KVPY 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) मान लीजिए $O$,$AB$ व्यास वाले वृत्त $S$ का केंद्र है। मान लीजिए $P$,$CD$ पर स्पर्श बिंदु है। चूँकि $AB \parallel CD$,त्रिज्या $OP$,$CD$ पर लंब है। मान लीजिए $R$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। चूँकि $R$,$AB$ व्यास वाले वृत्त पर स्थित है,$\angle ARB = 90^{\circ}$ है। $\triangle ABC$ में,$BR$,$AC$ पर माध्यिका है और $BR \perp AC$ है,इसलिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = BC$ है। इसी प्रकार,यदि $Q$,$BD$ का मध्य-बिंदु है,तो $\angle AQB = 90^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है कि $\triangle ABD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AD$ है। अतः,$AB = BC = AD$ है। मान लीजिए $AB = 2r$,तो वृत्त की त्रिज्या $r$ है। समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई $r$ है। $A$ से $CD$ पर $M$ बिंदु तक लंब डालने पर बनने वाले समकोण त्रिभुज में,$AM = r$ और $AD = AB = 2r$ है। अतः,$\sin(\angle ADM) = \frac{AM}{AD} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$ है। इसलिए,$\angle ADM = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$ है। समलंब चतुर्भुज के कोण $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ हैं। सबसे छोटा कोण $\frac{\pi}{6}$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ है। चूँकि बिंदु $\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right)$ वृत्त पर स्थित है,हमारे पास $\frac{a^2}{b^2} + \frac{c^2}{d^2} = 1$ है,जिसका अर्थ है $a^2 d^2 + c^2 b^2 = b^2 d^2$।
चूँकि $b$ और $d$ सम हैं,मान लीजिए $b = 2k$ और $d = 2m$। $\operatorname{HCF}(a, b) = 1$ होने के कारण,$a$ विषम है। इसी प्रकार,$c$ भी विषम है।
समीकरण में मान रखने पर: $4 a^2 m^2 + 4 c^2 k^2 = 16 k^2 m^2$,जो सरल होकर $a^2 m^2 + c^2 k^2 = 4 k^2 m^2$ बनता है।
विषम संख्या का वर्ग हमेशा $1 \pmod{4}$ होता है। अतः,$a^2 m^2 + c^2 k^2 \equiv m^2 + k^2 \pmod{4}$। दायां पक्ष $0 \pmod{4}$ है,जो केवल तभी संभव है जब $m$ और $k$ दोनों सम हों,लेकिन यह $b$ और $d$ के न्यूनतम रूप की शर्त का उल्लंघन करता है।
अतः,समुच्चय $S$ रिक्त है।

(C) मान लीजिए कि दो वृत्तों के केंद्र $A$ और $B$ हैं। प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या $r = 2$ है। केंद्रों के बीच की दूरी $AB = 2 \sqrt{3}$ है।
मान लीजिए कि वृत्त $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए $C$,$AB$ और $PQ$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। चूंकि वृत्त समान हैं,$C$,$AB$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $AC = \frac{1}{2} AB = \sqrt{3}$ है।
$\triangle APC$ में,$\cos \theta = \frac{AC}{AP} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = 30^{\circ}$।
जीवा $PQ$ द्वारा केंद्र $A$ पर अंतरित कोण $2\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ रेडियन है।
उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल एक वृत्त के जीवा $PQ$ द्वारा कटे हुए वृत्तखंड के क्षेत्रफल का दोगुना है।
एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड $APQ$ का क्षेत्रफल - $\triangle APQ$ का क्षेत्रफल)
$= \frac{1}{2} r^2 (2\theta - \sin(2\theta)) = \frac{1}{2} (2)^2 (\frac{\pi}{3} - \sin 60^{\circ}) = 2 (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$।
कुल उभयनिष्ठ क्षेत्रफल $= 2 \times (\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}) = \frac{4\pi}{3} - 2\sqrt{3}$।
$\pi \approx 3.14159$ और $\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $\approx \frac{4 \times 3.14159}{3} - 2 \times 1.732 = 4.18879 - 3.464 = 0.72479$।
अतः,क्षेत्रफल $0.7$ और $0.75$ के बीच स्थित है।

