MHT CET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) खुले पाइप की मूल आवृत्ति $f_{o,fund} = \frac{v}{2L_o}$ है। खुले पाइप का प्रथम ओवरटोन दूसरा हार्मोनिक होता है,जो $f_{o,1} = 2 \times \frac{v}{2L_o} = \frac{v}{L_o}$ द्वारा दिया जाता है।
बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_{c,fund} = \frac{v}{4L_c}$ है। बंद पाइप का प्रथम ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक होता है,जो $f_{c,1} = 3 \times \frac{v}{4L_c} = \frac{3v}{4L_c}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि प्रथम ओवरटोन की आवृत्तियाँ समान हैं:
$\frac{v}{L_o} = \frac{3v}{4L_c}$
बंद पाइप की लंबाई $(L_c)$ और खुले पाइप की लंबाई $(L_o)$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{L_c}{L_o} = \frac{3}{4}$
अतः,बंद पाइप और खुले पाइप की लंबाई का अनुपात $3:4$ है।

(D) एक खुली ऑर्गन पाइप के लिए,दोनों सिरों पर अंत सुधार $(e)$ को ध्यान में रखते हुए प्रभावी लंबाई $(L)$ इस प्रकार दी जाती है:
$L = l + 2e$
चूंकि एक खुली पाइप के लिए प्रत्येक सिरे पर अंत सुधार $e = 0.6r$ होता है,इसलिए प्रभावी लंबाई होगी:
$L = l + 2(0.6r) = l + 1.2r$
खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $(f)$ का सूत्र है:
$f = \frac{V}{2L}$
आवृत्ति के सूत्र में $L$ का मान रखने पर:
$f = \frac{V}{2(l + 1.2r)}$

(B) जब ध्वनि तरंगें एक पूर्णतः परावर्तक दीवार पर लंबवत गिरती हैं, तो आपतित और परावर्तित तरंगों के अध्यारोपण के कारण एक अप्रगामी तरंग (stationary wave) बनती है।
पूर्णतः परावर्तक दीवार पर एक निस्पंद (node) बनता है क्योंकि दीवार एक कठोर सीमा है।
निस्पंद शून्य विस्थापन के बिंदु हैं, जबकि प्रस्पंद (antinode) अधिकतम विस्थापन (अधिकतम आयाम) के बिंदु हैं।
दीवार (निस्पंद) से पहले प्रस्पंद की दूरी $d = \lambda/4$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले, $\lambda = v/f$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें, जहाँ $v = 300 \,ms^{-1}$ और $f = 600 \,Hz$ है।
$\lambda = 300/600 = 0.5 \,m$.
अब, दूरी $d = \lambda/4 = 0.5/4 = 0.125 \,m = 1/8 \,m$ की गणना करें।
अतः, दीवार से वह न्यूनतम दूरी जहाँ कणों का आयाम अधिकतम होता है, $1/8 \,m$ है।

(C) दिया गया है: ध्वनि का वेग $v = 320 \,m/s$, आवृत्ति $f = 480 \,Hz$, कंपनों की संख्या $N = 180$।
वेग, आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के बीच का संबंध $v = f \lambda$ है।
इसलिए, तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{320}{480} = \frac{2}{3} \,m$।
$N$ कंपनों के बाद तरंग द्वारा तय की गई कुल दूरी $D = N \times \lambda$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $D = 180 \times \frac{2}{3} = 120 \,m$।

(D) स्थिर तरंगें (जिन्हें स्टैंडिंग वेव्स भी कहा जाता है) एक सीमित माध्यम में विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण द्वारा बनती हैं।
इन तरंगों को प्रसार के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती है और सीमाओं पर परावर्तन होना आवश्यक है।
चूंकि यांत्रिक तरंगें पदार्थ की तीनों अवस्थाओं (ठोस,तरल और गैस) में प्रसार कर सकती हैं,इसलिए स्थिर तरंगें इन सभी माध्यमों में उत्पन्न की जा सकती हैं।
उदाहरण के लिए,एक तनी हुई डोरी (ठोस),पानी के स्तंभ (तरल) और हवा के स्तंभ (गैस) में स्थिर तरंगें उत्पन्न होती हैं।

(B) दी गई सरल आवर्त प्रगामी तरंग का समीकरण $y=A \sin (100 \pi t+3 x)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (\omega t+kx)$ से करने पर,हमें तरंग संख्या $k=3 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ होता है।
$k$ का मान रखने पर,$3 = \frac{2 \pi}{\lambda}$,जिससे $\lambda = \frac{2 \pi}{3} \ m$ प्राप्त होता है।
पथ अंतर $\Delta x$ और कलांतर $\Delta \phi$ के बीच का संबंध $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \times \Delta \phi$ है।
यहाँ कलांतर $\Delta \phi = \frac{\pi}{3}$ रेडियन दिया गया है।
मान रखने पर,$\Delta x = \frac{2 \pi / 3}{2 \pi} \times \frac{\pi}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{9} \ m$ प्राप्त होता है।

(C) तार का द्रव्यमान $m = \frac{W}{g} = \frac{50}{10} = 5 \,kg$ है।
तार का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = \frac{5}{20} = 0.25 \,kg/m$ है।
तार के मध्य बिंदु पर तनाव $T$,तार के निचले आधे हिस्से के वजन के बराबर होता है।
निचले आधे हिस्से का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{2} = 2.5 \,kg$ है।
अतः,$T = m'g = 2.5 \times 10 = 25 \,N$ है।
तरंग की गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{25}{0.25}} = \sqrt{100} = 10 \,ms^{-1}$।

(A) मान लीजिए कि निचले सिरे पर पल्स का वेग $v_1$ है और ऊपरी सिरे पर $v_2$ है।
चूंकि तरंग की आवृत्ति $n$ स्थिर रहती है,हमारे पास $\lambda = \frac{v}{n}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1}$।
रस्सी पर अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
अतः,$v \propto \sqrt{T}$।
निचले सिरे पर,तनाव $T_1$ ब्लॉक के द्रव्यमान $m_2$ के कारण है,इसलिए $T_1 = m_2 g$।
ऊपरी सिरे पर,तनाव $T_2$ रस्सी और ब्लॉक के कुल द्रव्यमान के कारण है,इसलिए $T_2 = (m_1 + m_2) g$।
इसलिए,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{(m_1 + m_2)g}{m_2 g}} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_2}}$।
व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1 + m_2}} = \left[\frac{m_2}{m_1+m_2}\right]^{\frac{1}{2}}$ प्राप्त होता है।

(D) तरंग की कला (phase) ज्या फलन के तर्क द्वारा दी जाती है,$\phi = kx - \omega t$।
पहली तरंग के लिए,$\phi_1 = 20x - 30t$।
दूसरी तरंग के लिए,$\phi_2 = 25x - 40t$।
दिया गया है $x = 5 \ cm$ और $t = 2 \ s$:
$\phi_1 = 20(5) - 30(2) = 100 - 60 = 40 \ \text{रेडियन}$।
$\phi_2 = 25(5) - 40(2) = 125 - 80 = 45 \ \text{रेडियन}$।
कलांतर $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |45 - 40| = 5 \ \text{रेडियन}$।

