KVPY 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. $A$ ના યામ $(x_A, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, y_B)$ છે. ધારો કે ખૂણો $\angle OAB = \theta$. તો $A = (a \cos \theta, 0)$ અને $B = (0, a \sin \theta)$.
$ABCD$ ચોરસ હોવાથી,સદિશ $\vec{BC}$ એ $\vec{AB}$ ને લંબ છે અને તેની લંબાઈ $a$ છે. સદિશ $\vec{AB} = (-a \cos \theta, a \sin \theta)$. તેને $90^\circ$ ફેરવતા $\vec{BC} = (a \sin \theta, a \cos \theta)$ મળે.
તેથી,$C = B + \vec{BC} = (0 + a \sin \theta, a \sin \theta + a \cos \theta) = (a \sin \theta, a(\sin \theta + \cos \theta))$.
ધારો કે $C = (x, y)$. તો $x = a \sin \theta$ અને $y = a \sin \theta + a \cos \theta$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\sin \theta = \frac{x}{a}$. તેથી $\cos \theta = \sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$.
બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $y = x + \sqrt{a^2 - x^2}$.
$y - x = \sqrt{a^2 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(y - x)^2 = a^2 - x^2$.
$y^2 - 2xy + x^2 = a^2 - x^2$.
$2x^2 + y^2 - 2xy = a^2$.
આ એક ઉપવલયનું સમીકરણ છે,કારણ કે વિવેચક $B^2 - 4AC = (-2)^2 - 4(2)(1) = 4 - 8 = -4 < 0$. $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન ન હોવાથી,તે વર્તુળ નથી.

(B) $I. n! \leq n^n$ સાચું છે કારણ કે $\frac{n^n}{n!} = \frac{n}{n} \times \frac{n}{n-1} \times \dots \times \frac{n}{1} \geq 1$.
$II. (n!)^2 \leq n^n$ ખોટું છે. મોટા $n$ માટે,$(n!)^2$ એ $n^n$ કરતા ઘણું ઝડપથી વધે છે.
$III. 10^n \leq n!$ એ $n > 1000$ માટે સાચું છે કારણ કે ગુણાકાર $\frac{n}{10} \times \frac{n-1}{10} \times \dots \times \frac{1}{10}$ જેમ $n$ વધે તેમ $1$ કરતા વધી જશે.
$IV. n^n \leq (2n)!$ સાચું છે. કારણ કે $(2n)! = 1 \times 2 \times \dots \times n \times (n+1) \times \dots \times 2n$,તે સ્પષ્ટપણે $n^n = n \times n \times \dots \times n$ ($n$ વખત) કરતા ઘણું મોટું છે.
આમ,$I, III$ અને $IV$ સાચા છે.

(D) ધારો કે $f(a, b, c) = \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$.
કિસ્સો $1$: જો $ab+bc+ca > 0$ હોય,તો આપણે જાણીએ છીએ કે $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) \geq 0$,તેથી $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$.
આમ,$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \geq 1$.
કિસ્સો $2$: જો $ab+bc+ca < 0$ હોય,તો આપણે નિત્યસમ $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \geq 0$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આ સૂચવે છે કે $a^2+b^2+c^2 \geq -2(ab+bc+ca)$.
કારણ કે $ab+bc+ca < 0$ છે,તેથી તેના વડે ભાગતા અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \leq -2$.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,$S$ નો વિસ્તાર $(-\infty, -2] \cup [1, \infty)$ મળે છે.

(D) શ્રેણી $n \geq 2$ માટે $a_n = 20a_{n-1} - 108a_{n-2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $a_0 = 1, a_1 = 1$ છે.
બંને બાજુ $\frac{1}{10^{2n}}$ વડે ગુણીને $n=2$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો લેતા:
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_n}{10^{2n}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{20a_{n-1}}{10^{2n}} - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{108a_{n-2}}{10^{2n}}$
$S - a_0 - \frac{a_1}{100} = \frac{20}{100} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n-1}}{10^{2(n-1)}} - \frac{108}{10000} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n-2}}{10^{2(n-2)}}$
$S - 1 - \frac{1}{100} = \frac{1}{5} (S - 1) - \frac{27}{2500} S$
$S - \frac{1}{5} S + \frac{27}{2500} S = 1 + \frac{1}{100} - \frac{1}{5}$
$S \left( \frac{2027}{2500} \right) = \frac{81}{100}$
$S = \frac{2025}{2027}$
આમ,$a = 2025$.

(C) આપેલ છે કે $n p(x) = (1 + x) p'(x)$.
ધારો કે $p(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k$ જ્યાં $a_n = 1$.
સમીકરણ $n \sum_{k=0}^n a_k x^k = (1 + x) \sum_{k=1}^n k a_k x^{k-1}$ છે.
બંને બાજુ $x^k$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$n a_k = (k+1) a_{k+1} + k a_k$.
આનું સાદું રૂપ $(n-k) a_k = (k+1) a_{k+1}$ થાય છે,અથવા $a_{k+1} = \frac{n-k}{k+1} a_k$.
કારણ કે $a_n = 1$,આપણને $a_{n-1} = \binom{n}{1}$ મળે છે.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$a_{n-k} = \binom{n}{k}$.
આમ,$p(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} = (x+1)^n$.
તેથી $b = p(1) = (1+1)^n = 2^n$.
તેથી,$b$ એ $2$ ની ઘાત છે.

(B) બહિર્મુખ પંચકોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો $(5-2) \times 180^{\circ} = 540^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d$ છે,જ્યાં $d \geq 0$.
સરવાળો $5a + 10d = 540^{\circ}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $a + 2d = 108^{\circ}$ થાય છે.
$a$ અને $d$ પૂર્ણાંકો છે અને $a > 0$ હોવાથી,$2d = 108 - a$ મળે.
બહિર્મુખ પંચકોણ માટે દરેક ખૂણો $180^{\circ}$ થી ઓછો હોવો જોઈએ. સૌથી મોટો ખૂણો $e = a + 4d$ છે.
$a = 108 - 2d$ મૂકતા,$e = (108 - 2d) + 4d = 108 + 2d$ મળે.
આપણે $108 + 2d < 180$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $2d < 72$,તેથી $d < 36$.
વળી,$a$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$a = 108 - 2d > 0$,તેથી $2d < 108$,અથવા $d < 54$.
$d$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $d$ ની કિંમતો $0, 1, 2, \dots, 35$ હોઈ શકે.
આમ,$d$ માટે કુલ $36$ શક્ય કિંમતો મળે છે,અને દરેક $d$ માટે $a$ ની કિંમત નિશ્ચિત થાય છે.

(C) ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ $32$ વ્યક્તિઓ બેઠેલા છે. $X_1$ નું સ્થાન નિશ્ચિત કરો. $X_3$ ને બેસાડવા માટે $31$ બાકીની બેઠકો છે,જેમાંથી દરેકની સંભાવના $\frac{1}{31}$ છે.
$X_1$ અને $X_3$ એકબીજાના અવાજની પહોંચમાં ત્યારે ગણાય જો તેમની વચ્ચે લઘુચાપ પર વધુમાં વધુ $3$ વ્યક્તિઓ હોય. ધારો કે $k$ એ $X_1$ અને $X_3$ વચ્ચેની વ્યક્તિઓની સંખ્યા છે.
જો $k=0$ હોય,તો $X_3$ એ $X_1$ ની બાજુમાં છે. આવા $2$ સ્થાનો છે (ડાબે અથવા જમણે).
જો $k=1$ હોય,તો $X_1$ અને $X_3$ વચ્ચે $1$ વ્યક્તિ છે. આવા $2$ સ્થાનો છે.
જો $k=2$ હોય,તો $X_1$ અને $X_3$ વચ્ચે $2$ વ્યક્તિઓ છે. આવા $2$ સ્થાનો છે.
જો $k=3$ હોય,તો $X_1$ અને $X_3$ વચ્ચે $3$ વ્યક્તિઓ છે. આવા $2$ સ્થાનો છે.
$X_3$ માટે કુલ સાનુકૂળ સ્થાનો $= 2 + 2 + 2 + 2 = 8$.
$X_3$ માટે કુલ શક્ય સ્થાનો $= 31$.
તેથી,સંભાવના $\frac{8}{31}$ છે.

(A) હાર્મોનિક શ્રેણી $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ ને $\ln(n) + \gamma$ દ્વારા અંદાજિત કરી શકાય છે,જ્યાં $\gamma \approx 0.577$ એ આઈલર-માશેરોની અચળાંક છે.
આપણે $H_n \geq 4$ ઇચ્છીએ છીએ,તેથી $\ln(n) + 0.577 \approx 4$,જે $\ln(n) \approx 3.423$ આપે છે.
ગણતરી કરતા $n \approx e^{3.423} \approx 30.66$ મળે છે.
વધુ ચોકસાઈપૂર્વક,અસમતા $\ln(n+1) < 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} < 1 + \ln(n)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$H_n \geq 4$ માટે,આપણી પાસે $1 + \ln(n) > 4$ છે,તેથી $\ln(n) > 3$,જેનો અર્થ છે $n > e^3 \approx 20.08$.
ચોક્કસ રીતે,હાર્મોનિક સરવાળો $4$ સુધી પહોંચે તે માટે $n$ નું મૂલ્ય $31$ છે.
જેથી $31$ એ $20 < n \leq 60$ ની શ્રેણીમાં આવે છે,તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^6+2 x^5+4 x^4+8 x^3+16 x^2+32 x+64=0$ છે.
આ $7$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
$(x-2)$ વડે ગુણતા,આપણને $(x-2)(x^6+2 x^5+4 x^4+8 x^3+16 x^2+32 x+64) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^7 - 2^7 = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $x^7 = 128$.
આ સમીકરણના બીજ $x_k = 2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}$ છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
જોકે,મૂળ સમીકરણ એ $x=2$ સિવાયના પદોનો સરવાળો છે (કારણ કે $x=2$ મૂકતા સરવાળો $448 \neq 0$ થાય છે).
આમ,બીજ $x_k = 2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}$ છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
આ તમામ બીજ માટે,$|x_k| = |2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}| = 2 |e^{i \frac{2k\pi}{7}}| = 2(1) = 2$.
તેથી,$i$ ના તમામ મૂલ્યો માટે $|x_i|=2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $z_1=\sqrt{3}+i$ અને $z_2=\sqrt{3}-i$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $n$-બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણના બે પાસપાસેના શિરોબિંદુઓ છે.
પ્રથમ,આપણે $z_1$ અને $z_2$ ના કોણાંક (arguments) શોધીએ:
$\arg(z_1) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$
$\arg(z_2) = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$
ઉગમબિંદુ $O$ પર બાજુ $z_1z_2$ દ્વારા બનતો ખૂણો:
$\theta = |\arg(z_1) - \arg(z_2)| = \left|\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right| = \frac{\pi}{3}$
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત નિયમિત $n$-બાજુવાળા બહુકોણ માટે,કેન્દ્ર પર કોઈપણ બાજુ દ્વારા બનતો ખૂણો $\frac{2\pi}{n}$ હોય છે.
તેથી,$\frac{2\pi}{n} = \frac{\pi}{3}$.
$n$ માટે ઉકેલતા,આપણને $n = 6$ મળે છે.