(A) मान लीजिए $C_1$ और $C_2$ की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं। चूंकि $AB$,$C_1$ का व्यास है,इसलिए $AB = 2r_1$। चूंकि $C_1$ और $C_2$ बिंदु $A$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए $A$ से गुजरने वाली रेखाखंड $BC$,$C_2$ का व्यास है,अतः $AC = 2r_2$।
वृत्त $C_2$ के लिए बिंदु $B$ के सापेक्ष 'पावर ऑफ अ पॉइंट' प्रमेय के अनुसार:
$BA_2 \times BA_3 = BA \times BC = (2r_1) \times (2r_1 + 2r_2) = 4r_1(r_1 + r_2)$।
चूंकि $BA_2 = 3$ और $BA_3 = 4$ दिया गया है,इसलिए $3 \times 4 = 4r_1(r_1 + r_2)$,जो सरल होकर $r_1^2 + r_1r_2 = 3$ हो जाता है (समीकरण $i$)।
मान लीजिए $M$,$C_1$ में जीवा $BA_1$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $BM = \frac{1}{2}BA_1 = 1$। मान लीजिए $N$,$C_2$ में जीवा $A_2A_3$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $BN = BA_2 + \frac{1}{2}A_2A_3 = 3 + \frac{1}{2}(4-3) = 3.5 = \frac{7}{2}$।
केंद्रों $P$ और $Q$ से छेदक रेखा पर डाले गए लंब को देखते हुए,हमें समरूप त्रिभुज $\triangle BMP \sim \triangle BNQ$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$\frac{BM}{BN} = \frac{BP}{BQ} = \frac{r_1}{2r_1 + r_2}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{7/2} = \frac{r_1}{2r_1 + r_2} \Rightarrow \frac{2}{7} = \frac{r_1}{2r_1 + r_2} \Rightarrow 4r_1 + 2r_2 = 7r_1 \Rightarrow 2r_2 = 3r_1$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $ii$ से $r_2 = 1.5r_1$ को समीकरण $i$ में रखने पर: $r_1^2 + r_1(1.5r_1) = 3 \Rightarrow 2.5r_1^2 = 3 \Rightarrow r_1^2 = \frac{3}{2.5} = \frac{6}{5} \Rightarrow r_1 = \sqrt{\frac{6}{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5}$।
तब $r_2 = 1.5 \times \frac{\sqrt{30}}{5} = \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{30}}{5} = \frac{3\sqrt{30}}{10}$।
अतः,त्रिज्याएँ $\frac{\sqrt{30}}{5}$ और $\frac{3\sqrt{30}}{10}$ हैं।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$|a|=\sqrt{4-\sqrt{5-a}}$
$|b|=\sqrt{4+\sqrt{5-b}}$
$|c|=\sqrt{4-\sqrt{5+c}}$
$|d|=\sqrt{4+\sqrt{5+d}}$
पहले समीकरण का वर्ग करने पर: $a^2 = 4 - \sqrt{5-a} \implies a^2 - 4 = -\sqrt{5-a}$।
पुनः वर्ग करने पर: $(a^2 - 4)^2 = 5 - a \implies a^4 - 8a^2 + 16 = 5 - a \implies a^4 - 8a^2 + a + 11 = 0$।
इसी प्रकार,$b, c, d$ के लिए,हम देख सकते हैं कि $a, b, -c, -d$ बहुपद समीकरण $x^4 - 8x^2 + x + 11 = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$x^4 + 0x^3 - 8x^2 + x + 11 = 0$ के मूलों का गुणनफल अचर पद के बराबर होता है,जो $11$ है।
अतः,$a \cdot b \cdot (-c) \cdot (-d) = 11 \implies abcd = 11$।

(B) मान लीजिए कि चतुर्भुज की चार अलग-अलग पूर्णांक भुजाएँ $a, b, c,$ और $d$ हैं,जहाँ $a < b < c < d$ है।
दिया गया है कि दूसरी सबसे बड़ी भुजा $c = 10$ है,इसलिए $a < b < 10 < d$ है।
भुजाओं के अलग-अलग पूर्णांक होने के लिए,$a$ और $b$ के अधिकतम संभव मान $a = 8$ और $b = 9$ हैं।
बहुभुज असमानता प्रमेय के अनुसार,चतुर्भुज की किन्हीं तीन भुजाओं का योग चौथी भुजा से बड़ा होना चाहिए।
अतः,$a + b + c > d$ है।
मान रखने पर,$8 + 9 + 10 > d$,जो $27 > d$ में सरल होता है।
चूँकि $d$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $d$ का अधिकतम संभव मान $26$ है।