(D) $N.T.P$ पर, तापमान $T_0 = 273 \,K$ है। ध्वनि का वेग $v_0 = f \lambda_0 = 220 \,Hz \times 1.5 \,m = 330 \,m/s$ द्वारा प्राप्त होता है।
जब तापमान बढ़कर $27^{\circ} C$ हो जाता है, तो नया तापमान $T = 273 + 27 = 300 \,K$ होता है।
हवा में ध्वनि का वेग परम तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होता है: $\frac{v}{v_0} = \sqrt{\frac{T}{T_0}}$.
मान रखने पर: $v = 330 \times \sqrt{\frac{300}{273}} = 330 \times 1.05 = 346.5 \,m/s$.
नया तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{346.5}{220} = 1.575 \,m$ प्राप्त होता है।
तरंगदैर्ध्य में वृद्धि $\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = 1.575 \,m - 1.5 \,m = 0.075 \,m$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $0.07 \,m$ है।

(B) प्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y = 12 \sin (5t - 4x)$ है।
प्रगामी तरंग का मानक रूप $y = A \sin (\omega t - kx)$ होता है,जहाँ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
दिए गए समीकरण की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 4$ प्राप्त होती है।
कलांतर $(\Delta \phi)$ और पथान्तर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ है।
यहाँ कलांतर $\Delta \phi = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$ रेडियन दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\pi}{2} = 4 \cdot \Delta x$.
अतः,$\Delta x = \frac{\pi}{2 \cdot 4} = \frac{\pi}{8}$.

(A) माना प्रारंभिक लंबाई और तनाव क्रमशः $l$ और $T$ हैं। प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है।
मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
परिवर्तनों के बाद:
नई लंबाई $l' = l - 0.40l = 0.6l = \frac{3}{5}l$.
नया तनाव $T' = T + 0.44T = 1.44T = \frac{144}{100}T$.
नई आवृत्ति $n'$ का मान $n' = \frac{1}{2l'} \sqrt{\frac{T'}{m}}$ है।
अंतिम और प्रारंभिक आवृत्ति का अनुपात लेने पर:
$\frac{n'}{n} = \frac{l}{l'} \sqrt{\frac{T'}{T}} = \frac{l}{0.6l} \sqrt{\frac{1.44T}{T}} = \frac{1}{0.6} \times \sqrt{1.44} = \frac{1}{0.6} \times 1.2 = \frac{1.2}{0.6} = 2$.
अतः,अंतिम और प्रारंभिक आवृत्ति का अनुपात $2:1$ है।

(A) तने हुए तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ है।
अतः,$n = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$।
पहले तार का पहला ओवरटोन $n_1 = 2 \times n_{1, \text{fund}} = 2 \times \frac{1}{2l_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{l_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ है।
दूसरे तार का दूसरा ओवरटोन $n_2 = 3 \times n_{2, \text{fund}} = 3 \times \frac{1}{2l_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{3}{2l_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ है।
दिया गया है कि $n_1 = n_2$,इसलिए $\frac{1}{l_1 r_1} = \frac{3}{2l_2 r_2}$।
लंबाई के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2r_2}{3r_1}$।
चूंकि $r_1 = 2r_2$,यह मान रखने पर $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2r_2}{3(2r_2)} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया तरंग समीकरण $Y=2 \sin (0.01 x+30 t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $Y=A \sin (kx+\omega t)$ के साथ तुलना करने पर:
हमें तरंग संख्या $k = 0.01 \ cm^{-1}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 30 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{0.01} = 3000 \ cm/s$ है।
वेग को मीटर प्रति सेकंड में बदलने पर: $v = 30 \ m/s$।
डोरी की लंबाई $L$,$t = 0.5 \ s$ समय में तरंग द्वारा तय की गई दूरी है।
$L = v \times t = 30 \ m/s \times 0.5 \ s = 15 \ m$।

(C) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $\mu = \text{प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान} = \rho \cdot A = \rho \cdot \pi \cdot (\frac{d}{2})^2 = \frac{\rho \pi d^2}{4}$ है।
$\mu$ का मान रखने पर,$f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\frac{\rho \pi d^2}{4}}} = \frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ प्राप्त होता है।
तार $A$ के लिए: $n = \frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho_1}}$.
तार $B$ के लिए: $n = \frac{1}{l(2d)} \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho_2}}$.
दोनों आवृत्तियों की तुलना करने पर: $\frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho_1}} = \frac{1}{2ld} \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho_2}}$.
समान पदों को हटाने पर: $\sqrt{\frac{1}{\rho_1}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{\rho_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{\rho_1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\rho_2} = \frac{1}{2\rho_2}$.
अतः,$2\rho_2 = \rho_1$,जिससे $\rho_2 = \frac{\rho_1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि $1^{\text{st}}$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_1$ है।
आवृत्तियाँ एक समांतर श्रेणी में हैं,जिसका सामान्य अंतर $d = 5 \text{ Hz}$ है।
$41^{\text{st}}$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_{41} = n_1 + (41 - 1) \times d$ द्वारा दी जाती है।
$n_{41} = n_1 + 40 \times 5 = n_1 + 200$.
दिया गया है कि अंतिम फोर्क की आवृत्ति पहले की दोगुनी है,इसलिए $n_{41} = 2n_1$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2n_1 = n_1 + 200$.
$n_1$ के लिए हल करने पर: $n_1 = 200 \text{ Hz}$.
इसलिए,$n_{41} = 2 \times 200 = 400 \text{ Hz}$.

(C) कंपन करती डोरी की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m = \frac{\text{आयतन} \times \text{घनत्व}}{l} = \frac{(\pi R^2 l) \rho}{l} = \pi R^2 \rho$.
चूंकि $\pi$ और $\rho$ स्थिर हैं,इसलिए $m \propto R^2$.
इसे आवृत्ति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n \propto \frac{1}{l \sqrt{R^2}} \propto \frac{1}{lR}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $l_2 = 2l_1$ और $R_2 = 2R_1$,इसलिए नई आवृत्ति $n_2$ और मूल आवृत्ति $n_1$ का अनुपात:
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{l_1 R_1}{l_2 R_2} = \frac{l_1 R_1}{(2l_1)(2R_1)} = \frac{1}{4}$.
अतः,नई आवृत्ति $n_2 = \frac{n}{4}$ है।

(A) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तार में तनाव है।
चूंकि तार $M$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक ले जाता है,तनाव $T = Mg = V\rho g$ है,जहाँ $V$ ब्लॉक का आयतन है।
अतः,$n \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{\rho Vg}$.
जब ब्लॉक को $\sigma$ घनत्व वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो प्रभावी भार (तनाव) $T' = V(\rho - \sigma)g$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $n'$ के लिए $n' \propto \sqrt{T'}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = \sqrt{\frac{V(\rho - \sigma)g}{V\rho g}} = \sqrt{\frac{\rho - \sigma}{\rho}}$.
इसलिए,$n' = n \left[\frac{\rho - \sigma}{\rho}\right]^{\frac{1}{2}}$.