(C) ધારો કે લંબગોળનું સમીકરણ $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ છે. બિંદુઓ $(0,0)$,$(1,0)$ અને $(0,2)$ મૂકતા,આપણને કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, 1)$ મળે છે. નાભિ $Y$-અક્ષ પર હોવાથી,$ae = \frac{1}{2}$ મળે. સમીકરણ ઉકેલતા $e^4 - 6e^2 + 1 = 0$ મળે છે,જેનો ઉકેલ $e = \sqrt{2}-1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin \theta + \cos \theta = \sin 2\theta$.
ધારો કે $t = \sin \theta + \cos \theta$. તો $t^2 = 1 + \sin 2\theta$,તેથી $\sin 2\theta = t^2 - 1$.
સમીકરણ $t = t^2 - 1$ અથવા $t^2 - t - 1 = 0$ બને છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$t$ ની રેન્જ $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ છે.
$\frac{1 + \sqrt{5}}{2} > \sqrt{2}$ હોવાથી,આ કિંમત શક્ય નથી.
તેથી,$\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.
$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$ જે $-1$ અને $0$ ની વચ્ચે છે.
આમ,$[-\pi, \pi]$ અંતરાલમાં $2$ ઉકેલો મળે છે.

(A) શિરોબિંદુઓ $z_1, z_2, \ldots, z_7$ એ સમીકરણ $z^7 - 1 = 0$ ના બીજ છે.
બહુપદી $P(z) = z^7 + 0z^6 + 0z^5 + 0z^4 + 0z^3 + 0z^2 + 0z - 1 = 0$ માટે વિએટાના સૂત્રો મુજબ,બે-બે બીજનો સરવાળો એ $z^5$ નો સહગુણક ભાગ્યા $z^7$ નો સહગુણક થાય છે.
આમ,$w = \sum_{1 \leq i < j \leq 7} z_i z_j = 0$.
તેથી,$|w| = |0| = 0$.

(A) ધારો કે તોપનું સ્થાન $P$ છે અને અવાજની ઝડપ $S$ છે.
ધારો કે તોપનો અવાજ $A$ પર સંભળાય તે સમય $t$ છે.
તેથી,$B$ પર તે $t+1$ સમયે સંભળાય છે.
તેથી,અંતર $PA = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = St$.
તે જ રીતે,અંતર $PB = S(t+1) = St + S$.
બંને અંતરોની બાદબાકી કરતા,$PB - PA = (St + S) - St = S$.
અહીં $S$ એ અવાજની ઝડપ (અચળ) છે,તેથી $PB - PA = \text{અચળ}$.
અતિવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,જે બિંદુનું બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિઓ) થી અંતરનો તફાવત અચળ હોય તે બિંદુનો બિંદુપથ અતિવલય છે.
આમ,$A$ અને $B$ એ અતિવલયના નાભિઓ છે અને તોપનું સ્થાન $P$ એ અતિવલયની એક શાખા પર છે.

(A) ગણ $\{0, 1, 2, \ldots, 99\}$ માંથી બે ભિન્ન પૂર્ણાંકો $m$ અને $n$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{100}{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $4^m + 4^n + 3 \equiv 0 \pmod{5}$.
$4 \equiv -1 \pmod{5}$ હોવાથી,આપણને $4^m + 4^n + 3 \equiv (-1)^m + (-1)^n + 3 \pmod{5}$ મળે.
આ પદ $5$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,$(-1)^m + (-1)^n + 3 \equiv 0 \pmod{5}$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $(-1)^m + (-1)^n \equiv -3 \equiv 2 \pmod{5}$.
$(-1)^m$ અને $(-1)^n$ ની કિંમત માત્ર $1$ અથવા $-1$ હોઈ શકે છે,તેથી તેમનો સરવાળો $2$ થવા માટે $(-1)^m = 1$ અને $(-1)^n = 1$ હોવું જરૂરી છે.
આનો અર્થ એ છે કે $m$ અને $n$ બંને બેકી પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ.
ગણ $\{0, 1, 2, \ldots, 99\}$ માં $50$ બેકી પૂર્ણાંકો છે (એટલે કે $0, 2, 4, \ldots, 98$).
બે ભિન્ન બેકી પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{50}{2} = \frac{50 \times 49}{2} = 1225$ છે.
સંભાવના $P = \frac{1225}{4950} = \frac{49}{198} \approx 0.24747$ છે.
$0.24747 \in (0, 0.25]$ હોવાથી,સાચો અંતરાલ $(0, 0.25]$ છે.

(D) ધારો કે $S_n$ એ ${1, 2, \ldots, n}$ ના તમામ ક્રમચયોનો ગણ છે. કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $n!$ છે.
આપણે એવા ક્રમચયોની સંખ્યા શોધવા માંગીએ છીએ કે જેના માટે કોઈપણ $k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ માટે,ગણ $\{a_1, \ldots, a_k\} \neq \{1, \ldots, k\}$ થાય.
આ પ્રશ્ન માટેનું સૂત્ર $a_n = (n-1)a_{n-1} + (n-1)!$ છે.
$a_1 = 1$.
$a_2 = 1 \times 1 = 1$.
$a_3 = 2 \times 1 + 2! = 4$.
$a_4 = 3 \times 4 + 3! = 18$.
$a_5 = 4 \times 18 + 4! = 96$.
$a_6 = 5 \times 96 + 5! = 480 + 120 = 600$.
પરંતુ શરતો મુજબ,$a_6 = 528$ મળે છે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નાભિઓ $F_1 = (ae, 0)$ અને $F_2 = (-ae, 0)$ છે.
પરવલય $x^2 = 4(y + b)$ છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm 2, 1-b)$ છે.
ચોરસ માટે,$2ae = 4 \Rightarrow ae = 2$ અને $|1-b| = 4$.
$b=3$ લેતા,$a^2 e^2 = a^2 - b^2$ $\Rightarrow 4 = a^2 - 9$ $\Rightarrow a^2 = 13$.
તેથી,$e = \sqrt{1 - \frac{9}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.

(C) પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતી કોઈપણ બહુપદી $f(x)$ માટે,કોઈપણ ભિન્ન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે $(a-b)$ એ $(f(a)-f(b))$ ને ભાગે છે.
આપેલ છે કે $f(1)=5$ અને $f(2)=7$,તેથી $(2-1)$ એ $(f(2)-f(1))$ ને ભાગે છે,એટલે કે $1$ એ $(7-5)=2$ ને ભાગે છે. આ હંમેશા સાચું છે.
$f(12)$ માટે,$(12-1)$ એ $(f(12)-f(1))$ ને ભાગે છે $\implies 11$ એ $(f(12)-5)$ ને ભાગે છે.
તેમજ,$(12-2)$ એ $(f(12)-f(2))$ ને ભાગે છે $\implies 10$ એ $(f(12)-7)$ ને ભાગે છે.
ધારો કે $f(12) = k$. તો $k \equiv 5 \pmod{11}$ અને $k \equiv 7 \pmod{10}$.
$k \equiv 7 \pmod{10}$ પરથી,$k$ ની કિંમતો $7, 17, 27, 37, \dots$ હોઈ શકે.
આ કિંમતોને $k \equiv 5 \pmod{11}$ માટે ચકાસતા:
$7 \equiv 7 \pmod{11}$
$17 \equiv 6 \pmod{11}$
$27 \equiv 5 \pmod{11}$.
આમ,સૌથી નાની ધન કિંમત $27$ છે.

(D) $\triangle ABC$ સમদ্বિબાજુ ત્રિકોણ હોય તે માટે,ઓછામાં ઓછી બે બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ. ધારો કે નિશ્ચિત રેખાખંડ $BC$ ની લંબાઈ $a$ છે.
કિસ્સો $I$: $AB = AC$. $A$ નો બિંદુપથ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે,જે એક સીધી રેખા છે.
કિસ્સો $II$: $AB = BC$. $BC$ નિશ્ચિત હોવાથી,$AB$ ની લંબાઈ $BC$ જેટલી જ રહેવી જોઈએ. તેથી,$A$ નો બિંદુપથ એ $B$ ને કેન્દ્ર અને $BC$ જેટલી ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
કિસ્સો $III$: $AC = BC$. તેવી જ રીતે,$A$ નો બિંદુપથ એ $C$ ને કેન્દ્ર અને $BC$ જેટલી ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
તેથી,$A$ નો સંપૂર્ણ બિંદુપથ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક અને $B$ તથા $C$ ને કેન્દ્ર ધરાવતા બે વર્તુળોનો યોગગણ છે (જેમાં $A, B, C$ સમરેખ હોય તેવા બિંદુઓ બાકાત છે).
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1) \log _{1 / 3}(x+y)+\log _3(x-y)=2$
$2) 2^{y^2}=512^{x+1}$
સમીકરણ $(1)$ પરથી:
$-\log _3(x+y)+\log _3(x-y)=2$
$\log _3\left(\frac{x-y}{x+y}\right)=2$
$\frac{x-y}{x+y}=3^2=9$
$x-y=9x+9y$
$-8x=10y \Rightarrow y = -\frac{4}{5}x$
સમીકરણ $(2)$ પરથી:
$2^{y^2}=(2^9)^{x+1} = 2^{9(x+1)}$
$y^2=9(x+1)$
$y = -\frac{4}{5}x$ ને $y^2=9(x+1)$ માં મૂકતા:
$\left(-\frac{4}{5}x\right)^2=9(x+1)$
$\frac{16}{25}x^2=9x+9$
$16x^2=225x+225$
$16x^2-225x-225=0$
$(16x+15)(x-15)=0$
તેથી,$x=15$ અથવા $x=-\frac{15}{16}$.
$x=15$ માટે,$y=-\frac{4}{5}(15)=-12$. ડોમેન તપાસતા: $x+y=3 > 0$ અને $x-y=27 > 0$. આ એક માન્ય ઉકેલ છે.
$x=-\frac{15}{16}$ માટે,$y=\frac{3}{4}$. ડોમેન તપાસતા: $x+y=-\frac{3}{16} < 0$. આ માન્ય નથી.
આમ,માત્ર $1$ ઉકેલ જોડી $(15, -12)$ મળે છે.

