int_0^1 x f(x) dx = frac{1}{3} + frac{1}{4} i | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{4} \int_0^1 (f(x)

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$1$

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(B) दिया गया समीकरण: $\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx - \int_0^1 x f(x) dx + \frac{1}{3} = 0$ $4$ से गुणा करने पर: $\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \frac{4}{3} = 0$ $\int_0^1 (2x)^2 dx = \int_0^1 4x^2 dx = [\frac{4x^3}{3}]_0^1 = \frac{4}{3}$ को जोड़ने और घटाने पर: $\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \int_0^1 4x^2 dx - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0$ $\int_0^1 (f(x)^2 - 4x f(x) + 4x^2) dx = 0$ $\int_0^1 (f(x) - 2x)^2 dx = 0$ चूंकि $f(x)$ एक सतत फलन है,$(f(x) - 2x)^2$ अऋणात्मक और सतत है। एक अऋणात्मक सतत फलन का समाकलन $0$ होने के लिए,समाकल्य को शून्य होना चाहिए। अतः,$f(x) - 2x = 0 \Rightarrow f(x) = 2x$. इस प्रकार,ऐसा केवल $1$ सतत फलन है।

$\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ को संतुष्ट करने वाले सतत फलनों $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ की संख्या क्या है?

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$\int_{-1}^{1} [x + [x + [x]]] \, dx = $ (जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)

यदि $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{3+x}+\sqrt{1+x}} d x=a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3}$,जहाँ $a, b, c$ परिमेय संख्याएँ हैं,तो $2 a+3 b-4 c$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_0^{2 \pi} \sqrt{1+\sin \left(\frac{x}{2}\right)} d x$ का मान है

मान लीजिए $f(0)=1, f(0.5)=\frac{5}{4}, f(1)=2, f(1.5)=\frac{13}{4}$ और $f(2)=5$ है। सिम्पसन के नियम का उपयोग करते हुए,$\int_0^2 f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{5+4 \cos x} = $

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