(D) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{l}$ है।
मान लीजिए $f_1$ और $f_2$ दो ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियाँ हैं जो क्रमशः $l_1 = 0.97 \ m$ और $l_2 = 0.96 \ m$ लंबाई के साथ अनुनाद में हैं।
अतः,$f_1 = \frac{k}{0.97}$ और $f_2 = \frac{k}{0.96}$,जहाँ $k = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
दिया गया है कि बीट आवृत्ति $f_2 - f_1 = 5 \ Hz$ है।
मान रखने पर: $\frac{k}{0.96} - \frac{k}{0.97} = 5$.
$k \left( \frac{0.97 - 0.96}{0.96 \times 0.97} \right) = 5$.
$k \left( \frac{0.01}{0.9312} \right) = 5 \implies k = 5 \times 93.12 = 465.6$.
अब,$f_1 = \frac{465.6}{0.97} = 480 \ Hz$.
और $f_2 = \frac{465.6}{0.96} = 485 \ Hz$.

(D) दिया गया तरंग समीकरण $Y = 10 \sin \left(\frac{2 \pi t}{30} + \alpha\right)$ है।
$t = 0$ पर,विस्थापन $Y = 5 \text{ cm}$ है।
इन मानों को रखने पर: $5 = 10 \sin \left(\frac{2 \pi \times 0}{30} + \alpha\right)$.
$5 = 10 \sin \alpha \implies \sin \alpha = 0.5$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $\alpha = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$ है।
किसी भी समय $t$ पर कुल कला $\phi$,$\phi = \frac{2 \pi t}{30} + \alpha$ द्वारा दी जाती है।
$t = 7.5 \text{ s}$ पर:
$\phi = \frac{2 \pi \times 7.5}{30} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{15 \pi}{30} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{3 \pi + \pi}{6} = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3} \text{ rad}$.

(C) दोनों सिरों पर बंधी डोरी की अनुनादी आवृत्तियाँ $f_n = n f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $f_0$ मूल आवृत्ति (सबसे कम अनुनादी आवृत्ति) है और $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
यह दिया गया है कि $315 \,Hz$ और $420 \,Hz$ के बीच कोई अनुनादी आवृत्ति नहीं है,इसलिए ये दो आवृत्तियाँ क्रमागत हार्मोनिक्स होनी चाहिए,अर्थात $f_n = 315 \,Hz$ और $f_{n+1} = 420 \,Hz$।
अतः,$n f_0 = 315$ और $(n+1) f_0 = 420$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(n+1) f_0 - n f_0 = 420 - 315$,जिससे $f_0 = 105 \,Hz$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सबसे कम अनुनादी आवृत्ति $105 \,Hz$ है।

(A) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित पहले पत्थर के लिए,प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h_1 = \frac{v^2}{2g}$ है।
उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $PE_1 = mgh_1 = mg \left( \frac{v^2}{2g} \right) = \frac{mv^2}{2}$ है।
दूसरे पत्थर के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $60^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है कि क्षैतिज के साथ कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
दूसरे पत्थर द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h_2 = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{v^2 \sin^2 30^{\circ}}{2g} = \frac{v^2 (0.5)^2}{2g} = \frac{v^2}{8g}$ है।
उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $PE_2 = mgh_2 = mg \left( \frac{v^2}{8g} \right) = \frac{mv^2}{8}$ है।
उनकी स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{PE_1}{PE_2} = \frac{mv^2/2}{mv^2/8} = \frac{8}{2} = 4:1$ है।

(B) गेंद द्वारा तय की गई कुल ऊर्ध्वाधर दूरी $(s+h)$ है।
चूंकि गेंद विरामावस्था से शुरू होती है,इसलिए गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी $mg(s+h)$ है।
जब स्प्रिंग $h$ दूरी तक दब जाती है,तो यह ऊर्जा स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाती है।
स्प्रिंग में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $\frac{1}{2} kh^2$ द्वारा दी जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गेंद की स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$mg(s+h) = \frac{1}{2} kh^2$
स्प्रिंग नियतांक $k$ के लिए हल करने पर:
$k = \frac{2mg(s+h)}{h^2}$

(D) ऊर्ध्वाधर वृत्त के निम्नतम बिंदु पर,डोरी में तनाव $T$ आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है और पिंड के भार को संतुलित करता है।
निम्नतम बिंदु पर तनाव का समीकरण $T = \frac{mv^2}{r} + mg$ है।
ऊर्ध्वाधर लूप को पूरा करने के लिए,निम्नतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $v = \sqrt{5gr}$ होना चाहिए।
$v$ के इस मान को तनाव के समीकरण में रखने पर:
$T = \frac{m(\sqrt{5gr})^2}{r} + mg$
$T = \frac{m(5gr)}{r} + mg$
$T = 5mg + mg$
$T = 6mg$.
अतः,निम्नतम बिंदु पर आभासी भार (तनाव) $6mg$ है।

(C) सौर सेल एक $P-N$ जंक्शन उपकरण है जो प्रकाश ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करता है। विकल्प $C$ कहता है कि यह विद्युत ऊर्जा को प्रकाश में परिवर्तित करता है,जो गलत है। इसलिए,यह बेमेल है।

(D) जब डायोड $D$ फॉरवर्ड बायस में होता है,तो यह शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) की तरह कार्य करता है। परिपथ में $40 \ \Omega$ और $400 \ \Omega$ के दो प्रतिरोध समानांतर क्रम में हैं।
अतः,प्रभावी प्रतिरोध $R_1$ इस प्रकार है:
$R_1 = \frac{40 \times 400}{40 + 400} = \frac{16000}{440} = \frac{1600}{44} = \frac{400}{11} \ \Omega$
जब डायोड $D$ रिवर्स बायस में होता है,तो यह ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) की तरह कार्य करता है। ऊपरी शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,प्रभावी प्रतिरोध $R_2$ केवल निचली शाखा का प्रतिरोध है:
$R_2 = 400 \ \Omega$
अब,$R_1: R_2$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{400/11}{400} = \frac{1}{11}$
इस प्रकार,अनुपात $R_1: R_2$ का मान $1: 11$ है।

