MHT CET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) चार्ल्स के नियम के अनुसार,जब दाब स्थिर रखा जाता है,तो एक आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान का आयतन $(V)$ उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,इसे $V \propto T$ या $V = kT$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
यह संबंध $V$ बनाम $T$ ग्राफ पर मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
दिए गए विकल्पों में से,ग्राफ $Q$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा दिखाता है,जो स्थिर दाब पर तापमान के साथ आयतन के परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
ऑक्सीजन गैस $(O_2)$ के लिए: $P_1 V_1 = \frac{m_1}{M_1} RT_1$ ... $(i)$
हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ के लिए: $P_2 V_2 = \frac{m_2}{M_2} RT_2$ ... (ii)
दिया गया है कि $P_1 = P_2$,$V_1 = V_2$,और $m_1 = m_2$,समीकरण $(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{P_1 V_1}{P_2 V_2} = \frac{m_1 / M_1}{m_2 / M_2} \cdot \frac{T_1}{T_2}$
$1 = \frac{M_2}{M_1} \cdot \frac{T_1}{T_2}$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{M_1}{M_2}$
मोलर द्रव्यमान $M_1 (O_2) = 32 \text{ g/mol}$ और $M_2 (H_2) = 2 \text{ g/mol}$ रखने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{32}{2} = \frac{16}{1}$
अतः,उनके परम ताप का अनुपात $16: 1$ है।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस का परम तापमान $T$ उसके अणुओं की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
इसलिए,तापमान गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा का एक माप है।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार एक आदर्श गैस द्वारा पात्र की दीवारों पर लगाया गया दबाव $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हमारे पास $P = \frac{nRT}{V}$ है।
चूंकि एक बंद पात्र के लिए $n$,$R$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए दबाव $P$ तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $P \propto T$।
दीवारों पर लगाया गया बल $F = P \times A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ दीवार का सतह क्षेत्र है।
चूंकि एक बंद पात्र के लिए $A$ स्थिर है,इसलिए $F \propto P$।
अतः,$F \propto T$,जिसका अर्थ है $F \propto T^{1}$।
इसे $T^{x}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(C) रुद्धोष्म (Adiabatic) संपीडन के लिए,संबंध $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ होता है।
दिया गया है: $V_{\text{new}} = \frac{1}{4} V$ और $\gamma = \frac{3}{2}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के समीकरण का उपयोग करने पर:
$P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$
$P \cdot V^{\gamma} = P_{\text{new}} \cdot \left(\frac{V}{4}\right)^{\gamma}$
$\frac{P_{\text{new}}}{P} = \left(\frac{V}{V/4}\right)^{\gamma} = (4)^{\gamma}$
$\frac{P_{\text{new}}}{P} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$
अतः,$P_{\text{new}} = 8P$।

(D) एक आदर्श गैस के लिए दाब $P$ और आयतन $V$ का अणुओं की संख्या $N$ और प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $\langle K \rangle$ के साथ संबंध इस प्रकार है:
$PV = \frac{2}{3} N \langle K \rangle$
दिया गया है:
$V = 500 \text{ c.c.} = 500 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 5 \times 10^{-4} \text{ m}^3$
$P = 2 \times 10^5 \text{ N/m}^2$
$\langle K \rangle = 6 \times 10^{-21} \text{ J}$
$N$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$N = \frac{3PV}{2\langle K \rangle}$
मान रखने पर:
$N = \frac{3 \times (2 \times 10^5) \times (5 \times 10^{-4})}{2 \times (6 \times 10^{-21})}$
$N = \frac{3 \times 10^2}{12 \times 10^{-21}} = \frac{300}{12} \times 10^{21} = 25 \times 10^{21} = 2.5 \times 10^{22}$
अतः,गैस के अणुओं की संख्या $2.5 \times 10^{22}$ है।

(B) आदर्श गैस का दाब $P$ गतिज सिद्धांत के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$
जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है,$m$ प्रत्येक अणु का द्रव्यमान है,$V$ आयतन है,और $v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल चाल है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $P \propto m \cdot v_{rms}^2$।
माना प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = m$ और प्रारंभिक चाल $v_1 = v$ है। प्रारंभिक दाब $P_1 = P$ है।
दी गई नई शर्तों के अनुसार:
$m_2 = \frac{m}{2}$
$v_2 = 2v$
अब,नए दाब $P_2$ की गणना करते हुए:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2}{m_1} \times \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2$
$\frac{P_2}{P} = \left( \frac{m/2}{m} \right) \times \left( \frac{2v}{v} \right)^2$
$\frac{P_2}{P} = \left( \frac{1}{2} \right) \times (2)^2$
$\frac{P_2}{P} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$
अतः,$P_2 = 2P$।

(D) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = Nk_B T$,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है।
जार $A$ के लिए: $PV = N_A k_B T$ --- $(i)$
जार $B$ के लिए: $(2P) \times (V/4) = N_B k_B (2T)$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $(1/2) PV = N_B k_B (2T)$
$PV = 4 N_B k_B T$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर: $N_A k_B T = 4 N_B k_B T$
$N_A = 4 N_B$
अतः,अनुपात $N_A / N_B = 4/1$ या $4: 1$ है।

(D) आयतन का संरक्षण: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = n r^3$.
पृष्ठ क्षेत्रफल में कमी के कारण मुक्त ऊर्जा: $\Delta U = T \times (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2)$.
चूंकि $n = \frac{R^3}{r^3}$, इसलिए $\Delta U = 4 \pi T \left( \frac{R^3}{r} - R^2 \right) = 4 \pi T R^3 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
यह ऊर्जा बड़ी बूंद की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ में परिवर्तित हो जाती है: $K.E. = \frac{1}{2} M v^2$, जहाँ $M = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$.
ऊर्जा को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} (\rho \times \frac{4}{3} \pi R^3) v^2 = 4 \pi T R^3 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
सरल करने पर: $\frac{2}{3} \rho \pi R^3 v^2 = 4 \pi T R^3 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
$v^2 = \frac{4 \pi T R^3 \times 3}{2 \pi \rho R^3} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right) = \frac{6 T}{\rho} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
अतः, $v = \sqrt{\frac{6 T}{\rho} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)}$.

(A) चरण $1$: $V$ से $2V$ तक समतापीय प्रसार।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है।
यहाँ $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 2V$ दिया गया है।
$P(V) = P_2(2V) \implies P_2 = P/2$.
चरण $2$: $2V$ से $16V$ तक रुद्धोष्म प्रसार।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$ होता है।
यहाँ $P_2 = P/2$,$V_2 = 2V$,$V_3 = 16V$,और $\gamma = 5/3$ दिया गया है।
$P_3 = P_2 (V_2 / V_3)^\gamma = (P/2) (2V / 16V)^{5/3}$.
$P_3 = (P/2) (1/8)^{5/3}$.
चूँकि $8 = 2^3$,$(1/8)^{5/3} = (1/2^3)^{5/3} = (1/2)^5 = 1/32$.
$P_3 = (P/2) \times (1/32) = P/64$.

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n = m/M$ (द्रव्यमान/मोलर द्रव्यमान)।
$n$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $PV = (m/M)RT$ प्राप्त होता है।
चूंकि घनत्व $\rho = m/V$ है,हम $P = (\rho/M)RT$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $\rho = (PM)/(RT)$।
अतः,$\rho \propto P/T$।
दिया गया है: प्रारंभिक स्थिति $(\rho_0, P_0, T_0)$ और अंतिम स्थिति $(\rho', 3P_0, 2T_0)$ है।
समानुपात $\rho' / \rho_0 = (P'/P_0) \times (T_0/T')$ का उपयोग करने पर:
$\rho' = \rho_0 \times (3P_0 / P_0) \times (T_0 / 2T_0)$।
$\rho' = \rho_0 \times 3 \times (1/2) = \frac{3}{2} \rho_0$।

(B) आदर्श गैस का दाब गतिज सिद्धांत के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$.
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि दाब $P$ अणुओं के द्रव्यमान $m$ और उनके वर्ग-माध्य-मूल वेग के वर्ग $v_{rms}^2$ के सीधे आनुपातिक है,यदि अणुओं की संख्या $N$ और आयतन $V$ स्थिर रहें: $P \propto m v_{rms}^2$.
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $P_1 = P_0$,द्रव्यमान $m_1 = m$,और वेग $v_1 = v$ है।
अंतिम स्थिति में,द्रव्यमान आधा हो जाता है: $m_2 = \frac{m}{2}$,और वेग दोगुना हो जाता है: $v_2 = 2v$।
अंतिम दाब $P_2$ और प्रारंभिक दाब $P_1$ का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2 v_2^2}{m_1 v_1^2} = \frac{(\frac{m}{2}) (2v)^2}{m v^2}$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{(\frac{m}{2}) (4v^2)}{m v^2} = \frac{2 m v^2}{m v^2} = 2$।
अतः,अंतिम दाब $P_2 = 2 P_1 = 2 P_0$ होगा।

