y^{A-4}$ बन जाता है।
जब एक $\beta^{-}$ कण $({ }_{-1} e^{0})$ उत्सर्जित होता है,तो परमाणु क्रमांक $1$ से बढ़ जाता है $(Z-2+1 = Z-1)$।
जब दो $\beta^{-}$ कण उत्सर्जित होते हैं,तो परमाणु क्रमांक $2$ से बढ़ जाता है $(Z-2+2 = Z)$।
इस प्रकार,अंतिम नाभिक ${ }_{Z} X^{A-4}$ प्राप्त होता है,जो मूल नाभिक ${ }_{Z} X^{A}$ का एक समस्थानिक है क्योंकि उनका परमाणु क्रमांक $Z$ समान है लेकिन द्रव्यमान संख्या भिन्न है।

(C) दिया गया है:
कुल समय,$T = 10$ वर्ष
अर्ध-आयु,$T_{1/2} = 5$ वर्ष
अर्ध-आयु की संख्या,$n = \frac{T}{T_{1/2}} = \frac{10}{5} = 2$
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए,शेष अंश $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n$ का मान रखने पर,$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$
इसका अर्थ है कि $10$ वर्षों के बाद मूल पदार्थ का $\frac{1}{4}$ भाग शेष रहता है।
क्षयित अंश $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं: $\frac{3}{4} \times 100 = 75 \%$
अतः,$10$ वर्षों में नमूने का $75 \%$ भाग क्षयित हो जाएगा।

(A) रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,अविघटित रहने वाले नमूने का अंश इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$
यहाँ,कुल बीता हुआ समय $t = 6400$ वर्ष है और अर्ध-आयु $T = 1600$ वर्ष है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{6400}{1600}}$
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$
$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$
अतः,$6400$ वर्षों के बाद नमूने का $\frac{1}{16}$ भाग अविघटित रहेगा।

(D) जब प्रकाश एक लेंस से गुजरता है,तो लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक प्रकाश की तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करता है। चूंकि विभिन्न रंगों की तरंग दैर्ध्य अलग-अलग होती है,इसलिए उनका अपवर्तन भी अलग-अलग मात्रा में होता है। परिणामस्वरूप,लेंस से गुजरने के बाद विभिन्न रंगों की किरणें एक ही बिंदु पर केंद्रित नहीं होती हैं। इस घटना को वर्ण विपथन (chromatic aberration) कहा जाता है।

(D) एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण का सूत्र $\delta = (\mu - 1)A$ है,जहाँ $\mu$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म सामग्री का सापेक्ष अपवर्तनांक है।
$1$. जब प्रिज्म हवा में हो:
$\mu_1 = \frac{\mu_{\text{glass}}}{\mu_{\text{air}}} = \frac{3/2}{1} = \frac{3}{2}$
$\delta_1 = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$
$2$. जब प्रिज्म पानी में हो:
$\mu_2 = \frac{\mu_{\text{glass}}}{\mu_{\text{water}}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$
$\delta_2 = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$
$3$. अनुपात की गणना:
$\frac{\delta_1}{\delta_2} = \frac{\frac{1}{2}A}{\frac{1}{8}A} = \frac{1}{2} \times 8 = 4$
अतः,अनुपात $\delta_1 : \delta_2$ का मान $4 : 1$ है।

(C) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f} = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = +40 \ cm$ और $R_2 = -40 \ cm$ है।
हवा में $(n_a = 1)$: $P_{air} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.5 \times \frac{2}{40} = \frac{0.5}{20} = \frac{1}{40} \ cm^{-1}$.
द्रव में $(n_l = 1.25)$: सापेक्ष अपवर्तनांक $n_{rel} = \frac{n_g}{n_l} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2$ है।
$P_{liquid} = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.2 \times \frac{2}{40} = \frac{0.4}{40} = \frac{1}{100} \ cm^{-1}$.
द्रव में शक्ति और हवा में शक्ति का अनुपात $\frac{P_{liquid}}{P_{air}} = \frac{1/100}{1/40} = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$ है।