(D) फोटोडायोड को रिवर्स बायस स्थितियों में संचालित किया जाता है। परिपथ $(B)$ में,$p$-सिरे को ऋणात्मक टर्मिनल से और $n$-सिरे को धनात्मक टर्मिनल से जोड़ा गया है,जो कि रिवर्स बायस है। अतः,फोटोडायोड के लिए $(B)$ सही है।
$LED$ (लाइट एमिटिंग डायोड) को फॉरवर्ड बायस स्थितियों में संचालित किया जाता है। परिपथ $(D)$ में,$p$-सिरे को धनात्मक टर्मिनल से और $n$-सिरे को ऋणात्मक टर्मिनल से जोड़ा गया है,जो कि फॉरवर्ड बायस है। अतः,$LED$ के लिए $(D)$ सही है।
इसलिए,सामान्य संचालन के लिए सही परिपथ आरेख $(B)$ और $(D)$ हैं।

(D) जब एक $p-n$ जंक्शन डायोड फॉरवर्ड बायस में होता है,तो बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $p$-क्षेत्र से और ऋणात्मक टर्मिनल $n$-क्षेत्र से जुड़ा होता है।
यह बाहरी विद्युत क्षेत्र आंतरिक बैरियर विद्युत क्षेत्र का विरोध करता है।
परिणामस्वरूप,बहुसंख्यक आवेश वाहक (majority charge carriers) जंक्शन की ओर धकेले जाते हैं,जिससे अवक्षय परत (depletion layer) की चौड़ाई कम हो जाती है।
इसलिए,बैरियर विभव (barrier potential) कम हो जाता है,जिससे डायोड के माध्यम से विद्युत धारा आसानी से प्रवाहित हो सकती है।

(D) जब $p-n$ जंक्शन को फॉरवर्ड बायस में जोड़ा जाता है,तो बाहरी बैटरी का धनात्मक सिरा $p$-प्रकार के क्षेत्र से और ऋणात्मक सिरा $n$-प्रकार के क्षेत्र से जुड़ जाता है।
यह बाहरी विद्युत क्षेत्र अवक्षय परत के आंतरिक विद्युत क्षेत्र का विरोध करता है।
परिणामस्वरूप,प्रभावी विभव प्राचीर $(V_B)$ कम हो जाता है।
विभव प्राचीर में कमी के कारण,बहुसंख्यक आवेश वाहक जंक्शन की ओर धकेले जाते हैं,जिससे अवक्षय परत की चौड़ाई $(X)$ कम हो जाती है।
अतः,विभव प्राचीर और अवक्षय परत की चौड़ाई दोनों घट जाते हैं।

(B) एक जंक्शन डायोड फॉरवर्ड बायस्ड तब होता है जब $P$-टर्मिनल का विभव $(V_P)$,$N$-टर्मिनल के विभव $(V_N)$ से अधिक हो,अर्थात $V_P > V_N$ हो।
प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$A$: $V_P = +5 \ V$,$V_N = +10 \ V$. यहाँ $V_P < V_N$ है,इसलिए यह रिवर्स बायस्ड है।
$B$: $V_P = -1.0 \ V$,$V_N = -1.5 \ V$. यहाँ $V_P > V_N$ है (क्योंकि $-1.0 > -1.5$),इसलिए यह फॉरवर्ड बायस्ड है।
$C$: $V_P = 0 \ V$,$V_N = +1 \ V$. यहाँ $V_P < V_N$ है,इसलिए यह रिवर्स बायस्ड है।
$D$: $V_P = -2 \ V$,$V_N = 0 \ V$. यहाँ $V_P < V_N$ है,इसलिए यह रिवर्स बायस्ड है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $P-N$ जंक्शन डायोड में,जब रिवर्स बायस वोल्टेज को एक बड़े मान तक बढ़ाया जाता है,तो यह अंततः ब्रेकडाउन वोल्टेज तक पहुँच जाता है।
इस बिंदु पर,क्रिस्टल लैटिस में सहसंयोजक बंध टूट जाते हैं,जिससे आवेश वाहकों का तेजी से उत्पादन होता है।
परिणामस्वरूप,डायोड से प्रवाहित होने वाली धारा अचानक बढ़ जाती है।

(D) ग्राफ प्रथम चतुर्थांश में $y$-अक्ष पर धारा $I$ ($mA$ में) और $x$-अक्ष पर वोल्टेज $V$ ($Volt$ में) को दर्शाता है,जो अग्र अभिनति (forward bias) विशेषताओं को इंगित करता है।
दिए गए विकल्पों में से,लाइट एमिटिंग डायोड $(LED)$ अग्र अभिनति में कार्य करता है,जहाँ थ्रेशोल्ड वोल्टेज के बाद वोल्टेज के साथ धारा तेजी से बढ़ती है,जिससे आवेश वाहकों के पुनर्संयोजन के कारण प्रकाश का उत्सर्जन होता है।
अतः,यह ग्राफ $LED$ की अग्र अभिनति विशेषताओं को दर्शाता है।

(B) कुचालकों में,वेलेंस बैंड और कंडक्शन बैंड के बीच ऊर्जा अंतराल (energy gap) बहुत बड़ा होता है (आमतौर पर $> 3 \ eV$)।
परम शून्य तापमान पर,वेलेंस बैंड इलेक्ट्रॉनों से पूरी तरह भरा होता है और कंडक्शन बैंड पूरी तरह से खाली होता है।
बड़े ऊर्जा अंतराल के कारण,कमरे के तापमान पर भी इलेक्ट्रॉन वेलेंस बैंड से कंडक्शन बैंड में नहीं कूद सकते हैं,यही कारण है कि कुचालक बिजली का संचालन नहीं करते हैं।

(C) कुचालकों में,संयोजी बैंड (valence band) इलेक्ट्रॉनों से पूरी तरह भरा होता है और चालन बैंड (conduction band) पूरी तरह से खाली होता है।
संयोजी बैंड और चालन बैंड के बीच एक बहुत बड़ा ऊर्जा बैंड गैप (आमतौर पर $E_g > 3 \ eV$) होता है।
इस बड़े ऊर्जा अंतराल के कारण,कमरे के तापमान पर भी इलेक्ट्रॉन संयोजी बैंड से चालन बैंड में आसानी से नहीं कूद सकते हैं।
इसलिए,बैंड गैप बहुत अधिक होता है और चालन बैंड खाली होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) कमरे के तापमान पर,एक अर्धचालक में संयोजकता बैंड से कुछ इलेक्ट्रॉनों को चालन बैंड में उत्तेजित करने के लिए तापीय ऊर्जा पर्याप्त होती है।
हालाँकि,संयोजकता बैंड में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या की तुलना में उत्तेजित इलेक्ट्रॉनों की संख्या बहुत कम होती है।
इसलिए,संयोजकता बैंड लगभग पूरी तरह से भरा रहता है और चालन बैंड में केवल थोड़ी संख्या में इलेक्ट्रॉन होते हैं,जिससे यह आंशिक रूप से भर जाता है।
इस प्रकार,सही विवरण यह है कि संयोजकता बैंड लगभग पूरी तरह से भरा होता है और चालन बैंड आंशिक रूप से भरा होता है।

(D) एम्पलीफायर का पावर गेन,वोल्टेज गेन और करंट गेन का गुणनफल होता है।
$\text{Power Gain} = \text{Voltage Gain} \times \text{Current Gain}$
इसलिए,पावर गेन और वोल्टेज गेन का अनुपात करंट गेन के बराबर होता है।
कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में,करंट गेन को $\beta$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,$\frac{\text{Power Gain}}{\text{Voltage Gain}} = \beta$.

