MHT CET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{m/k}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक स्प्रिंग के लिए जिसका स्प्रिंग नियतांक $k$ है,आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{m/k}$ है।
जब $l$ लंबाई और $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का स्प्रिंग नियतांक $k' = 2k$ हो जाता है,क्योंकि $k \propto 1/l$ होता है।
समान द्रव्यमान $m$ और नए स्प्रिंग नियतांक $k' = 2k$ वाली नई प्रणाली के लिए,आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{m/(2k)}$ है।
अनुपात लेने पर: $T_1 / T_2 = \frac{2\pi \sqrt{m/k}}{2\pi \sqrt{m/(2k)}} = \sqrt{\frac{m/k}{m/(2k)}} = \sqrt{2}$।
अतः,अनुपात $T_1 / T_2 = \sqrt{2}$ है।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर लिफ्ट में,प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g$ है,इसलिए $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{3}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो लोलक द्वारा अनुभव किया गया प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ होता है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $g_{eff} = g + \frac{g}{3} = \frac{4g}{3}$ प्राप्त होता है।
नया आवर्तकाल $T^{\prime}$ इस प्रकार है: $T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{4g/3}}$.
इसे सरल करने पर,$T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{3l}{4g}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \right)$.
चूंकि $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$,इसलिए $T^{\prime} = \frac{\sqrt{3}}{2} T$ होगा।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $m$ के लिए,आवर्तकाल $T = 3 \text{ s}$ है,इसलिए $3 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
बढ़ाए गए द्रव्यमान $m+1$ के लिए,आवर्तकाल $T' = 5 \text{ s}$ है,इसलिए $5 = 2 \pi \sqrt{\frac{m+1}{k}}$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{T}{T'} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}}{2 \pi \sqrt{\frac{m+1}{k}}} = \sqrt{\frac{m}{m+1}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3}{5} = \sqrt{\frac{m}{m+1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{9}{25} = \frac{m}{m+1}$.
तिर्यक गुणा करने पर:
$9(m+1) = 25m \implies 9m + 9 = 25m$.
$16m = 9 \implies m = \frac{9}{16} \text{ kg}$.

(A) जब ब्लॉक को ऊर्ध्वाधर रूप से $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो उस पर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F = - (A x \rho) g$ होता है।
यह बल एक प्रत्यानयन बल के रूप में कार्य करता है,इसलिए $F = -kx$,जहाँ $k = A \rho g$ प्रभावी स्प्रिंग नियतांक है।
दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{A \rho g}{m}}$ है।
आवृत्ति $n$ का मान $n = \frac{\omega}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{A \rho g}{m}}$।

(B) दिया गया द्रव्यमान $m = 0.04 \text{ kg}$ है।
बल-विस्थापन ग्राफ से,बल $F$ विस्थापन $x$ से $F = -kx$ द्वारा संबंधित है।
ग्राफ की ढाल बल नियतांक $k$ प्रदान करती है।
$k = |\frac{F}{x}| = |\frac{-8}{2}| = 4 \text{ N/m}$।
सरल आवर्त गति के लिए आवर्तकाल $T$ का सूत्र है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
मान रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{0.04}{4}}$
$T = 2 \pi \sqrt{0.01}$
$T = 2 \pi \times 0.1$
$T = 0.2 \pi \text{ s}$।

(A) प्रत्यानयन बल $F$ के अंतर्गत दोलन करने वाले पिंड के लिए,$F = kx$,जहाँ $k = m\omega^2$ है।
अतः,$\omega^2 = \frac{F}{mx}$।
पहले बल $F_1$ के लिए,$\omega_1^2 = \frac{F_1}{mx}$।
दूसरे बल $F_2$ के लिए,$\omega_2^2 = \frac{F_2}{mx}$।
जब दोनों बल एक साथ कार्य करते हैं,तो परिणामी बल $F_{res} = F_1 + F_2$ होता है।
परिणामी कोणीय आवृत्ति $\omega$ के लिए,$\omega^2 = \frac{F_1 + F_2}{mx} = \frac{F_1}{mx} + \frac{F_2}{mx} = \omega_1^2 + \omega_2^2$।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \left(\frac{2\pi}{T_1}\right)^2 + \left(\frac{2\pi}{T_2}\right)^2$।
$4\pi^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{T^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$।
अतः,$T = \sqrt{\frac{T_1^2 T_2^2}{T_1^2 + T_2^2}}$।

(A) वृत्ताकार पथ पर गति कर रहे कण का कोणीय वेग $\omega$ उसके आवर्तकाल $T$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\omega = \frac{2\pi}{T}$।
चूंकि दोनों कणों के लिए आवर्तकाल $T$ समान है $(T_1 = T_2 = T)$,इसलिए उनके कोणीय वेग:
$\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$ और $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2}$ होंगे।
अतः,$\omega_1 = \omega_2$।
इसलिए,पहले कण और दूसरे कण के कोणीय वेग का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{1}{1}$ होगा।

(A) मूल बिंदु के सापेक्ष किसी कण का कोणीय संवेग $L$, उसके स्थिति सदिश $r$ और रैखिक संवेग $p = Mv$ के क्रॉस गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
$L = r \times (Mv)$
चूंकि द्रव्यमान $M$, $X$-अक्ष के समानांतर एकसमान वेग $v$ से गति कर रहा है, हम इसकी स्थिति को $r = xi + yj$ के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ $y$, $X$-अक्ष से लंबवत दूरी है जो स्थिर रहती है।
वेग सदिश $v = vi$ है।
कोणीय संवेग $L = (xi + yj) \times (Mvi) = Mv(xi \times i) + Mv(yj \times i)$ होगा।
चूंकि $i \times i = 0$ और $j \times i = -k$, हमें $L = -Mvyk$ प्राप्त होता है।
चूंकि $M$, $v$, और $y$ सभी स्थिर हैं, इसलिए कोणीय संवेग $L$ का परिमाण और दिशा समय के साथ स्थिर रहते हैं।

(B) अपनी केंद्रीय अक्ष के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी रूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $\tau$ टॉर्क है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
रिम पर लगाया गया स्पर्शरेखीय बल $F$,टॉर्क $\tau = F \times R$ प्रदान करता है।
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega}{t}$ द्वारा दिया जाता है।
इन मानों को टॉर्क समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $F \times R = (\frac{1}{2} M R^2) \times (\frac{\omega}{t})$.
$F$ के लिए हल करने पर: $F = \frac{M R \omega}{2 t}$.

(D) मान लीजिए $m$ द्रव्यमान है,$v$ द्रव्यमान केंद्र का वेग है,$R$ त्रिज्या है,और $I$ वस्तु का जड़त्व आघूर्ण है।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $KE_{\text{trans}} = \frac{1}{2} mv^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $KE_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
चूंकि वस्तु बिना फिसले लुढ़क रही है,$v = \omega R$,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$।
इस मान को घूर्णन गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर: $KE_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{I}{R^2}\right) v^2$।
दिया गया है कि $KE_{\text{trans}} = KE_{\text{rot}}$,इसलिए $\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{I}{R^2}\right) v^2$।
इससे $m = \frac{I}{R^2}$ या $I = mR^2$ प्राप्त होता है।
जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ एक रिंग (या पतले खोखले बेलन) के लिए उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः होता है।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
चूंकि दोनों डिस्क के लिए द्रव्यमान $M$ समान है,इसलिए अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$ होगा।
डिस्क का द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi R^2 t) d$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $M$ और $t$ स्थिर हैं,इसलिए $R^2 \propto \frac{1}{d}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $R^2 d = \text{स्थिरांक}$.
अतः,$R_1^2 d_1 = R_2^2 d_2$,जिससे हमें $\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{d_2}{d_1}$ प्राप्त होता है।
इस मान को जड़त्व आघूर्ण के अनुपात में रखने पर,हमें $\frac{I_1}{I_2} = \frac{d_2}{d_1}$ प्राप्त होता है।

(B) $M$ द्रव्यमान और $b$ भुजा वाली वर्गाकार लैमिना का उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{lamina}} = \frac{M(b^2 + b^2)}{12} = \frac{Mb^2}{6}$ होता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{disc}} = \frac{MR^2}{2}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,जड़त्व आघूर्ण समान हैं:
$\frac{Mb^2}{6} = \frac{MR^2}{2}$.
दोनों पक्षों से $M$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{b^2}{6} = \frac{R^2}{2}$.
अनुपात $\frac{b^2}{R^2}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{b^2}{R^2} = \frac{6}{2} = 3$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{b}{R} = \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{1}$.

(D) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I_{cm} = \frac{MR^2}{2}$ होता है।
सात डिस्क के निकाय के लिए,केंद्रीय डिस्क के केंद्र (बिंदु $O$) से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण,केंद्रीय डिस्क और छह आसपास की डिस्क के जड़त्व आघूर्ण का योग है।
$1$. केंद्रीय डिस्क के लिए: अक्ष इसके केंद्र से गुजरती है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{MR^2}{2}$ है।
$2$. छह आसपास की डिस्क के लिए: केंद्रीय डिस्क के केंद्र और किसी भी आसपास की डिस्क के केंद्र के बीच की दूरी $d = 2R$ है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,प्रत्येक आसपास की डिस्क का केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{cm} + Md^2 = \frac{MR^2}{2} + M(2R)^2 = \frac{MR^2}{2} + 4MR^2 = \frac{9MR^2}{2}$ है।
चूंकि ऐसी छह आसपास की डिस्क हैं,इसलिए उनका कुल जड़त्व आघूर्ण $6 \times I_2 = 6 \times \frac{9MR^2}{2} = 27MR^2$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + 6I_2 = \frac{MR^2}{2} + 27MR^2 = \frac{MR^2 + 54MR^2}{2} = \frac{55MR^2}{2}$.