(D) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,गैस द्वारा लगाया गया दबाव पात्र की दीवारों के साथ गैस के अणुओं की टक्कर के कारण होता है,न कि स्वयं अणुओं के बीच होने वाली टक्कर के कारण।
अणुओं के बीच की टक्करों को स्थूल दबाव में योगदान देने के संदर्भ में नगण्य माना जाता है।
अतः,कथन $D$ गलत है।

(A) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ दिया गया है।
अंतिम तापमान $T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$ दिया गया है।
चाल का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_{rms_2}}{v_{rms_1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_{rms_2} = 2 \cdot v_{rms_1}$।
इस प्रकार,r.m.s. चाल प्रारंभिक चाल की दोगुनी हो जाती है।

(C) गैस के अणुओं की r.m.s. चाल का सूत्र है: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$।
चूंकि गैस समान है,इसलिए $V_{rms} \propto \sqrt{T}$।
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_2 = 527^{\circ} C = 527 + 273 = 800 \ K$
r.m.s. चाल का अनुपात है:
$\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{400}{800}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,अनुपात $1: \sqrt{2}$ है।

(C) प्रारंभिक तापमान $T_1 = -68^{\circ} C = -68 + 273 = 205 \ K$ है।
गैस के अणुओं का r.m.s. वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
माना प्रारंभिक वेग $(v_{rms})_1$ है और अंतिम वेग $(v_{rms})_2 = 2(v_{rms})_1$ है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
मान रखने पर: $2 = \sqrt{\frac{T_2}{205}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{T_2}{205}$।
इसलिए,$T_2 = 4 \times 205 = 820 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 820 - 273 = 547^{\circ} C$।

(A) गैस की $r.m.s.$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
माना पहली गैस का आण्विक द्रव्यमान $M_1 = 32$ और $r.m.s.$ गति $(v_{rms})_1$ है।
माना दूसरी गैस का आण्विक द्रव्यमान $M_2$ और $r.m.s.$ गति $(v_{rms})_2 = 4(v_{rms})_1$ है।
संबंध $\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$ का उपयोग करते हुए,हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$4 = \sqrt{\frac{32}{M_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $16 = \frac{32}{M_2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$M_2 = \frac{32}{16} = 2$.

(A) शंक्वाकार लोलक में,गोलक पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
तनाव $T$ को घटकों में वियोजित करने पर:
$T \cos \theta = mg$ (ऊर्ध्वाधर संतुलन)
$T \sin \theta = F_c$ (जहाँ $F_c$ अभिकेंद्र बल है)
लोलक की ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{r}{L}$।
अतः,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{r^2}{L^2}} = \frac{\sqrt{L^2-r^2}}{L}$।
पहले समीकरण से,$T = \frac{mg}{\cos \theta} = \frac{mgL}{\sqrt{L^2-r^2}}$।
$T$ का मान अभिकेंद्र बल के समीकरण में रखने पर:
$F_c = T \sin \theta = \left( \frac{mgL}{\sqrt{L^2-r^2}} \right) \times \left( \frac{r}{L} \right) = \frac{mgr}{\sqrt{L^2-r^2}}$।

(B) $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर वाहन की अधिकतम सुरक्षित गति $V = \sqrt{\mu rg}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ घर्षण गुणांक है।
सूखी सड़क के लिए: $V = \sqrt{\mu rg}$ $(i)$
गीली सड़क के लिए,मान लीजिए नया घर्षण गुणांक $\mu^{\prime}$ है। नई गति $\frac{V}{2} = \sqrt{\mu^{\prime} rg}$ (ii) है।
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{V}{V/2} = \frac{\sqrt{\mu rg}}{\sqrt{\mu^{\prime} rg}}$
$2 = \sqrt{\frac{\mu}{\mu^{\prime}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 = \frac{\mu}{\mu^{\prime}}$
$\therefore \mu^{\prime} = \frac{\mu}{4}$

(A) ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,इसलिए $v = R\omega$ की स्थिति लागू होती है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5} MR^2 \omega^2 = \frac{1}{5} Mv^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $E_{total}$ स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $E_{total} = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{5} Mv^2 = (\frac{5+2}{10}) Mv^2 = \frac{7}{10} Mv^2$।
कुल गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_{total}}{E_{rot}} = \frac{\frac{7}{10} Mv^2}{\frac{1}{5} Mv^2} = \frac{7}{10} \times 5 = \frac{7}{2}$ है।

(A) बैंकिंग वाले ट्रैक के लिए,बैंकिंग कोण $\theta$ का मान $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ द्वारा दिया जाता है।
ट्रैक की ज्यामिति से,जहाँ $h$ ऊँचाई है और $d$ पटरियों के बीच की दूरी है,हमारे पास $\tan \theta = \frac{h}{d}$ है।
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{v^2}{rg} = \frac{h}{d}$
वक्रता त्रिज्या $r$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$r = \frac{v^2 d}{gh}$

(D) ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_{S} = \frac{2}{5} MR^2$ है।
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_{C} = \frac{1}{2} MR^2$ है।
आनत तल पर लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अतः,बेलन के त्वरण '$a_{c}$' और गोले के त्वरण '$a_{s}$' का अनुपात:
$\frac{a_{c}}{a_{s}} = \frac{1 + \frac{I_{S}}{MR^2}}{1 + \frac{I_{C}}{MR^2}} = \frac{1 + \frac{2}{5}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{3}{2}} = \frac{7}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{15}$ होगा।

(C) मान लीजिए स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई $L$ है और विस्तार $x$ है।
वृत्ताकार पथ की कुल त्रिज्या $R = L + x$ है।
स्प्रिंग द्वारा प्रदान किया गया प्रत्यानयन बल वृत्ताकार गति के लिए अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
$F_{\text{restoring}} = F_{\text{centripetal}}$
$kx = m(L + x)\omega^2$
दिया गया है: $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,$k = 12.5 \text{ N/m}$,$\omega = 5 \text{ rad/s}$.
मान रखने पर:
$12.5x = 0.2(L + x)(5)^2$
$12.5x = 0.2(L + x)(25)$
$12.5x = 5(L + x)$
$12.5x = 5L + 5x$
$7.5x = 5L$
$\frac{x}{L} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$
अतः,विस्तार और प्राकृतिक लंबाई का अनुपात $2:3$ है।

(C) गोलक पर कार्य करने वाला विद्युत बल $F_{\text{electric}} = qE$ है,जो चित्र के अनुसार ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
गोलक का प्रभावी भार $mg_{\text{eff}} = mg - F_{\text{electric}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{\text{eff}} = g - \frac{qE}{m}$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}}$ द्वारा दिया जाता है।
$g_{\text{eff}}$ का मान रखने पर,हमें $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g - \frac{qE}{m}}} = 2 \pi \left[ \frac{L}{g - \frac{qE}{m}} \right]^{\frac{1}{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) ब्लॉक के दाईं ओर,$K$ और $2K$ बल नियतांक वाली दो स्प्रिंगें दीवार से समानांतर क्रम में जुड़ी हैं। उनका तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_R = K + 2K = 3K$ है।
ब्लॉक के बाईं ओर,$2K$ और $2K$ बल नियतांक वाली दो स्प्रिंगें दीवार से श्रेणी क्रम में जुड़ी हैं। उनका तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_L$ के लिए $\frac{1}{K_L} = \frac{1}{2K} + \frac{1}{2K} = \frac{2}{2K} = \frac{1}{K}$,अतः $K_L = K$ प्राप्त होता है।
चूंकि ब्लॉक इन दो समूहों के बीच में है,इसलिए प्रणाली का प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff} = K_R + K_L = 3K + K = 4K$ है।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{K_{eff}}{M}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{4K}{M}}$ द्वारा दी जाती है।

(B) जब लिफ्ट स्थिर होती है, तो स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक बैग के भार के बराबर होता है: $W = mg = 49 \,N$.
$g = 9.8 \,m/s^2$ दिए जाने पर, बैग का द्रव्यमान $m = \frac{49}{9.8} = 5 \,kg$ है।
जब लिफ्ट $a = 5 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है, तो आभासी भार $T$ को इस सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: $T = m(g - a)$.
मान रखने पर: $T = 5(9.8 - 5)$.
$T = 5(4.8) = 24 \,N$.
अतः, स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $24 \,N$ होगा।

(B) स्प्रिंग का बल नियतांक उसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto \frac{1}{l}$,जिसका अर्थ है कि $kl = \text{नियतांक}$.
मान लीजिए कि $k_1$ और $k_2$ क्रमशः $l_1$ और $l_2$ लंबाई वाले दो स्प्रिंगों के बल नियतांक हैं।
दिया गया है कि $l = l_1 + l_2$ और $l_1 = n l_2$ है।
संबंध $kl = k_1 l_1 = k_2 l_2$ से,हमारे पास है:
$k_1 = \frac{kl}{l_1}$ और $k_2 = \frac{kl}{l_2}$।
चूंकि $l_1 = n l_2$ है,इसलिए $l = n l_2 + l_2 = l_2(n+1)$ होगा।
$k_1$ के व्यंजक में $l$ का मान रखने पर:
$k_1 = \frac{k \cdot l_2(n+1)}{n l_2} = \frac{K(n+1)}{n}$।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब एक अतिरिक्त द्रव्यमान $M_1$ जोड़ा जाता है,तो स्प्रिंग $x$ दूरी तक खिंच जाती है। हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यानयन बल $F = kx = M_1 g$ होता है।
इसलिए,स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{M_1 g}{x}$ है।
स्प्रिंग पर दोलन करने वाला कुल द्रव्यमान $m = M + M_1$ है।
इन मानों को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{M + M_1}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{M + M_1}{\frac{M_1 g}{x}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{(M + M_1) x}{M_1 g}}$.

