मान लीजिए I_n = int_0^1 e^{-y} y^n , dy,जहाँ | vedclass

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Question

(C) हमें $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$ दिया गया है।योग की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \fra

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$\frac{1}{e}$

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(C) हमें $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$ दिया गया है।योग की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$ है।चूंकि समाकलन अभिसारी है,हम योग और समाकलन को आपस में बदल सकते हैं:$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \int_0^1 e^{-y} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} \right) \, dy$.हम जानते हैं कि $e^y$ के लिए टेलर श्रेणी $e^y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!}$ है।इसलिए,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = e^y - 1$ है।इस मान को समाकलन में रखने पर:$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \int_0^1 e^{-y} (e^y - 1) \, dy = \int_0^1 (1 - e^{-y}) \, dy$ प्राप्त होता है।समाकलन का मूल्यांकन करने पर:$= [y - (-e^{-y})]_0^1 = [y + e^{-y}]_0^1$.$= (1 + e^{-1}) - (0 + e^0) = 1 + \frac{1}{e} - 1 = \frac{1}{e}$।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

मान लीजिए $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$,जहाँ $n$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है। तो,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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