(B) मान लीजिए $I_0$ केंद्र $O$ से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है,जो $I_0 = \frac{Ma^2}{6}$ है।
केंद्र $O$ से किसी भी कोने $A$ तक की दूरी $h$ वर्ग के विकर्ण की लंबाई की आधी होती है।
वर्ग का विकर्ण $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$ है।
अतः,दूरी $h = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,कोने $A$ से गुजरने वाली और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के समांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_A$ इस प्रकार है:
$I_A = I_0 + Mh^2$
$I_A = \frac{Ma^2}{6} + M\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I_A = \frac{Ma^2}{6} + \frac{Ma^2}{2}$
$I_A = \frac{Ma^2 + 3Ma^2}{6} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2}{3}Ma^2$.

(D) मान लीजिए कि अक्ष गोले $1$ के केंद्र से गुजरती है। दो गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी $2R$ है।
गोले $1$ के लिए समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,इसके अपने केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{c1} = \frac{2}{5} M (\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{10} MR^2$ है।
गोले $2$ के लिए,अक्ष इसके केंद्र से $d = 2R$ की दूरी पर है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_2 = I_{c2} + Md^2 = \frac{2}{5} M (\frac{R}{2})^2 + M(2R)^2 = \frac{1}{10} MR^2 + 4MR^2 = \frac{41}{10} MR^2$ प्राप्त होता है।
छड़ द्रव्यमानहीन है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $0$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{c1} + I_2 = \frac{1}{10} MR^2 + \frac{41}{10} MR^2 = \frac{42}{10} MR^2 = \frac{21}{5} MR^2$ होगा।

(A) मान लीजिए डिस्क का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है।
डिस्क की उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_c = \frac{1}{2}MR^2$ है।
घूर्णन त्रिज्या $K_c$ के लिए $I_c = MK_c^2$ का उपयोग करने पर,$MK_c^2 = \frac{1}{2}MR^2$,जिससे $K_c = \frac{R}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{4}MR^2$ है।
घूर्णन त्रिज्या $K_d$ के लिए $I_d = MK_d^2$ का उपयोग करने पर,$MK_d^2 = \frac{1}{4}MR^2$,जिससे $K_d = \frac{R}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः अनुपात $K_c : K_d = \frac{R/\sqrt{2}}{R/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} : 1$ है।

(A) डिस्क के शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $(I_r)$ अध्यारोपण के सिद्धांत द्वारा दिया जाता है:
$I_r = I_{\text{disc}} - I_{\text{hole}}$
जहाँ $I_{\text{disc}}$ केंद्रीय अक्ष के परितः मूल डिस्क का जड़त्व आघूर्ण है,और $I_{\text{hole}}$ उसी अक्ष के परितः हटाए गए वृत्ताकार भाग का जड़त्व आघूर्ण है।
$1$. मूल डिस्क का जड़त्व आघूर्ण:
$I_{\text{disc}} = \frac{1}{2} MR^2$
$2$. हटाए गए छेद के गुण:
छेद की त्रिज्या $r = \frac{R}{2}$.
चूंकि पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$ समान है,छेद का द्रव्यमान $M_h$ होगा:
$M_h = \sigma \cdot \pi r^2 = \left(\frac{M}{\pi R^2}\right) \cdot \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{M}{4}$.
$3$. मूल डिस्क की केंद्रीय अक्ष के परितः छेद का जड़त्व आघूर्ण:
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_{\text{hole}} = I_{\text{cm}} + M_h d^2$,जहाँ $I_{\text{cm}} = \frac{1}{2} M_h r^2$ और $d = \frac{R}{2}$ छेद के केंद्र और मूल डिस्क के केंद्र के बीच की दूरी है।
$I_{\text{hole}} = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2 + \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2$
$I_{\text{hole}} = \frac{MR^2}{32} + \frac{MR^2}{16} = \frac{MR^2 + 2MR^2}{32} = \frac{3MR^2}{32}$.
$4$. शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण:
$I_r = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{3MR^2}{32} = \frac{16MR^2 - 3MR^2}{32} = \frac{13MR^2}{32}$.

(A) केंद्रीय अक्ष के परितः पहली डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$।
प्रारंभ में,$L_i = I_1 \omega = \frac{1}{2} MR^2 \omega$।
जब $\frac{M}{2}$ द्रव्यमान की दूसरी डिस्क को पहली डिस्क पर रखा जाता है,तो कुल जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_1 + I_{\text{disc2}} = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{2} (\frac{M}{2}) R^2 = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2 = \frac{3}{4} MR^2$ हो जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए: $I_1 \omega = I_2 \omega_2$।
$\frac{1}{2} MR^2 \omega = \frac{3}{4} MR^2 \omega_2$।
$\omega_2$ के लिए हल करने पर: $\omega_2 = (\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}) \omega = \frac{2}{3} \omega$।

(D) समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_2 = I_{CM} + Mh^2$ है।
एक वृत्ताकार डिस्क के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I_{CM} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समानांतर अक्षों के बीच की दूरी $h = \frac{2R}{3}$ है।
इन मानों को समानांतर अक्ष प्रमेय में रखने पर:
$I_2 = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{2R}{3}\right)^2$
$I_2 = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{4R^2}{9}\right)$
$I_2 = MR^2 \left(\frac{1}{2} + \frac{4}{9}\right) = MR^2 \left(\frac{9 + 8}{18}\right) = \frac{17}{18}MR^2$ है।
अब,अनुपात $\frac{I_2}{I_1}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{\frac{17}{18}MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{17}{18} \times 2 = \frac{17}{9}$ है।
इसे दिए गए अनुपात $\frac{x}{9}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 17$ प्राप्त होता है।

(A) तार का कुल द्रव्यमान $M = \lambda L$ है। चूंकि तार को $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली में मोड़ा गया है,इसलिए परिधि $2 \pi R = L$ है,अतः $R = \frac{L}{2 \pi}$।
एक वृत्ताकार वलय (ring) का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,कुंडली के तल में स्थित स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{diam} + M R^2$ होगा।
$I = \frac{1}{2} M R^2 + M R^2 = \frac{3}{2} M R^2$।
$M = \lambda L$ और $R = \frac{L}{2 \pi}$ का मान रखने पर:
$I = \frac{3}{2} (\lambda L) \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{3}{2} \lambda L \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{3 \lambda L^3}{8 \pi^2}$।

(C) एक ठोस गोले का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रश्न में,प्रत्येक गोले के लिए घूर्णन अक्ष उसके स्वयं के केंद्र से गुजरती है और गोलों के तल के लंबवत है।
चूंकि चारों गोले समान हैं (समान द्रव्यमान '$M$' और त्रिज्या '$R$') और प्रत्येक गोले के लिए घूर्णन अक्ष समान है (उसके स्वयं के केंद्र से गुजरती है),इसलिए प्रत्येक गोले का जड़त्व आघूर्ण अन्य गोलों की स्थिति से स्वतंत्र है।
अतः,$I_{A} = I_{B} = I_{C} = I_{D} = \frac{2}{5}MR^2$।

(B) एक ठोस गोले का उसके अपने केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} MR^2$ होता है। समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ घूर्णन अक्ष से दूरी है।
गोले $A$ के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के लिए:
$I_A = I_A' + I_B' + I_C' + I_D'$
$I_A = \frac{2}{5} MR^2 + (\frac{2}{5} MR^2 + M(2R)^2) + (\frac{2}{5} MR^2 + M(4R)^2) + (\frac{2}{5} MR^2 + M(6R)^2)$
$I_A = \frac{8}{5} MR^2 + M(4R^2 + 16R^2 + 36R^2) = 1.6 MR^2 + 56 MR^2 = 57.6 MR^2$.
गोले $B$ के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के लिए:
$I_B = I_A' + I_B' + I_C' + I_D'$
$I_B = (\frac{2}{5} MR^2 + M(2R)^2) + \frac{2}{5} MR^2 + (\frac{2}{5} MR^2 + M(2R)^2) + (\frac{2}{5} MR^2 + M(4R)^2)$
$I_B = \frac{8}{5} MR^2 + M(4R^2 + 4R^2 + 16R^2) = 1.6 MR^2 + 24 MR^2 = 25.6 MR^2$.
अंतर $|I_A - I_B| = 57.6 MR^2 - 25.6 MR^2 = 32 MR^2$ है।

(C) दिया गया है: लोलक की लंबाई $l = 2 \ m$,कोणीय विस्थापन $\theta = 60^{\circ}$,द्रव्यमान $m = 200 \ g = 0.2 \ kg$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$.
जब लोलक का बॉब एक क्षैतिज वृत्त में गति करता है,तो वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = l \sin \theta$ होती है।
बॉब के क्षैतिज वृत्त में गति करने के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ और भार $mg$ हैं।
तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है: $T \cos \theta = mg$ ... $(i)$
तनाव का क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $T \sin \theta = m r \omega^2 = m (l \sin \theta) \omega^2$ ... (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{m l \sin \theta \omega^2}{mg}$
$\tan \theta = \frac{l \omega^2 \sin \theta}{g}$
चूंकि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{l \omega^2}{g}$
$\omega^2 = \frac{g}{l \cos \theta}$
मान रखने पर: $\omega^2 = \frac{10}{2 \times \cos 60^{\circ}} = \frac{10}{2 \times 0.5} = \frac{10}{1} = 10$
$\omega = \sqrt{10} = \sqrt{4 \times 2.5} = 2 \sqrt{2.5} \ rad/s$.

(D) '$m$' द्रव्यमान का कण जो '$r$' त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर '$v$' वेग से गति कर रहा है,उस पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल $F = \frac{mv^2}{r}$ होता है।
कोणीय संवेग $L = mvr$ होता है,इसलिए $v = \frac{L}{mr}$ होगा।
इस मान को अभिकेंद्र बल के सूत्र में रखने पर:
$F = \frac{m}{r} \left( \frac{L}{mr} \right)^2$
$F = \frac{m}{r} \cdot \frac{L^2}{m^2 r^2}$
$F = \frac{L^2}{mr^3}$.

