JEE Main 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે: આવર્તકાળ $T = 2 \ s$,કંપવિસ્તાર $A = 1 \ cm$,કુલ સમય $t = 12.5 \ s$.
ચક્રની સંખ્યા $n = \frac{t}{T} = \frac{12.5}{2} = 6.25$ ચક્ર.
એક પૂર્ણ ચક્રમાં,કપાતું કુલ અંતર $4A = 4 \times 1 \ cm = 4 \ cm$ છે.
$6$ પૂર્ણ ચક્ર માટે,અંતર $D_1 = 6 \times 4 \ cm = 24 \ cm$.
બાકી રહેલા $0.25$ ચક્ર માટે (જે $\frac{T}{4}$ છે),કણ મધ્યમાન સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન સુધી ગતિ કરે છે,જે $A = 1 \ cm$ જેટલું અંતર કાપે છે.
કુલ અંતર $D = 24 \ cm + 1 \ cm = 25 \ cm$.
$6$ પૂર્ણ ચક્ર પછી,કણ મધ્યમાન સ્થાન પર પાછો ફરે છે. બાકીના $0.25$ ચક્રમાં,તે મધ્યમાન સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન સુધી ગતિ કરે છે $(A = 1 \ cm)$.
આમ,સ્થાનાંતર $d = 1 \ cm$.
તેથી,$\frac{D}{d} = \frac{25 \ cm}{1 \ cm} = 25$.

(B) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળા $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
બંને બાજુ લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને મળે છે: $2 \frac{\Delta T}{T} = 3 \frac{\Delta R}{R}$.
ત્રિજ્યામાં ફેરફાર $\Delta R = 1.03 R - R = 0.03 R$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\Delta R}{R} = 0.03$.
આ કિંમતને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \frac{\Delta T}{T} = 3 \times 0.03$.
તેથી,સમયગાળામાં થતો ટકાવારી ફેરફાર: $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \frac{3 \times 0.03}{2} \times 100 = 4.5 \%$.

(C) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય સંકલન $W = \int_{x_1}^{x_2} F \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F = \alpha + \beta x^2$ આપેલ છે,તેથી $x = 0$ થી $x = 1 \ m$ ના સ્થાનાંતર માટે થયેલું કાર્ય:
$W = \int_{0}^{1} (\alpha + \beta x^2) \, dx = 5 \ J$.
પદનું સંકલન કરતા:
$W = [\alpha x + \frac{\beta x^3}{3}]_{0}^{1} = 5$.
સીમાઓ મૂકતા:
$(\alpha(1) + \frac{\beta(1)^3}{3}) - (0) = 5$.
$\alpha = 1 \ N$ આપેલ હોવાથી:
$1 + \frac{\beta}{3} = 5$.
$\frac{\beta}{3} = 4$.
$\beta = 12 \ N/m^2$.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
આપેલ છે કે દબાણ $P$ તાપમાન $T$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે,તેથી $P = kT$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
આને આદર્શ વાયુ સમીકરણમાં મૂકતા: $(kT)V = nRT$.
આ સાદું રૂપ આપતા $V = \frac{nR}{k} = \text{અચળ}$ મળે છે.
કદ $V$ અચળ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) છે.
$1.$ થયેલ કાર્ય $W = \int P dV = 0$ કારણ કે $dV = 0$. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
$2.$ ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$. $W = 0$ હોવાથી,$Q = \Delta U$. તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.
$3.$ કદ અચળ હોવાથી,વિધાન $C$ ખોટું છે.
$4.$ જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ આંતરિક ઉર્જા $\Delta U = nC_v \Delta T$ વધે છે. તેથી,વિધાન $D$ સાચું છે.
$5.$ કદ અચળ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા સમકદ છે. તેથી,વિધાન $E$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $A, D,$ અને $E$ સાચા છે.

(B) સ્ક્રૂ ગેજનો લઘુત્તમ માપ $(LC)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $LC = \frac{\text{Pitch}}{N}$,જ્યાં $N$ એ વર્તુળાકાર સ્કેલ પરના કાપાઓની સંખ્યા છે.
આપેલ પ્રારંભિક $LC = 0.01 \ mm = \frac{P}{N}$.
નવી પિચ $P' = P(1 + 0.75) = 1.75P$.
નવા કાપાઓની સંખ્યા $N' = N(1 - 0.50) = 0.50N$.
નવો લઘુત્તમ માપ $LC' = \frac{P'}{N'} = \frac{1.75P}{0.50N} = \frac{1.75}{0.50} \times \frac{P}{N}$.
$LC' = 3.5 \times 0.01 \ mm = 0.035 \ mm$.
જરૂરી ફોર્મેટમાં રૂપાંતરિત કરતા: $0.035 \ mm = 35 \times 10^{-3} \ mm$.
આમ,જવાબ $35$ છે.

(A) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,ઉમેરેલી ઉષ્મા $E_1 = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $E_2 = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{n C_p \Delta T}{n C_v \Delta T} = \frac{C_p}{C_v} = \gamma$ થાય.
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{E_1}{E_2} = \frac{x}{9}$,તેથી $\frac{5}{3} = \frac{x}{9}$ થાય.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{5 \times 9}{3} = 15$ મળે છે.

(B) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની રેખીય ગતિઊર્જા $K_{linear} = \frac{1}{2} mv_{cm}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાની ચાકગતિઊર્જા $K_{rotational} = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,આપણી પાસે $v_{cm} = \omega R$ શરત છે.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{K_{linear}}{K_{rotational}} = \frac{\frac{1}{2} mv_{cm}^2}{\frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2) \omega^2} = \frac{mv_{cm}^2}{\frac{2}{5} m(v_{cm}^2)} = \frac{1}{2/5} = \frac{5}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $5/2$ છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે વાયુને તેના પ્રારંભિક કદના અડધા ભાગ સુધી સંકોચવામાં આવે છે,ત્યારે $V_2 = V_1 / 2$ થાય છે.
આ કિંમત મૂકતા,$T_2 = T_1 (V_1 / V_2)^{\gamma-1} = T_1 (2)^{\gamma-1}$ મળે છે.
બધા વાયુઓ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી,$T_2 > T_1$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાન વધે છે,ઘટે નહીં. તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
આદર્શ વાયુનું મુક્ત વિસ્તરણ શૂન્ય બાહ્ય દબાણ $(P_{ext} = 0)$ ની વિરુદ્ધ થાય છે,તેથી કોઈ કાર્ય થતું નથી $(W = 0)$. પાત્ર અવાહક હોવાથી,$Q = 0$ છે. થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W = 0$,જેનો અર્થ છે કે તાપમાન અચળ રહે છે. આ એક અપરિવર્તનીય એડિબેટિક પ્રક્રિયા છે. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.

(C) સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r} = 5t^2 \hat{i} - 5t \hat{j}$ છે.
વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ એ સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = 10t \hat{i} - 5 \hat{j}$.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે,વેગ સદિશ $\overrightarrow{v} = 10(2) \hat{i} - 5 \hat{j} = 20 \hat{i} - 5 \hat{j} \text{ m/s}$ થાય.
વેગનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{v}| = \sqrt{(20)^2 + (-5)^2} = \sqrt{400 + 25} = \sqrt{425} = \sqrt{25 \times 17} = 5\sqrt{17} \text{ m/s}$ છે.
દિશા શોધવા માટે,ધારો કે $\theta$ એ ઋણ $\text{Y}$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે. સદિશના ઘટકો પરથી,$\tan \theta = \frac{|v_x|}{|v_y|} = \frac{20}{5} = 4$. તેથી,$\theta = \tan^{-1} 4$ જે ઋણ $\text{Y}$-અક્ષ સાથે છે.

(A) ઢળતા સમતલ પર $\ell$ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2\ell}{a_{cm}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વસ્તુનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I_{cm}}{MR^2}}$ છે.
નક્કર ગોળા માટે,$I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$,તેથી $a_1 = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5g \sin \theta}{7}$.
પોલા ગોળા માટે,$I_{cm} = \frac{2}{3}MR^2$,તેથી $a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/3} = \frac{3g \sin \theta}{5}$.
પ્રવેગની સરખામણી કરતા,$a_1 = \frac{5}{7}g \sin \theta \approx 0.714 g \sin \theta$ અને $a_2 = \frac{3}{5}g \sin \theta = 0.6 g \sin \theta$. આમ,$a_1 > a_2$.
કારણ કે $t \propto \frac{1}{\sqrt{a_{cm}}}$,તેથી વધુ પ્રવેગ એટલે ઓછો સમય. તેથી,$t_1 < t_2$.