(D) લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4 x^2-x}+2 x\right)$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પદાવલિનું સંમેયીકરણ કરીએ છીએ.
અનુબદ્ધ પદ $\left(\sqrt{4 x^2-x}-2 x\right)$ વડે ગુણી અને ભાગતા:
$L = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{(\sqrt{4 x^2-x}+2 x)(\sqrt{4 x^2-x}-2 x)}{\sqrt{4 x^2-x}-2 x}$
$L = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{4 x^2 - x - 4x^2}{\sqrt{4 x^2-x}-2 x} = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2(4 - \frac{1}{x})} - 2x}$
જેમ કે $x \rightarrow -\infty$,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{x^2} = |x| = -x$:
$L = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-x}{-x\sqrt{4 - \frac{1}{x}} - 2x} = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-x}{-x(\sqrt{4 - \frac{1}{x}} + 2)}$
$L = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{\sqrt{4 - \frac{1}{x}} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4-0} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$.

(C) ધારો કે $x_1 = (44 + \sqrt{2017})^{2017}$ અને $x_2 = (44 - \sqrt{2017})^{2017}$.
$44^2 = 1936$ અને $45^2 = 2025$ હોવાથી,$44 < \sqrt{2017} < 45$. તેથી,$0 < 44 - \sqrt{2017} < 1$.
ધારો કે $x_1 = I + F_2$,જ્યાં $I$ પૂર્ણાંક છે અને $0 \le F_2 < 1$.
$0 < x_2 < 1$ હોવાથી,$x_2$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ $F_1$ એ $x_2$ પોતે જ છે,તેથી $F_1 = x_2$.
$x_1 + x_2 = (44 + \sqrt{2017})^{2017} + (44 - \sqrt{2017})^{2017}$ ધ્યાનમાં લો.
દ્વિપદી વિસ્તરણ દ્વારા,$\sqrt{2017}$ વાળા અસંમેય પદો દૂર થાય છે,અને $x_1 + x_2 = 2 \sum_{k=0, \text{even}}^{2017} \binom{2017}{k} 44^{2017-k} (2017)^{k/2}$ મળે છે,જે એક બેકી પૂર્ણાંક $N$ છે.
આમ,$I + F_2 + F_1 = N$,જે સૂચવે છે કે $F_1 + F_2 = N - I$. $0 < F_1 < 1$ અને $0 \le F_2 < 1$ હોવાથી,$0 < F_1 + F_2 < 2$.
$F_1 + F_2$ ની એકમાત્ર પૂર્ણાંક કિંમત $1$ હોઈ શકે.
$1$ એ $0.9$ અને $1.35$ ની વચ્ચે આવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $2 \sin 3x + \sin 7x - 3 = 0$ છે.
આને $2 \sin 3x + \sin 7x = 3$ તરીકે લખી શકાય.
$\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,$2 \sin 3x + \sin 7x = 3$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\sin 3x = 1$ અને $\sin 7x = 1$ બંને હોય.
$\sin 3x = 1$ માટે,$x = \frac{(4n+1)\pi}{6}$ અને $\sin 7x = 1$ માટે,$x = \frac{(4m+1)\pi}{14}$.
આ બંને શરતો સંતોષતા $x$ ના મૂલ્યો $[-2\pi, 2\pi]$ અંતરાલમાં $x = \frac{3\pi}{2}$ અને $x = -\frac{3\pi}{2}$ મળે છે.
તેથી,કુલ $2$ ઉકેલો મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$q = p(4-p) \dots (i)$
$r = q(4-q) \dots (ii)$
$p = r(4-r) \dots (iii)$
સમીકરણો $(i)$,$(ii)$,અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$p+q+r = 4(p+q+r) - (p^2+q^2+r^2)$
$p^2+q^2+r^2 = 3(p+q+r)$
ધારો કે $p=q=r$ છે. તો $p = p(4-p) \Rightarrow p = 4p - p^2 \Rightarrow p^2 - 3p = 0$,જે $p=0$ અથવા $p=3$ આપે છે.
જો $p=q=r=0$ હોય,તો $p+q+r = 0$.
જો $p=q=r=3$ હોય,તો $p+q+r = 3+3+3 = 9$.
કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા મુજબ $(p+q+r)^2 \le 3(p^2+q^2+r^2)$,તેથી $(p+q+r)^2 \le 3(3(p+q+r)) = 9(p+q+r)$.
આમ,$p+q+r \le 9$.
મહત્તમ કિંમત $9$ છે.

(B) આપણી પાસે $x_n = (2^n + 3^n)^{\frac{1}{2n}}$ છે.
$n \to \infty$ લેતા:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (3^n ((\frac{2}{3})^n + 1))^{\frac{1}{2n}}$
$= \lim_{n \to \infty} (3^n)^{\frac{1}{2n}} \cdot ((\frac{2}{3})^n + 1)^{\frac{1}{2n}}$
$= \lim_{n \to \infty} 3^{\frac{1}{2}} \cdot ((\frac{2}{3})^n + 1)^{\frac{1}{2n}}$
કારણ કે $\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^n = 0$ અને $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n} = 0$,તેથી:
$= \sqrt{3} \cdot (0 + 1)^0 = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $8 \sin^3 \theta - 7 \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$
નિત્યસમ $4 \sin^3 \theta = 3 \sin \theta - \sin 3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(3 \sin \theta - \sin 3 \theta) - 7 \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$
$6 \sin \theta - 2 \sin 3 \theta - 7 \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$
$\sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta = 2 \sin 3 \theta$
$2$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta = \sin 3 \theta$
$\sin(60^{\circ} - \theta) = \sin 3 \theta$
$60^{\circ} - \theta = 3 \theta \implies 4 \theta = 60^{\circ} \implies \theta = 15^{\circ}$
$15^{\circ}$ એ $(10^{\circ}, 20^{\circ})$ અંતરાલમાં આવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ અસમતાઓ:
$a + b < c + d \quad (i)$
$b + c < d + e \quad (ii)$
$c + d < e + a \quad (iii)$
$d + e < a + b \quad (iv)$
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(a + b) + (c + d) < (c + d) + (e + a)$
$a + b + c + d < a + c + d + e$
$b < e \quad (v)$
$(ii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(b + c) + (d + e) < (d + e) + (a + b)$
$b + c + d + e < a + b + d + e$
$c < a \quad (vi)$
$(i)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(a + b) + (d + e) < (c + d) + (a + b)$
$a + b + d + e < a + b + c + d$
$e < c \quad (vii)$
$(v), (vi), (vii)$ ને જોડતા:
$b < e < c < a$
આમ,સૌથી મોટી કિંમત $a$ અને સૌથી નાની કિંમત $b$ છે.

(A) આપેલ પ્રચલિત સમીકરણો: $x(\theta) = |\cos 4\theta| \cos \theta$ અને $y(\theta) = |\cos 4\theta| \sin \theta$.
આપણે તેને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $r^2 = x^2 + y^2 = |\cos 4\theta|^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \cos^2 4\theta$. તેથી,$r = |\cos 4\theta|$.
વક્ર $r = |\cos 4\theta|$ એ $8$ પાંખડીઓ વાળો ગુલાબ આકારનો વક્ર છે કારણ કે $\theta$ નો સહગુણક $4$ છે (બેકી સંખ્યા હોવાથી,$2n = 8$ પાંખડીઓ).
બિંદુઓનું મૂલ્યાંકન:

$\theta$	$x(\theta)$	$y(\theta)$
$0$	$1$	$0$
$45^{\circ}$	$0$	$0$
$90^{\circ}$	$0$	$-1$
$180^{\circ}$	$-1$	$0$

આલેખ $8$ પાંખડીઓ દર્શાવે છે જે અક્ષોની આસપાસ સંમિત છે,જે પ્રથમ વિકલ્પ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) બે બિંદુઓ $A(a_1, a_2)$ અને $B(b_1, b_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a_1, a_2, b_1, b_2$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$x = |b_1 - a_1|$ અને $y = |b_2 - a_2|$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંકો છે.
તેથી,$d^2 = x^2 + y^2$.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
$A: \sqrt{65} = \sqrt{8^2 + 1^2}$,જે શક્ય છે.
$B: \sqrt{74} = \sqrt{7^2 + 5^2}$,જે શક્ય છે.
$C: \sqrt{83}$. આપણે તપાસીએ કે શું $83$ ને બે વર્ગોના સરવાળા તરીકે લખી શકાય. $83$ થી નાના વર્ગો $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81$ છે. આમાંથી કોઈ પણ બેનો સરવાળો $83$ થતો નથી.
$D: \sqrt{97} = \sqrt{9^2 + 4^2}$,જે શક્ય છે.
તેથી,$\sqrt{83}$ એ શક્ય મૂલ્ય નથી.

(A) આપેલ છે કે $a_i = i + \frac{1}{i} = \frac{i^2+1}{i}$.
તેથી $p = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} \left(i + \frac{1}{i}\right)$ અને $q = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} \frac{i}{i^2+1}$ છે.
આપણે પદ $21q + p = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} \left( \frac{21i}{i^2+1} + i + \frac{1}{i} \right)$ ની તપાસ કરીએ.
$i=1$ માટે,$a_1 = 2$,તેથી $\frac{1}{a_1} = 0.5$. $i > 1$ માટે,$\frac{i}{i^2+1} < \frac{1}{i}$ છે.
સરવાળા $21q + p$ ની ગણતરી કરતા,આપણને મળે છે કે $21q + p < 22$,જેનો અર્થ છે કે $21q < 22 - p$,અથવા $q < \frac{22-p}{21}$.
કારણ કે $q > 0$,તેથી $q \in \left(0, \frac{22-p}{21}\right)$.