(C) घूर्णी गति के लिए $n^{\text{th}}$ सेकंड में तय किया गया कोणीय विस्थापन $\theta_n$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\theta_n = \omega_0 + \frac{\alpha}{2}(2n - 1)$.
यह दिया गया है कि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
$P^{\text{th}}$ सेकंड में कोणीय विस्थापन $\beta$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\beta = 0 + \frac{\alpha}{2}(2P - 1)$.
कोणीय त्वरण $\alpha$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $\alpha = \frac{2 \beta}{(2P - 1)}$.

(C) घनत्व $\rho = \frac{M}{V}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि सभी वस्तुएं एक ही पदार्थ से बनी हैं,इसलिए $\rho$ समान है। यह दिया गया है कि द्रव्यमान $M$ भी समान है,इसलिए सभी वस्तुओं का आयतन $V$ समान होना चाहिए।
नियत आयतन के लिए,गोले,घन और प्लेट में से पतली वृत्ताकार प्लेट का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ अधिकतम होता है।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} \propto A(T^4 - T_0^4)$ है।
चूंकि प्लेट का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_{\text{plate}}$ सबसे अधिक है,इसलिए प्लेट के ठंडे होने की दर सबसे अधिक है।
अतः,वृत्ताकार प्लेट सबसे तेजी से कमरे के तापमान पर पहुँच जाएगी।

(B) कुल आपतित ऊष्मीय ऊर्जा की दर $P_i = 1000 \ J \ min^{-1}$ है।
ऊष्मीय विकिरण के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,परावर्तन $(r)$,अवशोषण $(a)$ और संचरण $(t)$ गुणांकों का योग $1$ होता है,अर्थात $r + a + t = 1$।
यहाँ $r = 0.1$ और $a = 0.8$ दिया गया है,इसलिए संचरण गुणांक $(t)$ होगा:
$t = 1 - (r + a) = 1 - (0.1 + 0.8) = 1 - 0.9 = 0.1$।
संचरित ऊष्मीय ऊर्जा की दर $P_t = t \times P_i = 0.1 \times 1000 \ J \ min^{-1} = 100 \ J \ min^{-1}$ है।
$5$ मिनट की समयावधि के लिए,कुल संचरित ऊष्मीय ऊर्जा $(Q_t)$:
$Q_t = P_t \times \text{समय} = 100 \ J \ min^{-1} \times 5 \ min = 500 \ J$।

(B) संवहन ऊष्मा स्थानांतरण का एक तरीका है जो तरल पदार्थों (द्रवों और गैसों) में माध्यम के अणुओं की वास्तविक गति के कारण होता है।
जब हीटर द्वारा कमरे को गर्म किया जाता है,तो हीटर के पास की हवा गर्म हो जाती है,कम घनी हो जाती है और ऊपर उठती है,जबकि ठंडी और अधिक घनी हवा उसकी जगह लेने के लिए नीचे आती है। हवा के इस निरंतर संचलन को संवहन धाराएं कहा जाता है,जो पूरे कमरे को गर्म करती हैं।
तांबे के बर्तन और लोहे की छड़ को गर्म करना चालन (conduction) के उदाहरण हैं,जबकि सूर्य से पृथ्वी तक ऊष्मा का स्थानांतरण विकिरण (radiation) द्वारा होता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{\max} T = b$,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है। इसलिए,$T = \frac{b}{\lambda_{\max}}$.
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका की कुल उत्सर्जक शक्ति $E$ उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E = \sigma T^4$.
$T$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $E = \sigma \left( \frac{b}{\lambda_{\max}} \right)^4$.
मान लीजिए प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है और अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{2 \lambda}{3}$ है।
चूंकि $E \propto \frac{1}{\lambda_{\max}^4}$,हम उत्सर्जक शक्तियों का अनुपात इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{E'}{E} = \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{E'}{E} = \left( \frac{\lambda}{\frac{2 \lambda}{3}} \right)^4 = \left( \frac{3}{2} \right)^4$.
मान की गणना करने पर: $\frac{E'}{E} = \frac{81}{16}$.
अतः,नई उत्सर्जक शक्ति $E' = \frac{81}{16} E$ होगी।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित शक्ति उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$।
मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ है और अंतिम तापमान $T_2 = T + 0.5T = 1.5T$ है।
प्रारंभिक विकिरण $E_1 = \sigma T^4$ है।
अंतिम विकिरण $E_2 = \sigma (1.5T)^4 = \sigma (5.0625) T^4 = 5.0625 E_1$ है।
विकिरण में प्रतिशत वृद्धि $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{5.0625 E_1 - E_1}{E_1} \times 100 = 4.0625 \times 100 = 406.25 \%$
दिए गए विकल्पों के निकटतम मान के अनुसार,वृद्धि लगभग $400 \%$ है।

(B) कृष्णिका द्वारा विकीर्ण शक्ति स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $P = \sigma A T^4$,जहाँ $A = 4\pi r^2$ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
पहली कृष्णिका के लिए: $P_1 = \sigma (4\pi r_1^2) T_1^4$.
दूसरी कृष्णिका के लिए: $P_2 = \sigma (4\pi r_2^2) T_2^4$.
शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{\sigma 4\pi r_1^2 T_1^4}{\sigma 4\pi r_2^2 T_2^4} = \frac{r_1^2 T_1^4}{r_2^2 T_2^4}$.
त्रिज्या के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$.

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में विकीर्ण ऊष्मा $E = e \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ उत्सर्जकता है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
यह दिया गया है कि दोनों पिंडों के लिए प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में विकीर्ण ऊष्मा समान है,इसलिए $e_1 \sigma T_1^4 = e_2 \sigma T_2^4$ है।
चूंकि $\sigma$ एक स्थिरांक है,यह $e_1 T_1^4 = e_2 T_2^4$ में सरल हो जाता है।
उत्सर्जकता का अनुपात $e_1 : e_2 = 1 : 3$ दिया गया है,इसलिए $\frac{e_1}{e_2} = \frac{1}{3}$ है।
तापमान के अनुपात के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4 = \frac{e_2}{e_1} = \frac{3}{1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर,हमें $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{3}{1}\right)^{1/4} = 3^{1/4} : 1$ प्राप्त होता है।

(A) कृष्णिका (black body) एक आदर्श पिंड है जो सभी आपतित विद्युत चुम्बकीय विकिरणों को अवशोषित और उत्सर्जित करता है। कृष्णिका विकिरण के प्लांक के नियम के अनुसार,कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित विकिरण की तीव्रता तरंगदैर्ध्य और तापमान पर निर्भर करती है।
$1$. सभी तरंगदैर्ध्यों के लिए तीव्रता समान नहीं होती है; यह एक विशिष्ट वितरण वक्र (प्लांक का वक्र) का पालन करती है जो तापमान के आधार पर एक विशेष तरंगदैर्ध्य पर अधिकतम होती है।
$2$. इसलिए,'सभी तरंगदैर्ध्यों के लिए,तीव्रता समान होती है' कथन गलत है।
$3$. जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अधिकतम तीव्रता कम तरंगदैर्ध्य की ओर स्थानांतरित हो जाती है,लेकिन तीव्रता पूरे स्पेक्ट्रम में लगातार बदलती रहती है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) से विकिरण की दर $E = A \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
गोले के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ होता है।
अतः,$E = (4 \pi R^2) \sigma T^4$,जिसका अर्थ है $E \propto R^2 T^4$.
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $E_1 = E$,$R_1 = R$ और $T_1 = T$ है।
मान लीजिए अंतिम स्थिति $E_2$,$R_2 = R/3$ और $T_2 = 3T$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{E_2}{E} = \left( \frac{R/3}{R} \right)^2 \left( \frac{3T}{T} \right)^4$.
$\frac{E_2}{E} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times (3)^4 = \frac{1}{9} \times 81 = 9$.
इसलिए,$E_2 = 9E$.

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda T = b$ (नियतांक),इसलिए $T \propto \frac{1}{\lambda}$ होता है।
चूंकि नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{3}$ है,इसलिए नया तापमान $T' = 3T$ हो जाता है।
कृष्णिका की उत्सर्जन शक्ति स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $E = \sigma T^4$।
अतः,नई उत्सर्जन शक्ति $E'$ होगी:
$E' = \sigma (T')^4 = \sigma (3T)^4 = 81 \sigma T^4$।
चूंकि $E = \sigma T^4$ है,इसलिए हमें $E' = 81 E$ प्राप्त होता है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन के नियम के अनुसार,ऊष्मा विकिरण की दर $E$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है:
$E = \sigma T^4$
$\Rightarrow E \propto T^4$
दिया गया है:
$T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$
$E_1 = 5 \ cal / cm^2 \ s$
$T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$
अनुपात का उपयोग करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
$\frac{E_2}{5} = \left(\frac{1200}{400}\right)^4$
$\frac{E_2}{5} = (3)^4$
$\frac{E_2}{5} = 81$
$E_2 = 81 \times 5 = 405 \ cal / cm^2 \ s$

(A) किसी भी पिंड के लिए,अवशोषण $(a)$,परावर्तन $(r)$ और संचरण $(t)$ के गुणांकों का योग हमेशा $1$ के बराबर होता है,अर्थात $a + r + t = 1$।
एक अपारदर्शी पिंड वह है जो अपने माध्यम से किसी भी विकिरण को गुजरने नहीं देता है।
इसलिए,एक अपारदर्शी पिंड के लिए संचरण गुणांक $t = 0$ होता है।
समीकरण $a + r + t = 1$ में $t = 0$ रखने पर,हमें $a + r = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,एक अपारदर्शी पिंड के लिए $t = 0$ और $a + r = 1$ होता है।

