MHT CET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) एकल स्लिट द्वारा प्रकाश के विवर्तन में,केंद्रीय (मुख्य) उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई का सूत्र इस प्रकार है:
$W_{c} = \frac{2 \lambda D}{d}$
प्रश्न के अनुसार,मुख्य उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई स्लिट की चौड़ाई के बराबर है,इसलिए $W_{c} = d$।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{2 \lambda D}{d}$
$D$ के लिए समीकरण को हल करने पर:
$D = \frac{d^2}{2 \lambda}$

(D) दिया गया है: स्लिट के बीच की दूरी $d = 0.6 \, mm = 0.6 \times 10^{-3} \, m$, पर्दे की दूरी $D = 1.2 \, m$, तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m$, और पर्दे पर स्थिति $y = 3 \, mm = 3 \times 10^{-3} \, m$.
बिंदु $y$ पर पथ अंतर $\Delta x$ का सूत्र $\Delta x = \frac{d \cdot y}{D}$ है।
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{(0.6 \times 10^{-3} \, m) \times (3 \times 10^{-3} \, m)}{1.2 \, m} = \frac{1.8 \times 10^{-6}}{1.2} \, m = 1.5 \times 10^{-6} \, m$.
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर के बीच संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$ है।
मान रखने पर: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{6000 \times 10^{-10}} \times 1.5 \times 10^{-6} = \frac{2 \pi \times 1.5 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}} = \frac{3 \pi \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}} = 0.5 \pi \times 10 = 5 \pi \, \text{रेडियन}$.

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $(W)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$W = \frac{\lambda D}{d}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ झिरियों और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
प्रश्न के अनुसार,झिरियों के बीच की दूरी को दोगुना कर दिया गया है,इसलिए नई दूरी $d' = 2d$ है।
हम फ्रिंज चौड़ाई को समान रखना चाहते हैं,इसलिए $W' = W$ होगा।
सूत्र में मान रखने पर:
$W' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda D'}{2d}$
चूंकि $W = W'$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\lambda D}{d} = \frac{\lambda D'}{2d}$
दोनों पक्षों से $\lambda$ और $d$ को हटाने पर:
$D = \frac{D'}{2}$
इसलिए,$D' = 2D$ होगा।
अतः,झिरियों से पर्दे की दूरी को दोगुना किया जाना चाहिए।

(C) माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{liquid}} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{\mu}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\lambda_{\text{air}} = 6300 \,Å = 6300 \times 10^{-10} \,m$ और $\mu = 1.33$ है।
अतः, $\lambda_{\text{liquid}} = \frac{6300 \times 10^{-10}}{1.33} \,m$.
फ्रिंज की चौड़ाई $W$ का सूत्र $W = \frac{\lambda_{\text{liquid}} \times D}{d}$ है।
यहाँ $D = 1.33 \,m$ और $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ है।
मान रखने पर:
$W = \frac{(6300 \times 10^{-10} / 1.33) \times 1.33}{10^{-3}}$
$W = \frac{6300 \times 10^{-10}}{10^{-3}} = 6300 \times 10^{-7} \,m = 6.3 \times 10^{-4} \,m$.

(B) फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $W = \frac{\lambda D}{d}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $W \propto \lambda$,$W \propto D$ और $W \propto \frac{1}{d}$ है।
फ्रिंजों को अधिक निकट लाने के लिए,फ्रिंज चौड़ाई $W$ को कम होना चाहिए।
चूंकि $W \propto \lambda$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को कम करने से फ्रिंज चौड़ाई कम हो जाएगी।
नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य हरे प्रकाश की तुलना में कम होती है $(\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{green}})$।
इसलिए,हरे प्रकाश के स्थान पर नीले प्रकाश का उपयोग करने से फ्रिंज एक-दूसरे के अधिक निकट आ जाएंगे।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में केंद्रीय दीप्त फ्रिंज (उच्चिष्ठ) से $n$ वें दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र है: $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$।
$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के लिए पांचवें उच्चिष्ठ $(n = 5)$ की दूरी $y_1 = \frac{5 \lambda_1 D}{d}$ है।
$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य के लिए पांचवें उच्चिष्ठ $(n = 5)$ की दूरी $y_2 = \frac{5 \lambda_2 D}{d}$ है।
दोनों दूरियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{\frac{5 \lambda_1 D}{d}}{\frac{5 \lambda_2 D}{d}} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$।

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है। छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y_n}{D}$ होता है।
अतः, $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
दिया गया है: $\lambda = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$, $D = 2 \,m$, $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$.
पहली अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n=1)$:
$y_1 = \frac{1 \times 600 \times 10^{-9} \times 2}{10^{-3}} = 1200 \times 10^{-6} \,m = 1.2 \times 10^{-3} \,m = 1.2 \,mm$.
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज के दोनों ओर पहली अदीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $2 y_1 = 2 \times 1.2 \,mm = 2.4 \,mm$ है।