(B) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $f$ मीटर में फोकस दूरी है।
संपर्क में रखे गए पतले लेंसों के संयोजन के लिए, तुल्य शक्ति $P$ व्यक्तिगत शक्तियों का बीजगणितीय योग होती है:
$P = P_1 + P_2$
दिया गया है:
$P_1 = -15 D$
$P_2 = +5 D$
मान रखने पर:
$P = -15 D + 5 D = -10 D$
अब, फोकस दूरी $f$ की गणना करें:
$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-10} \,m$
$f = -0.1 \,m$
सेंटीमीटर में बदलने पर $(1 \,m = 100 \,cm)$:
$f = -0.1 \times 100 \,cm = -10 \,cm$
अतः, संयोजन की फोकस दूरी $-10 \,cm$ है।

(C) उत्तल लेंस द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ है,जहाँ $v$ प्रतिबिंब की दूरी है और $u$ वस्तु की दूरी है। वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$m$ ऋणात्मक होता है। मान लीजिए आवर्धन का परिमाण $M = |m|$ है। तब $v = M u$।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$।
$u = \frac{v}{M}$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{M}{v} = \frac{1}{F}$।
$\frac{1-M}{v} = \frac{1}{F} \implies v = F(1-M)$।
हालाँकि,मानक परिपाटी में जहाँ $m$ को प्रतिबिंब के आकार और वस्तु के आकार के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,वास्तविक प्रतिबिंब के लिए $v = F(1+m)$ वह मानक परिणाम है जो $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ से प्राप्त होता है (जहाँ $u$ को ऋणात्मक लिया जाता है)।
अतः,$v = F(1+m)$।

(A) एक द्वि-उत्तल लेंस के लिए, लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{F} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
यह मानते हुए कि $R_1 = R_2 = R$, हमारे पास $\frac{1}{F} = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$ है।
जब लेंस को ऊर्ध्वाधर अक्ष के अनुदिश दो बराबर भागों में काटा जाता है, तो प्रत्येक भाग एक समतल-उत्तल लेंस बन जाता है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए, एक वक्रता त्रिज्या $R$ है और दूसरी $\infty$ है।
नई फोकस दूरी $F'$ के लिए लेंस मेकर सूत्र लागू करने पर:
$\frac{1}{F'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{1/F}{1/F'} = \frac{(\mu - 1) \times (2/R)}{(\mu - 1) / R} = 2$।
इसलिए, $\frac{F'}{F} = 2$, जिससे $F' = 2 F$ प्राप्त होता है।

(A) लेंस या दर्पण की प्रकाश किरणों को अभिसरित (converge) या अपसरित (diverge) करने की क्षमता को उसकी शक्ति (power) कहा जाता है।
लेंस के लिए,शक्ति $P$ उसकी फोकस दूरी $f$ (मीटर में) के व्युत्क्रम के बराबर होती है,अर्थात $P = 1/f$।
इसलिए,इस क्षमता के लिए सही शब्द फोकस शक्ति (या केवल शक्ति) है।

(D) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
समान वक्रता त्रिज्या $R$ वाले उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ लेने पर,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
अतः,$\frac{1}{f} = \frac{2(\mu - 1)}{R}$.
जब एक सतह को घिसकर समतल कर दिया जाता है,तो नई त्रिज्याएँ $R_1 = R$ और $R_2 = \infty$ हो जाती हैं।
नई फोकस दूरी $f'$ के लिए,$\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$\frac{1}{f'} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{f} \right)$,जिसका अर्थ है कि $f' = 2f$.
चूंकि लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f}$ होती है,इसलिए नई शक्ति $P' = \frac{1}{f'} = \frac{1}{2f} = \frac{P}{2}$.
अतः,नई फोकस दूरी $2f$ और नई शक्ति $\frac{P}{2}$ होगी।