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $T \propto \sqrt{m}$।
प्रथम स्थिति के लिए,$T \propto \sqrt{m_1}$।
द्वितीय स्थिति के लिए,कुल द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ है,इसलिए नया आवर्तकाल $T' \propto \sqrt{m_1 + m_2}$।
दिया गया है कि $T' = \frac{3}{2} T$,इसलिए:
$\frac{T'}{T} = \frac{\sqrt{m_1 + m_2}}{\sqrt{m_1}} = \frac{3}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{m_1 + m_2}{m_1} = \frac{9}{4}$।
$1 + \frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{4}$।
$\frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$।
अतः,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{5}$।

(C) दोनों स्प्रिंग्स समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं। इसलिए,प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = k + k = 2k$ होगा।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{12}{2k}}$.
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $1 = \pi \sqrt{\frac{6}{k}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 = \pi^2 \times \frac{6}{k}$.
दिया गया है कि $\pi^2 = 10$,इसलिए $1 = 10 \times \frac{6}{k}$.
अतः,$k = 60 \ Nm^{-1}$।

(A) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$A_1 V_1 = A_2 V_2$।
चूंकि $Av$ का गुणनफल स्थिर है,सबसे संकरे भाग पर जहाँ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ न्यूनतम है,वहां वेग $v$ अधिकतम होगा।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार ($h$ स्थिर है),$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{स्थिरांक}$।
जैसे-जैसे वेग $v$ बढ़ता है,योग को स्थिर रखने के लिए दबाव $P$ को कम होना चाहिए।
अतः,सबसे संकरे भाग पर वेग अधिकतम और दबाव न्यूनतम होता है।

(B) असंपीड्य द्रव के लिए निरंतरता के समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,पाइप के किसी भी बिंदु पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और द्रव के वेग का गुणनफल स्थिर रहता है।
$A_1 V_1 = A_2 V_2$
यहाँ,$A_1$ पाइप का क्षेत्रफल है,$V$ पाइप में वेग है,$A_n$ नोजल का क्षेत्रफल है और $V_1$ नोजल पर वेग है।
$A_1 = \frac{\pi d^2}{4}$ और $A_n = \frac{\pi d_n^2}{4}$,जहाँ $d_n$ नोजल का व्यास है।
इन मानों को निरंतरता के समीकरण में रखने पर:
$\frac{\pi d^2}{4} \times V = \frac{\pi d_n^2}{4} \times V_1$
$d^2 V = d_n^2 V_1$
$d_n^2 = d^2 \frac{V}{V_1}$
$d_n = d \sqrt{\frac{V}{V_1}}$

(A) माना पिंड का आयतन $V$ है। जब पिंड झील की सतह से टकराता है,तो उसका वेग $v_0 = \sqrt{2gh}$ होता है।
पानी के अंदर,पिंड पर कार्य करने वाले बल उसका भार $W = \rho V g$ (नीचे की ओर) और उत्प्लावन बल $F_B = \sigma V g$ (ऊपर की ओर) हैं।
शुद्ध ऊपर की ओर बल $F_{net} = F_B - W = Vg(\sigma - \rho)$ है।
पानी के अंदर पिंड का त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Vg(\sigma - \rho)}{\rho V} = \frac{g(\sigma - \rho)}{\rho}$ है।
चूंकि बल ऊपर की ओर है,त्वरण ऊपर की ओर (गति के विपरीत) कार्य करता है,इसलिए $a = -\frac{g(\sigma - \rho)}{\rho}$।
माना अधिकतम गहराई $H$ है। इस गहराई पर,अंतिम वेग $v = 0$ हो जाता है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2aH$ का उपयोग करते हुए:
$0 - (\sqrt{2gh})^2 = 2 \left( -\frac{g(\sigma - \rho)}{\rho} \right) H$
$-2gh = -\frac{2g(\sigma - \rho)}{\rho} H$
$h = \frac{(\sigma - \rho)}{\rho} H$
$H = \frac{h \rho}{(\sigma - \rho)}$.

(A) धारा रेखीय प्रवाह में,किसी विशिष्ट बिंदु पर द्रव का वेग समय के साथ हमेशा स्थिर रहता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि द्रव का प्रत्येक कण एक सुव्यवस्थित पथ का अनुसरण करता है,और कणों के बीच कोई मिश्रण या पथों का एक-दूसरे को काटना नहीं होता है। इसलिए,यह कथन कि किसी दिए गए बिंदु पर वेग 'कभी भी स्थिर नहीं होता है' गलत है।

(C) वेंचुरीमीटर एक उपकरण है जिसका उपयोग पाइप से बहने वाले असंपीड्य द्रव के प्रवाह की दर को मापने के लिए किया जाता है। यह बर्नौली के प्रमेय के सिद्धांत पर कार्य करता है,जहाँ पाइप में एक संकीर्ण भाग दबाव में गिरावट का कारण बनता है जो प्रवाह दर के वर्ग के समानुपाती होता है।

(D) द्रव के भीतर के अणु चारों ओर से अन्य अणुओं से घिरे होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप उन पर लगने वाला कुल आकर्षण बल शून्य होता है।
हालाँकि,द्रव की सतह पर स्थित अणु एक शुद्ध आंतरिक आकर्षण बल का अनुभव करते हैं क्योंकि उनके ऊपर कोई द्रव के अणु नहीं होते जो नीचे की ओर खिंचाव को संतुलित कर सकें।
अणु को भीतर से सतह पर लाने के लिए,इस आंतरिक आकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है।
यह कार्य अणु में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
इसलिए,सतह पर स्थित अणु की स्थितिज ऊर्जा द्रव के भीतर स्थित अणु की तुलना में अधिक होती है।

(C) सांतत्य समीकरण और टोरिसेली के नियम के अनुसार,पानी के प्रवाह की दर इस प्रकार है:
$A \left( -\frac{dh}{dt} \right) = a \sqrt{2gh}$
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\int_{h}^{0} \frac{-dh}{\sqrt{h}} = \int_{0}^{t} \frac{a}{A} \sqrt{2g} dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$[2\sqrt{h}]_{0}^{h} = \frac{a}{A} \sqrt{2g} t$
$2\sqrt{h} = \frac{a}{A} \sqrt{2g} t$
अतः,पात्र को खाली करने में लगा समय ऊँचाई के वर्गमूल के समानुपाती होता है:
$t \propto \sqrt{h}$
दिया गया है कि $h$ ऊँचाई के लिए समय $t_1 = t$ है,और $h_2 = 4h$ ऊँचाई के लिए समय $t_2$ है:
$\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} = \sqrt{\frac{4h}{h}} = \sqrt{4} = 2$
इसलिए,$t_2 = 2t_1 = 2t$.

(C) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव का सूत्र $P = \frac{4T}{R}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $R$ बुलबुले की त्रिज्या है।
दी गई मान $P = 25.6 \ Nm^{-2}$ और $T = 3.2 \times 10^{-2} \ Nm^{-1}$ हैं।
त्रिज्या $R$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$R = \frac{4T}{P}$
मान रखने पर:
$R = \frac{4 \times 3.2 \times 10^{-2}}{25.6}$
$R = \frac{12.8 \times 10^{-2}}{25.6} = 0.5 \times 10^{-2} \ m = 0.5 \ cm$।
व्यास $D$ त्रिज्या का दोगुना होता है:
$D = 2R = 2 \times 0.5 \ cm = 1 \ cm$।

(D) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
इससे,हम देखते हैं कि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$.
मान लीजिए पहले बुलबुले में अतिरिक्त दबाव $\Delta P_1$ है और दूसरे बुलबुले में $\Delta P_2$ है। दिया गया है कि $\Delta P_1 = 3 \Delta P_2$.
इसलिए,$\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = 3$.
चूंकि $\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = \frac{r_2}{r_1}$,इसलिए $\frac{r_2}{r_1} = 3$,जिसका अर्थ है $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$.
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $V \propto r^3$.
आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ है।
त्रिज्याओं का अनुपात रखने पर,$\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$.

