यदि I_{n}=int_{0}^{pi / 4} tan ^{n} x d x है, | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन $I_{n} = \int_{0}^{\pi / 4} 	an ^{n} x d x$ है। हम $	an^{n} x$ को $	an^{n-2} x \cdot 	an^{2} x$ के रूप में लिख सकते हैं। सर्वस

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$\frac{1}{9}$

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(A) दिया गया समाकलन $I_{n} = \int_{0}^{\pi / 4} 	an ^{n} x d x$ है। हम $	an^{n} x$ को $	an^{n-2} x \cdot 	an^{2} x$ के रूप में लिख सकते हैं। सर्वसमिका $	an^{2} x = \sec^{2} x - 1$ का उपयोग करने पर: $I_{n} = \int_{0}^{\pi / 4} 	an^{n-2} x (\sec^{2} x - 1) d x$. $I_{n} = \int_{0}^{\pi / 4} 	an^{n-2} x \sec^{2} x d x - \int_{0}^{\pi / 4} 	an^{n-2} x d x$. माना $t = 	an x$,तो $dt = \sec^{2} x dx$ होगा। जब $x=0, t=0$ और जब $x=\pi/4, t=1$। $I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n-2} dt - I_{n-2}$. $I_{n} = \left[ \frac{t^{n-1}}{n-1} ight]_{0}^{1} - I_{n-2}$. $I_{n} = \frac{1}{n-1} - I_{n-2}$. अतः,$I_{n} + I_{n-2} = \frac{1}{n-1}$. $n=10$ के लिए,हमें $I_{10} + I_{8} = \frac{1}{10-1} = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।

यदि $I_{n}=\int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{n} x d x$ है,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $I_{10}+I_{8}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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समाकलन $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi} \cos ^{5} \phi \,d \phi$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकल की परिभाषा द्वारा,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^1 (1+x) \log (1+x) \, dx =$

$\int_0^1 \cos^{-1} x \, dx =$

$\int_{0}^{\pi /2}{\frac{dx}{{{a}^{2}}{{\cos }^{2}}x+{{b}^{2}}{{\sin }^{2}}x}}\,=$

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