(B) સેલ્સિયસ $(C)$ અને ફેરનહીટ $(F)$ સ્કેલ વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{C}{5} = \frac{F - 32}{9}$
આ સમીકરણને $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા (જ્યાં $y = C$ અને $x = F$):
$C = \frac{5}{9}F - \frac{160}{9}$
આ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું એક સુરેખ સમીકરણ છે,જ્યાં ઢાળ $m = \frac{5}{9}$ ધન છે અને $y$-અંતઃખંડ $c = -\frac{160}{9}$ ઋણ છે.
ધન ઢાળ અને ઋણ $y$-અંતઃખંડ ધરાવતો આલેખ એવી રેખા દર્શાવે છે જે ચોથા ચરણમાંથી પસાર થાય છે અને જેનો ઢાળ ધન છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,આકૃતિ $B$ એ ધન ઢાળ અને ઋણ $y$-અંતઃખંડ ધરાવતી રેખા દર્શાવે છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,તેથી $Q = W$ થાય. કાર્ય $W$ એ $PV$ આલેખમાં $ABCA$ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
પ્રક્રિયા $ABCA$ એ $r$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળ અને એક સીધી રેખા $CA$ ની બનેલી છે.
$P$-અક્ષ પર અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $400 \text{ kPa} - 200 \text{ kPa} = 200 \text{ kPa}$ છે. તેથી,ત્રિજ્યા $r_P = 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$ છે.
$V$-અક્ષ પર અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $400 \text{ cc} - 200 \text{ cc} = 200 \text{ cc} = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ છે. તેથી,ત્રિજ્યા $r_V = 100 \text{ cc} = 10^{-4} \text{ m}^3$ છે.
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \pi r_P r_V = \frac{1}{2} \times \pi \times (10^5 \text{ Pa}) \times (10^{-4} \text{ m}^3) = \frac{1}{2} \times \pi \times 10 = 5 \pi \text{ J}$ થાય.
ચક્ર વિષમઘડી (counter-clockwise) દિશામાં હોવાથી,કાર્ય ઋણ છે,પરંતુ વિનિમય પામતી ઉષ્માનું મૂલ્ય $5 \pi \text{ J}$ છે.

(C) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,શીતલનનો દર: $\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left[ \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right]$ છે.
આપેલ છે: $T_1 = 40^{\circ} \text{C}$,$T_2 = 24^{\circ} \text{C}$,$t = 4 \text{ min}$,$T_s = 16^{\circ} \text{C}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{40 - 24}{4} = K \left[ \frac{40 + 24}{2} - 16 \right]$.
$\frac{16}{4} = K [32 - 16] \implies 4 = K(16) \implies K = \frac{1}{4}$.
હવે,પછીની $4 \text{ મિનિટ}$ માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T$ છે. અહીં $T_1 = 24^{\circ} \text{C}$,$T_2 = T$,$t = 4 \text{ min}$.
$\frac{24 - T}{4} = \frac{1}{4} \left[ \frac{24 + T}{2} - 16 \right]$.
$24 - T = \frac{24 + T - 32}{2} = \frac{T - 8}{2}$.
$48 - 2T = T - 8 \implies 3T = 56 \implies T = \frac{56}{3}^{\circ} \text{C}$.

(A) આપેલ છે $x(t) = x_0 \sin^2\left(\frac{t}{2}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x(t) = x_0 \left(\frac{1 - \cos t}{2}\right) = \frac{x_0}{2} - \frac{x_0}{2} \cos t$.
અહીં $x_0 = 1 \text{ m}$ હોવાથી,$x(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos t$.
આ $x = \frac{1}{2} \text{ m}$ ના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ $A = \frac{1}{2} \text{ m}$ કંપવિસ્તાર સાથેની સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \sin t$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{1}{4} \sin^2 t\right) = \frac{m}{8} \sin^2 t$.
$x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cos t$ પરથી,આપણને $\cos^2 t = 4(x - \frac{1}{2})^2$ મળે છે.
$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$ હોવાથી,$K = \frac{m}{8} [1 - 4(x - \frac{1}{2})^2]$ મળે છે.
આ $x$ ની સાપેક્ષમાં નીચેની તરફના પરવલયનું સમીકરણ છે,જે $x = 0$ અને $x = 1$ પર શૂન્ય છે,અને $x = \frac{1}{2}$ પર મહત્તમ છે. તેથી,આલેખ $(A)$ સાચો છે.

(B) $M$ દળ પર લાગતા બળો દોરીમાં તણાવ $T$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ છે.
તણાવ $T$ ને ઉર્ધ્વ અને સમક્ષિતિજ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$T \cos \theta = Mg$ $............(1)$
$T \sin \theta = M \omega^2 R$ $............(2)$
સિસ્ટમની ભૂમિતિ પરથી,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = L \sin \theta$ છે.
સમીકરણ $(2)$ માં $R$ ની કિંમત મૂકતા:
$T \sin \theta = M \omega^2 (L \sin \theta)$
$T = M \omega^2 L$
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \left(\frac{3}{\pi}\right) = 6 \text{ rad/s}$ છે.
તણાવના સમીકરણમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = M (6)^2 L = 36 ML$.
આમ,દોરીમાં તણાવ $36 ML$ છે.

(D) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ એ દબાણમાં થતા ફેરફાર અને કદના વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$
આપેલ છે:
બલ્ક મોડ્યુલસ $B = 2.15 \times 10^9 \text{ Nm}^{-2}$
કદ વિકૃતિ $\frac{\Delta V}{V} = -0.2\% = -0.002$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2.15 \times 10^9 = -\frac{\Delta P}{-0.002}$
$\Delta P = 2.15 \times 10^9 \times 0.002$
$\Delta P = 2.15 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-3}$
$\Delta P = 4.3 \times 10^6 \text{ Nm}^{-2}$
આપણે તેને $\text{P} \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવાની જરૂર છે:
$4.3 \times 10^6 = 43 \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$
આને $\text{P} \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\text{P} = 43$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g = \frac{GM}{R_e^2}$
જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે વ્યાસ તેના મૂળ મૂલ્યના $1/3$ ભાગનો કરવામાં આવે છે,તેથી ત્રિજ્યા $R_e$ પણ તેના મૂળ મૂલ્યના $1/3$ ભાગની થાય છે,એટલે કે $R' = R_e / 3$.
દળ $M$ અપરિવર્તિત રહે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નવો પ્રવેગ $g'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$g' = \frac{GM}{(R_e/3)^2} = \frac{GM}{R_e^2 / 9} = 9 \left( \frac{GM}{R_e^2} \right) = 9g$
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નવો પ્રવેગ $9g$ થશે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $d$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાકાર દડાનો $\rho$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $V_T = \frac{2}{9} R^2 \frac{g}{\eta} (d - \rho)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે $V_T \propto R^2$,જે પરવલય દર્શાવે છે.
વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે $V_T$ એ $R^2$ પર આધાર રાખે છે; તેથી,અલગ-અલગ વ્યાસના કારણે ટર્મિનલ વેગ અલગ-અલગ હોય છે.
વિધાન $C$ સાચું છે કારણ કે સ્નિગ્ધતા $\eta$ તાપમાન પર ખૂબ આધાર રાખે છે.
વિધાન $D$ સાચું છે કારણ કે $V_T$ માપીને અને $\eta$ જાણીને,પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ નક્કી કરી શકાય છે.
વિધાન $E$ ખોટું છે કારણ કે $\eta$ એ પ્રવાહીનો ગુણધર્મ છે અને તે દડાની પ્રારંભિક ઝડપના આધારે બદલાતું નથી.
તેથી,વિધાનો $A, C$ અને $D$ સાચા છે.

