मान लीजिए g(x) = int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} si | vedclass

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Question

(C) हमें दिया गया है $g(x) = \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt$। चूंकि समाकल्य $f(t) = t^{2/3} \sin \frac{1}{t}$,$t=0$ के निकट परिबद्ध

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(C) हमें दिया गया है $g(x) = \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt$। चूंकि समाकल्य $f(t) = t^{2/3} \sin \frac{1}{t}$,$t=0$ के निकट परिबद्ध है (क्योंकि $|\sin(1/t)| \leq 1$,इसलिए $|f(t)| \leq t^{2/3}$),अतः समाकलन का अस्तित्व है। हमें $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $g(0) = 0$,यह $0/0$ रूप है। स्क्वीज़ प्रमेय का उपयोग करते हुए: $|g(x)| = \left| \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt \right| \leq \int_0^{|x|^{3/4}} |t^{2/3} \sin \frac{1}{t}| \, dt \leq \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \, dt$। समाकलन करने पर: $\int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \, dt = \left[ \frac{t^{5/3}}{5/3} \right]_0^{|x|^{3/4}} = \frac{3}{5} (|x|^{3/4})^{5/3} = \frac{3}{5} |x|^{5/4}$। अतः,$\left| \frac{g(x)}{x} \right| \leq \frac{\frac{3}{5} |x|^{5/4}}{|x|} = \frac{3}{5} |x|^{1/4}$। जैसे ही $x \rightarrow 0$,$\frac{3}{5} |x|^{1/4} \rightarrow 0$। इसलिए,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x} = 0$।

मान लीजिए $g(x) = \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt$,सभी वास्तविक $x$ के लिए। तो,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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