(A) बाइप्रिज्म प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $W$ का सूत्र $W = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट पृथक्करण है।
चूंकि दोनों सेटअप के लिए फ्रिंज चौड़ाई $W$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ स्थिर हैं,इसलिए $W = \frac{\lambda D_1}{d_1} = \frac{\lambda D_2}{d_2}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\frac{D_1}{d_1} = \frac{D_2}{d_2}$,या $\frac{D_1}{D_2} = \frac{d_1}{d_2}$।
स्लिट पृथक्करण का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{2}{3}$ दिया गया है,इसलिए दूरियों का अनुपात $\frac{D_1}{D_2} = \frac{2}{3}$ होगा।

(C) कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
पहले बिंदु के लिए,पथ अंतर $\Delta x_1 = \frac{\lambda}{4}$ है।
अतः,$\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$।
परिणामी तीव्रता $I$ का सूत्र $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2}) = 2I_0(1 + \cos \phi)$ है।
$\phi_1 = \frac{\pi}{2}$ के लिए,$I_1 = 2I_0(1 + \cos(\frac{\pi}{2})) = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$।
दूसरे बिंदु के लिए,पथ अंतर $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{3}$ है।
अतः,$\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$।
$\phi_2 = \frac{2\pi}{3}$ के लिए,$I_2 = 2I_0(1 + \cos(\frac{2\pi}{3})) = 2I_0(1 - \frac{1}{2}) = 2I_0(\frac{1}{2}) = I_0$।
इसलिए,$\frac{I_1 + I_2}{I_0} = \frac{2I_0 + I_0}{I_0} = \frac{3I_0}{I_0} = 3$।

(D) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली पारदर्शी शीट डालने से केंद्रीय फ्रिंज में होने वाला विस्थापन इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta x = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$.
यहाँ दिया गया है कि केंद्रीय फ्रिंज $25^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति में स्थानांतरित हो जाती है,इसलिए विस्थापन $25\beta$ के बराबर है,जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
विस्थापन की तुलना करने पर: $\frac{(\mu - 1)tD}{d} = 25 \frac{\lambda D}{d}$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $(\mu - 1)t = 25\lambda$.
दिए गए मान: $t = 2.9 \times 10^{-3} \ cm = 2.9 \times 10^{-5} \ m$ और $\lambda = 5800 \ \mathring{A} = 5800 \times 10^{-10} \ m$.
मान रखने पर: $\mu - 1 = \frac{25 \times 5800 \times 10^{-10}}{2.9 \times 10^{-5}}$.
$\mu - 1 = \frac{145000 \times 10^{-10}}{2.9 \times 10^{-5}} = \frac{1.45 \times 10^{-5}}{2.9 \times 10^{-5}} = 0.5$.
अतः,$\mu = 1 + 0.5 = 1.50$.

(A) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट को पेश करने के कारण फ्रिंज विस्थापन $y$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $y = \frac{D}{\text{d}} (\mu - 1) t = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t$.
पहली प्लेट के लिए दिया गया है कि $\mu_1 = 1.44$,इसलिए विस्थापन $y_1 = y = \frac{\beta}{\lambda} (1.44 - 1) t = 0.44 t \frac{\beta}{\lambda}$.
दूसरी प्लेट के लिए $\mu_2 = 1.66$,नया विस्थापन $y_2$ इस प्रकार है: $y_2 = \frac{\beta}{\lambda} (1.66 - 1) t = 0.66 t \frac{\beta}{\lambda}$.
दोनों विस्थापनों का अनुपात लेने पर: $\frac{y_2}{y_1} = \frac{0.66}{0.44} = \frac{66}{44} = \frac{3}{2}$.
अतः,$y_2 = \frac{3}{2} y$.

(B) व्यतिकरण के कारण किसी बिंदु पर तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
पथ अंतर $\Delta x$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ होता है।
पथ अंतर $\Delta x_1 = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
पथ अंतर $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{6}$ के लिए,कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।
यह मानते हुए कि व्यतिकरण करने वाली तरंगों की तीव्रता समान है,$I_1 = I_2 = I_0$,तीव्रता का सूत्र $I = 2I_0(1 + \cos \phi)$ हो जाता है।
$\phi_1 = \frac{\pi}{2}$ के लिए,$I_1 = 2I_0(1 + \cos 90^{\circ}) = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$ है।
$\phi_2 = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$I_2 = 2I_0(1 + \cos 60^{\circ}) = 2I_0(1 + 0.5) = 2I_0(1.5) = 3I_0$ है।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{2I_0}{3I_0} = \frac{2}{3}$ है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन के लिए, $n$ वें निम्निष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$.
पहले निम्निष्ठ के लिए, $n = 1$, इसलिए $d \frac{y}{D} = \lambda$.
स्लिट की चौड़ाई $d$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $d = \frac{\lambda D}{y}$.
दिया गया है: $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$, $D = 2 \text{ m}$, और $y = 5 \text{ mm} = 5 \times 10^{-3} \text{ m}$.
मान रखने पर: $d = \frac{(5 \times 10^{-7} \text{ m}) \times (2 \text{ m})}{5 \times 10^{-3} \text{ m}} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $d = 2 \times 10^{-4} \times 10^2 \text{ cm} = 0.02 \text{ cm}$.

