मान लीजिए R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है औ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\{x\}}{1+[x]^2}$.$I.$ किसी भी $x \in R$ के लिए,मान लीजिए $n = [x]$,तो $x = n + \{x\}$ जहाँ $0 \le \{x\} < 1$ है। अतः $f(

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$I, II$ और $III$ में से कोई नहीं

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(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\{x\}}{1+[x]^2}$.$I.$ किसी भी $x \in R$ के लिए,मान लीजिए $n = [x]$,तो $x = n + \{x\}$ जहाँ $0 \le \{x\} $II.$ $x = n$ (एक पूर्णांक) पर,$\lim_{x 	o n^-} f(x) = \lim_{x 	o n^-} \frac{x-[x]}{1+[x]^2} = \frac{n-(n-1)}{1+(n-1)^2} = \frac{1}{1+(n-1)^2}$,जबकि $f(n) = \frac{n-n}{1+n^2} = 0$ है। चूँकि सीमा पूर्णांकों पर फलन के मान के बराबर नहीं है,इसलिए $f$ सभी पूर्णांकों पर असंतत है। अतः,कथन $II$ असत्य है।$III.$ ध्यान दें कि $f(0) = \frac{0}{1+0^2} = 0$ और $f(1) = \frac{1-1}{1+1^2} = 0$ है। चूँकि $f(0) = f(1)$ है लेकिन $0 
eq 1$,इसलिए $f$ एकैकी नहीं है। अतः,कथन $III$ असत्य है।अतः,दिए गए कथनों में से कोई भी सत्य नहीं है।

$(A)$ $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(x)=px+q$ $(p \neq 0)$,$\forall x \in R$	$I.$ $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक
$(B)$ $f: R \rightarrow R^{+} \cup\{0\}$ इस प्रकार है कि $f(x)=x^2$,$\forall x \in R$	$II.$ $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है
$(C)$ $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार है कि $f(n)=n^2+2n+3$,$\forall n \in N$	$III.$ $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है
$(D)$ $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(x)=2(\cos ^2 5x+\sin ^2 5x)$ $\forall x \in R$	$IV.$ $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है
	$V.$ $f$ एक अचर फलन है और एकैकी-आच्छादक भी है

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मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। $f: A \to A$ ऐसे एकैकी (one-one) फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $f(1) \ge 3, f(3) \le 4$ और $f(2) + f(3) = 5$ हो।

$f: R \rightarrow R$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x) = x^2$ की एकैकी (injectivity) और आच्छादक (surjectivity) की जाँच कीजिए।

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