(C) $\frac{200!}{100!}$ को विभाजित करने वाली $2$ की अधिकतम घात ज्ञात करने के लिए,हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं,जिसके अनुसार $n!$ में अभाज्य संख्या $p$ का घातांक $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$200!$ में $2$ का घातांक ज्ञात करें:
$E_2(200!) = \lfloor \frac{200}{2} \rfloor + \lfloor \frac{200}{4} \rfloor + \lfloor \frac{200}{8} \rfloor + \lfloor \frac{200}{16} \rfloor + \lfloor \frac{200}{32} \rfloor + \lfloor \frac{200}{64} \rfloor + \lfloor \frac{200}{128} \rfloor$
$= 100 + 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 197$.
इसके बाद,$100!$ में $2$ का घातांक ज्ञात करें:
$E_2(100!) = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{4} \rfloor + \lfloor \frac{100}{8} \rfloor + \lfloor \frac{100}{16} \rfloor + \lfloor \frac{100}{32} \rfloor + \lfloor \frac{100}{64} \rfloor$
$= 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97$.
$\frac{200!}{100!}$ में $2$ का घातांक $E_2(200!) - E_2(100!) = 197 - 97 = 100$ है।
अतः,$2$ की अधिकतम घात $100$ है।

(B) मान लीजिए $S = (a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+(a_3-a_4)^2+(a_4-a_1)^2$ है।
वर्गों का विस्तार करने पर,$S = 2(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2) - 2(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_1)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2=1$,इसलिए $S = 2 - 2(a_1+a_3)(a_2+a_4)$ है।
चूँकि $a_1+a_2+a_3+a_4=0$,इसलिए $a_2+a_4 = -(a_1+a_3)$ है।
मान लीजिए $x = a_1+a_3$,तो $a_2+a_4 = -x$ है।
अतः,$S = 2 - 2(x)(-x) = 2 + 2x^2$ है।
$S$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें $x^2$ को न्यूनतम करना होगा।
कोशी-श्वार्ज़ असमिका के अनुसार,$x^2$ का न्यूनतम मान $0$ है।
यदि $x=0$ है,तो $S = 2 + 2(0) = 2$ है।
चूँकि $2$ अंतराल $(1.5, 2.5)$ में स्थित है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - y^2 = 12345678$ है,जहाँ $x, y \in \mathbb{Z}^+$.
इसे $(x - y)(x + y) = 12345678$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
ध्यान दें कि $(x - y)$ और $(x + y)$ की समता समान होनी चाहिए क्योंकि उनका योग $(x - y) + (x + y) = 2x$ एक सम संख्या है।
यदि $(x - y)$ और $(x + y)$ दोनों सम हैं,तो उनका गुणनफल $(x - y)(x + y)$ को $4$ से विभाज्य होना चाहिए।
$12345678$ की $4$ से विभाज्यता की जाँच करने पर: $78$,$4$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए $12345678$ भी $4$ से विभाज्य नहीं है।
चूंकि गुणनफल $4$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए $x$ और $y$ के लिए कोई पूर्णांक हल नहीं है।
अतः,$S$ एक रिक्त समुच्चय है।

