मान लीजिए x_1, x_2, ldots, x_6 बहुपद समीकरण x | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $x^6+2 x^5+4 x^4+8 x^3+16 x^2+32 x+64=0$ है।यह $7$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है।$(x-2)$ से गुणा करने पर,हमें $(x-2)(x^6+2 x^5+4

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$i$ के सभी मानों के लिए $|x_i|=2$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण $x^6+2 x^5+4 x^4+8 x^3+16 x^2+32 x+64=0$ है।यह $7$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है।$(x-2)$ से गुणा करने पर,हमें $(x-2)(x^6+2 x^5+4 x^4+8 x^3+16 x^2+32 x+64) = 0$ प्राप्त होता है।यह $x^7 - 2^7 = 0$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $x^7 = 128$।इस समीकरण के मूल $x_k = 2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ है।हालाँकि,मूल समीकरण $x=2$ को छोड़कर गुणोत्तर श्रेणी का योग है (क्योंकि $x=2$ रखने पर योग $448 
eq 0$ होता है)।अतः,मूल $x_k = 2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}$ हैं,जहाँ $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ है।इन सभी मूलों के लिए,$|x_k| = |2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}| = 2 |e^{i \frac{2k\pi}{7}}| = 2(1) = 2$ है।इसलिए,$i$ के सभी मानों के लिए $|x_i|=2$ है।

मान लीजिए $x_1, x_2, \ldots, x_6$ बहुपद समीकरण $x^6+2 x^5+4 x^4+8 x^3+16 x^2+32 x+64=0$ के मूल हैं। तो,

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