(D) दिया गया पथ अंतर $\Delta x = 3 \mu m = 3 \times 10^{-6} \text{ m}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$ है।
संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त $\Delta x = n \lambda$ है,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ है।
मान रखने पर: $3 \times 10^{-6} = n \times (5 \times 10^{-7})$.
$n = \frac{3 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{30}{5} = 6$.
चूंकि $n = 6$ एक पूर्णांक है,इसलिए बिंदु $Q$ पर $6^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज प्राप्त होगी।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी का सूत्र है: $d = \frac{n \lambda D}{a}$,जहाँ $n$ उच्चिष्ठ का क्रम है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे की दूरी है और $a$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
चूंकि $D$ और $a$ स्थिर हैं,इसलिए $d \propto n \lambda$ होगा।
$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के लिए $8^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ: $d_1 = 8 \lambda_1 \times (\frac{D}{a})$.
$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य के लिए $6^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ: $d_2 = 6 \lambda_2 \times (\frac{D}{a})$.
अनुपात $\frac{d_2}{d_1}$ लेने पर:
$\frac{d_2}{d_1} = \frac{6 \lambda_2}{8 \lambda_1} = \frac{3 \lambda_2}{4 \lambda_1}$.

(D) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में,केंद्रीय उच्चिष्ठ सबसे चमकीला और चौड़ा होता है। केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $2\lambda D/a$ होती है,जबकि द्वितीयक उच्चिष्ठों की चौड़ाई $\lambda D/a$ होती है। जैसे-जैसे फ्रिंजों का क्रम बढ़ता है,तीव्रता में काफी कमी आती है। इसलिए,एकल स्लिट द्वारा प्राप्त विवर्तन फ्रिंजों की चौड़ाई और तीव्रता दोनों असमान होती हैं।

(D) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$-वें उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
पहले उच्चिष्ठ $(n=1)$ के लिए,स्क्रीन पर स्थिति $x = \frac{3 \lambda D}{2 d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\lambda_1 = 590 \,nm$,$\lambda_2 = 596 \,nm$,$D = 1.5 \,m$,$d = 2 \times 10^{-6} \,m$।
पहले उच्चिष्ठ की स्थितियों के बीच का पृथक्करण $\Delta x = x_2 - x_1 = \frac{3 D}{2 d} (\lambda_2 - \lambda_1)$ है।
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{3 \times 1.5}{2 \times 2 \times 10^{-6}} \times (596 - 590) \times 10^{-9} \,m$।
$\Delta x = \frac{4.5}{4 \times 10^{-6}} \times 6 \times 10^{-9} \,m$।
$\Delta x = 1.125 \times 10^6 \times 6 \times 10^{-9} \,m = 6.75 \times 10^{-3} \,m = 6.75 \,mm$।

(C) फ्रिंज पैटर्न में विस्थापन $\Delta x$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta x = \frac{(\mu - 1) t D}{d}$.
दीप्त फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$.
प्रश्न के अनुसार,विस्थापन फ्रिंज की चौड़ाई के बराबर है,इसलिए $\Delta x = \beta$.
अतः,$\frac{(\mu - 1) t D}{d} = \frac{\lambda D}{d}$.
इसे सरल करने पर,$(\mu - 1) t = \lambda$ प्राप्त होता है।
अपवर्तनांक $\mu$ के लिए सूत्र: $\mu = \frac{\lambda}{t} + 1$.
दिए गए मान रखने पर: $\lambda = 6 \times 10^{-5} \ cm$ और $t = 12 \times 10^{-5} \ cm$.
$\mu = \frac{6 \times 10^{-5}}{12 \times 10^{-5}} + 1 = 0.5 + 1 = 1.5$.

(D) हाइड्रोजन परमाणु में दो कक्षाओं के बीच ऊर्जा का अंतर तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
चूंकि आवृत्ति $f$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से $f = \frac{C}{\lambda}$ द्वारा संबंधित है,हम लिख सकते हैं $\frac{f}{C} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
आवृत्ति के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $f = RC \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
यहाँ $n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ दिया गया है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$f = RC \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = RC \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$.
भिन्न की गणना करने पर: $\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9-4}{36} = \frac{5}{36}$.
अतः,उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $f = \frac{5RC}{36}$ है।