(B) साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं। सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times l \times \Delta x$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $l = 10 \,cm = 0.1 \,m$ और $\Delta x = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ है。
$\Delta A = 2 \times 0.1 \,m \times 10^{-3} \,m = 2 \times 10^{-4} \,m^2$.
किया गया कार्य $W$ सतह ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है, जो $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है。
यहाँ $T = 65 \times 10^{-2} \,N/m$ दिया गया है。
$W = (65 \times 10^{-2} \,N/m) \times (2 \times 10^{-4} \,m^2) = 130 \times 10^{-6} \,J = 1.3 \times 10^{-4} \,J = 13.0 \times 10^{-5} \,J$.
अतः, विकल्प $B$ सही है。

(C) केशिका नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
दिया गया है कि $h, T, r$,और $g$ तीनों द्रवों के लिए नियत हैं।
इसलिए,$\frac{\cos \theta}{\rho} = \text{नियत}$.
इसका अर्थ है: $\frac{\cos \theta_1}{\rho_1} = \frac{\cos \theta_2}{\rho_2} = \frac{\cos \theta_3}{\rho_3}$।
चूँकि $\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$,इसलिए $\cos \theta_1 > \cos \theta_2 > \cos \theta_3$ होगा।
चूँकि कोसाइन फलन $[0, \pi/2]$ के अंतराल में एक घटता हुआ फलन है,इसलिए बड़ा कोसाइन मान छोटे कोण को दर्शाता है।
अतः,$\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$।

(A) द्रव का पृष्ठ तनाव उसके अणुओं के बीच लगने वाले ससंजक बलों के कारण उत्पन्न होता है।
जैसे-जैसे द्रव का तापमान बढ़ता है,अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ती है,जिससे ससंजक बल कमजोर हो जाते हैं।
क्रांतिक तापमान $(T_c)$ पर,द्रव अवस्था और वाष्प अवस्था के बीच का अंतर समाप्त हो जाता है,जिसका अर्थ है कि द्रव का घनत्व उसकी संतृप्त वाष्प के घनत्व के बराबर हो जाता है।
चूंकि इस बिंदु पर ससंजक बल प्रभावी रूप से समाप्त हो जाते हैं,इसलिए द्रव का पृष्ठ तनाव $0$ हो जाता है।

(C) किया गया कार्य,$W = S \times \Delta A$,जहाँ $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
बड़ी बूंद का प्रारंभिक सतह क्षेत्रफल,$A_{\text{initial}} = 4 \pi R^2$.
मान लीजिए छोटी बूंदों की त्रिज्या $r$ है। कुल आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$ या $r = R/2$.
$8$ छोटी बूंदों का अंतिम सतह क्षेत्रफल,$A_{\text{final}} = 8 \times 4 \pi r^2 = 32 \pi (R/2)^2 = 32 \pi (R^2/4) = 8 \pi R^2$.
सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन,$\Delta A = A_{\text{final}} - A_{\text{initial}} = 8 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2$.
किया गया कार्य,$W = S \times \Delta A = S \times 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2 S$.

(D) केश नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
चूंकि व्यास $(2r)$,संपर्क कोण $(\theta)$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ स्थिर हैं,इसलिए ऊँचाई पृष्ठ तनाव और घनत्व के अनुपात के समानुपाती होती है: $h \propto \frac{T}{\rho}$।
अतः,ऊँचाइयों का अनुपात होगा: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{T_1}{\rho_1} \times \frac{\rho_2}{T_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right) \times \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)$।
दिया गया है कि $\frac{T_1}{T_2} = \frac{6}{5}$ और $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{3}{4}$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{6}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{20} = 0.9$।

(B) मूल बूंद का आयतन $n$ छोटी बूंदों के कुल आयतन के बराबर होता है।
माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
$n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$r^3 = \frac{R^3}{n} \implies r = \frac{R}{n^{1/3}}$
किया गया कार्य $W$, पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन और पृष्ठ तनाव $T$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$W = (A_{\text{final}} - A_{\text{initial}}) T$
$W = (n \cdot 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) T$
$r = R \cdot n^{-1/3}$ का मान रखने पर:
$W = (n \cdot 4 \pi (R \cdot n^{-1/3})^2 - 4 \pi R^2) T$
$W = (4 \pi R^2 \cdot n \cdot n^{-2/3} - 4 \pi R^2) T$
$W = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1) T$

(D) $r$ त्रिज्या और $T$ पृष्ठ तनाव वाली गोलाकार बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $r_1$ और $r_2$ क्रमशः पहली और दूसरी बूंद की त्रिज्याएँ हैं।
दिया गया है कि पहली बूंद में अतिरिक्त दबाव दूसरी बूंद का तीन गुना है: $P_1 = 3P_2$।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{2T}{r_1} = 3 \left( \frac{2T}{r_2} \right)$।
यह सरल होकर $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$।
बूंद का द्रव्यमान $m = V \rho = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व है।
चूंकि दोनों बूंदें पानी की हैं,इसलिए घनत्व $\rho$ दोनों के लिए समान है।
अतः,द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3 \rho}{\frac{4}{3} \pi r_2^3 \rho} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ होगा।
त्रिज्याओं का अनुपात रखने पर: $\frac{m_1}{m_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$।

(D) माना $R$ मूल बड़ी बूंद की त्रिज्या है और $r$ प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन $1000$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r$.
गोलाकार बूंद की पृष्ठ ऊर्जा $E = T \times A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठ क्षेत्रफल $(4\pi r^2)$ है।
$E_1 = T(4\pi R^2)$
$E_2 = 1000 \times T(4\pi r^2)$
अनुपात लेने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{T(4\pi R^2)}{1000 \times T(4\pi r^2)} = \frac{R^2}{1000 r^2}$
$R = 10r$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{(10r)^2}{1000 r^2} = \frac{100 r^2}{1000 r^2} = \frac{1}{10}$
दिया गया है कि $\frac{E_1}{E_2} = \frac{x}{10}$,दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(D) साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं, इसलिए क्षेत्रफल में कुल परिवर्तन $2 \times \Delta A$ है。
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = 3 \times 3 \,cm^2 = 9 \times 10^{-4} \,m^2$.
अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = 5 \times 5 \,cm^2 = 25 \times 10^{-4} \,m^2$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = (25 - 9) \times 10^{-4} \,m^2 = 16 \times 10^{-4} \,m^2$.
पृष्ठ तनाव $T = 2.5 \times 10^{-2} \,N/m$.
किया गया कार्य $W = T \times (2 \Delta A) = 2.5 \times 10^{-2} \times 2 \times 16 \times 10^{-4} \,J$.
$W = 5 \times 10^{-2} \times 16 \times 10^{-4} \,J = 80 \times 10^{-6} \,J$.

(A) माना कि बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि कुल आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3$
$R = 2r$
पृष्ठ ऊर्जा $E = T \times A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठ क्षेत्रफल है।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E_1 = 8 \times (T \times 4 \pi r^2) = 32 \pi r^2 T$.
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E_2 = T \times 4 \pi R^2 = T \times 4 \pi (2r)^2 = 16 \pi r^2 T$.
परिवर्तन से पहले और बाद की कुल पृष्ठ ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{32 \pi r^2 T}{16 \pi r^2 T} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2: 1$ है।

(D) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r = 0.1 \,mm = 10^{-4} \,m$ है और बूंदों की संख्या $n = 27$ है।
जब $n$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं, तो आयतन स्थिर रहता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
अतः, $R = n^{1/3} r = (27)^{1/3} \times r = 3r$.
मुक्त ऊर्जा, पृष्ठ क्षेत्रफल में कमी और पृष्ठ तनाव $T$ के गुणनफल के बराबर होती है:
$\Delta E = T \times (A_{initial} - A_{final}) = T \times (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2)$.
$R = 3r$ रखने पर:
$\Delta E = 4 \pi T r^2 (n - 9)$.
$n = 27$ दिया गया है, अतः $\Delta E = 4 \pi T r^2 (27 - 9) = 4 \pi T r^2 (18) = 72 \pi T r^2$.
मान रखने पर: $\Delta E = 72 \times 3.14 \times 0.072 \times (10^{-4})^2$.
$\Delta E \approx 1.627 \times 10^{-7} \,J$.

(C) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के संगत होती है,जो $n_2 = 2$ पर होती है।
$\frac{1}{\lambda_{\max(L)}} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{\max(L)} = \frac{4}{3R}$।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के संगत होती है,जो $n_2 = 3$ पर होती है।
$\frac{1}{\lambda_{\max(B)}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{9-4}{36} \right] = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{\max(B)} = \frac{36}{5R}$।
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{\max(L)}}{\lambda_{\max(B)}} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{4 \times 5}{3 \times 36} = \frac{20}{108} = \frac{5}{27}$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली की परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है।
कोणीय संवेग के क्वांटीकरण के लिए बोहर के अभिधारणा के अनुसार,$L = mvr_n = \frac{nh}{2\pi}$ है।
इस समीकरण को संवेग $mv$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $mv = \frac{nh}{2\pi r_n}$ प्राप्त होता है।
$mv$ के इस मान को डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{(nh / 2\pi r_n)} = \frac{2\pi r_n}{n}$।
अतः,$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\frac{2\pi r}{n}$ है।

(A) बोहर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$ होता है।
अतः,$vr = \frac{nh}{2 \pi m} \dots (i)$.
चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण के लिए,चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
इसे सरल करने पर $mv = qBr$,या $v = \frac{qBr}{m} \dots (ii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ से $v$ का मान $(i)$ में रखने पर,$(\frac{qBr}{m})r = \frac{nh}{2 \pi m}$,जिसका अर्थ है $r^2 = \frac{nh}{2 \pi qB}$.
गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है। चूंकि $mv = qBr$,इसलिए $E = \frac{1}{2}m(\frac{qBr}{m})^2 = \frac{q^2 B^2 r^2}{2m}$.
ऊर्जा के समीकरण में $r^2$ का मान रखने पर: $E = \frac{q^2 B^2}{2m} \times \frac{nh}{2 \pi qB} = \frac{nhqB}{4 \pi m}$.