(D) मान लीजिए $O$ नियमित नौभुज $A_1 A_2 \ldots A_9$ के परिवृत्त का केंद्र है। भुजा की लंबाई $s = 2$ है।
प्रत्येक भुजा द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण $\theta = \frac{2\pi}{9}$ है।
मान लीजिए $r$ परिवृत्त की त्रिज्या है। $\triangle O A_1 A_2$ में,कोज्या नियम (law of cosines) के अनुसार:
$s^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos(\frac{2\pi}{9}) = 2r^2(1 - \cos(\frac{2\pi}{9})) = 4r^2 \sin^2(\frac{\pi}{9})$.
चूंकि $s = 2$,हमारे पास $4 = 4r^2 \sin^2(\frac{\pi}{9})$ है,इसलिए $r = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{9})}$.
केंद्रीय कोण $\phi$ अंतरित करने वाली जीवा $A_i A_j$ की लंबाई $2r \sin(\frac{\phi}{2})$ होती है।
$A_1 A_5$ के लिए,केंद्रीय कोण $4 \times \frac{2\pi}{9} = \frac{8\pi}{9}$ है,इसलिए $A_1 A_5 = 2r \sin(\frac{4\pi}{9})$.
$A_2 A_4$ के लिए,केंद्रीय कोण $2 \times \frac{2\pi}{9} = \frac{4\pi}{9}$ है,इसलिए $A_2 A_4 = 2r \sin(\frac{2\pi}{9})$.
अंतर $A_1 A_5 - A_2 A_4 = 2r(\sin(\frac{4\pi}{9}) - \sin(\frac{2\pi}{9}))$ है।
सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ का उपयोग करते हुए:
$A_1 A_5 - A_2 A_4 = 2r \cdot 2 \sin(\frac{\pi}{9}) \cos(\frac{3\pi}{9}) = 4r \sin(\frac{\pi}{9}) \cos(\frac{\pi}{3})$.
$r = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{9})}$ और $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$A_1 A_5 - A_2 A_4 = 4 \cdot \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{9})} \cdot \sin(\frac{\pi}{9}) \cdot \frac{1}{2} = 2$.

(C) मान लीजिए $p$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं की संख्या है और $(n-p)$ ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं की संख्या है।
गुणनफल $a_j a_k$ धनात्मक होता है यदि $a_j$ और $a_k$ दोनों का चिह्न समान हो (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक)।
अतः,धनात्मक गुणनफल वाले युग्मों की संख्या $\binom{p}{2} + \binom{n-p}{2} = 55$ है।
गुणनफल $a_j a_k$ ऋणात्मक होता है यदि एक धनात्मक और दूसरी ऋणात्मक हो।
अतः,ऋणात्मक गुणनफल वाले युग्मों की संख्या $\binom{p}{1} \times \binom{n-p}{1} = p(n-p) = 50$ है।
प्रथम समीकरण का विस्तार करने पर:
$\frac{p(p-1)}{2} + \frac{(n-p)(n-p-1)}{2} = 55$
$p^2 - p + (n-p)^2 - (n-p) = 110$
$p^2 + (n-p)^2 - n = 110$
हम जानते हैं कि $(p + (n-p))^2 = p^2 + (n-p)^2 + 2p(n-p) = n^2$ है।
अतः,$p^2 + (n-p)^2 = n^2 - 2p(n-p) = n^2 - 2(50) = n^2 - 100$ है।
इस मान को विस्तारित समीकरण में रखने पर:
$(n^2 - 100) - n = 110$
$n^2 - n - 210 = 0$
$(n - 15)(n + 14) = 0$।
चूँकि $n > 0$,इसलिए $n = 15$ है।
अब,$p(15 - p) = 50$ $\Rightarrow p^2 - 15p + 50 = 0$ $\Rightarrow (p - 10)(p - 5) = 0$ है।
अतः,$p = 5$ या $p = 10$ है।
दोनों स्थितियों में,$p^2 + (n-p)^2 = 5^2 + 10^2 = 25 + 100 = 125$ है।

(D) $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ के योग को न्यूनतम करने के लिए,जहाँ $a, b, c, d$ समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, 9\}$ से भिन्न संख्याएँ हैं,हमें अंश $a$ और $c$ के लिए सबसे छोटे संभव मान और हर $b$ और $d$ के लिए सबसे बड़े संभव मान चुनने चाहिए।
समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
यदि हम $a=1, c=2$ और $b=9, d=8$ चुनते हैं,तो योग $\frac{1}{9} + \frac{2}{8} = \frac{13}{36} = \frac{26}{72}$ होता है।
यदि हम $a=2, c=1$ और $b=9, d=8$ चुनते हैं,तो योग $\frac{2}{9} + \frac{1}{8} = \frac{16+9}{72} = \frac{25}{72}$ होता है।
अतः,न्यूनतम मान $\frac{25}{72}$ है।