(B) વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે પૃષ્ઠતાણ સપાટી પરના અણુઓની આંતરિક ભાગના અણુઓ કરતા વધારાની ઉર્જાને કારણે ઉદભવે છે, ઉલટું નહીં.
વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે તાપમાન વધતા પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા ઘટે છે.
વિધાન $C$ સાચું છે કારણ કે વાયુઓમાં તાપમાન વધતા આણ્વિક અથડામણો વધવાને કારણે સ્નિગ્ધતા વધે છે.
વિધાન $D$ સાચું છે કારણ કે રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ નક્કી કરે છે કે પ્રવાહ લેમિનર છે કે ટર્બ્યુલન્ટ.
વિધાન $E$ સાચું છે કારણ કે જો બે સ્ટ્રીમલાઇન્સ છેદે, તો છેદબિંદુ પરના પ્રવાહી કણ પાસે બે અલગ-અલગ વેગ હોય, જે સ્થાયી પ્રવાહમાં ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
તેથી, વિધાનો $C, D,$ અને $E$ સાચા છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એન્જિન $E$ માટે: $\eta_{12} = 1 - \frac{273}{473} = \frac{200}{473} \approx 0.423$.
એન્જિન $E_1$ માટે: $\eta_1 = 1 - \frac{373}{473} = \frac{100}{473} \approx 0.211$.
એન્જિન $E_2$ માટે: $\eta_2 = 1 - \frac{273}{373} = \frac{100}{373} \approx 0.268$.
સરવાળો કરતા: $\eta_1 + \eta_2 = 0.211 + 0.268 = 0.479$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $0.423 < 0.479$,તેથી $\eta_{12} < \eta_1 + \eta_2$.

(D) માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ માધ્યમની ઘનતા છે.
વાયુઓની તુલનામાં ઘન પદાર્થોનો બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ ઘણો વધારે હોય છે,જે તેમની ઊંચી ઘનતા $(\rho)$ ની અસર કરતા ઘણો વધારે પ્રભાવ પાડે છે.
તેથી,ધ્વનિની ઝડપ વાયુઓ કરતા ઘન પદાર્થોમાં વધારે હોય છે. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
જોકે,કારણ $R$ જણાવે છે કે વાયુઓનો બલ્ક મોડ્યુલસ ઘન પદાર્થો કરતા વધારે હોય છે,જે ખોટું છે. ઘન પદાર્થોનો બલ્ક મોડ્યુલસ વાયુઓ કરતા ઘણો વધારે હોય છે.
તેથી,$A$ સાચું છે પણ $R$ ખોટું છે.

(A) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ $(V_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને સરેરાશ વર્ગિત વેગ $(V_{rms}^2)$ મળે છે:
$V_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$
ચોક્કસ આદર્શ વાયુ માટે $R$ (સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક) અને $M$ (વાયુનું મોલર દળ) અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$V_{rms}^2 \propto T$
આ સમીકરણ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = V_{rms}^2$,$x = T$,અને $m = \frac{3R}{M}$ એ ઢાળ છે.
તેથી,સરેરાશ વર્ગિત વેગ વિરુદ્ધ તાપમાનનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે.

(D) ધારો કે હૂપની ટોચ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા માટે સંદર્ભ સ્તર $(U_g = 0)$ છે.
ટોચ પર,સ્પ્રિંગ $x_i = 2R - R = R$ જેટલી ખેંચાયેલી છે. પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = U_{g,i} + U_{s,i} + K_i = 0 + \frac{1}{2}kR^2 + 0 = \frac{1}{2}kR^2$ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગની લંબાઈ $R$ થાય છે,ત્યારે મણકો શિરોલંબ સાથે $\theta = 60^\circ$ ના ખૂણે હોય છે,કારણ કે તળિયેથી અંતર $R$ છે અને ત્રિજ્યા $R$ છે,જે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ટોચથી મણકાની ઊંચાઈ $h = R + R \cos 60^\circ = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ છે.
આ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા $U_{g,f} = -mg(\frac{3R}{2})$ છે.
સ્પ્રિંગ તેની કુદરતી લંબાઈ પર છે,તેથી $U_{s,f} = 0$.
અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $E_i = E_f \implies \frac{1}{2}kR^2 = -\frac{3mgR}{2} + \frac{1}{2}mv^2$.
$2/m$ વડે ગુણતા: $\frac{kR^2}{m} = -3gR + v^2$.
આમ,$v = \sqrt{3gR + \frac{kR^2}{m}}$.

(B) વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે કેન્દ્રીય બળ (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ અથવા સ્થિર વિદ્યુત બળ) એ સંરક્ષી બળ છે. વ્યાખ્યા મુજબ,સંરક્ષી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય લીધેલા માર્ગથી સ્વતંત્ર હોય છે અને તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે.
કારણ $R$ પણ સાચું છે કારણ કે અસંરક્ષી બળો (જેમ કે ઘર્ષણ અથવા હવાનો અવરોધ) સાથે સંભવિત ઉર્જા વિધેય જોડાયેલું હોતું નથી.
જોકે,અમુક બળો પાસે સંભવિત ઉર્જા નથી તે હકીકત એ કારણ નથી કે કેન્દ્રીય બળો માર્ગથી સ્વતંત્ર છે. માર્ગની સ્વતંત્રતા એ સંરક્ષી બળોનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે. તેથી,$R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma$ એ $y$-દિશામાં અચળ છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $y_{cm} = b / 2$ થશે.
$x$-યામ માટે,આપણે ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ પહોળાઈની એક પાતળી ઉભી પટ્ટી વિચારીએ.
આ પટ્ટીનું દળ $dm = \sigma dA = \left(\frac{\sigma_0 x}{ab}\right) (b dx) = \frac{\sigma_0}{a} x dx$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નીચે મુજબ મળે:
$x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_0^a x \left(\frac{\sigma_0}{a} x dx\right)}{\int_0^a \left(\frac{\sigma_0}{a} x dx\right)}$
$x_{cm} = \frac{\int_0^a x^2 dx}{\int_0^a x dx} = \frac{[x^3 / 3]_0^a}{[x^2 / 2]_0^a} = \frac{a^3 / 3}{a^2 / 2} = \frac{2}{3} a$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\left(\frac{2}{3} a, \frac{b}{2}\right)$ પર છે.

(A) સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$LC = \frac{\text{પિચ}}{\text{વર્તુળાકાર સ્કેલ પરના વિભાગોની સંખ્યા}} = \frac{0.75 \ mm}{15} = 0.05 \ mm$.
અહીં લંબાઈ $L = 5 \ mm$ અને પહોળાઈ $W = 2.5 \ mm$ આપેલ છે.
લંબચોરસ શીટનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times W$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં મહત્તમ આંશિક ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta L}{L} + \frac{\Delta W}{W}$.
અહીં,માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિ એ લઘુત્તમ માપ જેટલી હોય છે,તેથી $\Delta L = \Delta W = 0.05 \ mm$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta A}{A} = \frac{0.05}{5} + \frac{0.05}{2.5} = 0.01 + 0.02 = 0.03 = \frac{3}{100}$.
આને $\frac{x}{100}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(B) ધારો કે દરેક પદાર્થનું દળ $M$ છે. તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{MR_1^2}{4}$ છે.
રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{MR_2^2}{2}$ છે.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_3 = \frac{2MR_1^2}{5}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$I_1 = 2.5 I_2$.
$\frac{MR_1^2}{4} = 2.5 \times \frac{MR_2^2}{2} \Rightarrow \frac{R_1^2}{4} = \frac{5}{2} \times \frac{R_2^2}{2} \Rightarrow \frac{R_1^2}{4} = \frac{5R_2^2}{4} \Rightarrow R_1^2 = 5R_2^2$.
હવે,આપણને આપેલ છે કે $I_3 = n I_2$.
$\frac{2MR_1^2}{5} = n \times \frac{MR_2^2}{2}$.
સમીકરણમાં $R_1^2 = 5R_2^2$ મૂકતા:
$\frac{2M(5R_2^2)}{5} = n \times \frac{MR_2^2}{2} \Rightarrow 2MR_2^2 = n \times \frac{MR_2^2}{2} \Rightarrow n = 4$.

