मान लीजिए कि R प्रथम चतुर्थांश में डिस्क x^2+ | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र $R$ में निहित सबसे बड़े वृत्त की त्रिज्या $r$ है। इस वृत्त का केंद्र $(r, r)$ पर होगा क्योंकि प्रथम चतुर्थांश

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$\pi(3-2 \sqrt{2})$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए कि प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र $R$ में निहित सबसे बड़े वृत्त की त्रिज्या $r$ है। इस वृत्त का केंद्र $(r, r)$ पर होगा क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में यथासंभव बड़ा होने के लिए इसे $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों को स्पर्श करना चाहिए।यह वृत्त डिस्क $x^2+y^2 \leq 1$ की सीमा को भी आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,जो मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्रित $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।मूल बिंदु $(0, 0)$ से छोटे वृत्त के केंद्र $(r, r)$ तक की दूरी $\sqrt{r^2+r^2} = r\sqrt{2}$ है।आंतरिक स्पर्श के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होनी चाहिए: $1 - r = r\sqrt{2}$।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $1 = r(1+\sqrt{2})$ प्राप्त होता है,इसलिए $r = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$।इस वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi(\sqrt{2}-1)^2 = \pi(2 + 1 - 2\sqrt{2}) = \pi(3-2\sqrt{2})$ है।

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