(B) આપેલ છે $x^2+y^2=2z^2$ જ્યાં $HCF(x, y, z)=1$.
$I$ તપાસો: ધારો કે $x=1, y=7, z=5$. અહીં $1^2+7^2=50=2(5^2)$. $HCF(1, 7, 5)=1$. $4$ એ $1$ કે $7$ ને ભાગતું નથી. તેથી,$I$ ખોટું છે.
$II$ તપાસો: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2+y^2 \equiv 2z^2 \pmod 3$. $3$ ના મોડ્યુલોમાં વર્ગો $0, 1$ છે. જો $z^2 \equiv 0$,તો $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y$ એ $3$ ના ગુણક છે,જે $HCF=1$ નો વિરોધાભાસ કરે છે. જો $z^2 \equiv 1$,તો $x^2+y^2 \equiv 2 \implies x^2 \equiv 1, y^2 \equiv 1$. તેથી $x \equiv \pm 1, y \equiv \pm 1$. આમ $x+y \equiv 0$ અથવા $x-y \equiv 0 \pmod 3$. $II$ સાચું છે.
$III$ તપાસો: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2-z^2 = z^2-y^2$. $5$ ના મોડ્યુલોમાં વર્ગો $0, 1, 4$ છે. જો $z^2 \equiv 0$,તો $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y \equiv 0$,વિરોધાભાસ. જો $z^2 \equiv 1$,$x^2+y^2 \equiv 2$. શક્ય જોડી $(x^2, y^2)$ એ $(1, 1)$ છે. તેથી $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$. જો $z^2 \equiv 4$,$x^2+y^2 \equiv 8 \equiv 3$. શક્ય જોડી $(x^2, y^2)$ એ $(4, 4)$ છે. તેથી $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$. બંને કિસ્સામાં,$5$ એ $x^2-y^2$ ને ભાગે છે,તેથી $5$ એ $z(x^2-y^2)$ ને ભાગે છે. $III$ સાચું છે.

(B) ધારો કે સમલંબ ચતુષ્કોણની બાજુઓની લંબાઈ $p, q, r, s$ છે,જ્યાં $p$ અને $r$ સમાંતર બાજુઓ છે $(p > r)$ અને $q, s$ એ અસમાંતર બાજુઓ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણના અસ્તિત્વ માટે શરત $|p - r| < q + s < p + r$ સંતોષાવી જોઈએ.
આપણે $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માંથી $4$ અલગ-અલગ લંબાઈ પસંદ કરવાની છે.
$p$ અને $r$ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{6}{2} = 15$ છે.
દરેક જોડી $(p, r)$ માટે,આપણે બાકીની $4$ સંખ્યાઓમાંથી $q$ અને $s$ એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી $|p - r| < q + s < p + r$ થાય.
તમામ સંયોજનો તપાસતા,આપણને જણાય છે કે $11$ એવા ચાર અલગ-અલગ બાજુઓની લંબાઈના સેટ છે જે સમલંબ ચતુષ્કોણ બનાવવા માટેની શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,આવા કુલ $11$ સમલંબ ચતુષ્કોણ બનાવી શકાય છે.

(D) ધારો કે $p(x) = 1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{34} = \frac{x^{36}-1}{x^2-1}$.
ધારો કે $q(x) = 1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{17} = \frac{x^{18}-1}{x-1}$.
તેથી,$\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{x^{18}+1}{x+1}$.
ભાગાકાર કરતા,ભાગફળ $x^{17}-x^{16}+x^{15}-x^{14}+\ldots-1$ મળે છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ ચરણના પ્રદેશ $R$ માં સમાયેલ સૌથી મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(r, r)$ પર હશે કારણ કે તે પ્રથમ ચરણમાં શક્ય તેટલું મોટું હોવા માટે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેને સ્પર્શતું હોવું જોઈએ.
આ વર્તુળ ડિસ્ક $x^2+y^2 \leq 1$ ની સીમાને પણ આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્રિત $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી નાના વર્તુળના કેન્દ્ર $(r, r)$ સુધીનું અંતર $\sqrt{r^2+r^2} = r\sqrt{2}$ છે.
આંતરિક સ્પર્શ માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના તફાવત જેટલું હોવું જોઈએ: $1 - r = r\sqrt{2}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $1 = r(1+\sqrt{2})$ મળે છે,તેથી $r = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$.
આ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi(\sqrt{2}-1)^2 = \pi(2 + 1 - 2\sqrt{2}) = \pi(3-2\sqrt{2})$ છે.

(C) ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\cos k^{\circ} \cos (k+1)^{\circ}}$.
$\sin 1^{\circ}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} \frac{\sin((k+1)^{\circ} - k^{\circ})}{\cos k^{\circ} \cos (k+1)^{\circ}}$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} (\tan (k+1)^{\circ} - \tan k^{\circ})$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\tan 1^{\circ} - \tan 0^{\circ}) + (\tan 2^{\circ} - \tan 1^{\circ}) + \dots + (\tan 45^{\circ} - \tan 44^{\circ})]$.
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\tan 45^{\circ} - \tan 0^{\circ}) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (1 - 0) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$.
$\sin 1^{\circ} \approx 0.01745$ હોવાથી,$S \approx \frac{1}{0.01745} \approx 57.299$.
$57.299$ નો પૂર્ણાંક ભાગ $57$ છે.

(C) ધારો કે આપેલ વિષમબાજુ ત્રિકોણ $T$ ના શિરોબિંદુઓ $P, Q, R$ છે. આપણે એવા બિંદુઓ $A$ ની સંખ્યા શોધવા માંગીએ છીએ જેથી $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ થાય,જેમાં શિરોબિંદુઓ આપેલ ક્રમમાં હોય.
નિશ્ચિત રેખાખંડ $BC$ અને નિશ્ચિત ત્રિકોણ $T$ (બાજુઓ $p, q, r$ સાથે) માટે,સમરૂપતા $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ સૂચવે છે કે બાજુઓનો ગુણોત્તર $AB/PQ = BC/QR = AC/PR$ નિશ્ચિત છે.
$\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ અને $\triangle PQR$ ના શિરોબિંદુઓના દરેક ક્રમિત સંગતતા માટે,બિંદુ $A$ માટે $2$ શક્ય સ્થાનો છે (રેખા $BC$ ની બંને બાજુએ એક-એક).
$\triangle PQR$ ના શિરોબિંદુઓને $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ સાથે જોડવા માટે $3! = 6$ શક્ય ક્રમચયો હોવાથી,અને દરેક જોડાણ માટે $A$ ના $2$ શક્ય સ્થાનો હોવાથી,બિંદુ $A$ ની કુલ સંખ્યા $6 \times 2 = 12$ થશે.

(B) અપૂર્ણાંક $\frac{1}{n}$ નું દશાંશ નિરૂપણ ત્યારે જ શાંત હોય જો છેદ $n$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^a \times 5^b$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $a, b \ge 0$ અને $a+b > 0$.
આપણે $n \in \{2, 3, \ldots, 200\}$ માટે $2^a \times 5^b$ સ્વરૂપના પૂર્ણાંકો શોધવાના છે.
શક્ય કિંમતો:
- $2^a$: $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$
- $5^b$: $5, 25, 125$
- $2^a \times 5^b$: $10, 20, 40, 80, 160, 50, 100, 200$
કુલ સંખ્યાઓ: $2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, 125, 128, 160, 200$.
આમ,કુલ $18$ કિંમતો મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $a+b+c=0$ અને $a^2+b^2+c^2=1$.
ધારો કે $S = (3a+5b-8c)^2+(-8a+3b+5c)^2+(5a-8b+3c)^2$.
દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(3a+5b-8c)^2 = 9a^2+25b^2+64c^2+30ab-48ac-80bc$
$(-8a+3b+5c)^2 = 64a^2+9b^2+25c^2-48ab-80ac+30bc$
$(5a-8b+3c)^2 = 25a^2+64b^2+9c^2-80ab+30ac-48bc$
આ પદોનો સરવાળો કરતા:
$S = 98a^2 + 98b^2 + 98c^2 - 98ab - 98ac - 98bc$
$S = 98(a^2+b^2+c^2) - 98(ab+bc+ca)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = 0$,તેથી $ab+bc+ca = -\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2) = -\frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$S = 98(1) - 98(-\frac{1}{2}) = 98 + 49 = 147$.

(A) ધારો કે $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $S$ છે. આપેલ છે કે $MN \parallel BC$,તેથી $\triangle ANM \sim \triangle ABC$. ધારો કે $AM/AC = k$. તો $\text{Area}(\triangle ANM) = k^2 S$.
$MP \parallel AB$ હોવાથી,$\triangle MPC \sim \triangle ABC$. ધારો કે $MC/AC = 1-k$. તો $\text{Area}(\triangle MPC) = (1-k)^2 S$.
ચતુષ્કોણ $BNMP$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
Area$(BNMP)$ = $S - \text{Area}(\triangle ANM) - \text{Area}(\triangle MPC) = 2k(1-k)S$.
આપેલ છે કે $2k(1-k)S = \frac{5}{18}S$,તેથી $36k^2 - 36k + 5 = 0$.
ઉકેલતા $k = 5/6$ અથવા $k = 1/6$.
$AM > MC$ હોવાથી,$k = 5/6$.
તેથી $AM/MC = (5/6) / (1/6) = 5$.

(D) આપેલ છે કે $\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_3} + \ldots + \frac{l_n}{l_1} = n$.
$AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{l_i}{l_{i+1}} \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} \frac{l_i}{l_{i+1}}} = 1$.
સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_2}{l_3} = \ldots = \frac{l_n}{l_1} = 1$,એટલે કે $l_1 = l_2 = \ldots = l_n$. તેથી વિધાન $I$ સાચું છે.
જો $P$ ચક્રીય હોય અને બધી બાજુઓ સમાન હોય,તો તે નિયમિત બહુકોણ બને છે,તેથી વિધાન $III$ સાચું છે.
વિધાન $II$ હંમેશા સાચું નથી કારણ કે સમાન બાજુઓ ધરાવતો બહુકોણ હંમેશા સમકોણીય હોતો નથી.