(C) સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસ $(Y)$ નું પરિમાણ સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) જેટલું હોય છે,જે $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ છે.
ટોર્ક $( au)$ નું પરિમાણ બળ $\times$ અંતર છે,જે $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
માપવાની રાશિ $\frac{Y}{\tau}$ છે.
$\frac{Y}{\tau}$ ના પરિમાણ = $\frac{[M^1 L^{-1} T^{-2}]}{[M^1 L^2 T^{-2}]} = [M^0 L^{-3} T^0]$.
આને $[M^a L^b T^c]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 0$,$b = -3$,અને $c = 0$ મળે છે.
નોંધ: પ્રશ્નમાં $b = 3$ આપેલ છે,જે મૂલ્યની સરખામણી સૂચવે છે. પ્રમાણિત પરિમાણીય વિશ્લેષણ મુજબ,$c$ નું મૂલ્ય $0$ રહે છે.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી નક્કર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તકતીઓ સમાન દ્રવ્ય (લોખંડ) ની બનેલી હોવાથી અને અવગણ્ય જાડાઈ ધરાવતી હોવાથી,તેમની પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma$ સમાન છે.
તેથી,તકતીનું દળ $M = \sigma \times \text{ક્ષેત્રફળ} = \sigma \times \pi R^2$ થાય.
પ્રથમ તકતી માટે: $M_1 = \sigma \pi R_1^2$ અને $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R_1^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi R_1^2) R_1^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi R_1^4$.
બીજી તકતી માટે: $M_2 = \sigma \pi R_2^2$ અને $I_2 = \frac{1}{2} M_2 R_2^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi R_2^2) R_2^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi R_2^4$.
આપેલ છે કે $R_2 = 2 R_1$,આ કિંમત $I_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I_2 = \frac{1}{2} \sigma \pi (2 R_1)^4 = \frac{1}{2} \sigma \pi (16 R_1^4) = 16 \times (\frac{1}{2} \sigma \pi R_1^4) = 16 I_1$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_1}{16 I_1} = \frac{1}{16}$.
આને $1/x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 16$ મળે છે.

(A) $1$. કોણીય આઘાત એ કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે,જેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-1}]$ છે. તેથી,$(A)-(III)$.
$2$. ગુપ્ત ઉષ્મા એ એકમ દળ દીઠ ઉર્જા છે,$L = Q/m$,જેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^2 T^{-2}]$ છે. તેથી,$(B)-(I)$.
$3$. વિદ્યુત અવરોધકતા $\rho$ માટે $R = \rho l/A$ સૂત્ર છે,તેથી $\rho = RA/l$. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^3 T^{-3} A^{-2}]$ છે. તેથી,$(C)-(IV)$.
$4$. વિદ્યુતચાલક બળ એ એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ થયેલું કાર્ય છે,$V = W/q$,જેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ છે. તેથી,$(D)-(II)$.

(C) વાયુનો $r.m.s.$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાષ્પ ઘનતા $d$ એ મોલર દળ $M$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(d = \frac{M}{2})$,આપણને $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$ મળે છે.
આપેલ બાષ્પ ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{25}$ છે.
$r.m.s.$ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{d_2}{d_1}}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.

(B) $N$ અણુઓની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K = \frac{3}{2} N k_B T = \frac{3}{2} n R T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
આપેલ દળ $m = 50 \text{ g}$,$\text{CO}_2$ નું મોલર દળ $M = 44 \text{ g/mol}$.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M} = \frac{50}{44} \approx 1.136 \text{ mol}$.
તાપમાન $T = 17 + 273.15 = 290.15 \text{ K}$.
$R = 8.314 \text{ J/(mol K)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$K = \frac{3}{2} \times \left( \frac{50}{44} \right) \times 8.314 \times 290.15$.
$K = 1.5 \times 1.13636 \times 8.314 \times 290.15 \approx 4108.6 \text{ J}$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $4102.8 \text{ J}$ છે.

(A) પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$t = 0 \; s$ અને $t = 4 \; s$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે $t = 0$ થી $t = 4$ સુધીના આલેખની નીચેના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ ગણીએ છીએ.
આ પ્રદેશમાં $t = 0$ થી $t = 2$ સુધીનો ત્રિકોણ અને $t = 2$ થી $t = 4$ સુધીનો લંબચોરસનો સમાવેશ થાય છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ($t = 0$ થી $t = 2$ સુધી) $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 2 \; s \times 10 \; m/s = 10 \; m$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ($t = 2$ થી $t = 4$ સુધી) $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (4 - 2) \; s \times 10 \; m/s = 2 \; s \times 10 \; m/s = 20 \; m$.
કુલ અંતર $= 10 \; m + 20 \; m = 30 \; m$.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
આપેલ છે: $M_E = 8M_P$ અને $R_E = 2R_P$,જ્યાં $E$ પૃથ્વી દર્શાવે છે અને $P$ ગ્રહ દર્શાવે છે.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_P}{V_E} = \sqrt{\frac{M_P}{M_E} \times \frac{R_E}{R_P}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{V_P}{V_E} = \sqrt{\frac{M_P}{8M_P} \times \frac{2R_P}{R_P}} = \sqrt{\frac{1}{8} \times 2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$V_P = \frac{1}{2} V_E = \frac{1}{2} \times 11.2 \ km/s = 5.6 \ km/s$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ માટે,સ્થાન $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,$x_0 = A \sin \phi$ $..........(1)$
વેગમાન $p(t) = m \frac{dx}{dt} = m A \omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$p_0 = m A \omega \cos \phi$ $..........(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણે પ્રારંભિક શરતો $x_0$ અને $p_0$ નો ઉપયોગ કરીને બે અજ્ઞાત,કંપવિસ્તાર $A$ અને કળા અચળાંક $\phi$ માટે ઉકેલી શકીએ છીએ.
ચોક્કસ રીતે,$\tan \phi = \frac{m \omega x_0}{p_0}$ અને $A = \sqrt{x_0^2 + (p_0 / m \omega)^2}$.
કારણ કે $A$ અને $\phi$ એ $x_0$ અને $p_0$ દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે,તેથી કોઈપણ સમયે $t$ પર સિસ્ટમની સ્થિતિ સંપૂર્ણપણે નક્કી થાય છે.
આમ,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 4 \ kg$,બળ $\overrightarrow{F} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \ N$,સ્થાનાંતર $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (6-3) \hat{i} + (10-4) \hat{j} = (3 \hat{i} + 6 \hat{j}) \ m$,સમય $t = 4 \ s$.
કરેલું કાર્ય $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 6 \hat{j}) = (2 \times 3) + (3 \times 6) = 6 + 18 = 24 \ J$.
સરેરાશ પાવર $\langle P \rangle = \frac{W}{t} = \frac{24}{4} = 6 \ W$.
પ્રવેગ $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{2 \hat{i} + 3 \hat{j}}{4} = (0.5 \hat{i} + 0.75 \hat{j}) \ m/s^2$.
$t = 4 \ s$ સમયે વેગ $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{a}t = 0 + (0.5 \hat{i} + 0.75 \hat{j}) \times 4 = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \ m/s$.
તાત્ક્ષણિક પાવર $P_{ins} = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) = 4 + 9 = 13 \ W$.
સરેરાશ પાવર અને તાત્ક્ષણિક પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{\langle P \rangle}{P_{ins}} = \frac{6}{13}$ છે.

(B) સળિયો પરિભ્રમણીય સંતુલનમાં રહે તે માટે,પીવટ પોઈન્ટ ($40 \ cm$ ના નિશાન પર) ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $90 \ cm$ ના નિશાન પર લટકાવવાનું દળ $m$ છે.
સળિયાનું વજન તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર કાર્ય કરે છે,જે $50 \ cm$ ના નિશાન પર છે.
પીવટથી $400 \ g$ દળનું અંતર $40 \ cm - 10 \ cm = 30 \ cm$ છે.
પીવટથી સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $50 \ cm - 40 \ cm = 10 \ cm$ છે.
પીવટથી અજ્ઞાત દળ $m$ નું અંતર $90 \ cm - 40 \ cm = 50 \ cm$ છે.
પીવટને સંદર્ભ બિંદુ તરીકે લેતા,ટોર્ક સંતુલન સમીકરણ:
$(400 \ g \times 30 \ cm) = (250 \ g \times 10 \ cm) + (m \times 50 \ cm)$
$12000 = 2500 + 50m$
$50m = 12000 - 2500$
$50m = 9500$
$m = \frac{9500}{50} = 190 \ g$

(D) ઘન પદાર્થનું દળ $M = 400 \ g = 0.4 \ kg$ છે. ધારની લંબાઈ $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે. ઘન પદાર્થનું કુલ કદ $V_{total} = L^3 = (0.1 \ m)^3 = 0.001 \ m^3 = 1000 \ cm^3$ છે.
તરતા પદાર્થ માટે,પદાર્થનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે: $Mg = \rho_{water} V_{displaced} g$.
$0.4 = 1000 \times V_{displaced}$.
$V_{displaced} = 0.4 / 1000 = 0.0004 \ m^3 = 400 \ cm^3$.
પાણીની બહાર રહેલું કદ $V_{outside} = V_{total} - V_{displaced} = 1000 \ cm^3 - 400 \ cm^3 = 600 \ cm^3$ થાય.