(D) बोर के हाइड्रोजन परमाणु सिद्धांत के अनुसार,$n^{th}$ स्थिर कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E_n = -\frac{m Z^2 e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2}$
जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$Z$ परमाणु क्रमांक है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है,$h$ प्लांक नियतांक है,और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि कुल ऊर्जा $E_n$,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,$E_n \propto \frac{1}{n^2}$।

(B) इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $F = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बोर के सिद्धांत के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v$,$\frac{1}{n}$ के समानुपाती होता है $(v \propto \frac{1}{n})$।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r$,$n^2$ के समानुपाती होती है $(r \propto n^2)$।
इन समानुपातियों को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F \propto \frac{v^2}{r}$
$F \propto \frac{(1/n)^2}{n^2}$
$F \propto \frac{1/n^2}{n^2}$
$F \propto \frac{1}{n^4}$ या $F \propto n^{-4}$।

(B) $n^{th}$ बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{Ze^2}{2 \varepsilon_0 nh}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि वेग मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $v_n \propto \frac{1}{n}$।
पहली कक्षा के लिए $n_1 = 1$ और दूसरी कक्षा के लिए $n_2 = 2$ है।
इसलिए,वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{2}{1}$ होगा।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(C) $r$ त्रिज्या की कक्षा में गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के इलेक्ट्रॉन का जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ द्वारा दिया जाता है।
$n$-वीं बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है:
$r_n = \frac{\varepsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2}$
दूसरी बोहर कक्षा के लिए,$n = 2$ है। सूत्र में $n = 2$ रखने पर:
$r_2 = \frac{\varepsilon_0 h^2 (2)^2}{\pi m e^2} = \frac{4 \varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$
अब,दूसरी कक्षा के लिए जड़त्व आघूर्ण $I$ की गणना करते हैं:
$I = m \times (r_2)^2$
$I = m \times \left( \frac{4 \varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2} \right)^2$
$I = m \times \frac{16 \varepsilon_0^2 h^4}{\pi^2 m^2 e^4}$
$I = \frac{16 \varepsilon_0^2 h^4}{\pi^2 m e^4}$

(C) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_2 - L_1$ है।
यहाँ,$n_1 = 4$ और $n_2 = 5$ है।
$\Delta L = \frac{n_2 h}{2\pi} - \frac{n_1 h}{2\pi} = \frac{h}{2\pi} (n_2 - n_1)$।
मान रखने पर: $\Delta L = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14} (5 - 4)$।
$\Delta L = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.28} \approx 1.055 \times 10^{-34} \text{ J s}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,परिवर्तन लगभग $1 \times 10^{-34} \text{ J s}$ है।

(B) दिया गया है कि प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 2.5 \mu F$ है।
जब संधारित्र को चित्र में दिखाए अनुसार परावैद्युत से आधा भरा जाता है,तो यह समांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों की तरह कार्य करता है,जिनमें से प्रत्येक का प्लेट क्षेत्रफल $A/2$ और दूरी $d$ है।
पहला भाग हवा से भरा है (परावैद्युतांक $K_1 = 1$):
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \frac{2.5 \mu F}{2} = 1.25 \mu F$.
दूसरा भाग परावैद्युत से भरा है (परावैद्युतांक $K_2 = K$):
$C_2 = \frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = K \times 1.25 \mu F$.
चूंकि वे समांतर क्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2$ होगी।
दिया गया है $C_{eq} = 5 \mu F$:
$5 = 1.25 + 1.25 K$
$3.75 = 1.25 K$
$K = \frac{3.75}{1.25} = 3$.
अतः,परावैद्युतांक $3$ है।

(B) जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है।
दिया गया है: $C_1 = 3 \mu F$,$C_2 = 2 \mu F$.
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = \frac{Q}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि श्रेणीक्रम में $Q$ समान है,इसलिए $V \propto \frac{1}{C}$ होता है।
अतः,$C_2$ और $C_1$ के सिरों पर विभवांतर का अनुपात:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{Q/C_2}{Q/C_1} = \frac{C_1}{C_2}$.
मान रखने पर:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{3 \mu F}{2 \mu F} = \frac{3}{2}$.
अतः,अनुपात $3:2$ है।

(B) संधारित्र की प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ दोनों प्लेटों के विभव के अंतर के बराबर होता है।
$V = V_1 - V_2 = 20 \,V - (-20 \,V) = 40 \,V$.
संधारित्र की प्लेट पर आवेश $Q = 40 \,C$ दिया गया है।
संधारित्र की धारिता $C$ को सूत्र $C = \frac{Q}{V}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर,$C = \frac{40 \,C}{40 \,V} = 1 \,F$ प्राप्त होता है।
अतः,संधारित्र की धारिता $1 \,F$ है।

(D) मान लीजिए कि चार संधारित्र $C_1, C_2, C_3, C_4$ बाएं से दाएं एक पंक्ति में हैं।
टर्मिनल $A$,$C_1$ की बाईं प्लेट से जुड़ा है।
$C_1$ की दाईं प्लेट,$C_2$ की बाईं प्लेट और $C_4$ की दाईं प्लेट एक साथ जुड़ी हुई हैं।
$C_2$ की दाईं प्लेट और $C_3$ की बाईं प्लेट जुड़ी हुई हैं।
$C_3$ की दाईं प्लेट और $C_4$ की बाईं प्लेट टर्मिनल $B$ से जुड़ी हैं।
परिपथ का विश्लेषण करने पर,हम देखते हैं कि $C_1, C_2, C_3$ श्रेणीक्रम में हैं और यह संयोजन $C_4$ के साथ समांतर क्रम में है।
श्रेणीक्रम में तीन संधारित्रों की समतुल्य धारिता: $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C} \implies C_s = \frac{C}{3}$.
अब,यह $C_s$ चौथे संधारित्र $C$ के साथ समांतर क्रम में है।
$C_{eq} = C_s + C = \frac{C}{3} + C = \frac{4C}{3}$.

(A) एक आवेशित संधारित्र की स्थितिज ऊर्जा $U_0 = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Q$ प्लेटों पर आवेश है और $C$ प्रारंभिक धारिता है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब को प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
यह मानते हुए कि संधारित्र विलगित है (आवेश $Q$ स्थिर रहता है),नई स्थितिज ऊर्जा $U'$ इस प्रकार होगी:
$U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(KC)}$
$U' = \frac{1}{K} \left( \frac{Q^2}{2C} \right)$
$U' = \frac{U_0}{K}$

(D) इस संधारित्र को श्रेणीक्रम (series) में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक का प्लेट क्षेत्रफल $A$ है और परावैद्युत मोटाई $d_1 = \frac{d}{4}$ और $d_2 = \frac{3d}{4}$ है।
पहले संधारित्र की धारिता:
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d/4} = \frac{4 K_1 \varepsilon_0 A}{d}$
दूसरे संधारित्र की धारिता:
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{3d/4} = \frac{4 K_2 \varepsilon_0 A}{3d}$
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$
$\frac{1}{C} = \frac{d}{4 K_1 \varepsilon_0 A} + \frac{3d}{4 K_2 \varepsilon_0 A}$
$\frac{1}{C} = \frac{d}{4 \varepsilon_0 A} \left[\frac{1}{K_1} + \frac{3}{K_2}\right]$
$\frac{1}{C} = \frac{d}{4 \varepsilon_0 A} \left[\frac{K_2 + 3 K_1}{K_1 K_2}\right]$
अतः,$C = \frac{4 \varepsilon_0 A}{d} \left[\frac{K_1 K_2}{3 K_1 + K_2}\right]$.

(A) जब एक बैटरी समांतर प्लेट संधारित्र से जुड़ी रहती है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ को सूत्र $E = V/d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,इसलिए $V$ स्थिर है। जब परावैद्युत स्लैब को डाला जाता है,तो धारिता बढ़ जाती है,लेकिन प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ बैटरी के वोल्टेज के बराबर ही रहता है।
जब परावैद्युत स्लैब को बाहर निकाला जाता है,तो प्रणाली अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाती है क्योंकि बैटरी हर समय विभवांतर $V$ को बनाए रखती है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र $E$ वही रहता है जो स्लैब डालने से पहले था।

(C) हवा से भरे समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब स्थान को $K = 8$ परावैद्युतांक से भर दिया जाता है और दूरी को बदलकर $d'$ कर दिया जाता है,तो नई धारिता $C_2 = \frac{K A \varepsilon_0}{d'} = \frac{8 A \varepsilon_0}{d'}$ होती है।
यह दिया गया है कि धारिता $16$ गुना बढ़ जाती है,इसलिए $C_2 = 16 C_1$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{8 A \varepsilon_0}{d'} = 16 \left( \frac{A \varepsilon_0}{d} \right)$ प्राप्त होता है।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{8}{d'} = \frac{16}{d}$।
$d'$ के लिए हल करने पर,$d' = \frac{8d}{16} = \frac{d}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) वायु-भरे समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 10 \mu F$ है।
जब क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित किया जाता है और उनमें $K_1$ और $K_2$ परावैद्युत भरे जाते हैं,तो ये दो भाग समांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों की तरह कार्य करते हैं।
प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल $A' = \frac{A}{2}$ है और प्लेटों के बीच की दूरी $d$ समान रहती है।
पहले भाग की धारिता $C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A'}{d} = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{2d} = \frac{K_1}{2} C$ है।
दूसरे भाग की धारिता $C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A'}{d} = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{2d} = \frac{K_2}{2} C$ है।
चूंकि वे समांतर क्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 = \frac{C}{2} (K_1 + K_2)$ होगी।
दिए गए मानों को रखने पर: $C_{\text{eq}} = \frac{10 \mu F}{2} (2 + 4) = 5 \mu F \times 6 = 30 \mu F$.