(D) दिया गया है,$72^x \cdot 48^y = 6^{xy}$।
आधारों को $2$ और $3$ की घातों के रूप में व्यक्त करने पर:
$(2^3 \cdot 3^2)^x \cdot (2^4 \cdot 3^1)^y = 2^{xy} \cdot 3^{xy}$।
$2^{3x+4y} \cdot 3^{2x+y} = 2^{xy} \cdot 3^{xy}$।
दोनों पक्षों में $2$ और $3$ के घातांकों की तुलना करने पर:
$3x + 4y = xy$ $(1)$
$2x + y = xy$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$3x + 4y = 2x + y$,जो सरल होकर $x = -3y$ देता है।
$x = -3y$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(-3y) + y = (-3y)y$
$-6y + y = -3y^2$
$-5y = -3y^2$।
चूँकि $y \neq 0$,$y$ से भाग देने पर:
$-5 = -3y \implies y = \frac{5}{3}$।
अब,$x$ का मान ज्ञात करें:
$x = -3 \left(\frac{5}{3}\right) = -5$।
अतः,$x + y = -5 + \frac{5}{3} = \frac{-15 + 5}{3} = -\frac{10}{3}$।

(B) मान लीजिए $O$ व्यास $AB = 2$ वाले अर्धवृत्त $S$ का केंद्र है। अतः,$S$ की त्रिज्या $r_S = 1$ है।
चूंकि $C$ चाप $AB$ का मध्य-बिंदु है,$\triangle AOC$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $OA = OC = 1$ और $\angle AOC = 90^\circ$ है।
जीवा $AC$ की लंबाई $\sqrt{OA^2 + OC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
अर्धवृत्त $T$ की रचना $AC$ को व्यास मानकर की गई है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r_T = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$T$ के अंदर लेकिन $S$ के बाहर के क्षेत्र का क्षेत्रफल अर्धवृत्त $T$ के क्षेत्रफल में से जीवा $AC$ द्वारा कटे $S$ के वृत्तखंड का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
अर्धवृत्त $T$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \pi r_T^2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{\pi}{4}$.
जीवा $AC$ द्वारा कटे $S$ के वृत्तखंड का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड $OAC$ का क्षेत्रफल) - ($\triangle OAC$ का क्षेत्रफल)।
त्रिज्यखंड $OAC$ का क्षेत्रफल = $\frac{90^\circ}{360^\circ} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$.
$\triangle OAC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.
अभीष्ट क्षेत्रफल = (अर्धवृत्त $T$ का क्षेत्रफल) - (वृत्तखंड का क्षेत्रफल) = $\frac{\pi}{4} - (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

(C) मान लीजिए $p(x) = x^{135}+x^{125}-x^{115}+x^5+1$ और $q(x) = x^3-x = x(x-1)(x+1)$.
चूंकि भाजक $q(x)$ की घात $3$ है,इसलिए शेषफल $r(x)$,$ax^2+bx+c$ के रूप में होगा।
अतः,$p(x) = (x^3-x)k(x) + ax^2+bx+c$.
$x=0$ के लिए: $p(0) = 1$. अतः,$c = 1$.
$x=1$ के लिए: $p(1) = 3$. अतः,$a+b+c = 3 \Rightarrow a+b = 2$.
$x=-1$ के लिए: $p(-1) = -1$. अतः,$a-b+c = -1 \Rightarrow a-b = -2$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2a = 0 \Rightarrow a = 0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2b = 4 \Rightarrow b = 2$.
इसलिए,$r(x) = 2x+1$.
$r(x) = 2x+1$ की घात $1$ है.

(A) $n$ से कम और $n$ के साथ सह-अभाज्य पूर्णांकों की संख्या यूलर के टॉटिएंट फलन $\phi(n)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $n = p_1 \times p_2$,जहाँ $p_1$ और $p_2$ भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं,तो $\phi(n) = (p_1-1)(p_2-1)$ सूत्र का उपयोग होता है।
हमें $\phi(43361) = 42900$ दिया गया है।
अतः,$(p_1-1)(p_2-1) = 42900$.
इसका विस्तार करने पर,$p_1 p_2 - p_1 - p_2 + 1 = 42900$.
चूँकि $p_1 p_2 = 43361$,इसलिए $43361 - (p_1+p_2) + 1 = 42900$.
$43362 - (p_1+p_2) = 42900$.
$p_1+p_2 = 43362 - 42900 = 462$.
इस प्रकार,दो अभाज्य गुणनखंडों का योग $462$ है।