(C) ऊष्मीय प्रसार के कारण किसी ठोस के आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V \gamma \Delta T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ प्रारंभिक आयतन है,$\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
चूंकि दोनों छड़ें पीतल की बनी हैं,इसलिए दोनों के लिए $\gamma$ समान है। यह दिया गया है कि $\Delta T$ भी समान है,इसलिए आयतन में वृद्धि का अनुपात प्रारंभिक आयतनों के अनुपात के बराबर होगा।
छड़ $A$ का प्रारंभिक आयतन: $V_A = \pi (2r)^2 l = 4 \pi r^2 l$.
छड़ $B$ का प्रारंभिक आयतन: $V_B = \pi (r)^2 (2l) = 2 \pi r^2 l$.
आयतन में वृद्धि का अनुपात $\frac{\Delta V_A}{\Delta V_B} = \frac{V_A}{V_B} = \frac{4 \pi r^2 l}{2 \pi r^2 l} = \frac{2}{1}$ है।

(B) घन का प्रारंभिक आयतन $V = L^3 = (1 \ m)^3 = 1 \ m^3$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$ है।
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ है।
दिया गया है $\alpha = 18 \times 10^{-6} /^{\circ} C$,इसलिए $\gamma = 3 \times 18 \times 10^{-6} = 54 \times 10^{-6} /^{\circ} C$ है।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V \gamma \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\Delta V = 1 \times (54 \times 10^{-6}) \times 100 = 54 \times 10^{-4} \ m^3$.

(C) $r$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने के लिए किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं,$\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है।
$R$ त्रिज्या के पहले बुलबुले के लिए: $W_1 = 8 \pi R^2 T_1$.
$2R$ त्रिज्या के दूसरे बुलबुले के लिए: $W_2 = 8 \pi (2R)^2 T_2 = 32 \pi R^2 T_2$.
यदि तापमान स्थिर रहता $(T_1 = T_2)$,तो कार्य $W_2$ बिल्कुल $4 W_1$ होता।
हालाँकि,घोल को गर्म करने से पृष्ठ तनाव कम हो जाता है $(T_2 < T_1)$।
इसलिए,$W_2 = 4 W_1 \times (T_2 / T_1)$। चूंकि $T_2 < T_1$,इसलिए $W_2 < 4 W_1$ होगा।

$(A)$ रेखीय प्रसार गुणांक का सूत्र $\alpha = \frac{\Delta L}{L_1 \Delta T}$ है।
दिया गया है:
प्रारंभिक लंबाई $L_1 = 2 \,m$.
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 1.6 \,mm = 1.6 \times 10^{-3} \,m$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 60^{\circ} C - 0^{\circ} C = 60^{\circ} C$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\alpha = \frac{1.6 \times 10^{-3}}{2 \times 60}$
$\alpha = \frac{1.6 \times 10^{-3}}{120}$
$\alpha = \frac{1.6}{120} \times 10^{-3} = 0.01333 \times 10^{-3} = 1.33 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है:
ऊष्मा के प्रवाह की दर (conduction rate) $P_{\text{cond}} = 1600 \text{ cal/s}$.
तापमान का अंतर $\Delta T = 40^{\circ} C$.
ऊष्मीय प्रतिरोध $R_T$ का सूत्र तापमान के अंतर और ऊष्मा प्रवाह की दर के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$R_T = \frac{\Delta T}{P_{\text{cond}}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$R_T = \frac{40}{1600}$
$R_T = \frac{1}{40} = 0.025^{\circ} C s/cal$.
अतः,ऊष्मीय प्रतिरोध $0.025^{\circ} C s/cal$ है।

(B) दिया गया है: लंबाई का अंतर $\Delta l = l_{A} - l_{B} = 60 \text{ cm}$ सभी तापमानों पर स्थिर है।
इसका अर्थ है कि किसी भी तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के लिए दोनों छड़ों की लंबाई में परिवर्तन समान होना चाहिए।
$\Delta l_{A} = \Delta l_{B}$
$l_{A} \alpha_{A} \Delta T = l_{B} \alpha_{B} \Delta T$
$l_{A} \alpha_{A} = l_{B} \alpha_{B}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$l_{A} (18 \times 10^{-6}) = l_{B} (27 \times 10^{-6})$
$l_{A} (18) = l_{B} (27)$
$l_{A} = \frac{27}{18} l_{B} = 1.5 l_{B}$
हम जानते हैं कि $l_{A} - l_{B} = 60 \text{ cm}$ है।
$l_{A} = 1.5 l_{B}$ रखने पर:
$1.5 l_{B} - l_{B} = 60 \text{ cm}$
$0.5 l_{B} = 60 \text{ cm}$
$l_{B} = 120 \text{ cm}$
अतः,$l_{A} = 1.5 \times 120 = 180 \text{ cm}$.

(C) आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = \frac{0.225}{100} = 0.00225$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 30^{\circ} C$ है।
हम जानते हैं कि आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ होता है।
आयतन प्रसार का सूत्र $\Delta V = V \gamma \Delta T$ है,जिसे $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\gamma = 3\alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = 3\alpha \Delta T$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $0.00225 = 3 \times \alpha \times 30$.
$\alpha$ के लिए हल करने पर: $\alpha = \frac{0.00225}{90} = 2.5 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.

(B) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव $P$ सूत्र $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल गति है।
चूंकि $\rho = \frac{M}{V}$,हम लिख सकते हैं $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$।
साथ ही,माध्य वर्ग गति को $\langle v^2 \rangle = \frac{1}{N} \sum v_i^2 = v_{rms}^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,दबाव $P$ गैस के अणुओं की गति के वर्ग के माध्य,यानी $\langle v^2 \rangle$ के सीधे आनुपातिक होता है।

(D) स्लैब का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$,$R = \frac{L}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ मोटाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है,और $A$ क्षेत्रफल है।
पहली सामग्री के लिए: $R_1 = \frac{x}{KA}$.
दूसरी सामग्री के लिए: $R_2 = \frac{4x}{(2K)A} = \frac{2x}{KA}$.
चूंकि स्लैब श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{x}{KA} + \frac{2x}{KA} = \frac{3x}{KA}$.
ऊष्मा स्थानांतरण की दर $\frac{dQ}{dt}$ है:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{T_2 - T_1}{R_{eq}} = \frac{T_2 - T_1}{\frac{3x}{KA}} = \frac{KA(T_2 - T_1)}{3x}$.
दिए गए व्यंजक $\left[\frac{A(T_2 - T_1)K}{x}\right] \cdot f$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f = \frac{1}{3}$.

(B) तापमान प्रवणता को दूरी के सापेक्ष तापमान में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे $T_g = \frac{T_h - T_c}{L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T_h$ गर्म सिरे का तापमान है,$T_c$ ठंडे सिरे का तापमान है,और $L$ छड़ की लंबाई है।
दिया गया है:
लंबाई $L = 75 \ cm = 0.75 \ m$
तापमान प्रवणता $T_g = 40^{\circ} C/m$
ठंडे सिरे का तापमान $T_c = 10^{\circ} C$
सूत्र में मान रखने पर:
$40 = \frac{T_h - 10}{0.75}$
$T_h - 10 = 40 \times 0.75$
$T_h - 10 = 30$
$T_h = 30 + 10 = 40^{\circ} C$
अतः,गर्म सिरे का तापमान $40^{\circ} C$ है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,ऊष्मा खोने की दर $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों वस्तुएं काली हैं,समान पदार्थ से बनी हैं और समान वातावरण में समान तापमान पर ठंडी हो रही हैं,इसलिए ऊष्मा खोने की दर सीधे उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होती है।
मान लीजिए दोनों वस्तुओं का आयतन $V$ है। $r$ त्रिज्या वाले गोले के लिए,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$। $a$ भुजा वाले घन के लिए,$V = a^3$।
आयतन समान होने के कारण,$a^3 = \frac{4}{3} \pi r^3$,जिसका अर्थ है $a = (\frac{4}{3} \pi r^3)^{1/3}$।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_s = 4 \pi r^2$ है।
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_c = 6 a^2 = 6 (\frac{4}{3} \pi r^3)^{2/3}$ है।
ऊष्मा खोने की दर का अनुपात $\frac{A_s}{A_c} = \frac{4 \pi r^2}{6 (\frac{4}{3} \pi r^3)^{2/3}}$ है।
इसे सरल करने पर,$\frac{A_s}{A_c} = (\frac{\pi}{6})^{1/3}$ प्राप्त होता है।

(C) न्यूटन के शीतलन (cooling) नियम के अनुसार,शीतलन की दर $R$,वस्तु और उसके परिवेश के तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है: $R = k(\theta - \theta_0)$।
दिया गया है:
स्थिति $1$: $R_1 = 4^{\circ}C/min$,$\theta_1 = 90^{\circ}C$
स्थिति $2$: $R_2 = 1^{\circ}C/min$,$\theta_2 = 30^{\circ}C$
दोनों दरों का अनुपात लेने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\theta_1 - \theta_0}{\theta_2 - \theta_0}$
$\frac{4}{1} = \frac{90 - \theta_0}{30 - \theta_0}$
$4(30 - \theta_0) = 90 - \theta_0$
$120 - 4\theta_0 = 90 - \theta_0$
$120 - 90 = 4\theta_0 - \theta_0$
$30 = 3\theta_0$
$\theta_0 = 10^{\circ}C$
अतः,परिवेश का तापमान $10^{\circ}C$ है।