(C) ट्रांजिस्टर में,एमिटर-बेस जंक्शन हमेशा फॉरवर्ड-बायस होता है ताकि चार्ज कैरियर बेस में प्रवेश कर सकें।
$n-p-n$ ट्रांजिस्टर में,एमिटर $n$-प्रकार का होता है,इसलिए यह बेस में इलेक्ट्रॉन (मेजोरिटी कैरियर) इंजेक्ट करता है।
$p-n-p$ ट्रांजिस्टर में,एमिटर $p$-प्रकार का होता है,इसलिए यह बेस में होल्स (मेजोरिटी कैरियर) इंजेक्ट करता है।
अतः,संचालन में मुख्य अंतर यह है कि एमिटर द्वारा बेस क्षेत्र में किस प्रकार के चार्ज कैरियर इंजेक्ट किए जाते हैं: $p-n-p$ होल्स इंजेक्ट करता है,जबकि $n-p-n$ इलेक्ट्रॉन इंजेक्ट करता है।

(D) हम जानते हैं कि धारा लाभ $\alpha$ और $\beta$ के बीच का संबंध $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$ है।
वैकल्पिक रूप से,हम मूलभूत धारा संबंध $I_E = I_C + I_B$ का उपयोग कर सकते हैं।
दोनों पक्षों को $I_C$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{I_E}{I_C} = 1 + \frac{I_B}{I_C}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{\alpha} = 1 + \frac{1}{\beta}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\beta} = 1$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{0.98} - \frac{1}{49} \approx 1.0204 - 0.0204 = 1$।

(D) यह दिया गया है कि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों का $80 \%$ संग्राहक तक पहुँचता है, जिसका अर्थ है कि संग्राहक धारा $I_c$, उत्सर्जक धारा $I_e$ का $80 \%$ है।
$I_c = 0.80 \times I_e$
यहाँ $I_c = 28 \,mA$ दिया गया है, इसलिए $28 = 0.80 \times I_e$।
$I_e = \frac{28}{0.80} = 35 \,mA$।
ट्रांजिस्टर धाराओं के संबंध $I_e = I_c + I_b$ का उपयोग करके, हम आधार धारा $I_b$ ज्ञात कर सकते हैं।
$I_b = I_e - I_c = 35 \,mA - 28 \,mA = 7 \,mA$।

(B) यह सर्किट $A$ और $C$ इनपुट वाले एक $OR$ गेट से बना है, जहाँ $C$, $A$ और $B$ इनपुट वाले गेट $G$ का आउटपुट है। अतः, आउटपुट $Y = A + C = A + (A \text{ gate } B)$ है।
आइए गेट $G$ के लिए विकल्पों की जाँच करें:
$1$. यदि $G$ एक $AND$ गेट है, तो $C = A \cdot B$ होगा। आउटपुट $Y = A + (A \cdot B)$ होगा।
$(A, B) = (0, 0)$ के लिए, $Y = 0 + (0 \cdot 0) = 0$.
$(A, B) = (0, 1)$ के लिए, $Y = 0 + (0 \cdot 1) = 0$.
$(A, B) = (1, 0)$ के लिए, $Y = 1 + (1 \cdot 0) = 1$.
$(A, B) = (1, 1)$ के लिए, $Y = 1 + (1 \cdot 1) = 1$.
यह दिए गए ट्रुथ टेबल से पूरी तरह मेल खाता है। इसलिए, $G$ एक $AND$ गेट होना चाहिए।

(D) सर्किट का आउटपुट $Y = A + C$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $C$, $A$ और $B$ इनपुट वाले गेट $G$ का आउटपुट है। अतः, $C = A \text{ (gate } G) B$.
आइए गेट $G$ के लिए विकल्पों का परीक्षण करें:
यदि $G$, $NOR$ है, तो $C = \overline{A+B}$.
आउटपुट $Y = A + \overline{A+B}$.
आइए सभी इनपुट के लिए इसकी जाँच करें:
$1$. $A=0, B=0$ के लिए: $C = \overline{0+0} = 1$. अतः $Y = 0 + 1 = 1$. (मेल खाता है)
$2$. $A=0, B=1$ के लिए: $C = \overline{0+1} = 0$. अतः $Y = 0 + 0 = 0$. (मेल खाता है)
$3$. $A=1, B=0$ के लिए: $C = \overline{1+0} = 0$. अतः $Y = 1 + 0 = 1$. (मेल खाता है)
$4$. $A=1, B=1$ के लिए: $C = \overline{1+1} = 0$. अतः $Y = 1 + 0 = 1$. (मेल खाता है)
चूँकि सभी मान दिए गए ट्रुथ-टेबल से मेल खाते हैं, इसलिए गेट $G$, $NOR$ है।

(C) मान लीजिए कि $OR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। $OR$ गेट का आउटपुट $Y_1 = A + B$ है।
यह आउटपुट $Y_1$,$NAND$ गेट के दोनों इनपुट से जुड़ा है। मान लीजिए कि $NAND$ गेट के इनपुट $X_1 = Y_1$ और $X_2 = Y_1$ हैं।
$NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{X_1 \cdot X_2} = \overline{Y_1 \cdot Y_1} = \overline{Y_1}$ है।
चूंकि $Y_1 = A + B$,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{A + B}$ है।
यह एक $NOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

इनपुट $(A, B)$	$OR$ गेट का आउटपुट $(Y_1 = A+B)$	अंतिम आउटपुट $(Y = \overline{Y_1})$
$0, 0$	$0$	$1$
$0, 1$	$1$	$0$
$1, 0$	$1$	$0$
$1, 1$	$1$	$0$

यह सत्यता सारणी (Truth table) एक $NOR$ गेट से मेल खाती है।

(D) $NAND$ गेट एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट का संयोजन है।
सबसे पहले,इनपुट $A$ और $B$ पर $AND$ ऑपरेशन किया जाता है,जिसका परिणाम $A \cdot B$ होता है।
इसके बाद,इस परिणाम पर $NOT$ ऑपरेशन लागू किया जाता है,जो आउटपुट को उलट देता है।
इसलिए,$NAND$ गेट का आउटपुट $Y$ बूलियन समीकरण $Y = \overline{A \cdot B}$ द्वारा दिया जाता है।

(C) दिए गए सर्किट में एक $NAND$ गेट और एक $NOT$ गेट है,जिनके आउटपुट को एक $OR$ गेट में भेजा जाता है।
$1$. इनपुट $A$ और $B$ को $NAND$ गेट में भेजा जाता है। $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है।
$2$. इनपुट $C$ को $NOT$ गेट में भेजा जाता है। $NOT$ गेट का आउटपुट $\overline{C}$ है।
$3$. इन दोनों आउटपुट को फिर एक $OR$ गेट में भेजा जाता है। दो इनपुट $X$ और $Z$ का $OR$ ऑपरेशन $X+Z$ होता है।
$4$. इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ पिछले दो आउटपुट का $OR$ योग है: $Y = \overline{A \cdot B} + \overline{C}$.