(D) मान लीजिए कि दो लेंसों की शक्तियाँ $P_1$ और $P_2$ हैं। जब लेंस संपर्क में होते हैं,तो समतुल्य शक्ति $P = P_1 + P_2 = 10 D$ द्वारा दी जाती है।
जब लेंस $d = 0.25 m$ की दूरी पर होते हैं,तो समतुल्य शक्ति $P = P_1 + P_2 - d P_1 P_2 = 6 D$ द्वारा दी जाती है।
दूसरे समीकरण में $P_1 + P_2 = 10$ रखने पर: $10 - 0.25 P_1 P_2 = 6$।
इसे सरल करने पर $0.25 P_1 P_2 = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $P_1 P_2 = 16$।
हम जानते हैं कि $(P_1 - P_2)^2 = (P_1 + P_2)^2 - 4 P_1 P_2$।
$(P_1 - P_2)^2 = (10)^2 - 4(16) = 100 - 64 = 36$।
अतः,$P_1 - P_2 = 6 D$।
समीकरण $P_1 + P_2 = 10$ और $P_1 - P_2 = 6$ को हल करने पर,हमें $2 P_1 = 16 \Rightarrow P_1 = 8 D$ और $P_2 = 2 D$ प्राप्त होता है।

(B) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(P)$ का सूत्र है: $P = \frac{2 \mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$.
यहाँ,$\mu$ वस्तु और अभिदृश्यक लेंस के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक है,$\theta$ वस्तु से आने वाले प्रकाश के शंकु का आधा कोण है,और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है।
विभेदन क्षमता में सुधार करने के लिए,अंश को बढ़ाना या हर को कम करना आवश्यक है।
इसलिए,वस्तु और अभिदृश्यक लेंस के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक $(\mu)$ बढ़ाने से विभेदन क्षमता बढ़ जाती है।

(C) द्वितीयक इंद्रधनुष के निर्माण में पानी की बूंदों के भीतर दो बार अपवर्तन,दो बार पूर्ण आंतरिक परावर्तन और प्रकाश का कोणीय विक्षेपण शामिल होता है।
व्यतिकरण एक तरंग घटना है जो इंद्रधनुष के निर्माण के ज्यामितीय प्रकाशिकी विवरण में प्राथमिक तंत्र नहीं है।
अतः,द्वितीयक इंद्रधनुष के निर्माण में व्यतिकरण शामिल नहीं है।

(D) चांदी वाली सतह से परावर्तन के बाद प्रकाश किरण को अपने पथ पर वापस लौटने के लिए,इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत टकराना चाहिए।
प्रिज्म में,पहली सतह पर अपवर्तन कोण '$r_1$' है। प्रिज्म की ज्यामिति से,दूसरी सतह पर आपतन कोण '$r_2$' है। चूंकि किरण लंबवत टकराती है,इसलिए '$r_2 = 0$'.
संबंध '$A = r_1 + r_2$' का उपयोग करने पर,हमें '$A = r_1 + 0$' प्राप्त होता है,इसलिए '$r_1 = A$'.
पहली सतह पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: '$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$'.
दिया गया आपतन कोण '$i = 2A$' है,इसलिए '$\mu = \frac{\sin 2A}{\sin A}$'.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका '$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$' का उपयोग करने पर,हमें '$\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\sin A} = 2 \cos A$' प्राप्त होता है।
अतः,प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक '$2 \cos A$' है।

(A) प्रिज्म की विक्षेपण क्षमता $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y}$ है,जहाँ $\delta_v$ बैंगनी प्रकाश के लिए विचलन है,$\delta_r$ लाल प्रकाश के लिए विचलन है,और $\delta_y$ माध्य विचलन है,जिसकी गणना $\delta_y = \frac{\delta_v + \delta_r}{2}$ द्वारा की जाती है।
पहले प्रिज्म के लिए:
$\delta_v = 11^{\circ}$,$\delta_r = 9^{\circ}$.
$\delta_{y1} = \frac{11 + 9}{2} = 10^{\circ}$.
$\omega_1 = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
दूसरे प्रिज्म के लिए:
$\delta_v = 13^{\circ}$,$\delta_r = 11^{\circ}$.
$\delta_{y2} = \frac{13 + 11}{2} = 12^{\circ}$.
$\omega_2 = \frac{13 - 11}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
दूसरे प्रिज्म की विक्षेपण क्षमता का पहले प्रिज्म के साथ अनुपात $\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{1/6}{1/5} = \frac{5}{6}$ है।
अतः,अनुपात $5: 6$ है।