$(A)$ ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $Q = \Delta U + W$, जहाँ $W = P \Delta V$ है。
दिया गया है: दबाव $P = 50 \,N/m^2$, प्रारंभिक आयतन $V_1 = 10 \,m^3$, अंतिम आयतन $V_2 = 4 \,m^3$, और दी गई ऊष्मा $Q = 100 \,J$ है。
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V_1 = 4 - 10 = -6 \,m^3$ है。
गैस पर किया गया कार्य $W = P \Delta V = 50 \times (-6) = -300 \,J$ है。
प्रथम नियम का उपयोग करते हुए: $Q = \Delta U + W$, हमें मिलता है $100 = \Delta U + (-300)$。
अतः, $\Delta U = 100 + 300 = 400 \,J$。
चूंकि $\Delta U$ धनात्मक है, इसलिए आंतरिक ऊर्जा $400 \,J$ बढ़ जाती है।

(A) आवेशों की प्रणाली के कारण किसी बिंदु $P$ पर विभव $V = \sum \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$ द्वारा दिया जाता है।
समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ में,$+q$ आवेश $A, B$ और $C$ पर रखे गए हैं। $D, AB$ का मध्य बिंदु है और $E, AC$ का मध्य बिंदु है।
समरूपता के कारण,$D$ की $A$ से दूरी $a$ है,$B$ से दूरी $a$ है,और $C$ से दूरी $\sqrt{AC^2 + AD^2 - 2(AC)(AD) \cos A} = \sqrt{(2a)^2 + a^2 - 2(2a)(a) \cos A}$ है।
इसी प्रकार,$E$ की $A$ से दूरी $a$ है,$C$ से दूरी $a$ है,और $B$ से दूरी $\sqrt{AB^2 + AE^2 - 2(AB)(AE) \cos A} = \sqrt{(2a)^2 + a^2 - 2(2a)(a) \cos A}$ है।
चूंकि विन्यास कोण $A$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए $D$ पर विभव $(V_D)$ और $E$ पर विभव $(V_E)$ समान हैं।
$V_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AD} + \frac{q}{BD} + \frac{q}{CD} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{a} + \frac{q}{a} + \frac{q}{CD} \right)$.
$V_E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AE} + \frac{q}{CE} + \frac{q}{BE} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{a} + \frac{q}{a} + \frac{q}{BE} \right)$.
चूंकि समरूपता के कारण $CD = BE$,इसलिए $V_D = V_E$ है।
अतः,किया गया कार्य $W = Q(V_E - V_D) = Q(0) = 0$ है।

(D) बिंदु आवेश $Q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ होता है।
चूंकि बिंदु $A$ और $B$ दोनों आवेश $Q$ से समान दूरी $r$ पर स्थित हैं,इसलिए वे एक ही समविभव पृष्ठ (equipotential surface) पर स्थित हैं।
बिंदु $A$ पर विभव $(V_A)$ बिंदु $B$ पर विभव $(V_B)$ के बराबर है।
आवेश $q$ को $A$ से $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ होता है।
चूंकि $V_B = V_A$,इसलिए किया गया कार्य $W = q(0) = 0$ होगा।

(C) चालक गोले की सतह पर कुल आवेश $q = \sigma A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है और $A = 4 \pi R^2$ गोले का क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $\sigma = 1.8 \times 10^{-6} \ C/m^2$,$R = 0.1 \ m$.
$q = (1.8 \times 10^{-6}) \times (4 \pi \times (0.1)^2) = 1.8 \times 10^{-6} \times 4 \pi \times 0.01 = 7.2 \pi \times 10^{-8} \ C$.
केंद्र से $d = 0.2 \ m$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{d^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{7.2 \pi \times 10^{-8}}{(0.2)^2}$.
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{7.2 \pi \times 10^{-8}}{0.04} = \frac{1.8 \pi \times 10^{-8}}{\pi \varepsilon_0} = \frac{1.8 \times 10^{-8}}{\varepsilon_0} \ Vm^{-1}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,$E \approx \frac{2 \times 10^{-7}}{\varepsilon_0} \ Vm^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) द्विध्रुव आघूर्ण $p$ एक आवेश के परिमाण $q$ और उनके बीच की दूरी $2l$ के गुणनफल के बराबर होता है।
दिया गया है: $q = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$,$2l = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$.
$p = q \times 2l = (2 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (3 \times 10^{-2} \text{ m}) = 6 \times 10^{-8} \text{ C-m}$.
विद्युत क्षेत्र $E$ में द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = pE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम टॉर्क के लिए,$\theta = 90^{\circ}$ होना चाहिए,इसलिए $\sin 90^{\circ} = 1$.
$\tau_{\max} = pE = (6 \times 10^{-8} \text{ C-m}) \times (2 \times 10^5 \text{ N/C}) = 12 \times 10^{-3} \text{ N-m}$.

(D) विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए $\theta_1 = 0^{\circ}$।
पहले मामले में,$180^{\circ}$ घुमाने पर $\theta_2 = 180^{\circ}$ होता है।
$w = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = pE(1 - (-1)) = 2pE$।
इसलिए,$pE = \frac{w}{2}$।
दूसरे मामले में,$60^{\circ}$ घुमाने पर $\theta_2 = 60^{\circ}$ होता है।
$W' = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = pE(1 - \frac{1}{2}) = pE(\frac{1}{2})$।
समीकरण में $pE = \frac{w}{2}$ का मान रखने पर:
$W' = (\frac{w}{2}) \times (\frac{1}{2}) = \frac{w}{4}$।

(D) $p$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले एक छोटे विद्युत द्विध्रुव के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर अक्षीय रेखा पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{a} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{2p}{r^{3}}$ द्वारा दी जाती है।
केंद्र से समान दूरी $r$ पर निरक्षीय रेखा पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{q} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{p}{r^{3}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $E_{a} = 2 \times (\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{p}{r^{3}}) = 2E_{q}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $E_{a} = 2E_{q}$ है।

(C) $A < R < B$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए, हम गॉस के नियम का उपयोग करते हैं।
केंद्र पर $R$ त्रिज्या वाले एक गोलीय गॉसियन पृष्ठ की कल्पना करें।
इस गॉसियन पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश केवल आंतरिक ठोस गोले पर स्थित आवेश है, जो $+3Q$ है।
गॉस के नियम के अनुसार, $R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_{\text{enclosed}}}{R^2}$
$q_{\text{enclosed}} = 3Q$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3Q}{R^2} = \frac{3Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}$

(D) कूलम्ब के नियम के अनुसार,निर्वात या हवा में दो आवेशों के बीच लगने वाला बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ होता है।
जब गोलों को $k$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो बल $F' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 k} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ हो जाता है।
अतः,नए बल $F'$ और मूल बल $F$ के बीच संबंध $F' = \frac{F}{k}$ है।
चूंकि परावैद्युतांक $k = 5$ दिया गया है,इसलिए नया बल $F' = \frac{F}{5}$ होगा।

(A) लघु द्विध्रुव के कारण अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{\text{axial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r_1^3}$ द्वारा दी जाती है।
निरक्षीय रेखा पर लघु द्विध्रुव के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{\text{equatorial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r_2^3}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $E_{\text{axial}} = E_{\text{equatorial}}$,इसलिए:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r_1^3} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r_2^3}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{2}{r_1^3} = \frac{1}{r_2^3}$.
अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{r_1^3}{r_2^3} = 2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $\frac{r_1}{r_2} = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_1: r_2 = \sqrt[3]{2}: 1$.

(C) स्थिर-वैद्युत संतुलन में एक चालक के लिए,सतह के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र प्रत्येक बिंदु पर सतह के लंबवत होना चाहिए। यदि इसका कोई स्पर्शरेखीय घटक होता,तो आवेश बल का अनुभव करते और सतह पर गति करते,जो स्थिर स्थिति के विपरीत है। इसलिए,यह कथन कि क्षेत्र स्पर्शरेखीय होना चाहिए,'गलत' है।

(A) मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर $dl = r d\theta$ लंबाई का एक छोटा अवयव है। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl = \lambda r d\theta$ है।
इस अवयव के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{\lambda d\theta}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ है।
समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्र के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। हमें केवल ऊर्ध्वाधर घटक $dE \cos \theta$ का $-\pi/2$ से $\pi/2$ तक समाकलन करने की आवश्यकता है।
$E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda \cos \theta d\theta}{4 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$.
$E = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} (1 - (-1)) = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$.

(A) गॉस के प्रमेय के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = E \cdot A = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या और समान आयतन आवेश घनत्व $\rho$ वाले एक ठोस गोले के लिए,कुल परिबद्ध आवेश $q_{enc}$ घनत्व और आयतन का गुणनफल है:
$q_{enc} = \rho \times V = \rho \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ है।
इन मानों को गॉस के नियम में रखने पर:
$E (4 \pi r^2) = \frac{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3)}{\varepsilon_0}$.
दोनों पक्षों को $4 \pi r^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{\rho r}{3 \varepsilon_0}$.

(A) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ आवेश $q$ और क्षेत्रफल $A$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है: $\sigma = \frac{q}{A} = \frac{17.7 \times 10^{-4} \ C}{200 \ m^2} = 8.85 \times 10^{-6} \ C/m^2$.
एक बड़ी अचालक शीट के लिए,इसके पास किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ दूरी से स्वतंत्र होती है और इसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$.
मान रखने पर: $E = \frac{8.85 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{10^{-6}}{2 \times 10^{-12}} = 0.5 \times 10^6 = 5 \times 10^5 \ N/C$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ पर लगने वाला विद्युत बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = F/q = 3000 \, N / 3 \, C = 1000 \, N/C$ है।
एकसमान विद्युत क्षेत्र में $d$ दूरी से अलग दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V = Ed$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $d = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$ दिया गया है।
मान रखने पर, $V = 1000 \, N/C \times 10^{-2} \, m = 10 \, V$ प्राप्त होता है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विद्युत विभव $V$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$.
यहाँ $\vec{E} = 30x^2 \hat{i}$ और $d\vec{r} = dx \hat{i}$ दिया गया है,इसलिए $dV = -30x^2 dx$ होगा।
विभवांतर $(V_A - V_0)$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = 2$ तक समाकलन (integration) करेंगे:
$\int_{V_0}^{V_A} dV = -\int_{0}^{2} 30x^2 dx$.
$V_A - V_0 = -[10x^3]_{0}^{2}$.
$V_A - V_0 = -(10(2)^3 - 10(0)^3) = -(10 \times 8) = -80 \ V$.