(D) यह सर्किट एक $NAND$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट से बना है।
दिए गए चित्र में,$NAND$ गेट का आउटपुट $AND$ गेट के केवल एक इनपुट टर्मिनल से जुड़ा है।
$AND$ गेट एक मल्टी-इनपुट लॉजिक गेट है जिसे अपना लॉजिकल कार्य करने के लिए कम से कम दो इनपुट सिग्नल की आवश्यकता होती है।
चूंकि इस सर्किट में $AND$ गेट को केवल एक ही इनपुट मिल रहा है,इसलिए यह एक मानक लॉजिक गेट के रूप में कार्य नहीं कर सकता है।
अतः,यह गेट कार्यशील नहीं है।

(C) दिए गए परिपथ में एक $OR$ गेट और एक $NAND$ गेट है,जिनके आउटपुट को एक $AND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया गया है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$OR$ गेट का आउटपुट $(A + B)$ है।
$NAND$ गेट का आउटपुट $(\overline{A \cdot B})$ है।
ये अंतिम $AND$ गेट के लिए इनपुट हैं।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = (A + B) \cdot (\overline{A \cdot B})$
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$।
$Y = (A + B) \cdot (\bar{A} + \bar{B})$
$Y = A \cdot \bar{A} + A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A} + B \cdot \bar{B}$
चूंकि $A \cdot \bar{A} = 0$ और $B \cdot \bar{B} = 0$,इसलिए:
$Y = 0 + A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A} + 0$
$Y = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$
यह $XOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(D) यह सर्किट एक $NAND$ गेट,एक $NOT$ गेट और दो $NOR$ गेट से मिलकर बना है।
माना ऊपरी $NAND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ है।
माना निचली शाखा ($NOT$ गेट और उसके बाद $NOR$ गेट) का आउटपुट $Y_2 = \overline{\overline{A} + B}$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$,$Y_1$ और $Y_2$ इनपुट वाले $NOR$ गेट का आउटपुट है,इसलिए $Y = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{(\overline{A \cdot B}) + (\overline{\overline{A} + B})}$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A=1, B=1$ के लिए:
$Y_1 = \overline{1 \cdot 1} = 0$
$Y_2 = \overline{\overline{1} + 1} = \overline{0 + 1} = 0$
$Y = \overline{0 + 0} = 1$।
अतः,$A=1, B=1$ के लिए आउटपुट $Y$,$1$ प्राप्त होता है।

(C) $NAND$ गेट के दो इनपुट होते हैं,मान लीजिए $A$ और $B$,और इसका आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि दोनों इनपुट को शॉर्ट कर दिया जाए,तो $A = B$ होगा। मान लीजिए कि यह सामान्य इनपुट $A$ है।
इस मान को $NAND$ व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Y = \overline{A \cdot A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बूलियन बीजगणित में $A \cdot A = A$ होता है,इसलिए व्यंजक $Y = \overline{A}$ हो जाता है।
व्यंजक $Y = \overline{A}$ एक $NOT$ गेट की क्रिया को दर्शाता है।
अतः,जब एक $NAND$ गेट के इनपुट को शॉर्ट किया जाता है,तो यह एक $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(C) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट,दो $AND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं।
$1$. इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से गुजरकर $\overline{A}$ बन जाता है और इनपुट $B$ सीधे पहले $AND$ गेट में जाता है। इस $AND$ गेट का आउटपुट $\overline{A} \cdot B$ है।
$2$. इनपुट $B$ एक $NOT$ गेट से गुजरकर $\overline{B}$ बन जाता है और इनपुट $A$ सीधे दूसरे $AND$ गेट में जाता है। इस $AND$ गेट का आउटपुट $A \cdot \overline{B}$ है।
$3$. इन दोनों आउटपुट को एक $OR$ गेट में भेजा जाता है। अंतिम आउटपुट $Y$ इन दो व्यंजकों का योग है: $Y = (\overline{A} \cdot B) + (A \cdot \overline{B})$.
यह एक $XOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(D) दिए गए परिपथ में दो $NOR$ गेट हैं जिनके आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। ऊपरी $NOR$ गेट का आउटपुट $C = \overline{A+B}$ है और निचले $NOR$ गेट का आउटपुट $D = \overline{A+B}$ है। इन्हें एक $OR$ गेट में देने पर,अंतिम आउटपुट $Y = C + D = \overline{A+B} + \overline{A+B} = \overline{A+B}$ प्राप्त होता है।
इस संयोजन के लिए सत्यता सारणी (truth table) नीचे दी गई है:

$A$	$B$	$C = \overline{A+B}$	$D = \overline{A+B}$	$Y = C + D$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$

इस सत्यता सारणी की तुलना मानक लॉजिक गेट्स से करने पर,आउटपुट $Y$ केवल तब $1$ होता है जब $A$ और $B$ दोनों $0$ हों,जो कि एक $NOR$ गेट का विशिष्ट व्यवहार है।

(B) हाफ-वेव रेक्टिफायर में, आउटपुट पल्स प्रति इनपुट चक्र एक बार प्राप्त होती है। इसलिए, आउटपुट आवृत्ति इनपुट आवृत्ति के बराबर होती है, जो $50 \,Hz$ है।
फुल-वेव रेक्टिफायर में, आउटपुट पल्स प्रति इनपुट चक्र दो बार प्राप्त होती है (प्रत्येक अर्ध-चक्र के लिए एक बार)। इसलिए, आउटपुट आवृत्ति इनपुट आवृत्ति की दोगुनी होती है, जो $2 \times 50 \,Hz = 100 \,Hz$ है।
अतः, आउटपुट आवृत्तियाँ क्रमशः $50 \,Hz$ और $100 \,Hz$ हैं।

(C) पूर्ण तरंग दिष्टकारी की अधिकतम दक्षता $x = 81.2 \%$ है।
अर्ध तरंग दिष्टकारी की अधिकतम दक्षता $y = 40.6 \%$ है।
इन दोनों मानों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $x = 2 \times 40.6 \% = 2y$।
अतः,सही संबंध $x = 2y$ है।