(C) दिया गया है: किरण दूसरी सतह से अभिलंबवत बाहर निकलती है,इसलिए निर्गत कोण $e = 0$ है।
चूंकि $e = 0$,दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0$ होगा।
प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = r_1 + r_2$ होता है। $r_2 = 0$ रखने पर,हमें $A = r_1$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$ है।
चूंकि प्रिज्म कोण $A$ छोटा है,इसलिए $i$ और $r_1$ भी छोटे होंगे,अतः $\sin i \approx i$ और $\sin r_1 \approx r_1$ लिया जा सकता है।
इस प्रकार,$\mu = \frac{i}{r_1}$।
$r_1 = A$ रखने पर,हमें $\mu = \frac{i}{A}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $i = \mu A$।

(B) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $(i)$,निर्गत कोण $(e)$ के बराबर है,और $e = \frac{3}{4} A$ है।
$A$ का मान रखने पर:
$e = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$।
चूंकि $i = e$,इसलिए $i = 45^{\circ}$ है।
विचलन कोण $(\delta)$ का सूत्र $\delta = i + e - A$ है।
मान रखने पर:
$\delta = 45^{\circ} + 45^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,विचलन कोण $30^{\circ}$ है।

(C) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण $i$ परावर्तन कोण $r$ के बराबर होता है,इसलिए $i = r$।
स्नेल के नियम के अनुसार,जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है,जिसका अपवर्तनांक $n$ है (जहाँ $n$ विरल माध्यम के सापेक्ष सघन माध्यम का अपवर्तनांक है,$n > 1$):
$\frac{\sin i}{\sin r^{\prime}} = \frac{1}{n}$
चूंकि $i = r$,हमें प्राप्त होता है $\frac{\sin r}{\sin r^{\prime}} = \frac{1}{n}$।
यह दिया गया है कि परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए एक सीधी रेखा पर कोणों का योग $r + 90^{\circ} + r^{\prime} = 180^{\circ}$ होता है।
अतः,$r^{\prime} = 90^{\circ} - r$।
इस मान को स्नेल के नियम में रखने पर:
$\frac{\sin r}{\sin(90^{\circ} - r)} = \frac{1}{n}$
$\frac{\sin r}{\cos r} = \frac{1}{n}$
$\tan r = \frac{1}{n}$
क्रांतिक कोण $i_c$ को $\sin i_c = \frac{1}{n}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin i_c = \tan r$।
इसलिए,$i_c = \sin^{-1}(\tan r)$।

(D) $\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों द्वारा बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$ का सूत्र $n = \left( \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1 \right)$ होता है, यदि $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ एक सम पूर्णांक है।
यहाँ दिया गया है कि प्रतिबिंबों की संख्या $n = 3$ है, इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$3 = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$
$4 = \frac{360^{\circ}}{\theta}$
$\theta = \frac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}$
अतः, दो समतल दर्पणों के बीच का कोण $90^{\circ}$ होना चाहिए।

(D) पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ तब होता है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में यात्रा करता है।
$TIR$ होने के लिए दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. प्रकाश को प्रकाशीय रूप से सघन माध्यम से प्रकाशीय रूप से विरल माध्यम में जाना चाहिए।
$2$. आपतन कोण $(i)$ का मान माध्यमों के दिए गए युग्म के लिए क्रांतिक कोण $(i_{c})$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,सही शर्त $i > i_{c}$ है।

(B) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाले कांच के स्लैब द्वारा उत्पन्न सामान्य विस्थापन (normal shift) $x$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$x = t \left(1 - \frac{1}{\mu}\right)$
$t$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$x = t \left(\frac{\mu - 1}{\mu}\right)$
$t = \frac{x \cdot \mu}{\mu - 1}$
अतः,कांच के स्लैब की मोटाई $t = \frac{\mu x}{\mu - 1}$ है।