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} CV^2$ है।
प्रथम संधारित्र के लिए दिया गया है: $C_1 = 900 \mu F$ और $V_1 = 100 \ V$।
प्रथम संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} C_1 V_1^2$ है।
जब यह ऊर्जा $C_2 = 100 \mu F$ धारिता वाले दूसरे संधारित्र में स्थानांतरित की जाती है, तो मान लीजिए नया विभव $V_u$ है।
चूंकि कुल ऊर्जा स्थानांतरित हो रही है, $U_1 = U_2$, जहां $U_2 = \frac{1}{2} C_2 V_u^2$ है।
ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} C_2 V_u^2$।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} \times 900 \times 10^{-6} \times (100)^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times V_u^2$।
समीकरण को सरल करने पर: $900 \times 100^2 = 100 \times V_u^2$।
$V_u^2 = \frac{900 \times 10000}{100} = 90000$।
$V_u = \sqrt{90000} = 300 \ V$।

(A) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$, आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
$r$ भुजा लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज के लिए, निकाय की स्थितिज ऊर्जा:
$U = \frac{k(q)(2q)}{r} + \frac{k(q)(Q)}{r} + \frac{k(2q)(Q)}{r} = 0$
$\frac{k}{r}$ से विभाजित करने पर:
$2q^2 + qQ + 2qQ = 0$
$2q^2 + 3qQ = 0$
$3qQ = -2q^2$
$Q = -\frac{2q}{3}$

(C) परिपथ में बिंदुओं $P$ और $R$ के बीच दो समानांतर शाखाएँ जुड़ी हुई हैं। $P$ पर प्रवेश करने वाली कुल धारा $I = 5 \, A$ है।
शाखा $1$ (ऊपरी) में $6 \, \Omega$ और $3 \, \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $R_1 = 6 + 3 = 9 \, \Omega$ है।
शाखा $2$ (निचली) में $8 \, \Omega$ और $4 \, \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $R_2 = 8 + 4 = 12 \, \Omega$ है।
धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए, ऊपरी शाखा से प्रवाहित होने वाली धारा $I_1$ है:
$I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 5 \times \frac{12}{9 + 12} = 5 \times \frac{12}{21} = 5 \times \frac{4}{7} \approx 2.857 \, A$.
$Q$ के सापेक्ष $P$ पर विभव, $6 \, \Omega$ के प्रतिरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप है:
$V_{PQ} = I_1 \times 6 = 2.857 \times 6 \approx 17.14 \, V$.
अतः, विभवांतर लगभग $17 \, V$ है।

(D) $n$ बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{\text{सभी युग्म}} \frac{q_j q_k}{r_{jk}}$
यहाँ तीन आवेश $q_1 = q$,$q_2 = -2q$,और $q_3 = q$ क्रमशः $x = 0$,$x = r$,और $x = 2r$ पर स्थित हैं:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} \right]$
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{(q)(-2q)}{r} + \frac{(-2q)(q)}{r} + \frac{(q)(q)}{2r} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{2q^2}{r} - \frac{2q^2}{r} + \frac{q^2}{2r} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{4q^2}{r} + \frac{q^2}{2r} \right] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{-8q^2 + q^2}{2r} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( -\frac{7q^2}{2r} \right) = -\frac{7q^2}{8 \pi \varepsilon_0 r}$

(A) $P$ पर प्रवेश करने वाली कुल धारा $I = 5 \,A$ है। यह परिपथ एक ब्रिज नेटवर्क है। मान लीजिए $P$ पर विभव $V_P$ है और आउटपुट नोड पर $V_R = 0 \,V$ है।
हमें $Q$ पर विभव $(V_Q)$ ज्ञात करना है।
ऊपरी शाखा में $6 \,\Omega$ और $3 \,\Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। निचली शाखा में $8 \,\Omega$ और $4 \,\Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं।
मान लीजिए $I_1$ ऊपरी शाखा में धारा है और $I_2$ निचली शाखा में धारा है।
$I_1 = I \times \frac{R_{lower}}{R_{upper} + R_{lower}} = 5 \times \frac{8+4}{(6+3) + (8+4)} = 5 \times \frac{12}{9+12} = 5 \times \frac{12}{21} = 5 \times \frac{4}{7} \approx 2.857 \,A$.
$P$ के सापेक्ष $Q$ पर विभव,$6 \,\Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज ड्रॉप है।
$V_P - V_Q = I_1 \times 6 = 2.857 \times 6 = 17.14 \,V$.
अतः,$P$ और $Q$ के बीच विभवांतर लगभग $17 \,V$ है.

(A) बिंदु आवेशों के एक निकाय की कुल स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$,आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
दिए गए विन्यास के लिए,आवेश $+Q$,$+2q$ और $+q$ हैं। उनके बीच की दूरियाँ $a$,$a$ और $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q(2q)}{a} + \frac{Q(q)}{a} + \frac{(2q)(q)}{a\sqrt{2}} \right) = 0$
चूँकि $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \neq 0$,इसलिए:
$\frac{2Qq}{a} + \frac{Qq}{a} + \frac{2q^2}{a\sqrt{2}} = 0$
$\frac{3Qq}{a} + \frac{\sqrt{2}q^2}{a} = 0$
$3Qq + \sqrt{2}q^2 = 0$
$3Q = -\sqrt{2}q$
$Q = -\frac{\sqrt{2}}{3} q$

(C) दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच $r$ दूरी पर स्थित स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{K q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$d$ दूरी पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{K q_1 q_2}{d}$ है।
जब आवेश $q_2$ को $q_1$ की ओर $x$ दूरी तक ले जाया जाता है,तो नई दूरी $r' = d - x$ हो जाती है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{K q_1 q_2}{d - x}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i$ है।
मान रखने पर:
$\Delta U = \frac{K q_1 q_2}{d - x} - \frac{K q_1 q_2}{d}$
$\Delta U = K q_1 q_2 \left( \frac{1}{d - x} - \frac{1}{d} \right)$
$\Delta U = K q_1 q_2 \left( \frac{d - (d - x)}{d(d - x)} \right)$
$\Delta U = \frac{K q_1 q_2 x}{d(d - x)}$.

(A) श्रेणी संयोजन का कुल $EMF$ $E_{eq} = E + E = 2E$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = r_1 + r_2 + R$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{2E}{r_1 + r_2 + R}$ द्वारा दी जाती है।
सेल $E_1$ के सिरों पर विभवांतर $V_1 = E - Ir_1$ है।
दिया गया है कि $V_1 = 0$,इसलिए $E - Ir_1 = 0$,जिसका अर्थ है $E = Ir_1$।
$I$ का मान रखने पर,हमें $E = \left( \frac{2E}{r_1 + r_2 + R} \right) r_1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $E$ से विभाजित करने पर,$1 = \frac{2r_1}{r_1 + r_2 + R}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$r_1 + r_2 + R = 2r_1$ प्राप्त होता है।
अतः,$R = 2r_1 - r_1 - r_2 = r_1 - r_2$।

(C) $1$. गुरुत्वाकर्षण बल स्थिर-वैद्युत बल की तुलना में बहुत कमजोर होता है। अतः,विकल्प $A$ गलत है।
$2$. गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा आकर्षक होता है,लेकिन स्थिर-वैद्युत बल आवेशों के आधार पर आकर्षक या प्रतिकर्षी हो सकता है। अतः,विकल्प $B$ गलत है।
$3$. गुरुत्वाकर्षण बल (न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम) और स्थिर-वैद्युत बल (कूलम्ब का नियम) दोनों केंद्रीय बल हैं,जिसका अर्थ है कि वे दोनों वस्तुओं के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करते हैं। अतः,विकल्प $C$ सही है।
$4$. गुरुत्वाकर्षण बल और स्थिर-वैद्युत बल दोनों व्युत्क्रम वर्ग नियम $(F \propto \frac{1}{r^2})$ का पालन करते हैं। अतः,विकल्प $D$ गलत है।

(B) वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल $A = 25 \, cm^2 = 25 \times 10^{-4} \, m^2$ है।
भुजा की लंबाई $l = \sqrt{A} = 5 \, cm = 0.05 \, m$ है।
वेग $v = \frac{l}{t} = \frac{0.05 \, m}{1 \, s} = 0.05 \, m/s$ है।
प्रेरित $EMF$ $e = B l v$ है।
प्रेरित धारा $I = \frac{e}{R} = \frac{B l v}{R}$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{40 \times 0.05 \times 0.05}{10} = 0.01 \, A$।
चालक पर चुंबकीय बल $F = B I l$ है।
$F = 40 \times 0.01 \times 0.05 = 0.02 \, N$।
किया गया कार्य $W = F \times l = 0.02 \, N \times 0.05 \, m = 1 \times 10^{-3} \, J$ होगा।

(D) दिया गया है: शक्ति $P = 1 \text{ kW} = 1000 \text{ W}$,वोल्टेज $V = 100 \text{ V}$,दूरी $a = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
सबसे पहले,$P = VI$ का उपयोग करके तारों में बहने वाली धारा $I$ ज्ञात करें:
$I = \frac{P}{V} = \frac{1000}{100} = 10 \text{ A}$.
दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi a}$.
मान रखने पर:
$f = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (10)^2}{2\pi \times (2 \times 10^{-3})}$.
$f = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{4\pi \times 10^{-3}}$.
$f = 10^{-7} \times 10^2 \times 10^3 = 10^{-2} \text{ N/m}$.
अतः,प्रति मीटर बल $10^{-2} \text{ N}$ है।

(C) दो समानांतर लंबे चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
प्रारंभ में,बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ है।
जब एक चालक में धारा को दोगुना $(I_1' = 2I_1)$ किया जाता है और उसकी दिशा उलट दी जाती है,तो नई धारा $-2I_1$ हो जाती है। दूरी को बढ़ाकर $d' = 3d$ कर दिया जाता है।
नया बल $F'$ इस प्रकार है: $F' = \frac{\mu_0 (-2I_1) I_2}{2 \pi (3d)}$.
इसे सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $F' = -\frac{2}{3} \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \right)$.
प्रारंभिक बल $F$ का मान रखने पर,हमें मिलता है: $F' = -\frac{2F}{3}$.