(B) एक आंतरिक अर्धचालक एक शुद्ध अर्धचालक होता है जिसमें कोई महत्वपूर्ण अशुद्धि (dopant) मौजूद नहीं होती है।
आंतरिक अर्धचालक में,आवेश वाहक केवल तापीय उत्तेजना के कारण उत्पन्न होते हैं।
जब तापीय ऊर्जा के कारण एक सहसंयोजक बंध टूटता है,तो एक इलेक्ट्रॉन संयोजी बैंड (valence band) से चालन बैंड (conduction band) में उत्तेजित हो जाता है,जिससे संयोजी बैंड में एक होल पीछे छूट जाता है।
चूंकि प्रत्येक इलेक्ट्रॉन-होल युग्म एक साथ उत्पन्न होता है,इसलिए चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n_{e})$ संयोजी बैंड में होल्स की संख्या $(n_{h})$ के बराबर होनी चाहिए।
इसलिए,एक आंतरिक अर्धचालक के लिए,$n_{h} = n_{e}$ होता है।

(C) दिया गया है: $Si$ परमाणुओं का घनत्व $= 4 \times 10^{28} \text{ परमाणु}/m^3$।
$1 \text{ ppm}$ (प्रति दस लाख भाग) $Sb$ (एंटीमनी) के साथ डोपिंग के बाद,$Sb$ परमाणुओं की सांद्रता:
$Sb \text{ परमाणुओं की संख्या} = \frac{4 \times 10^{28}}{10^6} = 4 \times 10^{22} \text{ परमाणु}/m^3$।
चूंकि $Sb$ एक पंच-संयोजी अशुद्धि है,इसलिए प्रत्येक $Sb$ परमाणु क्रिस्टल जालक में एक मुक्त इलेक्ट्रॉन दान करता है।
अतः,उपलब्ध मुक्त इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $4 \times 10^{22} \ m^{-3}$ होगी।

(A) अर्धचालक की प्रतिरोधकता $\rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{e(n_e \mu_e + n_h \mu_h)}$ द्वारा दी जाती है।
जब एक अर्धचालक को अशुद्धि परमाणुओं के साथ डोप किया जाता है,तो आवेश वाहकों (चार्ज कैरियर्स) की सांद्रता ($n_e$ या $n_h$) काफी बढ़ जाती है।
चूंकि चालकता $\sigma$ वाहक सांद्रता के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए चालकता बढ़ जाती है।
चूंकि प्रतिरोधकता $\rho$ चालकता का व्युत्क्रम है,इसलिए चालकता में वृद्धि से प्रतिरोधकता में कमी आती है।
अतः,डोपिंग सामान्यतः अर्धचालक की प्रतिरोधकता को कम कर देती है।

(B) ट्रांजिस्टर में,करंट गेन पैरामीटर्स को $\beta = \frac{I_C}{I_B}$ और $\alpha = \frac{I_C}{I_E}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $I_E = I_B + I_C$,हम लिख सकते हैं $\alpha = \frac{I_C}{I_B + I_C}$।
अंश और हर को $I_C$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\alpha = \frac{1}{\frac{I_B}{I_C} + 1} = \frac{1}{\frac{1}{\beta} + 1} = \frac{\beta}{1 + \beta}$।
इससे,हम प्राप्त कर सकते हैं $\frac{1}{\alpha} = \frac{1 + \beta}{\beta} = \frac{1}{\beta} + 1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha} - 1$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,संबंध $\alpha = \frac{\beta}{1 - \beta}$ गलत है।

(B) वह अर्धचालक जिसमें चालकता पूरी तरह से संयोजी बैंड से चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों के तापीय उत्तेजन के कारण होती है,जिसके परिणामस्वरूप सहसंयोजक बंध टूट जाते हैं,उसे नैज (intrinsic) अर्धचालक कहा जाता है। इस स्थिति में,मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या होल्स की संख्या के बराबर होती है $(n_e = n_h)$। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) सही उत्तर $C$ है।
$1$. पारंपरिक प्रकाश स्रोतों की तुलना में $LED$ अत्यधिक ऊर्जा कुशल होते हैं।
$2$. यदि उच्च गुणवत्ता के साथ निर्मित किया जाए तो $LED$ का परिचालन जीवनकाल बहुत लंबा होता है।
$3$. $LED$ द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की चमक को उसमें से प्रवाहित होने वाली फॉरवर्ड करंट को बदलकर आसानी से नियंत्रित किया जा सकता है। इसलिए,यह कथन कि इसे नियंत्रित नहीं किया जा सकता है,गलत है।
$4$. $LED$ द्वारा उत्सर्जित प्रकाश मोनोक्रोमैटिक होता है और समय के साथ फीका नहीं पड़ता है।

(D) प्रकाश उत्सर्जक डायोड $(LED)$ एक अत्यधिक डोपित $p-n$ जंक्शन डायोड है जो फॉरवर्ड बायस होने पर स्वतःस्फूर्त विकिरण उत्सर्जित करता है।
फॉरवर्ड बायस स्थिति में,विभव प्राचीर (potential barrier) कम हो जाता है,जिससे $n$-क्षेत्र के इलेक्ट्रॉन और $p$-क्षेत्र के होल जंक्शन को पार कर सकते हैं।
ये आवेश वाहक जंक्शन पर पुनर्संयोजन (recombine) करते हैं और फोटॉन (प्रकाश) के रूप में ऊर्जा मुक्त करते हैं।
इसलिए,प्रकाश उत्सर्जित करने के लिए $LED$ को हमेशा फॉरवर्ड बायस स्थिति में संचालित किया जाता है।

(C) $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$m^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y'_m = \frac{(2m - 1) \lambda_2 D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $5^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज $6^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज के साथ संपाती है,इसलिए $n = 5$ और $m = 6$ रखने पर:
$\frac{5 \lambda_1 D}{d} = \frac{(2 \times 6 - 1) \lambda_2 D}{2d}$
$\frac{5 \lambda_1 D}{d} = \frac{11 \lambda_2 D}{2d}$
दोनों पक्षों से $D$ और $d$ को हटाने पर:
$5 \lambda_1 = \frac{11 \lambda_2}{2}$
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{11}{5 \times 2} = \frac{11}{10}$

(B) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि कोणीय चौड़ाई $\theta$,स्लिट की चौड़ाई $a$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\theta \propto \frac{1}{a}$।
इसलिए,जैसे-जैसे स्लिट की चौड़ाई $a$ बढ़ती है,केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई घटती जाती है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई स्लिट की चौड़ाई $(a)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,जब स्लिट की चौड़ाई $a$ को कम किया जाता है,तो केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई बढ़ जाती है।

(C) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में,मुख्य उच्चिष्ठ की तीव्रता स्लिट की चौड़ाई के वर्ग $(a^2)$ के समानुपाती होती है। जब स्लिट की चौड़ाई $a$ को दोगुना करके $2a$ कर दिया जाता है,तो तरंगों का आयाम $2$ के गुणक में बढ़ जाता है। चूंकि तीव्रता आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,इसलिए नई तीव्रता $I \propto (2a)^2 = 4I_0$ होगी। इस प्रकार,मुख्य उच्चिष्ठ की तीव्रता $4$ गुना बढ़ जाएगी।