(C) ધારો કે $F$ એ ફુગ્ગા પર લાગતું ઉપરની તરફનું ઉત્પ્લાવક બળ છે.
પ્રારંભિક કિસ્સા માટે,ગતિનું સમીકરણ:
$F - Mg = Ma$
$F = M(a + g)$
ધારો કે ફુગ્ગામાંથી $x$ જેટલું દળ દૂર કરવામાં આવે છે. ફુગ્ગાનું નવું દળ $(M - x)$ થશે.
બીજા કિસ્સા માટે,ગતિનું સમીકરણ:
$F - (M - x)g = (M - x)(3a)$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $F$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$M(a + g) - (M - x)g = (M - x)(3a)$
$Ma + Mg - Mg + xg = 3Ma - 3xa$
$Ma + xg = 3Ma - 3xa$
$xg + 3xa = 3Ma - Ma$
$x(g + 3a) = 2Ma$
$x = \frac{2Ma}{g + 3a}$

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $\Delta P$ એ દબાણમાં ફેરફાર છે,$V$ એ પ્રારંભિક કદ છે અને $\Delta V$ એ કદમાં ફેરફાર છે.
આપેલ છે: ધારની લંબાઈ $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$. પ્રારંભિક કદ $V = L^3 = (0.1 \ m)^3 = 10^{-3} \ m^3$.
દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P = 7 \times 10^6 \ Pa$.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B = 1.4 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$.
કદના સંકોચન $\Delta V$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $\Delta V = \frac{\Delta P \times V}{B}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta V = \frac{7 \times 10^6 \times 10^{-3}}{1.4 \times 10^{11}} = \frac{7 \times 10^3}{1.4 \times 10^{11}} = 5 \times 10^{-8} \ m^3$.
કારણ કે $1 \ m^3 = 10^9 \ mm^3$,તેથી કદને રૂપાંતરિત કરતા: $\Delta V = 5 \times 10^{-8} \times 10^9 \ mm^3 = 50 \ mm^3$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
બંને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો માટે પ્રારંભિક ઝડપ $u$ સમાન હોવાથી,તેમની મહત્તમ ઊંચાઈનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2(45^{\circ}-\alpha)}{\sin^2(45^{\circ}+\alpha)}$.
ત્રિકોણમિતીય વિસ્તરણ $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(45^{\circ}-\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha - \sin \alpha)$.
$\sin(45^{\circ}+\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha + \sin \alpha)$.
આ પદોનો વર્ગ કરતા:
$\sin^2(45^{\circ}-\alpha) = \frac{1}{2}(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha) = \frac{1}{2}(1 - \sin 2\alpha)$.
$\sin^2(45^{\circ}+\alpha) = \frac{1}{2}(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha) = \frac{1}{2}(1 + \sin 2\alpha)$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$ થાય.

(B) સમાન પરિમાણો ન ધરાવતી જોડી નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. ટોર્ક $( \tau)$ અને ઉર્જા $(E)$: બંનેના પરિમાણો $[ML^2T^{-2}]$ છે.
$2$. પૃષ્ઠતાણ $(\sigma)$ અને આઘાત $(I)$: પૃષ્ઠતાણના પરિમાણો $[MT^{-2}]$ છે,જ્યારે આઘાતના પરિમાણો $[MLT^{-1}]$ છે. આ સમાન નથી.
$3$. કોણીય વેગમાન $(L)$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$: બંનેના પરિમાણો $[ML^2T^{-1}]$ છે.
$4$. દબાણ $(P)$ અને યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$: બંનેના પરિમાણો $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
તેથી,જે જોડી સમાન પરિમાણો ધરાવતી નથી તે પૃષ્ઠતાણ અને આઘાત છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}},$ જેનો અર્થ છે કે જેમ $g$ વધે તેમ આવર્તકાળ ઘટે છે અને જેમ $g$ ઘટે તેમ આવર્તકાળ વધે છે.
પર્વતની ટોચ પર,પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ $h$ ધન હોય છે,અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_h = g_0 \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $g_h < g_0$ (જ્યાં $g_0$ એ પાયા/સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે),પર્વતની ટોચ પર $g$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય છે.
કારણ કે ટોચ પર $g$ ઓછું છે,તેથી પર્વતની ટોચ પર આવર્તકાળ $T$ એ પાયાની સરખામણીમાં વધારે હશે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $v = At^2 + \frac{Bt}{C+t}$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સરવાળામાં રહેલા દરેક પદનું પારિમાણિક સૂત્ર વેગના પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
પદ $\frac{Bt}{C+t}$ માટે,$C$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $t$ ના પારિમાણિક સૂત્ર જેટલું હોવું જોઈએ,તેથી $[C] = [T]$.
હવે,પદ $\frac{Bt}{C+t}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[B][T]}{[T]} = [B]$ થાય. આ વેગના પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ જેટલું હોવાથી,$[B] = [LT^{-1}]$ મળે.
પદ $At^2$ માટે,પારિમાણિક સૂત્ર $[A][T^2]$ થાય. આ પણ $[LT^{-1}]$ જેટલું હોવું જોઈએ,તેથી $[A] = [LT^{-3}]$ મળે.
અંતે,$ABC$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A][B][C] = [LT^{-3}] \cdot [LT^{-1}] \cdot [T] = [L^2 T^{-3}]$ થાય.

(A) $1$. ગોળા $B$ ને અથડાય તે પહેલાં ગોળા $A$ નો વેગ:
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા, ઊંચાઈમાં થતો ફેરફાર $h = R - R \cos(60^{\circ}) = R - R/2 = R/2$ છે.
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2g(R/2)} = \sqrt{gR}$.
$2$. ધારો કે $u = \sqrt{gR}$ એ સંઘાત પહેલાં $A$ નો વેગ છે.
ધારો કે $v_1$ અને $v_2$ એ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત પછી અનુક્રમે $A$ અને $B$ ના વેગ છે.
$3$. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ $(COM)$ મુજબ:
$mu = mv_1 + (m/2)v_2$
$u = v_1 + v_2/2$
$2u = 2v_1 + v_2$ --- $(i)$
$4$. સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે, રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$:
$e = (v_2 - v_1) / u = 1$
$v_2 - v_1 = u$ --- (ii)
$5$. સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
(ii) પરથી, $v_2 = u + v_1$.
તેને $(i)$ માં મૂકતા: $2u = 2v_1 + (u + v_1)$
$2u = 3v_1 + u$
$u = 3v_1$
$v_1 = u/3 = \frac{1}{3} \sqrt{gR}$.

(D) $h$ ઊંડાઈએ દબાણ $P = \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = \frac{P}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)}$ છે.
તેથી,આંશિક સંકોચન $\frac{\Delta V}{V} = \frac{P}{B} = \frac{\rho gh}{B}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\rho = 10^3 \ kg m^{-3}$,$g = 10 \ m s^{-2}$,$h = 2.5 \ km = 2.5 \times 10^3 \ m$,અને $B = 2 \times 10^9 \ N m^{-2}$.
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{10^3 \times 10 \times 2.5 \times 10^3}{2 \times 10^9} = \frac{2.5 \times 10^7}{2 \times 10^9} = 1.25 \times 10^{-2}$.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે: $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 1.25 \times 10^{-2} \times 100 = 1.25 \%$.

(D) ધારો કે ઉપરના બિંદુએ વેગ $v_t = n\sqrt{gR}$ છે. ઉપરના બિંદુએ ગતિઊર્જા $K_t = \frac{1}{2}mv_t^2 = \frac{1}{2}m(n^2gR)$ છે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ ઉપરના અને નીચેના બિંદુઓ વચ્ચે: $K_t + U_t = K_b + U_b$.
નીચેના બિંદુએ સ્થિતિઊર્જા $0$ લેતા,ઉપરના બિંદુએ સ્થિતિઊર્જા $mg(2R)$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{2}mn^2gR + 2mgR = \frac{1}{2}mv_b^2$.
બંને બાજુ $\frac{2}{m}$ વડે ગુણતા,$n^2gR + 4gR = v_b^2$,એટલે કે $v_b^2 = (n^2+4)gR$.
નીચેના બિંદુએ ગતિઊર્જા $K_b = \frac{1}{2}mv_b^2 = \frac{1}{2}m(n^2+4)gR$ છે.
નીચેના બિંદુએ ગતિઊર્જા અને ઉપરના બિંદુએ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_b}{K_t} = \frac{\frac{1}{2}m(n^2+4)gR}{\frac{1}{2}mn^2gR} = \frac{n^2+4}{n^2}$ થાય.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $Q = 0$ હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં $\Delta Q = 0$ હોવાથી,$\Delta W = -\Delta U$ મળે છે.
આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_{v} \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,થયેલું કાર્ય $\Delta W = -nC_{v} \Delta T$ છે.
આ દર્શાવે છે કે એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય ફક્ત તાપમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta T$ પર જ આધાર રાખે છે.