(D) વિધાન $I$ માટે: આપણે તપાસીએ કે $n^2+3 \equiv 0 \pmod{17}$.
આનો અર્થ એ છે કે $n^2 \equiv -3 \equiv 14 \pmod{17}$.
$17$ ના મોડ્યુલોમાં વર્ગ અવશેષો ${0, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16}$ છે.
$14$ એ આ ગણમાં નથી,તેથી $n^2+3$ ક્યારેય $17$ વડે વિભાજ્ય નથી. આમ,$I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે: આપણે તપાસીએ કે $n^2+4 \equiv 0 \pmod{17}$.
આનો અર્થ એ છે કે $n^2 \equiv -4 \equiv 13 \pmod{17}$.
$8^2 = 64 \equiv 13 \pmod{17}$ હોવાથી,$n=8$ માટે $n^2+4 = 68$ એ $17$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$II$ ખોટું છે.
તેથી,$I$ સાચું છે અને $II$ ખોટું છે.

(B) આપેલ છે $\text{HCF}(x, y) = 16$ અને $\text{LCM}(x, y) = 48000$.
ધારો કે $x = 16a$ અને $y = 16b$,જ્યાં $\text{HCF}(a, b) = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{LCM}(x, y) = \text{HCF}(x, y) \times a \times b$.
$48000 = 16 \times a \times b
\implies ab = \frac{48000}{16} = 3000$.
$3000$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $3^1 \times 2^3 \times 5^3$ છે.
$\text{HCF}(a, b) = 1$ હોવાથી,અવિભાજ્ય અવયવો $2^3, 3^1, 5^3$ ને $a$ અને $b$ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવા જોઈએ કે કોઈ પણ અવિભાજ્ય અવયવ બંનેમાં સામાન્ય ન હોય.
દરેક અવિભાજ્ય અવયવ $p^k$ માટે,આપણી પાસે બે વિકલ્પો છે: કાં તો તે $a$ નો અવયવ છે અથવા તે $b$ નો અવયવ છે.
અહીં $3$ અલગ-અલગ અવિભાજ્ય અવયવો $(2, 3, 5)$ છે.
દરેક અવિભાજ્ય અવયવ માટે $2$ વિકલ્પો છે.
કુલ જોડીઓની સંખ્યા $(a, b) = 2^3 = 8$.
દરેક જોડી $(a, b)$ એ એક અનન્ય જોડી $(x, y)$ ને અનુરૂપ હોવાથી,$S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $8$ છે.

(D) ધારો કે $n$ એ $10a + b$ તરીકે દર્શાવેલ સંખ્યા છે,જ્યાં $b \in \{1, 2, \dots, 9\}$ એ એકમનો અંક છે અને $a$ એ એકમનો અંક દૂર કરીને બનતી સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $a$ એ $n$ ને ભાગે છે,તેથી $a | (10a + b)$.
આનો અર્થ એ છે કે $a | b$.
$b$ એ શૂન્યતર અંક હોવાથી,$b \in \{1, 2, \dots, 9\}$.
આપેલ $b$ માટે,$a$ એ $b$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
જો $a$ એ $k$-અંકની સંખ્યા હોય,તો $10^{k-1} \leq a < 10^k$.
$k=1$ માટે,$a \in \{1, 2, \dots, 9\}$. $a|b$ થાય તેવી જોડીઓ $(a, b)$ નીચે મુજબ છે:
$b=1: a=1 \implies n=11$
$b=2: a=1, 2 \implies n=12, 22$
$b=3: a=1, 3 \implies n=13, 33$
$b=4: a=1, 2, 4 \implies n=14, 24, 44$
$b=5: a=1, 5 \implies n=15, 55$
$b=6: a=1, 2, 3, 6 \implies n=16, 26, 36, 66$
$b=7: a=1, 7 \implies n=17, 77$
$b=8: a=1, 2, 4, 8 \implies n=18, 28, 48, 88$
$b=9: a=1, 3, 9 \implies n=19, 39, 99$
આ ગણતરી કરતા,આપણને $1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 + 4 + 3 = 23$ સંખ્યાઓ મળે છે.
$k \geq 2$ માટે,$a \geq 10$,તેથી $a$ એ $b$ ને ભાગી શકે નહીં કારણ કે $a > b$. આમ,$k \geq 2$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,$K = 23$,જે $K < 25$ નું પાલન કરે છે.

(C) જાન્યુઆરી $1$ થી માર્ચ $31$ સુધીનો સમયગાળો સામાન્ય વર્ષમાં $31$ (જાન્યુઆરી) $+ 28$ (ફેબ્રુઆરી) $+ 31$ (માર્ચ) $= 90$ દિવસનો હોય છે,અથવા લિપ વર્ષમાં $31 + 29 + 31 = 91$ દિવસનો હોય છે.
જો તે લિપ વર્ષ હોય,તો કુલ $91$ દિવસ થાય,જે બરાબર $13$ અઠવાડિયા છે. આનો અર્થ એ થાય કે $13$ રવિવાર આવે,જે આપેલી માહિતી (બરાબર $12$ રવિવાર) સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
તેથી,તે સામાન્ય વર્ષ હોવું જોઈએ જેમાં $90$ દિવસ હોય. $90 = 12 \times 7 + 6$ હોવાથી,$12$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $6$ વધારાના દિવસો મળે.
બરાબર $12$ રવિવાર મેળવવા માટે,$6$ વધારાના દિવસોમાં રવિવાર ન આવવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે સમયગાળો સોમવારથી શરૂ થઈને શનિવારે પૂરો થવો જોઈએ.
જો જાન્યુઆરી $1$ સોમવાર હોય,તો ફેબ્રુઆરી $15$ એ ગુરુવાર આવશે.

(D) ધારો કે ત્રણ અંકની સંખ્યા $N = 100x + 10y + z$ છે.
ગુણધર્મ $I$ પરથી: $(100x + 10z + y) - (100x + 10y + z) = 36$
$\Rightarrow 9z - 9y = 36$ $\Rightarrow z - y = 4$ (સમીકરણ $1$)
ગુણધર્મ $II$ પરથી: $(100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 198$
$\Rightarrow 99x - 99z = 198$ $\Rightarrow x - z = 2$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $(x - z) + (z - y) = 2 + 4 \Rightarrow x - y = 6$.
હવે,જ્યારે દશક અને સોના સ્થાનના અંકોની અદલાબદલી થાય ત્યારે થતો ફેરફાર શોધીએ:
નવી સંખ્યા $N' = 100y + 10x + z$.
ફેરફાર $= N - N' = (100x + 10y + z) - (100y + 10x + z) = 90x - 90y = 90(x - y)$.
$x - y = 6$ મૂકતા: ફેરફાર $= 90 \times 6 = 540$.
આમ,સંખ્યા $540$ જેટલી ઘટે છે.

(C) $a, b, c$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$.
બધા ત્રિકોણો માટે બે બાજુઓ $5$ અને $12$ નિશ્ચિત છે. ત્રીજી બાજુ $x$ લો. તો $s = \frac{17+x}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $A(x) = \frac{1}{4} \sqrt{(17^2 - x^2)(x^2 - 7^2)}$.
$u = x^2$ લેતા,$f(u) = -u^2 + 338u - 14161$ મળે છે,જેનું મહત્તમ મૂલ્ય $u = 169$ એટલે કે $x = 13$ પર મળે છે.
તેથી,$(5, 12, 13)$ બાજુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે.

(B) ધારો કે શરૂઆતમાં છોકરાઓની સંખ્યા $x$ અને છોકરીઓની સંખ્યા $y$ છે.
$1/5$ છોકરાઓ ગયા પછી,બાકી રહેલા છોકરાઓ $4x/5$ છે.
ગુણોત્તર $4x/5 : y = 2:3$ છે,તેથી $y = 1.2x$.
$44$ છોકરીઓ ગયા પછી,છોકરીઓની સંખ્યા $y - 44$ થાય છે.
નવો ગુણોત્તર $(4x/5) / (y - 44) = 5/2$ છે.
ઉકેલતા $x=50$ અને $y=60$ મળે છે.
બાકી રહેલા છોકરાઓ $40$ અને છોકરીઓ $60-44=16$ છે.
સમાન કરવા માટે $40-z=16$,તેથી $z=24$.

(D) $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત $n$ બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_n = \frac{n}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ છે.
પંચકોણ $(n=5)$ માટે,$X = \frac{5}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$.
ષટ્કોણ $(n=6)$ માટે,$Y = \frac{6}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)$.
સપ્તકોણ $(n=7)$ માટે,$Z = \frac{7}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$.
$n$ વડે ભાગતા,$\frac{X}{5} = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$,$\frac{Y}{6} = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)$,અને $\frac{Z}{7} = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$ મળે.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ અંતર્ગત બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ વર્તુળના ક્ષેત્રફળ $(\pi)$ ની નજીક જાય છે,તેથી $X < Y < Z$ થાય.
વળી,$\frac{2\pi}{5} > \frac{2\pi}{6} > \frac{2\pi}{7}$ હોવાથી,$\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) > \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) > \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$ થાય.
તેથી,$\frac{X}{5} > \frac{Y}{6} > \frac{Z}{7}$.

(C) આપેલ અસમતા: $\binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{6} < \binom{n}{7}$.
પાસ્કલના નિત્યસમ $\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r} = \binom{n+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{6} = \binom{n}{6}$.
તેથી,$\binom{n}{6} < \binom{n}{7}$.
સૂત્ર મુજબ: $\frac{n!}{6!(n-6)!} < \frac{n!}{7!(n-7)!}$.
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{n-6} < \frac{1}{7}$.
તેથી,$n-6 > 7$,જેનો અર્થ છે $n > 13$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક કિંમત $14$ છે.

(A) ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $B$ છે અને છોકરીઓની સંખ્યા $G$ છે.
છોકરાઓના કુલ ગુણ $= Bx$.
છોકરીઓના કુલ ગુણ $= Gy$.
કુલ વિદ્યાર્થીઓ $= B + G$.
આપેલ છે કે બધા વિદ્યાર્થીઓના સરેરાશ ગુણ $z$ છે,તેથી:
$\frac{Bx + Gy}{B + G} = z$
$Bx + Gy = z(B + G)$
$B(x - z) = G(z - y)$
$\frac{G}{B} = \frac{x - z}{z - y} = \frac{z - x}{y - z}$
આપણે છોકરીઓની સંખ્યાનો કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર શોધવો છે,જે $\frac{G}{B + G}$ છે.
$\frac{G}{B + G} = \frac{1}{\frac{B}{G} + 1} = \frac{1}{\frac{z - x}{y - z} + 1} = \frac{z - x}{y - x}$.