(A) दिया गया है कि $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle C=90^{\circ}$ है।
$CD \perp AB$,$DM \parallel BC$ और $DN \parallel AC$ है।
$DMCN$ एक आयत है,इसलिए $MC = DN = 4$ और $NC = DM = 5$ है।
त्रिभुज की समरूपता का उपयोग करने पर,$AC = AM + MC = \frac{25}{4} + 4 = \frac{41}{4}$ और $BC = BN + NC = \frac{16}{5} + 5 = \frac{41}{5}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $A, G, H$ दो भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समांतर,गुणोत्तर और हरात्मक माध्य हैं,इसलिए $A > G > H > 0$ और $AH = G^2$ होता है।
दिया गया द्विघात समीकरण $A(G-H) x^2 + G(H-A) x + H(A-G) = 0$ है।
मान लीजिए $f(x) = A(G-H) x^2 + G(H-A) x + H(A-G)$ है।
$f(1) = A(G-H) + G(H-A) + H(A-G) = AG - AH + GH - GA + HA - HG = 0$ है।
अतः $x = 1$ समीकरण का एक मूल है।
मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta = 1$ हैं। मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = \frac{H(A-G)}{A(G-H)}$ है।
चूंकि $\beta = 1$,इसलिए $\alpha = \frac{H(A-G)}{A(G-H)}$ है।
$AH = G^2$ का उपयोग करने पर,$\alpha = \frac{G}{A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A > G > 0$,इसलिए $0 < \frac{G}{A} < 1$ होता है। अतः,$0 < \alpha < 1$।

(D) माना वर्ग $ABCD$ की भुजा $1$ है। अतः,$AB = BC = CD = DA = 1$.
$O$,$CD$ के विस्तार पर स्थित है,माना $OD = x$ है। तो $OC = x + 1$.
$\triangle OAC$ में,$AC$ बिंदु $A$ पर वृत्त की स्पर्शरेखा है,इसलिए $\angle OAC = 90^{\circ}$.
$\triangle ADC$ में,$\angle DAC = 45^{\circ}$. चूँकि $\angle OAC = 90^{\circ}$,इसलिए $\angle OAD = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$.
$\triangle OAD$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{OD}{AD} \implies 1 = \frac{x}{1} \implies x = 1$.
अतः,$OD = 1$ और त्रिज्या $R = OA = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
छायांकित क्षेत्र,वर्ग $ABCD$ के क्षेत्रफल में से त्रिज्यखंड $AXD$ का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल = $1^2 = 1$.
त्रिज्यखंड $OAX$ की त्रिज्या $R = \sqrt{2}$ और केंद्रीय कोण $\angle AOX = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ है।
त्रिज्यखंड $OAX$ का क्षेत्रफल = $\frac{45}{360} \times \pi \times R^2 = \frac{1}{8} \times \pi \times 2 = \frac{\pi}{4}$.
$\triangle OAD$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times AD \times OD = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5$.
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल - (त्रिज्यखंड $OAX$ का क्षेत्रफल - $\triangle OAD$ का क्षेत्रफल) = $1 - (\frac{\pi}{4} - 0.5) = 1.5 - \frac{\pi}{4} = \frac{6-\pi}{4}$.

(D) दिया गया समीकरण: $x^5-6x^4+11x^3-5x^2-3x+2=0$.
पूर्णांक मूलों की जाँच करने पर,$x=1$ और $x=2$ मूल हैं।
बहुपद को $(x-1)(x-2) = x^2-3x+2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x-1)(x-2)(x^3-3x^2+1)=0$.
गैर-पूर्णांक मूल समीकरण $x^3-3x^2+1=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1} = 3$ है।
अतः,सभी गैर-पूर्णांक मूलों का योग $3$ है।

