सारणिक left|begin{array}{ccc}sin alpha & cos | vedclass

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Question

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin (\alpha+\delta) \ \sin \beta & \cos \beta & \sin (\beta+\delta

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(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin (\alpha+\delta) \ \sin \beta & \cos \beta & \sin (\beta+\delta) \ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin (\gamma+\delta)\end{array}ight|$ है।त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करके,हम तीसरे स्तंभ का विस्तार कर सकते हैं:$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \cos \delta + \cos \alpha \sin \delta \ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \cos \delta + \cos \beta \sin \delta \ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma \cos \delta + \cos \gamma \sin \delta\end{array}ight|$.सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,हम इसे दो सारणिकों के योग के रूप में विभाजित कर सकते हैं:$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \cos \delta \ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \cos \delta \ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma \cos \delta\end{array}ight| + \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \sin \delta \ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \sin \delta \ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \sin \delta\end{array}ight|$.पहले सारणिक के तीसरे स्तंभ से $\cos \delta$ और दूसरे सारणिक के तीसरे स्तंभ से $\sin \delta$ उभयनिष्ठ लेने पर:$\Delta = \cos \delta \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma\end{array}ight| + \sin \delta \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma\end{array}ight|$.पहले सारणिक में,स्तंभ $1$ और स्तंभ $3$ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।दूसरे सारणिक में,स्तंभ $2$ और स्तंभ $3$ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।अतः,$\Delta = \cos \delta (0) + \sin \delta (0) = 0$.

सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin (\gamma+\delta)\end{array}\right|$ का मान किसके बराबर है?

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सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: $\left| \begin{array}{ccc} x & 4 & y + z \\ y & 4 & z + x \\ z & 4 & x + y \end{array} \right|$

सारणिकों के गुणों का उपयोग करके और विस्तार किए बिना सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|=0$

मान लीजिए $D_{k} = \begin{vmatrix} 1 & 2k & 2k-1 \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix}$ है। यदि $\sum_{k=1}^{n} D_{k} = 96$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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