(D) कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$ है।
प्रथम बिंदु के लिए,$\Delta x_1 = 0$,अतः $\Delta \phi_1 = 0$। तीव्रता $I_1 = I_{max} \cos^2(\frac{\Delta \phi_1}{2}) = I_{max} \cos^2(0) = I_{max}$ होगी।
द्वितीय बिंदु के लिए,$\Delta x_2 = \frac{\lambda}{2}$,अतः $\Delta \phi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{2} = \pi$। तीव्रता $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{2}) = 0$ होगी।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_{max}}{0} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\infty: 1$ है।

(C) बिंदु $P$ पर कुल कलांतर $\Delta \phi$, स्रोतों के बीच प्रारंभिक कलांतर और पथ अंतर के कारण उत्पन्न कलांतर का योग है।
माना $\phi_1$ स्रोतों $A$ और $B$ के बीच प्रारंभिक कलांतर है। दिया गया है $\phi_1 = 54^{\circ}$।
रेडियन में बदलने पर: $\phi_1 = 54 \times \frac{\pi}{180} = 0.3 \pi \text{ rad}$।
माना $\phi_2$ पथ अंतर $\Delta x = PB - PA = 2.5 \lambda$ के कारण कलांतर है।
पथ अंतर के कारण कलांतर का सूत्र $\phi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$ है।
मान रखने पर: $\phi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \times 2.5 \lambda = 5 \pi \text{ rad}$।
चूँकि स्रोत $A$ कला में आगे है, इसलिए कुल कलांतर $\Delta \phi = \phi_2 + \phi_1 = 5 \pi + 0.3 \pi = 5.3 \pi \text{ rad}$ होगा।

(B) बाइप्रिज्म प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $Z = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और सुसंगत स्रोतों के बीच की दूरी $d$ स्थिर है,इसलिए अनुपात $\frac{\lambda}{d}$ एक स्थिर मान है।
अतः,हम लिख सकते हैं कि $\frac{Z}{D} = \frac{\lambda}{d} = \text{स्थिरांक}$.
इसका अर्थ है कि $D$ और $Z$ के विभिन्न मानों के लिए,यह अनुपात समान रहता है:
$\frac{Z_1}{D_1} = \frac{Z_2}{D_2} = \frac{Z_3}{D_3} = \frac{Z_4}{D_4}$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,व्यतिकरण फ्रिंजों की तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$I_1 = I_2 = I_0$ है,इसलिए $I_{max} = 4I_0$ और $I_{min} = 0$ होता है।
जब एक स्लिट को ढका जाता है,तो उस स्लिट से आने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_1' = 0.5 I_0$ हो जाती है,जबकि $I_2 = I_0$ रहता है।
अब,नई अधिकतम तीव्रता $I_{max}' = (\sqrt{0.5 I_0} + \sqrt{I_0})^2 = I_0(0.5 + 1 + 2\sqrt{0.5}) \approx 2.91 I_0$ है,जो $4I_0$ से कम है।
नई न्यूनतम तीव्रता $I_{min}' = (\sqrt{I_0} - \sqrt{0.5 I_0})^2 = I_0(1 + 0.5 - 2\sqrt{0.5}) \approx 0.086 I_0$ है,जो $0$ से अधिक है।
अतः,दीप्त फ्रिंज की तीव्रता घटती है और अदीप्त फ्रिंज की तीव्रता बढ़ती है।

(A) मेलस के नियम के अनुसार,ध्रुवक से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_{max} \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ दो ध्रुवकों के संचरण अक्षों के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,मुख्य तल समानांतर हैं,इसलिए $\theta = 0^{\circ}$ और तीव्रता $I_0 = I_{max}$ है।
जब क्रिस्टल $B$ को $45^{\circ}$ घुमाया जाता है,तो संचरण अक्षों के बीच का नया कोण $\theta = 45^{\circ}$ हो जाता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$I = I_0 \cos^2(45^{\circ})$
$I = I_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = I_0 \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{I_0}{2}$.

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक $n = \tan \theta_{B}$ होता है,जहाँ $\theta_{B}$ ब्रूस्टर कोण है।
यहाँ $\theta_{B} = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $n = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$।
अब,स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{\sin i}{\sin r} = n$,जहाँ $i = 45^{\circ}$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
मान रखने पर,$\sin r = \frac{\sin 45^{\circ}}{n} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$।
अतः,अपवर्तन कोण $r = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$ होगा।

(C) दिया गया है: प्रिज्म का कोण $= A$,आपतन कोण $i = 2A$ है।
प्रकाश किरण के चांदी वाली सतह से परावर्तन के बाद अपने पथ को पुनः प्राप्त करने के लिए,इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत गिरना चाहिए।
माना पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r$ है। प्रिज्म के अंदर किरण द्वारा निर्मित त्रिभुज से,ज्यामिति के अनुसार $r = A$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 2A}{\sin A}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\sin A} = 2 \cos A$

(D) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग में,केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है। यदि स्लिट की चौड़ाई $a$ को दोगुना $(a' = 2a)$ कर दिया जाए,तो नई कोणीय चौड़ाई $\theta' = \frac{2\lambda}{2a} = \frac{\theta}{2}$ हो जाती है। इस प्रकार,कोणीय चौड़ाई आधी हो जाती है।
तीव्रता के संबंध में,केंद्रीय उच्चिष्ठ की तीव्रता स्लिट की चौड़ाई के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto a^2)$। यदि स्लिट की चौड़ाई दोगुनी कर दी जाए,तो नई तीव्रता $I'$ का मान $I' \propto (2a)^2 = 4a^2 = 4I$ हो जाता है। इसलिए,तीव्रता $4$ के गुणक से बढ़ जाती है।

(A) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$ वें निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
$n$ वें द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
प्रथम निम्निष्ठ $(n=1)$ के लिए दिया गया है: $a \sin 30^{\circ} = \lambda \Rightarrow a(1/2) = \lambda \Rightarrow a = 2\lambda$.
प्रथम द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n=1)$ के लिए: $a \sin \theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$.
समीकरण में $a = 2\lambda$ रखने पर: $(2\lambda) \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$.
$\sin \theta = \frac{3}{4} \Rightarrow \theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(C) दिया गया है: फ्रिंज की चौड़ाई $W = 2 \, mm$ है।
स्क्रीन के केंद्र से $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = nW$ होती है।
स्क्रीन के केंद्र से $n^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज की दूरी $y'_n = (n - 0.5)W$ होती है।
$13^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज के लिए, $n = 13$: $y_{13} = 13 \times 2 = 26 \, mm$।
$4^{\text{थी}}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए, $n = 4$: $y'_4 = (4 - 0.5) \times 2 = 3.5 \times 2 = 7 \, mm$।
उनके बीच की दूरी $y_{13} - y'_4 = 26 \, mm - 7 \, mm = 19 \, mm$ होगी।

(B) कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ होगा।
व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\Delta \phi}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है।
सूत्र में $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ का मान रखने पर:
$\frac{I}{I_0} = \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
चूंकि $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{I}{I_0} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$ होगा।