(D) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा,$U_i = \frac{1}{2} CV_1^2 + \frac{1}{2} CV_2^2 = \frac{1}{2} C(V_1^2 + V_2^2)$.
जब संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V = \frac{CV_1 + CV_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ होता है।
निकाय की अंतिम ऊर्जा,$U_f = \frac{1}{2}(2C)V^2 = C \left(\frac{V_1 + V_2}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} C(V_1 + V_2)^2$.
ऊर्जा में कमी,$\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2} C(V_1^2 + V_2^2) - \frac{1}{4} C(V_1 + V_2)^2$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C [2V_1^2 + 2V_2^2 - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)]$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C(V_1^2 + V_2^2 - 2V_1V_2) = \frac{1}{4} C(V_1 - V_2)^2$.

(A) समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,ऊर्जा घनत्व $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ होता है।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma = \frac{q}{A}$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है।
ऊर्जा घनत्व के सूत्र में $E$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \right)^2 = \frac{\sigma^2}{2 \varepsilon_0}$।
अब,$\sigma = \frac{q}{A}$ रखने पर:
$u = \frac{(q/A)^2}{2 \varepsilon_0} = \frac{q^2}{2 \varepsilon_0 A^2}$।

(D) प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
प्रारंभिक आवेश $Q = C_0 V_0$ है।
चूंकि बैटरी हटा दी गई है,इसलिए आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
अंतिम दूरी $d' = 3d$ है।
अंतिम धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} = \frac{C_0}{3}$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{Q^2}{2C_0} = \frac{1}{2} C_0 V_0^2$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(C_0/3)} = \frac{3Q^2}{2C_0} = \frac{3}{2} C_0 V_0^2$ है।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = \frac{3}{2} C_0 V_0^2 - \frac{1}{2} C_0 V_0^2 = C_0 V_0^2$ है।
$C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ प्रतिस्थापित करने पर,$W = \frac{\varepsilon_0 A V_0^2}{d}$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि एक गोलाकार चालक की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ होती है। चूँकि $C \propto r$,धारिताओं का अनुपात त्रिज्याओं के अनुपात के बराबर होता है: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$।
यह दिया गया है कि दोनों गोले समान विभव $V$ पर हैं,इसलिए आवेश $Q_1 = C_1 V$ और $Q_2 = C_2 V$ होंगे।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{4 \pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$Q = CV$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sigma = \frac{CV}{4 \pi r^2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $C = 4 \pi \epsilon_0 r$,इसलिए $\sigma = \frac{(4 \pi \epsilon_0 r) V}{4 \pi r^2} = \frac{\epsilon_0 V}{r}$।
अतः,$\sigma \propto \frac{1}{r}$।
इसलिए,$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{2 \ cm}{3 \ cm} = \frac{2}{3}$।

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{Q^2}{2C}$ है।
चूंकि $C$ स्थिर है,इसलिए $U \propto Q^2$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवेश $Q_1$ है और प्रारंभिक ऊर्जा $U_1$ है।
जब आवेश को $3 \ C$ से बढ़ाया जाता है,तो नया आवेश $Q_2 = Q_1 + 3$ हो जाता है।
नई ऊर्जा $U_2 = U_1 + 44\% \text{ of } U_1 = 1.44 \ U_1$ है।
समानुपातिकता $U \propto Q^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{Q_2}{Q_1} \right)^2$
$1.44 = \left( \frac{Q_1 + 3}{Q_1} \right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$1.2 = \frac{Q_1 + 3}{Q_1}$
$1.2 \ Q_1 = Q_1 + 3$
$0.2 \ Q_1 = 3$
$Q_1 = \frac{3}{0.2} = 15 \ C$.

(B) दिया गया है: $C_1: C_2 = 1: 2$। अतः,$C_2 = 2C_1$।
समानांतर संयोजन में तुल्य धारिता: $C_P = C_1 + C_2 = C_1 + 2C_1 = 3C_1$।
श्रेणी संयोजन में तुल्य धारिता: $C_S = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C_1(2C_1)}{3C_1} = \frac{2}{3}C_1$।
माना $V_P$ और $V_S$ क्रमशः समानांतर और श्रेणी संयोजन पर लगाए गए विभवांतर हैं।
चूंकि संचित ऊर्जा $E = \frac{1}{2}CV^2$ दोनों स्थितियों में समान है:
$\frac{1}{2} C_P V_P^2 = \frac{1}{2} C_S V_S^2$
$\frac{V_P^2}{V_S^2} = \frac{C_S}{C_P} = \frac{\frac{2}{3}C_1}{3C_1} = \frac{2}{9}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{V_P}{V_S} = \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$।

(C) समानांतर संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर $V$ समान होता है।
दिया गया है $V = 5 \text{ V}$,$C_1 = 2C$,और $C_2 = C$।
संधारित्र में संचित आवेश $Q = CV$ द्वारा दिया जाता है।
$Q_1 = C_1 V = (2C)(5) = 10C \text{ C}$।
$Q_2 = C_2 V = (C)(5) = 5C \text{ C}$।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $E = \frac{1}{2}CV^2$ द्वारा दी जाती है।
$E_1 = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} (2C) (5)^2 = 25C \text{ J}$।
$E_2 = \frac{1}{2} C_2 V^2 = \frac{1}{2} (C) (5)^2 = 12.5C \text{ J}$।
अब,अनुपात $\frac{E_1-E_2}{Q_1-Q_2}$ की गणना करें:
$\frac{E_1-E_2}{Q_1-Q_2} = \frac{25C - 12.5C}{10C - 5C} = \frac{12.5C}{5C} = \frac{12.5}{5} = 2.5 = \frac{5}{2}$।

(C) श्रेणीक्रम में जुड़े तीन संधारित्रों की तुल्य धारिता इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{s}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C}$
अतः,$C_{s} = \frac{C}{3}$.
इस संयोजन को $C$ धारिता वाले एक अन्य समान संधारित्र के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाता है।
कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ होगी:
$C_{eq} = C_{s} + C = \frac{C}{3} + C = \frac{4C}{3}$.

(B) $1$. संधारित्र $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_S$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_S} = \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \implies C_S = 4 \mu F$.
$2$. संधारित्र $C_5$ और $C_6$ समांतर क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_P$ है:
$C_P = C_5 + C_6 = 4 \mu F + 4 \mu F = 8 \mu F$.
$3$. अब,$C_2$ और $C_P$ श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{2P}$ है:
$C_{2P} = \frac{C_2 \cdot C_P}{C_2 + C_P} = \frac{8 \cdot 8}{8 + 8} = \frac{64}{16} = 4 \mu F$.
$4$. यह $C_{2P}$,$C_S$ के साथ समांतर क्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_{total}'$ है:
$C_{total}' = C_{2P} + C_S = 4 \mu F + 4 \mu F = 8 \mu F$.
$5$. अंत में,$C_1$ और $C_{total}'$ श्रेणीक्रम में हैं। परिणामी धारिता $C_{AB}$ है:
$C_{AB} = \frac{C_1 \cdot C_{total}'}{C_1 + C_{total}'} = \frac{8 \cdot 8}{8 + 8} = \frac{64}{16} = 4 \mu F$.