(A) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\vec{r} = (1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}) \ m$ અને $\vec{F} = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 1\hat{k}) \ N$.
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(1 - 1) + \hat{k}(-1 - 1)$
$\vec{\tau} = \hat{i}(2) - \hat{j}(0) + \hat{k}(-2)$
$\vec{\tau} = 2\hat{i} - 2\hat{k} \ N \cdot m$
$z$-દિશામાં ટોર્ક એ $\hat{k}$ એકમ સદિશ સાથે જોડાયેલ ઘટક છે,જે $-2 \ N \cdot m$ છે.
આ ઘટકનું મૂલ્ય $|-2| = 2 \ N \cdot m$ થાય.

(B) નિશ્ચિત કદ ધરાવતા પાત્રમાં રહેલા વાયુ માટે,કદ $V$ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ પર વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,દબાણ $P$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે ($P \propto T$ અથવા $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$).
આપેલ પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$ છે.
આપણે અંતિમ દબાણ $P_2 = 2P$ મેળવવા માંગીએ છીએ.
સંબંધ $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{P}{300} = \frac{2P}{T_2}$
$T_2 = 2 \times 300 = 600 \ K$.
તાપમાનને ફરીથી સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે: $T_2(^{\circ} C) = 600 - 273 = 327^{\circ} C$.

(C) આપેલ સર્કિટમાં, બંને ડાયોડ સમાંતર જોડાણમાં છે અને ફોરવર્ડ બાયસમાં છે કારણ કે તેમના p-છેડા બેટરીના ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલા છે.
ધારો કે ડાયોડ આદર્શ છે, તેથી દરેક શાખાનો અવરોધ $20 \Omega$ છે.
સમાંતરમાં જોડાયેલા બે $20 \Omega$ ના અવરોધો માટે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$
તેથી, $R_{\text{eq}} = 10 \Omega$.
ઓમના નિયમ મુજબ બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i$:
$i = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{5 \text{V}}{10 \Omega} = 0.5 \text{A}$.

(D) મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે, વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ ના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $E = Bc$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1})$.
અહીં $E_y = 9.3 \ Vm^{-1}$ આપેલ છે.
સંબંધ $B_z = \frac{E_y}{c}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$B_z = \frac{9.3}{3 \times 10^8} \ T$.
$B_z = 3.1 \times 10^{-8} \ T$.
તરંગ $+x$ દિશામાં ગતિ કરે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $+y$ દિશામાં છે, તેથી પ્રસરણની દિશા ($\vec{E} \times \vec{B}$ દિશા) સંતોષવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $+z$ દિશામાં હોવું જોઈએ.

(D) ગોલીય અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર $f = \frac{R}{2}$ છે,જ્યાં $R$ એ અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્ર માત્ર અરીસાની સપાટીના ભૌમિતિક આકાર પર આધાર રાખે છે.
લેન્સથી વિપરીત,અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ તેની આસપાસના માધ્યમના વક્રીભવનાંક પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,જ્યારે અરીસાને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેની કેન્દ્રલંબાઈમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,પ્રવાહીમાં તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ જ રહેશે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. સર્કિટ બે અવરોધો ($10 \ \Omega$ અને $15 \ \Omega$) ના શ્રેણી જોડાણ તરીકે સરળ બને છે જે $5 \ \text{V}$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
$1$. સર્કિટમાં કુલ પ્રવાહની ગણતરી કરો:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5 \ \text{V}}{10 \ \Omega + 15 \ \Omega} = \frac{5}{25} \ \text{A} = 0.2 \ \text{A}$.
$2$. $10 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_c)$ શોધો,જે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પણ છે:
$V_c = I \times R = 0.2 \ \text{A} \times 10 \ \Omega = 2 \ \text{V}$.
$3$. $Q = CV$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $(Q)$ શોધો:
$Q = (8 \ \mu \text{F}) \times (2 \ \text{V}) = 16 \ \mu \text{C}$.

(D) કેપેસીટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I_d = C \frac{dV}{dt}$.
અહીં,$C = 2.5 \mu \text{F} = 2.5 \times 10^{-6} \text{ F}$ અને $I_d = 0.25 \text{ mA} = 0.25 \times 10^{-3} \text{ A}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt}$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{I_d}{C}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{0.25 \times 10^{-3}}{2.5 \times 10^{-6}}$.
$\frac{dV}{dt} = \frac{0.25}{2.5} \times 10^{3} = 0.1 \times 1000 = 100 \text{ V s}^{-1}$.
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતા ફેરફારનો દર $100 \text{ V s}^{-1}$ છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં મહત્તમ પ્રવાહ માટે,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોવી જોઈએ.
અનુનાદ સમયે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ છે: $L = 100 \ \text{mH} = 100 \times 10^{-3} \ \text{H} = 0.1 \ \text{H}$ અને $C = 25 \ \text{nF} = 25 \times 10^{-9} \ \text{F}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{0.1 \times 25 \times 10^{-9}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{25 \times 10^{-10}}}$
$\omega = \frac{1}{5 \times 10^{-5}}$
$\omega = 0.2 \times 10^5 \ \text{rad s}^{-1} = 2 \times 10^4 \ \text{rad s}^{-1}$.
આમ,જવાબ $2$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં સંગ્રહિત ઉર્જા ઘનતા $u$ (એકમ કદ દીઠ ઉર્જા) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાનું કુલ કદ $V$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d$ નો ગુણાકાર છે,તેથી $V = Ad$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ સ્થિતિ ઉર્જા $U$ એ ઉર્જા ઘનતા અને કદનો ગુણાકાર છે: $U = u \times V$.
પદોને મૂકતા,આપણને મળે છે: $U = (\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2) \times (Ad)$.
તેથી,સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 Ad$ છે.

(A) શરૂઆતનો ઓપ્ટિકલ પાવર $P = 2.5 \ D$ છે. શરૂઆતની કેન્દ્રલંબાઈ $F = \frac{1}{P} = \frac{1}{2.5} = 0.4 \ m$ છે.
જ્યારે પાવરમાં $0.1 \ D$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવો પાવર $P' = 2.5 + 0.1 = 2.6 \ D$ થાય છે.
નવી કેન્દ્રલંબાઈ $F' = \frac{1}{P'} = \frac{1}{2.6} \ m$ છે.
કેન્દ્રલંબાઈમાં થતો સાપેક્ષ ઘટાડો $\frac{F - F'}{F} = 1 - \frac{F'}{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $1 - \frac{1/2.6}{1/2.5} = 1 - \frac{2.5}{2.6} = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$ મળે છે.
આ કિંમતની ગણતરી કરતા,$\frac{1}{26} \approx 0.03846$,જે આશરે $0.04$ થાય છે.

(A) બે અવસ્થાઓ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવસ્થા $A$ થી અવસ્થા $C$ ના સંક્રમણ માટે:
$E_A - E_C = \frac{hc}{2000 \ \mathring A} \quad \dots (i)$
અવસ્થા $B$ થી અવસ્થા $C$ ના સંક્રમણ માટે:
$E_B - E_C = \frac{hc}{6000 \ \mathring A} \quad \dots (ii)$
અવસ્થા $A$ થી અવસ્થા $B$ ના સંક્રમણ માટે,ઉર્જા તફાવત:
$E_A - E_B = (E_A - E_C) - (E_B - E_C)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{hc}{\lambda_{AB}} = \frac{hc}{2000 \ \mathring A} - \frac{hc}{6000 \ \mathring A}$
$\frac{1}{\lambda_{AB}} = \frac{3 - 1}{6000 \ \mathring A} = \frac{2}{6000 \ \mathring A} = \frac{1}{3000 \ \mathring A}$
તેથી,$\lambda_{AB} = 3000 \ \mathring A$.