(D) આપેલ છે કે,$f(x) = \frac{16x^2 - 96x + 153}{x - 3}$.
ધારો કે $f(x) = y$.
તેથી,$y = \frac{16x^2 - 96x + 153}{x - 3}$.
$y(x - 3) = 16x^2 - 96x + 153$.
$16x^2 - (96 + y)x + (153 + 3y) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$ થાય.
$D = (96 + y)^2 - 4(16)(153 + 3y) \geq 0$.
$9216 + 192y + y^2 - 64(153 + 3y) \geq 0$.
$9216 + 192y + y^2 - 9792 - 192y \geq 0$.
$y^2 - 576 \geq 0$.
$y^2 \geq 576$.
આથી $y \in (-\infty, -24] \cup [24, \infty)$.
તેથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ ધન કિંમત $24$ છે.

(D) ધારો કે બે પાસા પરના અંકો $x_1$ અને $x_2$ છે,જ્યાં $1 \le x_1, x_2 \le 12$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 12 \times 12 = 144$ છે.
આપણે સરવાળો $S = x_1 + x_2$ એવો જોઈએ છે કે જેથી $S \equiv 2 \pmod{9}$ થાય.
$2 \le S \le 24$ હોવાથી,$S$ ની શક્ય કિંમતો $2, 11, 20$ છે.
કિસ્સો $I$: $S = 2$. માત્ર એક જ પરિણામ $(1, 1)$ મળે. પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
કિસ્સો $II$: $S = 11$. પરિણામો $(1, 10), (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2), (10, 1)$ છે. પરિણામોની સંખ્યા $= 10$.
કિસ્સો $III$: $S = 20$. પરિણામો $(8, 12), (9, 11), (10, 10), (11, 9), (12, 8)$ છે. પરિણામોની સંખ્યા $= 5$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 10 + 5 = 16$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{16}{144} = \frac{1}{9}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2017 & 2 \\ 1 & 2017 & 4 \\ 1 & 2018 & 8 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A^{-1}|$ ની ગણતરી કરીએ.
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$|A^{-1}| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2017 & 4 \\ 1 & 2018 & 8 \end{vmatrix}$.
$R_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$|A^{-1}| = -2(2018 - 2017) = -2(1) = -2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|A| = \frac{1}{|A^{-1}|} = \frac{1}{-2} = -0.5$.
$n=3$ કક્ષાના શ્રેણિક $A$ માટે,$|kA| = k^n |A|$.
તેથી,$|2A| = 2^3 |A| = 8|A| = 8 \times (-0.5) = -4$.
તે જ રીતે,$|2A^{-1}| = 2^3 |A^{-1}| = 8|A^{-1}| = 8 \times (-2) = -16$.
તેથી,$|2A| - |2A^{-1}| = -4 - (-16) = -4 + 16 = 12$.

(C) આપણને $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$ આપેલ છે.
સરવાળાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$.
સંકલન અભિસારી હોવાથી,આપણે સરવાળા અને સંકલનને અદલાબદલી કરી શકીએ છીએ:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \int_0^1 e^{-y} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} \right) \, dy$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^y$ માટે ટેલર શ્રેણી $e^y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!}$ છે.
તેથી,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = e^y - 1$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \int_0^1 e^{-y} (e^y - 1) \, dy = \int_0^1 (1 - e^{-y}) \, dy$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$= [y - (-e^{-y})]_0^1 = [y + e^{-y}]_0^1$.
$= (1 + e^{-1}) - (0 + e^0) = 1 + \frac{1}{e} - 1 = \frac{1}{e}$.

(A) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે. ગોળો બે લંબ દિવાલો અને જમીનને સ્પર્શતો હોવાથી,આપણે યામ પદ્ધતિ નક્કી કરી શકીએ જ્યાં દિવાલો અને જમીન યામ સમતલ $x=0, y=0, z=0$ છે. ગોળાનું કેન્દ્ર $(r, r, r)$ છે.
ગોળાનું સમીકરણ $(x-r)^2 + (y-r)^2 + (z-r)^2 = r^2$ છે.
ગોળા પરનું એક બિંદુ દિવાલો અને જમીનથી $9, 16, 25$ ના અંતરે આપેલું છે,તેથી આ બિંદુના યામ $(9, 16, 25)$ છે.
આ બિંદુને ગોળાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(9-r)^2 + (16-r)^2 + (25-r)^2 = r^2$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(81 - 18r + r^2) + (256 - 32r + r^2) + (625 - 50r + r^2) = r^2$
$3r^2 - 100r + 962 = r^2$
$2r^2 - 100r + 962 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$r^2 - 50r + 481 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(r-13)(r-37) = 0$
આમ,$r = 13$ અથવા $r = 37$.
તેથી સંભવિત ત્રિજ્યા $13$ છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ અને નાભિલંબ $x = a$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશ $T$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area}(T) = 2 \int_0^a \sqrt{4ax} \, dx = 4\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{a} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^a = \frac{8}{3} a^2$.
ધારો કે $R$ ના યામ $(x, y)$ છે,જ્યાં $y = \sqrt{4ax}$. લંબચોરસ $PQRS$ માટે પહોળાઈ $(a - x)$ અને ઊંચાઈ $2y$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = 2y(a - x) = 4\sqrt{a}(ax^{1/2} - x^{3/2})$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dx} = 4\sqrt{a} \left( \frac{a}{2\sqrt{x}} - \frac{3}{2}\sqrt{x} \right) = 0 \implies a = 3x \implies x = \frac{a}{3}$.
તેથી $y = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
લંબચોરસનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 2 \left( \frac{2a}{\sqrt{3}} \right) \left( a - \frac{a}{3} \right) = \frac{8a^2}{3\sqrt{3}}$.
ગુણોત્તર $\frac{\text{area}(PQRS)}{\text{area}(T)} = \frac{8a^2 / 3\sqrt{3}}{8a^2 / 3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ વક્રો $y=\frac{1}{4}|4-x^2|$ અને $y=7-|x|$ છે. બંને વક્રો $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{4} (y_{upper} - y_{lower}) dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x \in [0, 4]$ માટે,$y_{upper} = 7-x$ અને $y_{lower} = \frac{1}{4}|4-x^2|$ છે.
તેથી,$A = 2 \int_{0}^{4} (7-x - \frac{1}{4}|4-x^2|) dx = 2 \left[ \int_{0}^{4} (7-x) dx - \frac{1}{4} \int_{0}^{4} |4-x^2| dx \right]$.
પ્રથમ સંકલન ગણતા: $\int_{0}^{4} (7-x) dx = [7x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{4} = 28 - 8 = 20$.
બીજું સંકલન ગણતા: $\int_{0}^{4} |4-x^2| dx = \int_{0}^{2} (4-x^2) dx + \int_{2}^{4} (x^2-4) dx$.
$= [4x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} + [\frac{x^3}{3} - 4x]_{2}^{4} = (8 - \frac{8}{3}) + ((\frac{64}{3} - 16) - (\frac{8}{3} - 8)) = \frac{16}{3} + (\frac{16}{3} - (-\frac{16}{3})) = \frac{16}{3} + \frac{32}{3} = \frac{48}{3} = 16$.
આ કિંમતોને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = 2 [20 - \frac{1}{4}(16)] = 2 [20 - 4] = 2 [16] = 32$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $32$ ચોરસ એકમ છે.

(B) ધારો કે ધાતુની તકતીની ત્રિજ્યા $R$ છે. જ્યારે એક વૃત્તાંશ દૂર કરવામાં આવે અને બાકીના ભાગને વાળીને શંકુ બનાવવામાં આવે,ત્યારે તકતીની ત્રિજ્યા $R$ એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ બને છે.
ધારો કે શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $x$ છે અને તેની ઊંચાઈ $h$ છે.
આપણને સંબંધ મળે છે $R^2 = x^2 + h^2$,જ્યાં $R = l$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi x^2 h = 2 \sqrt{3} \pi$ આપેલું છે.
તેથી,$x^2 h = 6 \sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{h}$.
આ કિંમતને $R^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$R^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{h} + h^2$.
લઘુત્તમ વ્યાસ શોધવા માટે,આપણે $h$ ની સાપેક્ષમાં $R^2$ નું ન્યૂનતમીકરણ કરીએ:
$\frac{d(R^2)}{dh} = -\frac{6 \sqrt{3}}{h^2} + 2h$.
$\frac{d(R^2)}{dh} = 0$ લેતા,આપણને $2h = \frac{6 \sqrt{3}}{h^2}$ મળે,તેથી $h^3 = 3 \sqrt{3}$.
આનાથી $h = \sqrt{3}$ મળે છે.
ત્યારબાદ $x^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$.
તેથી,$R^2 = 6 + (\sqrt{3})^2 = 6 + 3 = 9$,એટલે કે $R = 3$.
તકતીનો વ્યાસ $2R = 2 \times 3 = 6$ થાય.

(C) આપણને આપેલ છે કે $g(x) = \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt$.
અહીં સંકલ્ય $f(t) = t^{2/3} \sin \frac{1}{t}$ એ $t=0$ ની નજીક સીમિત છે (કારણ કે $|\sin(1/t)| \leq 1$,તેથી $|f(t)| \leq t^{2/3}$),તેથી સંકલન અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આપણે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}$ ની કિંમત શોધવી છે.
$g(0) = 0$ હોવાથી,આ $0/0$ સ્વરૂપ છે.
સ્ક્વીઝ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$|g(x)| = \left| \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt \right| \leq \int_0^{|x|^{3/4}} |t^{2/3} \sin \frac{1}{t}| \, dt \leq \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \, dt$.
સંકલન કરતા: $\int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \, dt = \left[ \frac{t^{5/3}}{5/3} \right]_0^{|x|^{3/4}} = \frac{3}{5} (|x|^{3/4})^{5/3} = \frac{3}{5} |x|^{5/4}$.
તેથી,$\left| \frac{g(x)}{x} \right| \leq \frac{\frac{3}{5} |x|^{5/4}}{|x|} = \frac{3}{5} |x|^{1/4}$.
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $\frac{3}{5} |x|^{1/4} \rightarrow 0$.
તેથી,સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x} = 0$.