(A) मान लीजिए $P$ वृत्त $S$ का केंद्र है और $r$ इसकी त्रिज्या है। चूंकि यह $X$-अक्ष को $A$ पर और $Y$-अक्ष को $B$ पर स्पर्श करता है,इसलिए $P$ के निर्देशांक $(r, r)$ हैं।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से $P(r,r)$ की दूरी $OP = \sqrt{r^2+r^2} = r\sqrt{2}$ है।
चूंकि वृत्त $S$,इकाई वृत्त $x^2+y^2=1$ को $C$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है: $OP = 1 + r$.
$OP$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $r\sqrt{2} = 1 + r \Rightarrow r(\sqrt{2}-1) = 1 \Rightarrow r = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}+1$.
$\triangle OAP$ में,$OA = r$,$AP = r$,और $\angle OAP = 90^{\circ}$ है। अतः,$\triangle OAP$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,इसलिए $\angle AOP = \angle APO = 45^{\circ}$ है।
$\triangle PCA$ में,$PC = r$ और $AC = r$ (वृत्त $S$ की त्रिज्याएँ) हैं। अतः,$\triangle PCA$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\angle PCA = \angle PAC$ है।
कोण $\angle CPA = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ (क्योंकि $O, C, P$ संरेख हैं)।
$\triangle PCA$ में,$2\angle PCA + 135^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow 2\angle PCA = 45^{\circ} \Rightarrow \angle PCA = 22.5^{\circ} = \frac{\pi}{8}$ है।
अंत में,$\angle OCA = 180^{\circ} - \angle PCA = 180^{\circ} - 22.5^{\circ} = 157.5^{\circ} = \frac{5\pi}{8}$ है।

(D) क्षेत्र इस प्रकार परिभाषित हैं:
$A_1: x^2 + 2y^2 \leq 1$ (एक दीर्घवृत्त)
$A_2: |x|^3 + 2\sqrt{2}|y|^3 \leq 1$
$A_3: \max(|x|, \sqrt{2}|y|) \leq 1$ (एक आयत जिसके शीर्ष $(\pm 1, \pm 1/\sqrt{2})$ पर हैं)
घातों की तुलना करने पर,$0 < |x|, |y| < 1$ के लिए,$|x|^3 < |x|^2$ और $|y|^3 < |y|^2$ होता है।
इस प्रकार,क्षेत्रों का समावेश $A_1 \subset A_2 \subset A_3$ क्रम में है,जिसका अर्थ है कि $A_3 \supset A_2 \supset A_1$.
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) मान लीजिए वर्ग $ABCD$ की भुजा की लंबाई $x$ है। वर्ग का क्षेत्रफल $x^2$ है।
विकर्ण $AC$ और $BD$ एक दूसरे को $M$ पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AM = BM = \frac{x}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $E, A, C$ संरेख हैं,$EA$ विकर्ण $AC$ पर स्थित है। $\triangle EBD$ में,$EB = ED = \sqrt{130}$ और $EM \perp BD$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$EM^2 + BM^2 = EB^2$ $\Rightarrow EM^2 + \frac{x^2}{2} = 130$ $\Rightarrow EM = \sqrt{130 - \frac{x^2}{2}}$.
$\triangle EAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times EA \times \sin(135^\circ) = \frac{ax}{2}$ (जहाँ $EA=a$)।
दिया गया है कि $\frac{ax}{2} = x^2 \Rightarrow a = 2x$.
$EB^2 = (x+a)^2 + a^2 = 130$ $\Rightarrow (3x)^2 + (2x)^2 = 130$ $\Rightarrow 13x^2 = 130$ $\Rightarrow x^2 = 10$.
अतः,वर्ग का क्षेत्रफल $10$ है।

(A) समुच्चय $A = \{1, 2, 3, \ldots, 30\}$ में $30$ अवयव हैं।
$3$ के गुणज $10$ हैं और $9$ के गुणज $3$ हैं।
कुल चयन $^{30}C_3 = 4060$ हैं।
उन स्थितियों को घटाने पर जहाँ गुणनफल $9$ से विभाज्य नहीं है:
$1$. कोई भी संख्या $3$ का गुणज न हो: $^{20}C_3 = 1140$.
$2$. केवल एक संख्या $3$ का गुणज हो (लेकिन $9$ का नहीं): $^{7}C_1 \times ^{20}C_2 = 1330$.
कुल तरीके = $4060 - (1140 + 1330) = 1590$.