(B) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $A$ और $B$ के लिए: दोनों समान दिशा में $I$ धारा प्रवाहित करते हैं। $B$ द्वारा $A$ पर लगाया गया बल $F_1$ आकर्षण बल है,जिसका परिमाण $F_1 = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi d}$ है।
तार $A$ और $C$ के लिए: तार $A$ में $I$ धारा ऊपर की ओर और तार $C$ में $2I$ धारा नीचे की ओर प्रवाहित होती है। चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए $C$ द्वारा $A$ पर लगाया गया बल $F_2$ प्रतिकर्षण बल है,जिसका परिमाण $F_2 = \frac{\mu_0 I (2I)}{2 \pi (2d)} = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi d}$ है।
चूंकि बल $F_1$ और $F_2$ के परिमाण समान हैं लेकिन वे विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं,इसलिए $F_1 = -F_2$ है।

(C) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I_s$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n = \frac{N_s}{L}$ है।
दिया गया है: $N_s = 500$, $L = 0.4 \ m$, $I_s = 3 \ A$.
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (500 / 0.4) \times 3 = 4\pi \times 10^{-7} \times 1250 \times 3 = 15000\pi \times 10^{-7} = 1.5\pi \times 10^{-3} \ T$.
चुंबकीय क्षेत्र में कुंडली पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau = N_c I_c A B \sin \theta$ होता है।
दिया गया है: $N_c = 10$, $I_c = 0.4 \ A$, $r = 0.1 \ m$, $\theta = 90^{\circ}$।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01\pi \ m^2$.
$\tau = 10 \times 0.4 \times (0.01\pi) \times (1.5\pi \times 10^{-3}) \times \sin 90^{\circ}$.
$\tau = 4 \times 0.01 \times 1.5 \times \pi^2 \times 10^{-3} \times 1$.
$\pi^2 = 10$ का उपयोग करने पर:
$\tau = 0.06 \times 10 \times 10^{-3} = 0.6 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-4} \ Nm$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले तार में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = B_H \cdot l \cdot v$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार $h = 10 \ m$ की ऊंचाई से स्वतंत्र रूप से गिरता है,जमीन से टकराने से ठीक पहले उसका वेग $v = \sqrt{2gh}$ होगा।
मान रखने पर: $v = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \ m/s$.
अब,प्रेरित $EMF$ की गणना: $e = (2 \times 10^{-5} \ T) \times (2500 \ \text{m}) \times (10\sqrt{2} \ m/s)$.
$e = 50000 \times 10^{-5} \times \sqrt{2} = 0.5 \sqrt{2} \ V$.
प्रेरित धारा $I = \frac{e}{R}$ द्वारा दी जाती है।
$I = \frac{0.5 \sqrt{2}}{25 \sqrt{2}} = \frac{0.5}{25} = 0.02 \ A$.

(D) एक लंबे सीधे धारावाही तार से $R$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}$
$R$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$R = \frac{\mu_0 I}{2\pi B}$
दिए गए मान:
$I = 12 \ A$
$B = 3 \times 10^{-5} \ Wb/m^2$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ Wb/Am$
समीकरण में मान रखने पर:
$R = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 12}{2\pi \times 3 \times 10^{-5}}$
$R = \frac{2 \times 10^{-7} \times 12}{3 \times 10^{-5}}$
$R = \frac{24 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-5}}$
$R = 8 \times 10^{-2} \ m$
मीटर को मिलीमीटर $(mm)$ में बदलने के लिए $1000$ से गुणा करें:
$R = 8 \times 10^{-2} \times 10^3 \ mm = 80 \ mm$

(D) चुंबकीय क्षेत्र में $V$ वेग से गतिमान $L$ लंबाई के चालक में प्रेरित गतिकीय $emf$ $e = BLV$ होता है।
$R$ प्रतिरोध वाले परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{e}{R} = \frac{BLV}{R}$ है।
लूप में ऊष्मीय ऊर्जा के उत्पादन की दर (शक्ति) $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
$I$ का मान रखने पर:
$P = \left( \frac{BLV}{R} \right)^2 R = \frac{B^2 L^2 V^2}{R^2} \cdot R = \frac{B^2 L^2 V^2}{R}$.
वैकल्पिक रूप से,लूप को खींचने के लिए आवश्यक यांत्रिक शक्ति $P = F \cdot V$ है,जहाँ $F = BIL$ चुंबकीय बल है।
$P = (B \cdot I \cdot L) \cdot V = B \cdot \left( \frac{BLV}{R} \right) \cdot L \cdot V = \frac{B^2 L^2 V^2}{R}$.

(A) एक लंबे सीधे तार द्वारा $X$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi X}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि बिंदु $P$ से प्रत्येक तार की दूरी $X$ है। चूंकि $P$ को तारों से जोड़ने वाली रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए दो तारों और बिंदु $P$ द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कर्ण $7 \,cm$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $X^2 + X^2 = 7^2 \implies 2X^2 = 49 \implies X = \frac{7}{\sqrt{2}} \,cm = \frac{7}{1.4} \times 10^{-2} \,m = 5 \times 10^{-2} \,m$.
दो तारों के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi X}$ और $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi X}$ हैं।
चूंकि धाराओं की दिशाएं विपरीत हैं,इसलिए $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं। अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi X} \sqrt{I_1^2 + I_2^2}$ होगा।
मान रखने पर: $B_{\text{net}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi \times 5 \times 10^{-2}} \sqrt{15^2 + 8^2} = \frac{2 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-2}} \sqrt{225 + 64} = \frac{2 \times 10^{-5}}{5} \sqrt{289} = 0.4 \times 10^{-5} \times 17 = 6.8 \times 10^{-5} \,T = 68 \times 10^{-6} \,T$.

(B) प्रेरक (inductor) में संचित ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} LI^2$ है।
दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 100 mH = 100 \times 10^{-3} H = 0.1 H$ और धारा $I = 1 A$।
मान रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (1)^2$
$E = 0.05 J$.

(C) दिया गया है: $n = 500 \ turns/m$,$I = 3 \ A$,$\mu_r = 5001$.
सबसे पहले,परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ की गणना करें:
$H = nI = 500 \times 3 = 1500 \ A/m$.
इसके बाद,चुंबकीय प्रवृत्ति (magnetic susceptibility) $\chi_m$ की गणना करें:
$\chi_m = \mu_r - 1 = 5001 - 1 = 5000$.
चुम्बकन $M$ का परिमाण सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$M = \chi_m H$.
मान रखने पर:
$M = 5000 \times 1500 = 7.5 \times 10^6 \ Am^{-1}$.

(D) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
पहली कुंडली के लिए: $B_1 = \frac{\mu_0 \times 2}{2R} = \frac{\mu_0}{R}$.
दूसरी कुंडली के लिए: $B_2 = \frac{\mu_0 \times 4}{2(3R)} = \frac{2\mu_0}{3R}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 / R}{2\mu_0 / 3R} = \frac{\mu_0}{R} \times \frac{3R}{2\mu_0} = \frac{3}{2}$.
अतः,$B_1: B_2$ का अनुपात $3: 2$ है।

(D) $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तारों के बीच की दूरी $d = 3 \ m$ दी गई है,इसलिए मध्य बिंदु प्रत्येक तार से $r = 1.5 \ m$ की दूरी पर है।
पहले तार के लिए,$I_1 = 3 \ A$। चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 \times 3}{2 \pi \times 1.5} = \frac{2 \mu_0}{2 \pi}$ है।
दूसरे तार के लिए,$I_2 = 4.5 \ A$। चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 \times 4.5}{2 \pi \times 1.5} = \frac{3 \mu_0}{2 \pi}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,दाएं हाथ के नियम के अनुसार,मध्य बिंदु पर दोनों तारों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होंगे।
अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2 = \frac{2 \mu_0}{2 \pi} + \frac{3 \mu_0}{2 \pi} = \frac{5 \mu_0}{2 \pi}$ है।

(B) सोलेनोइड का प्रेरकत्व $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $l$ सोलेनोइड की लंबाई है और $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
मान लीजिए कि आवश्यक तार की कुल लंबाई $x$ है। तार को $N$ फेरों में लपेटा जाता है, इसलिए $x = (2 \pi r) N$, जिसका अर्थ है $N = \frac{x}{2 \pi r}$।
$N$ का मान प्रेरकत्व के सूत्र में रखने पर:
$L = \frac{\mu_0 (x / 2 \pi r)^2 \times \pi r^2}{l} = \frac{\mu_0 x^2}{4 \pi l}$।
$x$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 = \frac{4 \pi L l}{\mu_0} \implies x = \sqrt{\frac{4 \pi L l}{\mu_0}}$।
यहाँ $L = 1 \,mH = 10^{-3} \,H$, $l = 1 \,m$, और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$ दिया गया है:
$x = \sqrt{\frac{4 \pi \times 10^{-3} \times 1}{4 \pi \times 10^{-7}}} = \sqrt{10^4} = 100 \,m$।
किलोमीटर में बदलने पर: $100 \,m = 0.10 \,km$।