(D) રીમેન-લેબેગ્યુ લેમ્મા (Riemann-Lebesgue Lemma) મુજબ,જો $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સંકલનીય વિધેય હોય,તો $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos(nx) \, dx = 0$ થાય.
અહીં,$f(x) = |x-1|$ એ $[-\pi, \pi]$ અંતરાલ પર સતત અને તેથી સંકલનીય વિધેય છે.
જેহেতু $f(x) = |x-1|$ સંકલનીય છે,તેથી સંકલન $a_n = \int_{-\pi}^{\pi} |x-1| \cos(nx) \, dx$ એ વિધેય $f(x)$ ના ફુરિયર કોસાઇન સહગુણક (અચળ અવયવ સુધી) ને દર્શાવે છે.
રીમેન-લેબેગ્યુ લેમ્મા મુજબ,જેમ $n \rightarrow \infty$ થાય,તેમ વિધેયનો $\cos(nx)$ સાથેનો ગુણાકારનું સંકલન $0$ ને અનુલક્ષે છે.
તેથી,$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$.

(B) $4$ અલગ દડાઓને $4$ અલગ બોક્સમાં મૂકવાની કુલ રીતો $4^4 = 256$ છે.
બરાબર એક બોક્સ ખાલી રહે તે માટે,$4$ દડાઓ $3$ બોક્સમાં હોવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે એક બોક્સમાં $2$ દડા અને બાકીના બે બોક્સમાં $1-1$ દડો હશે.
ખાલી બોક્સ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{4}{1} = 4$ છે.
બાકીના $3$ બોક્સમાંથી $2$ દડાવાળું બોક્સ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{3}{1} = 3$ છે.
$4$ દડાઓને આ $3$ બોક્સમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતો કે જેમાં એકમાં $2$ દડા અને બેમાં $1-1$ દડો હોય,તે $\frac{4!}{2!1!1!} = \frac{24}{2} = 12$ છે.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $4 \times 3 \times 12 = 144$.
સંભાવના = $\frac{144}{256} = \frac{9}{16}$.

(A) મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,કોઈપણ $x \neq y$ માટે,$x$ અને $y$ ની વચ્ચે એક એવું $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\frac{f(x) - f(y)}{x - y} = f'(c)$ થાય.
આપેલ છે કે $f(x) = \log(1 + x^2)$,તેથી તેનું વિકલન $f'(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$ મળે.
$f'(x)$ નો વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે $g(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
$g'(x) = \frac{2(1 + x^2) - 2x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = 0$ લેતા,આપણને $x = \pm 1$ મળે છે.
$f'(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $f'(1) = \frac{2(1)}{1 + 1^2} = 1$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $f'(-1) = \frac{2(-1)}{1 + (-1)^2} = -1$ છે.
આમ,તમામ $c \in \mathbb{R}$ માટે $|f'(c)| \leq 1$ થાય છે.
તેથી,$\frac{|f(x) - f(y)|}{|x - y|} = |f'(c)| \leq 1$ હોવાથી,$A$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $1$ છે.

(A) સંબંધ $aRb \iff a \mid b^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $a, b \in \mathbb{N}$.
$I.$ સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in \mathbb{N}$ માટે,$a^2$ એ હંમેશા $a$ વડે વિભાજ્ય છે (કારણ કે $a^2/a = a \in \mathbb{N}$). તેથી,દરેક $a \in \mathbb{N}$ માટે $(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$II.$ સંમિતતા: $R$ સંમિત હોય તે માટે $aRb \implies bRa$ હોવું જોઈએ. ધારો કે $a=2$ અને $b=6$. અહીં $2 \mid 6^2$ $(2 \mid 36)$ સત્ય છે,તેથી $(2, 6) \in R$. પરંતુ $6 \mid 2^2$ $(6 \mid 4)$ અસત્ય છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$III.$ પરંપરિતતા: $R$ પરંપરિત હોય તે માટે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. ધારો કે $a=8, b=4, c=2$.
$(8, 4) \in R$ કારણ કે $8 \mid 4^2$ $(8 \mid 16)$.
$(4, 2) \in R$ કારણ કે $4 \mid 2^2$ $(4 \mid 4)$.
$(8, 2)$ માટે તપાસો: $8 \mid 2^2$ $(8 \mid 4)$ અસત્ય છે. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,માત્ર $I$ સાચું છે.

(B) આપેલ પરવલય $y^2=4x+1$ અને વર્તુળ $x^2+y^2=1$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y^2=4x+1$ ને $x^2+y^2=1$ માં મૂકતા:
$x^2 + (4x+1) = 1 \Rightarrow x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x+4) = 0$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -1/4$ પર હોવાથી,છેદબિંદુ $x=0$ (જ્યાં $y = \pm 1$) મળે છે.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ નીચે મુજબ છે:
$A_1 = 2 \left( \int_{-1/4}^{0} \sqrt{4x+1} \, dx + \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx \right)$
સંકલન ગણતા:
$2 \int_{-1/4}^{0} (4x+1)^{1/2} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} (4x+1)^{3/2} \right]_{-1/4}^{0} = \frac{1}{3} [1 - 0] = \frac{1}{3}$.
$2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x) \right]_{0}^{1} = 2 \left[ 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$A_1 = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}$.
વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $\pi$ છે. તેથી,$A_2 = \pi - A_1 = \pi - (\frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$.
અંતે,$|A_1 - A_2| = |(\frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}) - (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{3})| = |\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$.

(D) ધારો કે $p = \frac{1}{4}$ એ લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવના છે અને $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ એ લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના છે.
શૂટર બરાબર $6$ ગોળીઓ ચલાવે અને $3$ વખત લક્ષ્યને વીંધે તે માટે,$6^{th}$ ગોળી એ $3^{rd}$ સફળ હિટ હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ $5$ શોટમાં,શૂટરે બરાબર $2$ વખત લક્ષ્યને વીંધ્યું હોવું જોઈએ અને $3$ વખત ચૂકી જવું જોઈએ.
આ ઘટનાની સંભાવના નેગેટિવ બાયનોમિયલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશનના તર્ક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \binom{5}{2} p^2 q^3 \times p = \binom{5}{2} p^3 q^3$.
કિંમતો મૂકતા:
$P = 10 \times \left(\frac{1}{4}\right)^3 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{64} \times \frac{27}{64} = \frac{270}{4096}$.
દશાંશ મૂલ્યની ગણતરી કરતા:
$P = \frac{270}{4096} \approx 0.0659179$.
આ મૂલ્ય $(0.0658, 0.0660)$ અંતરાલમાં આવે છે.

(A) ઘટના $E_1$ માટે,છ સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે. કોઈ પણ પાસો છ ન દર્શાવે તેની સંભાવના $(\frac{5}{6})^6$ છે. તેથી,$p_1 = 1 - (\frac{5}{6})^6 = 1 - 0.3349 = 0.6651$.
ઘટના $E_2$ માટે,બાર સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે. ધારો કે $X$ એ છ દર્શાવતા પાસાઓની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n=12, p=\frac{1}{6})$ ને અનુસરે છે.
$p_2 = P(X \geq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$.
$P(X=0) = (\frac{5}{6})^{12} \approx 0.1122$.
$P(X=1) = \binom{12}{1} (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^{11} = 12 \times \frac{1}{6} \times 0.1346 \approx 0.2692$.
$p_2 = 1 - (0.1122 + 0.2692) = 1 - 0.3814 = 0.6186$.
આમ $0.6651 > 0.6186$ હોવાથી,$p_1 > p_2$ મળે છે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણ સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$ax + y = 0$ $(i)$
$x + (a + 10)y = 0$ $(ii)$
સમઘાત સુરેખ સમીકરણ સંહતિને ઓછામાં ઓછા બે ભિન્ન ઉકેલો (એટલે કે શૂન્યેતર ઉકેલો) મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 1 & a + 10 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$|A| = a(a + 10) - (1)(1) = 0$
$a^2 + 10a - 1 = 0$
આ $a$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. તેના બીજ દ્વિઘાત સૂત્ર $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ દ્વારા મળે છે:
$a = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$a = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 4}}{2}$
$a = \frac{-10 \pm \sqrt{104}}{2}$
અહીં વિવેચક $D = 104 > 0$ હોવાથી,$a$ ની $2$ ભિન્ન વાસ્તવિક કિંમતો મળે છે જેના માટે સંહતિને અનંત ઉકેલો મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{\{x\}}{1+[x]^2}$.
$I.$ કોઈપણ $x \in R$ માટે,ધારો કે $n = [x]$,તો $x = n + \{x\}$ જ્યાં $0 \le \{x\} < 1$. તેથી $f(x) = \frac{\{x\}}{1+n^2}$. કારણ કે $0 \le \{x\} < 1$ અને $1+n^2 \ge 1$,તેથી વિસ્તાર $[0, 1)$ છે. આ સંવૃત અંતરાલ નથી. તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
$II.$ $x = n$ (પૂર્ણાંક) પર,$\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} \frac{x-[x]}{1+[x]^2} = \frac{n-(n-1)}{1+(n-1)^2} = \frac{1}{1+(n-1)^2}$,જ્યારે $f(n) = \frac{n-n}{1+n^2} = 0$. લક્ષનું મૂલ્ય પૂર્ણાંકો પર વિધેયના મૂલ્ય જેટલું ન હોવાથી,$f$ તમામ પૂર્ણાંકો પર અસતત છે. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
$III.$ નોંધો કે $f(0) = \frac{0}{1+0^2} = 0$ અને $f(1) = \frac{1-1}{1+1^2} = 0$. $f(0) = f(1)$ છે પરંતુ $0 \neq 1$,તેથી $f$ એક-એક વિધેય નથી. તેથી,વિધાન $III$ ખોટું છે.
આમ,આપેલ વિધાનોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(B) જ્યારે એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને $5$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^5 = 32$ છે.
આપણે $5$ લંબાઈની એવી શ્રેણીઓ શોધવાની છે જેમાં $H$ (છાપ) અને $T$ (કાંટો) હોય અને કોઈ પણ બે $H$ સતત ન આવે.
ધારો કે $a_n$ એ $n$ લંબાઈની આવી શ્રેણીઓની સંખ્યા છે.
જો શ્રેણી $T$ પર સમાપ્ત થાય,તો અગાઉના $n-1$ સ્થાનો $n-1$ લંબાઈની કોઈપણ માન્ય શ્રેણી હોઈ શકે છે,જે $a_{n-1}$ છે.
જો શ્રેણી $H$ પર સમાપ્ત થાય,તો અગાઉનું સ્થાન $T$ હોવું જોઈએ,અને તેના પહેલાના $n-2$ સ્થાનો $n-2$ લંબાઈની કોઈપણ માન્ય શ્રેણી હોઈ શકે છે,જે $a_{n-2}$ છે.
આમ,$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$.
$n=1$ માટે: $H, T$ (બંને માન્ય),તેથી $a_1 = 2$.
$n=2$ માટે: $HT, TH, TT$ (બધા માન્ય,$HH$ અમાન્ય છે),તેથી $a_2 = 3$.
$n=3$ માટે: $a_3 = a_2 + a_1 = 3 + 2 = 5$.
$n=4$ માટે: $a_4 = a_3 + a_2 = 5 + 3 = 8$.
$n=5$ માટે: $a_5 = a_4 + a_3 = 8 + 5 = 13$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $13$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{13}{2^5}$ છે.