(A) परिपथ दो मुख्य भागों से बना है जो श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
$1$. पहला भाग (बाईं ओर) इनपुट नोड और मध्यवर्ती नोड के बीच समानांतर क्रम में जुड़े $C$ धारिता वाले तीन संधारित्रों से बना है। तुल्य धारिता $C_1 = C + C + C = 3C$ है।
$2$. दूसरा भाग (दाईं ओर) मध्यवर्ती नोड और बिंदु $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े $C$ धारिता वाले तीन संधारित्रों से बना है। तुल्य धारिता $C_2 = C + C + C = 3C$ है।
$3$. अब,ये दो तुल्य संधारित्र $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं।
$4$. कुल तुल्य धारिता $C_{AB}$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{3C} = \frac{2}{3C}$।
$5$. अतः,$C_{AB} = \frac{3C}{2} = 1.5C$।

(A) मान लीजिए कि $m$ संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े हैं और $n$ संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,ताकि कुल संधारित्रों की संख्या $m + n = 7$ हो।
$m$ संधारित्रों के समांतर संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_p = mC$ होती है।
$n$ संधारित्रों के श्रेणीक्रम संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_s = C/n$ होती है।
जब ये दो समूह श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल तुल्य धारिता $C_{\text{net}}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_{\text{net}}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_s} = \frac{1}{mC} + \frac{n}{C} = \frac{1 + mn}{mC}$.
दिया गया है $C_{\text{net}} = \frac{10}{11} \mu F$ और $C = 2 \mu F$:
$\frac{11}{10} = \frac{1 + mn}{2m} \implies \frac{11}{5} = \frac{1 + mn}{m} = \frac{1}{m} + n$.
उन विकल्पों की जाँच करने पर जहाँ $m + n = 7$:
यदि $m = 5$ और $n = 2$ है,तो $\frac{1}{5} + 2 = 0.2 + 2 = 2.2 = \frac{11}{5}$.
यह आवश्यक मान से मेल खाता है। अतः,$5$ संधारित्र समांतर में और $2$ श्रेणीक्रम में सही संयोजन है।

(B) दोनों संधारित्र बैटरी के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर संयोजन में,तुल्य धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं का योग होती है:
$C_{eq} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$
संधारित्रों को आवेशित करने के लिए बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W$,तुल्य संधारित्र में संचित ऊर्जा के बराबर होता है:
$W = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$
$C_{eq}$ का मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \left( \frac{3C}{2} \right) V^2$
$W = \frac{3}{4} CV^2$

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन को विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $K = eV$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ होती है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{1}{2}mv^2 = eV$
$V$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$V = \frac{mv^2}{2e}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,$v = 1.6 \times 10^7 \ m/s$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$V = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^7)^2}{2 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$V = \frac{9 \times 10^{-31} \times 2.56 \times 10^{14}}{3.2 \times 10^{-19}}$
$V = \frac{23.04 \times 10^{-17}}{3.2 \times 10^{-19}}$
$V = 7.2 \times 10^2 \ V$

(B) बैटरी के समानांतर संयोजन के लिए समतुल्य e.m.f. का सूत्र $\varepsilon_{eq} = r_{eq} \left( \frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2} \right)$ है।
सबसे पहले,हम समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ की गणना करते हैं:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{1} = \frac{3}{2} \Omega^{-1}$.
इसलिए,$r_{eq} = \frac{2}{3} \Omega$.
अब,समतुल्य e.m.f. के सूत्र में मान रखने पर:
$\varepsilon_{eq} = \frac{2}{3} \left( \frac{12}{2} + \frac{6}{1} \right) = \frac{2}{3} (6 + 6) = \frac{2}{3} \times 12 = 8 \text{ V}$.
वोल्टमीटर समानांतर संयोजन के सिरों के बीच विभवांतर को मापता है,जो परिपथ के समतुल्य e.m.f. के बराबर होता है।
अतः,वोल्टमीटर का पाठ्यांक $8 \text{ V}$ है।

(C) $I_1$ और $I_2$ धारा वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच बल $F = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 I_1 I_2}{r} \cdot l$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक बल $F = 1 \times 10^{-3} \ N$ दिया गया है।
जब दोनों तारों में धारा दोगुनी कर दी जाती है,तो नई धाराएँ $I_1' = 2I_1$ और $I_2' = 2I_2$ हो जाती हैं।
नया बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2(2I_1)(2I_2)}{r} \cdot l = 4 \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 I_1 I_2}{r} \cdot l \right)$.
प्रारंभिक बल का मान रखने पर: $F' = 4 \times (1 \times 10^{-3} \ N) = 4 \times 10^{-3} \ N$.

(B) हम जानते हैं कि इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = qE$ है और न्यूटन के गति के दूसरे नियम से,$F = ma$ है।
इन दोनों की तुलना करने पर,हमें $ma = qE$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 - u^2 = 2aS$,जहाँ $u = 0$ (विरामावस्था से शुरू) और $S = L$ है:
$v^2 - 0^2 = 2 \left( \frac{qE}{m} \right) L$
$v^2 = \frac{2qEL}{m}$
$v = \sqrt{\frac{2qEL}{m}}$

(A) विभवांतर $(V_A - V_B)$ ज्ञात करने के लिए, हम परिपथ में बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करते हैं।
$A$ से शुरू करके, हम प्रतिरोधक $(12 \, \Omega)$, प्रेरक $(6 \, H)$, और बैटरी $(12 \, V)$ से होते हुए $B$ तक पहुँचते हैं।
धारा $I = 2 \, A$, $A$ से $B$ की ओर बह रही है।
प्रतिरोधक पर विभव पतन $V_R = I \cdot R = 2 \, A \times 12 \, \Omega = 24 \, V$ है।
प्रेरक पर विभव पतन $V_L = L \frac{dI}{dt} = 6 \, H \times (-1 \, A/s) = -6 \, V$ है।
बैटरी पर विभव पतन $12 \, V$ है (धनात्मक से ऋणात्मक टर्मिनल की ओर जाने पर)।
$KVL$ लागू करने पर: $V_A - I \cdot R - L \frac{dI}{dt} - 12 = V_B$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $V_A - V_B = I \cdot R + L \frac{dI}{dt} + 12$।
मान रखने पर: $V_A - V_B = (2)(12) + 6(-1) + 12$।
$V_A - V_B = 24 - 6 + 12 = 30 \, V$।

(C) जब दो चालकों को एक पतले चालक तार द्वारा जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि वे समान विभव $V$ प्राप्त न कर लें।
चूंकि $V_1 = V_2$,हमारे पास $\frac{k q_1}{R} = \frac{k q_2}{r}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{q_1}{q_2} = \frac{R}{r}$।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ को $\sigma = \frac{q}{4 \pi R^2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,उनके पृष्ठीय आवेश घनत्व का अनुपात है:
$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{q_1 / (4 \pi R^2)}{q_2 / (4 \pi r^2)} = \left( \frac{q_1}{q_2} \right) \left( \frac{r^2}{R^2} \right)$।
$\frac{q_1}{q_2} = \frac{R}{r}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \left( \frac{R}{r} \right) \left( \frac{r^2}{R^2} \right) = \frac{r}{R}$।
अतः,अनुपात $r: R$ है।

(B) किरचॉफ के प्रथम नियम (जंक्शन नियम) के अनुसार, किसी जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है। मान लीजिए कि चालक $PQ$ में धारा $I$, बिंदु $P$ से दूर की ओर प्रवाहित हो रही है।
आने वाली धाराओं का योग = जाने वाली धाराओं का योग
$5 \,A + 4 \,A = 5 \,A + 3 \,A + I$
$9 \,A = 8 \,A + I$
$I = 9 \,A - 8 \,A = 1 \,A$
चूँकि परिणाम धनात्मक है, इसलिए मानी गई दिशा (बिंदु $P$ से दूर) सही है। अतः, $1 \,A$ धारा $P$ से $Q$ की ओर प्रवाहित होती है।

(B) मान लीजिए कि परिपथ में कुल धारा $I$ है।
दिया गया है कि गैल्वेनोमीटर से गुजरने वाली धारा $(I_g)$,$I$ का $4 \%$ है,इसलिए $I_g = 0.04 I$।
शंट प्रतिरोध से गुजरने वाली धारा $(I_s)$ का मान $I - I_g = I - 0.04 I = 0.96 I$ होगा।
चूंकि गैल्वेनोमीटर और शंट प्रतिरोध समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनके सिरों के बीच विभवांतर समान होगा: $I_g G = I_s S$।
मान रखने पर: $(0.04 I) G = (0.96 I) S$।
$S$ के लिए हल करने पर: $S = \frac{0.04 I G}{0.96 I} = \frac{4}{96} G = \frac{G}{24}$।
अतः,शंट प्रतिरोध $\frac{G}{24}$ है।

(A) मान लीजिए कि कुल धारा $I$ है और गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा $I_g$ है।
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G$ है और शंट प्रतिरोध $S = 0.1 G$ है।
करंट डिवाइडर नियम के अनुसार,गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा है:
$I_g = I \left( \frac{S}{S + G} \right)$
$S$ का मान रखने पर:
$I_g = I \left( \frac{0.1 G}{0.1 G + G} \right)$
$I_g = I \left( \frac{0.1 G}{1.1 G} \right)$
$I_g = I \left( \frac{1}{11} \right)$
अतः,गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित होने वाली कुल धारा का भाग $\frac{1}{11} I$ है।

(B) दिया गया है: गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G = 20 \Omega$ है।
पूर्ण स्केल विक्षेप धारा $I_g$: चूंकि $5$ डिवीजन $1 \text{ mA}$ के बराबर हैं,इसलिए $50$ डिवीजन $I_g = (1 \text{ mA} / 5) \times 50 = 10 \text{ mA} = 0.01 \text{ A}$ के बराबर होंगे।
वांछित वोल्टेज रेंज $V = 25 \text{ V}$ है।
गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए,इसके साथ श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाना चाहिए।
सूत्र: $V = I_g(R + G)$ है।
$R$ के लिए हल करने पर: $R = (V / I_g) - G$।
मान रखने पर: $R = (25 / 0.01) - 20 = 2500 - 20 = 2480 \Omega$।
अतः,हमें $2480 \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जोड़ना होगा।

(D) मान लीजिए कुल धारा $I$ है और गैल्वेनोमीटर से गुजरने वाली धारा $I_g$ है।
प्रश्न के अनुसार,$I_g = 1\% \text{ of } I = \frac{I}{100}$.
शंट प्रतिरोध $S$ से गुजरने वाली धारा $I_s = I - I_g = I - \frac{I}{100} = \frac{99I}{100}$ होगी।
चूंकि गैल्वेनोमीटर और शंट समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान होता है:
$I_g \times G = I_s \times S$.
मान रखने पर:
$\frac{I}{100} \times G = \frac{99I}{100} \times S$.
$S$ का मान ज्ञात करने पर:
$S = \frac{G}{99}$.