(D) વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે સોલર સેલનો જંકશન વિસ્તાર વધુ પ્રકાશ એકત્રિત કરવા માટે મોટો રાખવામાં આવે છે,જ્યારે ફોટોડાયોડનો વિસ્તાર ઝડપી પ્રતિભાવ માટે નાનો હોય છે.
વિધાન $B$ સાચું છે કારણ કે સોલર સેલ કોઈપણ બાહ્ય બાયસ વગર ફોટોવોલ્ટેઇક મોડમાં કાર્ય કરે છે.
વિધાન $C$ ખોટું છે કારણ કે $\text{LED}$ એ હેવીલી ડોપ્ડ $p-n$ જંકશનથી બનેલી હોય છે જેથી કાર્યક્ષમ રીતે કેરિયર ઇન્જેક્શન થઈ શકે.
વિધાન $D$ ખોટું છે કારણ કે $\text{LED}$ ની પ્રકાશ તીવ્રતા ફોરવર્ડ કરંટ સાથે એક ચોક્કસ મર્યાદા સુધી જ વધે છે,ત્યારબાદ તે સંતૃપ્ત થાય છે.
વિધાન $E$ સાચું છે કારણ કે $\text{LED}$ ત્યારે જ પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે જ્યારે તે ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય,જે જંકશન પર ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સના પુનઃસંયોજનનું કારણ બને છે.
તેથી,વિધાન $B$ અને $E$ સાચા છે.

(D) પ્રકાશિત શલાકાઓ સંપાત થાય તે માટે,પડદા પરના સમાન સ્થાન પર બંને તરંગલંબાઇ માટે પથ તફાવત સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\lambda_1 = 480 \ nm$ માટે પ્રકાશિત શલાકાનો ક્રમ $n_1$ છે અને $\lambda_2 = 600 \ nm$ માટે પ્રકાશિત શલાકાનો ક્રમ $n_2$ છે.
સંપાત થવાની શરત: $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n_1 \times 480 = n_2 \times 600$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{n_1}{n_2} = \frac{600}{480} = \frac{60}{48} = \frac{5}{4}$.
આમ,$n_1$ માટે લઘુત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $5$ છે અને $n_2$ માટે $4$ છે.
તેથી,પ્રથમ સંપાત માટે જરૂરી $480 \ nm$ પ્રકાશની લઘુત્તમ પ્રકાશિત શલાકાઓની સંખ્યા $5$ છે.

(B) સિલ્વર કરેલા લેન્સ સિસ્ટમનો પાવર $P = 2P_L + P_M$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_L$ એ લેન્સનો પાવર છે અને $P_M$ એ અરીસાનો પાવર છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,પાવર $P_L = \frac{1}{f_L} = (\mu_g/\mu_l - 1)(1/R_1 - 1/R_2)$.
અહીં,$\mu_g = 1.5$,$\mu_l = 1.2$,$R_1 = R$,અને $R_2 = \infty$.
તેથી,$P_L = (1.5/1.2 - 1)(1/R - 0) = (1.25 - 1)/R = 0.25/R$.
અરીસો એ સમતલ સપાટી છે,તેથી તેનો પાવર $P_M = -1/f_M$. તે સમતલ અરીસો હોવાથી,$f_M = \infty$,તેથી $P_M = 0$.
સિસ્ટમની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ એ $1/F = -(2P_L + P_M)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $F = -0.2 \ m$ (અંતર્ગોળ અરીસો),તેથી $1/(-0.2) = -(2 \times (0.25/R) + 0)$.
$-5 = -0.5/R$.
$R = 0.5/5 = 0.1 \ m$.

(B) સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે. સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = \infty$ થાય.
હવામાં પ્રથમ લેન્સ માટે $(\mu_a = 1)$:
$\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$
$f_1 = 4 \ cm$.
પ્રવાહીમાં બીજા લેન્સ માટે $(\mu_l = 1.2)$:
$\frac{1}{f_2} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - 0 \right) = \left( \frac{1.5}{1.2} - 1 \right) \left( \frac{1}{3} \right)$
$\frac{1}{f_2} = (1.25 - 1) \times \frac{1}{3} = 0.25 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$
$f_2 = 12 \ cm$.
તેથી,$f_1 : f_2 = 4 : 12 = 1 : 3$.

(C) આપેલ કરંટ $I = I_A \sin \omega t + I_B \cos \omega t$ છે.
આપણે તેને $I = \sqrt{I_A^2 + I_B^2} \sin(\omega t + \phi)$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $\tan \phi = \frac{I_B}{I_A}$ છે.
આ મહત્તમ મૂલ્ય $I_0 = \sqrt{I_A^2 + I_B^2}$ ધરાવતો સાઇનસૉઇડલ કરંટ દર્શાવે છે.
સાઇનસૉઇડલ કરંટ $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ નું r.m.s. મૂલ્ય $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_0$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $I_{rms} = \frac{\sqrt{I_A^2 + I_B^2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{I_A^2 + I_B^2}{2}}$ મળે છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રારંભિક વેગ $\overrightarrow{v}_i = v_0 \hat{i}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = -E_0 \hat{k}$ માં ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E} = -e(-E_0 \hat{k}) = e E_0 \hat{k}$ છે.
પ્રવેગ $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{e E_0}{m} \hat{k}$ છે.
$t$ સમયે વેગ $\overrightarrow{v}(t) = \overrightarrow{v}_i + \overrightarrow{a}t = v_0 \hat{i} + \frac{e E_0 t}{m} \hat{k}$ થાય.
વેગનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{v}(t)| = \sqrt{v_0^2 + \left(\frac{e E_0 t}{m}\right)^2} = v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m|\overrightarrow{v}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{h}{m v_0}$ છે.
$t$ સમયે તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{h}{m v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}} = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ થાય.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = l \times b$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_i = \frac{\epsilon_0 (3 \ cm \times 1 \ cm)}{3 \ \mu m} = \epsilon_0 \times 10^4 \ cm^2/m$.
આપણે નવું કેપેસીટન્સ $C_f = 10 C_i$ મેળવવા માંગીએ છીએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $C_A = \frac{\epsilon_0 (30 \times 1)}{1} = 30 C_i$ (ખોટું).
વિકલ્પ $B$ માટે: $C_B = \frac{\epsilon_0 (3 \times 1)}{30} = 0.1 C_i$ (ખોટું).
વિકલ્પ $C$ માટે: $C_C = \frac{\epsilon_0 (6 \times 5)}{3} = 10 C_i$ (સાચું).
વિકલ્પ $D$ માટે: $C_D = \frac{\epsilon_0 (1 \times 1)}{10} = 0.033 C_i$ (ખોટું).
વિકલ્પ $E$ માટે: $C_E = \frac{\epsilon_0 (5 \times 2)}{1} = 10 C_i$ (સાચું).
આમ,વિકલ્પો $C$ અને $E$ કેપેસીટન્સમાં $10$ ના ગુણાંકમાં વધારો કરે છે.

(A) વિદ્યુતભાર $q$ ને $a$ બાજુવાળા ચોરસ લૂપના કેન્દ્રથી $a/2$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે.
સંમિતિ દ્વારા,આપણે વિદ્યુતભાર $q$ ને $a$ બાજુવાળા સમઘનમાં એવી રીતે બંધ કરી શકીએ કે જેથી ચોરસ લૂપ સમઘનની એક બાજુ બનાવે.
સમગ્ર સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
સમઘનને $6$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,ચોરસ લૂપ (જે એક બાજુ છે) માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi_{square} = \frac{1}{6} \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
ચોરસ લૂપને કેન્દ્રમાંથી ખૂણાઓ અને બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ સુધી રેખાઓ દોરીને $8$ સમાન ત્રિકોણાકાર ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
સંમિતિને કારણે,આ $8$ સમાન ત્રિકોણાકાર ભાગોમાંથી દરેકમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન છે.
તેથી,દરેક ત્રિકોણાકાર ભાગમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi_{triangle} = \frac{1}{8} \Phi_{square} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{6} \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{1}{48} \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
આકૃતિમાં છાયાંકિત ભાગ આવા $5$ સમાન ત્રિકોણાકાર ભાગોનો બનેલો છે.
આમ,છાયાંકિત ભાગમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi_{shaded} = 5 \times \Phi_{triangle} = 5 \times \frac{1}{48} \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{5}{48} \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
$q = 1 \ C$ આપેલ હોવાથી,ફ્લક્સ $\frac{5}{48} \frac{1}{\varepsilon_0}$ છે.
આને $\frac{5}{p} \times \frac{1}{\varepsilon_0}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 48$ મળે છે.