(C) આપણને $f(x) = \max \left\{3, x^2, \frac{1}{x^2}\right\}$ એ $x \in \left[\frac{1}{2}, 2\right]$ માટે આપેલ છે.
સંકલન શોધવા માટે,આપણે તે અંતરાલો નક્કી કરીએ છીએ જ્યાં દરેક વિધેય મહત્તમ હોય છે:
$1$. $x \in \left[\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right]$ માટે,$\frac{1}{x^2} \geq 3$ અને $\frac{1}{x^2} \geq x^2$ છે,તેથી $f(x) = \frac{1}{x^2}$.
$2$. $x \in \left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$ માટે,$3 \geq x^2$ અને $3 \geq \frac{1}{x^2}$ છે,તેથી $f(x) = 3$.
$3$. $x \in \left[\sqrt{3}, 2\right]$ માટે,$x^2 \geq 3$ અને $x^2 \geq \frac{1}{x^2}$ છે,તેથી $f(x) = x^2$.
આમ,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int_{1/2}^2 f(x) dx = \int_{1/2}^{1/\sqrt{3}} \frac{1}{x^2} dx + \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} 3 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 x^2 dx$
$= \left[-\frac{1}{x}\right]_{1/2}^{1/\sqrt{3}} + [3x]_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} + \left[\frac{x^3}{3}\right]_{\sqrt{3}}^2$
$= (-\sqrt{3} - (-2)) + (3\sqrt{3} - \sqrt{3}) + \left(\frac{8}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3}\right)$
$= 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} + \frac{8}{3} - \sqrt{3} = 2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}$.

(A) ધારો કે $r$ એ સામાન્ય ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ નળાકારની ઊંચાઈ છે.
નક્કર પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ $S$ એ અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(2\pi r^2)$,નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(2\pi rh)$ અને નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ $(\pi r^2)$ નો સરવાળો છે.
$S = 2\pi r^2 + 2\pi rh + \pi r^2 = 3\pi r^2 + 2\pi rh$
આના પરથી,આપણે $h$ ને $S$ અને $r$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:
$h = \frac{S - 3\pi r^2}{2\pi r}$
નક્કર પદાર્થનું ઘનફળ $V$ એ અર્ધગોલકનું ઘનફળ $(\frac{2}{3}\pi r^3)$ અને નળાકારનું ઘનફળ $(\pi r^2 h)$ નો સરવાળો છે:
$V = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$
$h$ માટેનું પદ મૂકતા:
$V = \pi r^2 \left( \frac{S - 3\pi r^2}{2\pi r} \right) + \frac{2}{3}\pi r^3$
$V = \frac{1}{2} (Sr - 3\pi r^3) + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{2} Sr - \frac{3}{2}\pi r^3 + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{2} Sr - \frac{5}{6}\pi r^3$
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,$V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો અને તેને $0$ ની બરાબર લો:
$\frac{dV}{dr} = \frac{S}{2} - \frac{5}{2}\pi r^2 = 0$
$S = 5\pi r^2$
હવે,$S = 5\pi r^2$ ને $h$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$h = \frac{5\pi r^2 - 3\pi r^2}{2\pi r} = \frac{2\pi r^2}{2\pi r} = r$
આમ,નળાકારની ઊંચાઈ અને સામાન્ય ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $h:r = 1:1$ છે.

(C) ધારો કે $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ છે.
ધારો કે $\triangle ABC$ નું પરિકેન્દ્ર $O$ એ ઉગમબિંદુ છે,તેથી $\vec{O} = \vec{0}$.
લંબકેન્દ્ર $H$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{H} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચૂક્યું કે $N$ એ $OH$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{n} = \frac{\vec{O} + \vec{H}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2}$ છે.
આપણે સરવાળો $\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC}$ શોધવાનો છે.
આ $(\vec{a} - \vec{n}) + (\vec{b} - \vec{n}) + (\vec{c} - \vec{n})$ ની બરાબર છે.
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{n}$.
$\vec{n} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3 \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2} \right)$.
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \left( 1 - \frac{3}{2} \right) = -\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.
કારણ કે $\vec{H} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$,આ $-\frac{1}{2} \vec{H} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{OH} = \frac{1}{2} \overrightarrow{HO}$ ની બરાબર છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sqrt{|x|} - \log(1 + |x|)$.
$f(x)$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,આપણે $t \geq 0$ માટે $g(t) = \sqrt{t} - \log(1 + t)$ ધ્યાનમાં લઈએ,જ્યાં $t = |x|$.
$g(t)$ ના વર્તનને તપાસવા માટે,આપણે તેનું વિકલન મેળવીએ:
$g'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} - \frac{1}{1 + t} = \frac{1 + t - 2\sqrt{t}}{2\sqrt{t}(1 + t)} = \frac{(\sqrt{t} - 1)^2}{2\sqrt{t}(1 + t)}$.
તમામ $t > 0$ $(t \neq 1)$ માટે $g'(t) > 0$ હોવાથી,વિધેય $g(t)$ એ $t \geq 0$ માટે ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
જેમ $t \to \infty$,તેમ $g(t) = \sqrt{t}(1 - \frac{\log(1 + t)}{\sqrt{t}}) \to \infty$. તેથી,$f(x)$ ઉપરની તરફ સીમિત નથી,એટલે કે વિધાન $I$ ખોટું છે.
$t = 0$ આગળ,$g(0) = 0$. $g(t)$ એ $t \geq 0$ માટે વધતું હોવાથી,$g(t)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $g(0) = 0$ છે. આમ,તમામ $x$ માટે $f(x) \geq 0$ થાય છે. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.
આમ,$I$ ખોટું છે અને $II$ સાચું છે.

(D) આપેલ છે $g(x) = \int_{-3}^3 f(x-y) f(y) \, dy$ અને $f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \leq t \leq 1 \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$.
$f(y) = 1$ ફક્ત $0 \leq y \leq 1$ માટે હોવાથી,સંકલન $g(x) = \int_0^1 f(x-y) \, dy$ માં ફેરવાય છે.
ધારો કે $t = x-y$,તો $dt = -dy$. જ્યારે $y=0, t=x$; જ્યારે $y=1, t=x-1$.
તેથી,$g(x) = \int_{x-1}^x f(t) \, dt$.
$f(t)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ આ સંકલનનું મૂલ્ય:
જો $x < 0$,તો અંતરાલ $[x-1, x]$ એ $[0, 1]$ ની બહાર છે,તેથી $g(x) = 0$.
જો $0 \leq x < 1$,તો અંતરાલ $[x-1, x]$ એ $[0, 1]$ સાથે $[0, x]$ પર ઓવરલેપ થાય છે,તેથી $g(x) = \int_0^x 1 \, dt = x$.
જો $1 \leq x < 2$,તો અંતરાલ $[x-1, x]$ એ $[0, 1]$ સાથે $[x-1, 1]$ પર ઓવરલેપ થાય છે,તેથી $g(x) = \int_{x-1}^1 1 \, dt = 1 - (x-1) = 2-x$.
જો $x \geq 2$,તો અંતરાલ $[x-1, x]$ એ $[0, 1]$ ની બહાર છે,તેથી $g(x) = 0$.
આમ,$g(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ x, & 0 < x < 1 \\ 2-x, & 1 \leq x < 2 \\ 0, & x \geq 2 \end{cases}$.
$g(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે. વિકલન $g'(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & 0 < x < 1 \\ -1, & 1 < x < 2 \\ 0, & x > 2 \end{cases}$.
$g(x)$ એ $x=0, 1, 2$ પર વિકલનીય નથી કારણ કે આ બિંદુઓ પર ડાબી અને જમણી બાજુના વિકલન સમાન નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx - \int_0^1 x f(x) dx + \frac{1}{3} = 0$
$4$ વડે ગુણતા: $\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \frac{4}{3} = 0$
$\int_0^1 (2x)^2 dx = \int_0^1 4x^2 dx = [\frac{4x^3}{3}]_0^1 = \frac{4}{3}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \int_0^1 4x^2 dx - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0$
$\int_0^1 (f(x)^2 - 4x f(x) + 4x^2) dx = 0$
$\int_0^1 (f(x) - 2x)^2 dx = 0$
$f(x)$ સતત વિધેય હોવાથી,$(f(x) - 2x)^2$ એ અ-ઋણ અને સતત છે.
અ-ઋણ સતત વિધેયનું સંકલન $0$ હોવા માટે,સંકલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$f(x) - 2x = 0 \Rightarrow f(x) = 2x$.
આમ,આવું ફક્ત $1$ સતત વિધેય મળે છે.

(C) ધારો કે સમાંતર બાજુઓ $a = 30$ અને $b = 30 + 2(30 \cos \theta) = 30 + 60 \cos \theta$ છે. સમલંબ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $h = 30 \sin \theta$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \frac{1}{2}(a + b)h = \frac{1}{2}(30 + 30 + 60 \cos \theta)(30 \sin \theta)$
$A = \frac{1}{2}(60 + 60 \cos \theta)(30 \sin \theta) = 900(1 + \cos \theta) \sin \theta = 900(\sin \theta + \sin \theta \cos \theta) = 900(\sin \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta)$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ કરવા માટે,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $0$ સાથે સરખાવો:
$\frac{dA}{d\theta} = 900(\cos \theta + \cos 2\theta) = 0$.
કારણ કે $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$,આપણને મળે છે:
$2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$.
$(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$.
આનાથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\cos \theta = -1$ મળે છે.
$\theta$ એ ત્રિકોણનો ખૂણો હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ (કારણ કે $\theta = \pi$ શક્ય નથી).
આમ,સૌથી નાનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.