(A) गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G$ और पूर्ण-स्केल विक्षेपण वोल्टेज $V_g$ है। पूर्ण-स्केल धारा $I_g$ का मान $I_g = \frac{V_g}{G}$ होता है।
गैल्वेनोमीटर को $V$ रेंज के वोल्टमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम में एक प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाना चाहिए।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R + G$ हो जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,नई रेंज $V$ के लिए,धारा $I_g$ समान रहती है:
$V = I_g(R + G)$
समीकरण में $I_g = \frac{V_g}{G}$ रखने पर:
$V = \left(\frac{V_g}{G}\right)(R + G)$
$\frac{V}{V_g} = \frac{R+G}{G}$
$\frac{V}{V_g} = \frac{R}{G} + 1$
$\frac{R}{G} = \frac{V}{V_g} - 1$
$R = G\left(\frac{V}{V_g} - 1\right)$

(A) पोटेंशियोमीटर में,संतुलन लंबाई $l$ सेल के e.m.f. के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $E \propto l$ या $E = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल समान ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रभावी e.m.f. $E_1 + E_2 = k l_1$ होता है।
दिया गया है $l_1 = 64 \ cm$,इसलिए $E_1 + E_2 = 64k$ --- (समीकरण $1$).
जब $E_2$ की ध्रुवता उलट दी जाती है,तो प्रभावी e.m.f. $E_1 - E_2 = k l_2$ होता है।
दिया गया है $l_2 = 32 \ cm$,इसलिए $E_1 - E_2 = 32k$ --- (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{64k}{32k} = \frac{2}{1}$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{2 + 1}{2 - 1}$.
$\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{3}{1}$.
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = 3: 1$.

(A) पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $K$ इस प्रकार है:
$K = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{E_{driving} \times R}{(R + r) L}$
यहाँ $E_{driving} = 5 \, V$, $r = 4 \, \Omega$, $L = 5 \, m$, और $R = 16 \, \Omega$ है:
$K = \frac{5 \times 16}{(16 + 4) \times 5} = \frac{80}{100} = 0.8 \, V/m$
स्थिति $1$: सेल एक-दूसरे की सहायता करते हैं $(E_{net} = E_1 + E_2)$
$E_1 + E_2 = K l_1$
$1.3 + 1.1 = 0.8 \times l_1$
$2.4 = 0.8 \times l_1 \implies l_1 = 3 \, m$
स्थिति $2$: सेल एक-दूसरे का विरोध करते हैं $(E_{net} = E_1 - E_2)$
$E_1 - E_2 = K l_2$
$1.3 - 1.1 = 0.8 \times l_2$
$0.2 = 0.8 \times l_2 \implies l_2 = 0.25 \, m$
अतः, संतुलन लंबाइयाँ $3 \, m$ और $0.25 \, m$ हैं।

(C) दिया गया है कि जिस लंबाई पर सेल संतुलित होता है वह $l = 300 \ cm = 3 \ m$ है।
प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $2 \ \Omega/m$ है।
तार के खंड का कुल प्रतिरोध $R = 3 \ m \times 2 \ \Omega/m = 6 \ \Omega$ है।
चूंकि पोटेंशियोमीटर संतुलित है,इसलिए तार के खंड पर विभवांतर सेल के e.m.f. के बराबर यानी $1.5 \ V$ है।
ओम के नियम $V = IR$ का उपयोग करते हुए:
$I = V / R = 1.5 \ V / 6 \ \Omega = 0.25 \ A$.
मिलीएम्पियर में बदलने पर,$I = 0.25 \times 1000 \ mA = 250 \ mA$।

(B) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{wire} + R_{series} + r = 5 \, \Omega + 992 \, \Omega + 3 \, \Omega = 1000 \, \Omega$ है।
पोटेंशियोमीटर तार से बहने वाली धारा $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{4 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.004 \, A$ है।
पूरे $4 \, m$ तार पर विभव पतन (potential drop) $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.004 \, A \times 5 \, \Omega = 0.02 \, V$ है।
विभव प्रवणता (प्रति इकाई लंबाई विभव पतन) $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.02 \, V}{4 \, m} = 0.005 \, V/m$ है।
$0.75 \, m$ की लंबाई द्वारा संतुलित e.m.f. $E' = k \times l = 0.005 \, V/m \times 0.75 \, m = 0.00375 \, V$ है।
मिलीवोल्ट में बदलने पर, $E' = 0.00375 \times 1000 \, mV = 3.75 \, mV$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ दो सेलों के विद्युत वाहक बल हैं।
जब सेल श्रेणीक्रम में होते हैं,तो कुल e.m.f. $E_1 + E_2$ होता है और संतुलन लंबाई $l_1 = 8 \ m$ होती है। अतः,$E_1 + E_2 = k l_1 = 8k$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल विपरीत क्रम में होते हैं,तो कुल e.m.f. $E_1 - E_2$ होता है और संतुलन लंबाई $l_2 = 4 \ m$ होती है। अतः,$E_1 - E_2 = k l_2 = 4k$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{8k}{4k} = 2$।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर: $\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{2 + 1}{2 - 1}$।
इसे सरल करने पर $\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{3}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = 3:1$।

(C) मान लीजिए $R_{G}$ गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध है और $I_{g}$ पूर्ण-स्केल विक्षेपण धारा है।
गैल्वेनोमीटर की मूल वोल्टेज रेंज $V_{g} = I_{g}R_{G}$ है।
जब इसे वोल्टमीटर में बदलने के लिए $R_{s} = nR_{G}$ का श्रेणी प्रतिरोध जोड़ा जाता है,तो नई वोल्टेज रेंज $V$ इस प्रकार दी जाती है:
$V = I_{g}(R_{s} + R_{G})$
समीकरण में $R_{s} = nR_{G}$ रखने पर:
$V = I_{g}(nR_{G} + R_{G})$
$V = I_{g}R_{G}(n + 1)$
चूंकि $V_{g} = I_{g}R_{G}$,इसलिए:
$V = V_{g}(n + 1)$
अतः,वोल्टमीटर अब $MCG$ की मूल वोल्टेज रेंज का $(n + 1)$ गुना वोल्टेज मापने में सक्षम है।

(D) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग,जंक्शन से जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
माना कि चालक '$OP$' में धारा $x$ है और यह बिंदु '$O$' से दूर (अर्थात $O$ से $P$ की ओर) बह रही है।
जंक्शन '$O$' पर आने वाली धाराओं का योग = $10 \ A + 2.5 \ A + 5 \ A = 17.5 \ A$.
जंक्शन '$O$' से जाने वाली धाराओं का योग = $6 \ A + x$.
$KCL$ लागू करने पर: $17.5 \ A = 6 \ A + x$.
$x = 17.5 \ A - 6 \ A = 11.5 \ A$.
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए हमारी यह धारणा कि धारा $O$ से $P$ की ओर बहती है,सही है।
अतः,धारा का परिमाण $11.5 \ A$ है और दिशा $O$ से $P$ की ओर है।

(D) सेल का विद्युत वाहक बल $E = 3 \ V$ है।
वोल्टमीटर के सिरों पर टर्मिनल वोल्टेज $V = 2.5 \ V$ है।
वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R = 150 \ \Omega$ है।
सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$r = \left[ \frac{E}{V} - 1 \right] R$
दिए गए मानों को रखने पर:
$r = \left[ \frac{3}{2.5} - 1 \right] 150$
$r = [1.2 - 1] \times 150$
$r = 0.2 \times 150$
$r = 30 \ \Omega$
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $30 \ \Omega$ है।

(C) $20 \, \Omega$ प्रतिरोध वाला तार $(R_w)$ और $10 \, \Omega$ का बाहरी प्रतिरोध $(R)$ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं。
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{net} = R_w + R = 20 \, \Omega + 10 \, \Omega = 30 \, \Omega$ है。
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R_{net}} = \frac{3 \, V}{30 \, \Omega} = 0.1 \, A$ है。
तार के सिरों पर विभवांतर $V_w = I \times R_w = 0.1 \, A \times 20 \, \Omega = 2 \, V$ है。
विभव प्रवणता को तार की प्रति इकाई लंबाई में विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{विभव प्रवणता} = \frac{V_w}{L} = \frac{2 \, V}{10 \, m} = 0.2 \, V/m$.