(A) मान लीजिए कि पहली सतह से हवा के बुलबुले की दूरी $l_1$ है और दूसरी सतह से $l_2$ है। घन की कुल लंबाई $L = 24 \,cm$ है। अतः, $l_1 + l_2 = 24 \,cm$, जिसका अर्थ है $l_2 = 24 - l_1$।
आभासी गहराई का सूत्र $\mu = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{आभासी गहराई}}$ है।
पहली सतह के लिए:
$\mu = \frac{l_1}{10} \quad \dots(i)$
दूसरी सतह के लिए:
$\mu = \frac{l_2}{6} = \frac{24 - l_1}{6} \quad \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{l_1}{10} = \frac{24 - l_1}{6}$
$6l_1 = 10(24 - l_1)$
$6l_1 = 240 - 10l_1$
$16l_1 = 240$
$l_1 = \frac{240}{16} = 15 \,cm$
अतः, पहली सतह से हवा के बुलबुले की दूरी $15 \,cm$ है।

(B) पानी का अपवर्तनांक $\mu_w = 1.33$ है और हवा का अपवर्तनांक $\mu_a = 1.0$ है।
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,फोकस दूरी $f$ का मान $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_l$ लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $\mu_m$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
एक द्वि-उत्तल वायु के बुलबुले के लिए,$R_1 > 0$ और $R_2 < 0$ होता है,इसलिए $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) > 0$ है।
यहाँ,$\mu_l = \mu_a = 1.0$ और $\mu_m = \mu_w = 1.33$ है।
चूंकि $\frac{\mu_a}{\mu_w} = \frac{1.0}{1.33} < 1$ है,इसलिए $(\frac{\mu_a}{\mu_w} - 1)$ का मान ऋणात्मक होता है।
अतः,फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक प्राप्त होती है,जो यह दर्शाता है कि वायु का बुलबुला एक अपसारी लेंस की तरह व्यवहार करता है।

(D) दिया गया है: $u = -x$ (वस्तु हवा में है),$v = +x$ (प्रतिबिंब कांच में है),$n_1 = 1$ (हवा का अपवर्तनांक),$n_2 = 1.5$ (कांच का अपवर्तनांक),और $R$ वक्रता त्रिज्या है।
गोलीय सतह के लिए अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1.5}{x} - \frac{1}{-x} = \frac{1.5 - 1}{R}$
$\frac{1.5}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{x} = \frac{0.5}{R}$
$x = \frac{2.5}{0.5} R = 5 R$
अतः,दूरी $x$ का मान $5 R$ के बराबर है।

(C) प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta = i + e - A$ द्वारा दिया जाता है। जब प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण आधार के समानांतर होती है,तो प्रिज्म न्यूनतम विचलन की स्थिति में होता है। न्यूनतम विचलन की स्थिति में,आपतन कोण निर्गत कोण के बराबर होता है,अर्थात $i = e$। अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) जेनर डायोड $V_{Z} = 5.0 \, V$ के स्थिर वोल्टेज पर कार्य करता है।
दिया गया इनपुट वोल्टेज $V_{S} = 12 \, V$ और अधिकतम पावर रेटिंग $P_{Z} = 2.0 \, W$ है।
जेनर डायोड द्वारा सहन की जा सकने वाली अधिकतम धारा $I_{Z_{\max}}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$I_{Z_{\max}} = \frac{P_{Z}}{V_{Z}} = \frac{2.0 \, W}{5.0 \, V} = 0.4 \, A = 400 \, mA$.
श्रेणी प्रतिरोध $R_{S}$ का उपयोग अतिरिक्त वोल्टेज $(V_{S} - V_{Z})$ को कम करने और धारा को $I_{Z_{\max}}$ तक सीमित करने के लिए किया जाता है।
$R_{S} = \frac{V_{S} - V_{Z}}{I_{Z_{\max}}} = \frac{12 \, V - 5.0 \, V}{0.4 \, A} = \frac{7}{0.4} \, \Omega = 17.5 \, \Omega$.

(B) जब एक $p-n$ जंक्शन डायोड को रिवर्स बायस किया जाता है,तो बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $n$-क्षेत्र से और ऋणात्मक टर्मिनल $p$-क्षेत्र से जुड़ा होता है।
यह विन्यास बहुसंख्यक आवेश वाहकों ($p$-क्षेत्र में होल और $n$-क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन) को जंक्शन से दूर खींचता है।
परिणामस्वरूप,अवक्षय परत (depletion layer) से आवेश वाहक और अधिक दूर हो जाते हैं,जिससे इसकी चौड़ाई बढ़ जाती है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।