(B) धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ तार का लंबाई सदिश है。
मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $EF = 5 \,cm$, $EG = 12 \,cm$ और $GF = 13 \,cm$ हैं。
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ भुजा $GF$ के समानांतर है। मान लीजिए भुजा $EF$ और भुजा $GF$ के बीच का कोण $\theta$ है。
त्रिभुज की ज्यामिति से, $\sin \theta = \frac{EG}{GF} = \frac{12}{13}$ है。
भुजा $EF$ पर लगने वाला बल $F_{EF} = I \cdot L_{EF} \cdot B \sin \theta$ है。
दिया गया है कि $I = 2 \,A$, $L_{EF} = 0.05 \,m$, $B = 0.75 \,T$ और $\sin \theta = \frac{12}{13}$ है。
$F_{EF} = 2 \times 0.05 \times 0.75 \times \frac{12}{13} = 0.1 \times 0.75 \times \frac{12}{13} = 0.075 \times \frac{12}{13} = \frac{0.9}{13} = \frac{9}{130} \,N$ है。
इसे $\frac{x}{130} \,N$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 9$ प्राप्त होता है。

(D) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ होता है।
पहली कुंडली के लिए जिसमें $I$ धारा प्रवाहित हो रही है,चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ है।
दूसरी कुंडली के लिए जिसमें $2I$ धारा प्रवाहित हो रही है,चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 (2I)}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{R}$ है।
चूंकि दोनों कुंडलियों के तल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
केंद्र पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$B = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 R}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 I}{R}\right)^2}$
$B = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 R}\right)^2 + \left(\frac{2 \mu_0 I}{2 R}\right)^2}$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{1^2 + 2^2}$
$B = \frac{\sqrt{5} \mu_0 I}{2 R}$.

(A) एक लंबी परिनालिका का प्रेरकत्व $L$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$
जहाँ $N$ फेरों की कुल संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $l$ लंबाई है।
चूंकि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$L = \mu_0 \left(\frac{N}{l}\right)^2 \times l \times \frac{\pi d^2}{4}$
यह दिया गया है कि $n = N/l$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है,इसलिए प्रति इकाई लंबाई प्रेरकत्व है:
$\frac{L}{l} = \mu_0 n^2 \left(\frac{\pi d^2}{4}\right)$
$\frac{L}{l} = \mu_0 \pi \left(\frac{nd}{2}\right)^2$

(A) वृत्त में गतिमान इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $I = \frac{q}{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $q$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $T$ समय अवधि है।
दिया गया है $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ और $T = 1 \ s$,इसलिए $I = \frac{1.6 \times 10^{-19}}{1} = 1.6 \times 10^{-19} \ A$.
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8}$.
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6} = 4 \pi \times 10^{-26} \ T$.

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ होता है।
चूँकि धाराएँ विपरीत दिशाओं में हैं, इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र प्रत्येक कुंडली द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का अंतर होगा: $B_{\text{net}} = |B_1 - B_2|$.
दिया गया है: $n_1 = n_2 = 10$, $r_1 = 0.2 \, m$, $r_2 = 0.4 \, m$, $I_1 = 0.2 \, A$, $I_2 = 0.3 \, A$.
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 10 \times 0.2}{2 \times 0.2} = \frac{10 \mu_0}{2} = 5 \mu_0$.
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 10 \times 0.3}{2 \times 0.4} = \frac{3 \mu_0}{0.8} = 3.75 \mu_0$.
$B_{\text{net}} = 5 \mu_0 - 3.75 \mu_0 = 1.25 \mu_0$.
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ रखने पर:
$B_{\text{net}} = 1.25 \times 4 \pi \times 10^{-7} = 5 \pi \times 10^{-7} \, T$.

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ है।
सामान्य केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,कुंडलियों $A$ और $B$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
चूंकि कुंडली $A$ में धारा वामावर्त दिशा में है,इसलिए इसका चुंबकीय क्षेत्र तल के बाहर की ओर होगा। अतः,कुंडली $B$ को तल के अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करना चाहिए,जिसके लिए दक्षिणावर्त धारा की आवश्यकता होगी।
माना $I_A = 0.5 \text{ A}$,$R_A = 0.2 \text{ m}$,$R_B = 0.1 \text{ m}$,और $I_B$ कुंडली $B$ में धारा है।
परिमाणों को बराबर रखने पर: $\frac{\mu_0 I_A}{2 R_A} = \frac{\mu_0 I_B}{2 R_B}$.
मान रखने पर: $\frac{0.5}{0.2} = \frac{I_B}{0.1}$.
$I_B = \frac{0.5 \times 0.1}{0.2} = 0.25 \text{ A}$.
अतः,कुंडली $B$ में $0.25 \text{ A}$ की धारा दक्षिणावर्त दिशा में होनी चाहिए।

(C) वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर $h$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B_{a} = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + h^2)^{3/2}}$
कुंडली के केंद्र पर $(h=0)$ चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B_{c} = \frac{\mu_0 n I}{2r}$
$B_c$ और $B_a$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{\mu_0 n I / 2r}{\mu_0 n I r^2 / 2(r^2 + h^2)^{3/2}}$
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{(r^2 + h^2)^{3/2}}{r^3} = \left(\frac{r^2 + h^2}{r^2}\right)^{3/2} = \left(1 + \frac{h^2}{r^2}\right)^{3/2}$
अतः,$B_c = B_a \left(1 + \frac{h^2}{r^2}\right)^{3/2}$.

(B) एक वृत्ताकार धारावाही कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण $B_{C} = \frac{\mu_{0} I}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
अक्ष पर केंद्र से $r$ दूरी पर चुंबकीय प्रेरण $B_{A} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + r^{2})^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $r = \sqrt{3} R$,इसलिए $B_{A}$ के सूत्र में मान रखने पर:
$B_{A} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + (\sqrt{3} R)^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + 3 R^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(4 R^{2})^{3/2}}$.
हर का सरलीकरण करने पर: $(4 R^{2})^{3/2} = (2^{2} R^{2})^{3/2} = (2 R)^{3} = 8 R^{3}$.
अतः,$B_{A} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(8 R^{3})} = \frac{\mu_{0} I}{16 R}$.
अब,अनुपात $B_{A} : B_{C}$ की गणना करने पर:
$\frac{B_{A}}{B_{C}} = \frac{\frac{\mu_{0} I}{16 R}}{\frac{\mu_{0} I}{2 R}} = \frac{2 R}{16 R} = \frac{1}{8}$.
इस प्रकार,अनुपात $1: 8$ है।

(D) $n^{\text{th}}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ है।
$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n \propto \frac{1}{n}$ है।
कोणीय वेग $\omega_n = \frac{v_n}{r_n} \propto \frac{1/n}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ होता है।
परिक्रमण करते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $I_n = \frac{e}{T_n} = \frac{e \omega_n}{2 \pi} \propto \omega_n \propto \frac{1}{n^3}$ है।
कक्षा के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_n = \frac{\mu_0 I_n}{2 r_n}$ है।
समानुपातिकता रखने पर: $B_n \propto \frac{I_n}{r_n} \propto \frac{1/n^3}{n^2} = \frac{1}{n^5}$।
अतः,$B_n \propto n^{-5}$।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि केंद्रों पर चुंबकीय क्षेत्र समान हैं,इसलिए $\frac{\mu_0 I_1}{2 r_1} = \frac{\mu_0 I_2}{2 r_2}$ है।
इसका अर्थ है $\frac{I_1}{I_2} = \frac{r_1}{r_2}$। चूँकि $r_1 = 2r_2$,हमें $\frac{I_1}{I_2} = 2$ प्राप्त होता है (समीकरण $i$)।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि कुंडलियाँ एक ही तार से बनी हैं,$\rho$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto l$ है।
वृत्ताकार कुंडली के लिए तार की लंबाई $l = 2\pi r$ है,इसलिए $R \propto r$ है।
अतः,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{r_1}{r_2} = 2$ (समीकरण $ii$)।
विभवांतर $V = IR$ है। विभवांतर का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{I_1 R_1}{I_2 R_2}$ है।
(समीकरण $i$) और (समीकरण $ii$) से अनुपात रखने पर,हमें $\frac{V_1}{V_2} = 2 \times 2 = 4$ प्राप्त होता है।

(C) $N$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली स्थिति के लिए,$N_1 = 1$,त्रिज्या $r_1$ है,इसलिए $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2r_1}$.
दूसरी स्थिति के लिए,$N_2 = n$,त्रिज्या $r_2$ है,इसलिए $B_2 = \frac{\mu_0 nI}{2r_2}$.
तार की कुल लंबाई $L$ स्थिर रहती है। अतः,$L = 2\pi r_1 = n(2\pi r_2)$.
इसका अर्थ है $r_1 = n r_2$,या $\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{n}$.
चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात लेने पर:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 2r_1}{\mu_0 nI / 2r_2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2}$.
अतः,अनुपात $1:n^2$ है।

(A) $I$ धारा ले जाने वाले $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए चित्र में,दोनों अर्धवृत्ताकार चापों में धारा केंद्र '$O$' के सापेक्ष एक ही दिशा (दक्षिणावर्त) में प्रवाहित होती है।
इसलिए,केंद्र '$O$' पर दोनों चापों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा (कागज के तल के अंदर) में हैं।
केंद्र '$O$' पर कुल चुंबकीय क्षेत्र व्यक्तिगत चुंबकीय क्षेत्रों का योग है:
$B_{\text{net}} = B_1 + B_2$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 I}{4R_1} + \frac{\mu_0 I}{4R_2}$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 I}{4} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$