(C) તારનો કુલ અવરોધ $9 \ \Omega$ છે. તેને સમબાજુ ત્રિકોણમાં વાળવામાં આવતા,તારના ત્રણ સમાન ભાગ થાય છે,જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $R' = 9 \ \Omega / 3 = 3 \ \Omega$ થાય છે.
જ્યારે આપણે કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ (ધારો કે $B$ અને $C$) વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ વિચારીએ,ત્યારે $B$ અને $C$ વચ્ચેનો અવરોધ એ બાકીના બે અવરોધો (જે $A-B$ અને $A-C$ વચ્ચે છે) ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતર હોય છે.
$AB$ અને $AC$ શાખાનો શ્રેણી અવરોધ $R_{series} = 3 \ \Omega + 3 \ \Omega = 6 \ \Omega$ થાય છે.
હવે,આ $6 \ \Omega$ નો અવરોધ એ $B$ અને $C$ વચ્ચે સીધો જોડાયેલા $3 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$R_{eq} = 2 \ \Omega$.

(D) $L$ લંબાઈના સીધા તારને કારણે તેના કેન્દ્રથી $d$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = \frac{1}{\sqrt{2}} \; m$ બાજુવાળા ચોરસ લૂપ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $d = \frac{a}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \; m$ છે.
કેન્દ્ર પર બાજુના છેડાઓ દ્વારા બનતા ખૂણાઓ $\theta_1 = 45^\circ$ અને $\theta_2 = 45^\circ$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B_{\text{side}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 5}{4 \pi \times (\frac{1}{2\sqrt{2}})} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ)$.
$B_{\text{side}} = \frac{10^{-7} \times 5}{\frac{1}{2\sqrt{2}}} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 10^{-7} \times 5 \times 2\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 20 \times 10^{-7} = 2 \times 10^{-6} \; T$.
બધી $4$ બાજુઓને કારણે કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}} = 4 \times B_{\text{side}} = 4 \times 2 \times 10^{-6} = 8 \times 10^{-6} \; T$ છે.
આને $p \times 10^{-6} \; T$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 8$ મળે છે.

(A) $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ માટેનું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda_m D}{d}$, જ્યાં $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ છે।
આપેલ કિંમતો: $\lambda_0 = 690 \times 10^{-9}\ \text{m}$, $\mu = 1.44$, $D = 0.72\ \text{m}$, અને $d = 1.5 \times 10^{-3}\ \text{m}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \left( \frac{690 \times 10^{-9}}{1.44} \right) \times \frac{0.72}{1.5 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{690 \times 10^{-9} \times 0.72}{1.44 \times 1.5 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{690 \times 10^{-9} \times 0.5}{1.5 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{345 \times 10^{-9}}{1.5 \times 10^{-3}} = 230 \times 10^{-6}\ \text{m} = 0.23\ \text{mm}$.

(A) તરંગલંબાઈના વધતા ક્રમમાં વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટ નીચે મુજબ છે:
$X-$કિરણો < અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ કિરણો < ઇન્ફ્રારેડ $(IR)$ કિરણો < માઇક્રોવેવ્સ.
આપેલ તરંગલંબાઈઓ:
$(A)$ માઇક્રોવેવ્સ: $\lambda_1$
$(B)$ અલ્ટ્રાવાયોલેટ કિરણો: $\lambda_2$
$(C)$ ઇન્ફ્રારેડ કિરણો: $\lambda_3$
$(D)$ $X-$કિરણો: $\lambda_4$
આની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\lambda_4 < \lambda_2 < \lambda_3 < \lambda_1$.
તેથી,સાચો ચડતો ક્રમ $\lambda_4 < \lambda_2 < \lambda_3 < \lambda_1$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
ઇલેક્ટ્રોન અચળ વેગ સાથે સીધી રેખામાં ગતિ કરે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ ચુંબકીય બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\vec{F} = 0$.
કારણ કે $\vec{F} = qvB \sin \theta$,$\vec{F} = 0$ માટે,વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રોનના વેગની દિશામાં સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોવું જોઈએ.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ત્રિજ્યા ધરાવતા અને સમાન રીતે વહેંચાયેલ પ્રવાહ $I$ વહન કરતા લાંબા સીધા તાર માટે:
$1$. તારની અંદર $(r < a)$: એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$. પ્રવાહ સમાન હોવાથી,$I_{\text{enclosed}} = I \cdot (\pi r^2 / \pi a^2) = I(r^2/a^2)$. તેથી,$B(2\pi r) = \mu_0 I (r^2/a^2)$,જે આપે છે $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$. આમ,$B \propto r$.
$2$. તારની બહાર $(r > a)$: એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,જે આપે છે $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$. તેથી,$B \propto 1/r$.
$3$. સપાટી પર $(r = a)$: ચુંબકીય ક્ષેત્ર મહત્તમ હોય છે,$B_{\text{max}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$.
આ પરિણામોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ માં આપેલો આલેખ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) ગોઠવણી $(1)$ માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $U_1$ એ તમામ વિદ્યુતભારની જોડીઓની આંતરક્રિયા ઉર્જાનો સરવાળો છે. $a$ અંતરે $4$ જોડીઓ અને $a\sqrt{2}$ અંતરે $2$ જોડીઓ છે.
$U_1 = 4 \left( \frac{Kq_0^2}{a} \right) + 2 \left( \frac{Kq_0^2}{a\sqrt{2}} \right) = \frac{Kq_0^2}{a} (4 + \sqrt{2})$.
ગોઠવણી $(2)$ માટે,વિદ્યુતભારો મધ્યબિંદુઓ પર છે. જોડીઓ વચ્ચેના અંતર છે: $a/\sqrt{2}$ અંતરે $4$ જોડીઓ (પાસેની બાજુઓ),અને $a$ અંતરે $2$ જોડીઓ (સામેની બાજુઓ).
$U_2 = 4 \left( \frac{Kq_0^2}{a/\sqrt{2}} \right) + 2 \left( \frac{Kq_0^2}{a} \right) = \frac{Kq_0^2}{a} (4\sqrt{2} + 2)$.
તફાવત $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{Kq_0^2}{a} (4\sqrt{2} + 2 - 4 - \sqrt{2}) = \frac{Kq_0^2}{a} (3\sqrt{2} - 2)$.

(C) ભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = \frac{q}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ ભ્રમણનો આવર્તકાળ છે. આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
લૂપ $A$ માટે,તે એક વિદ્યુતભાર $q$ ને આવરે છે. તેથી,પ્રવાહ $I_A = \frac{q}{T} = \frac{q\omega}{2\pi}$.
લૂપ $B$ માટે,તે તમામ $N$ વિદ્યુતભારોને આવરે છે. એક આવર્તકાળ $T$ માં લૂપ $B$ માંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $Nq$ છે. તેથી,પ્રવાહ $I_B = \frac{Nq}{T} = \frac{Nq\omega}{2\pi}$.
જો આપણે લૂપ $B$ ને આખા વર્તુળને આવરતું ગણીએ,તો કુલ પ્રવાહ $I_B = \frac{Nq\omega}{2\pi}$ થાય. લૂપ $A$ માટે $I_A = \frac{q\omega}{2\pi}$ થાય. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $C$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $h\nu = \phi_0 + KE_{\max}$.
$KE_{\max} = eV_0$ હોવાથી,આપણને મળે છે $eV_0 = h\nu - \phi_0$.
$V_0$ માટે ગોઠવતા,$V_0 = (\frac{h}{e})\nu - (\frac{\phi_0}{e})$.
$(A)$ આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે રેખીય આલેખ દર્શાવે છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$(B)$ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ છે,$\frac{\phi_0}{h}$ નથી. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
$(C)$ ઢાળ $\frac{h}{e}$ હોવાથી,$h$ એ ઢાળ સાથે સંબંધિત છે. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
$(D)$ ઢાળ પરથી $h$ શોધવા માટે,આપણને $e$ (ઈલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર) ના મૂલ્યની જરૂર પડે છે. તેથી,$(D)$ ખોટું છે.
$(E)$ $V_0$ અક્ષ પરના અંતઃખંડ પરથી (જ્યાં $\nu = 0$),અંતઃખંડ $-\frac{\phi_0}{e}$ છે. $h$ અથવા $e$ જાણ્યા વિના,આપણે માત્ર અંતઃખંડ પરથી $\phi_0$ નક્કી કરી શકતા નથી. જોકે,આપેલા વિકલ્પો મુજબ $(A), (C)$ અને $(E)$ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) આપેલ છે:
ડ્રોનની ઊંચાઈ,$H = 18 \ \text{km} = 18 \times 10^3 \ \text{m}$.
લેન્ડસ્કેપનું ક્ષેત્રફળ,$A_{\text{landscape}} = 400 \ \text{km}^2 = (20 \ \text{km}) \times (20 \ \text{km})$.
તેથી,લેન્ડસ્કેપની બાજુની લંબાઈ $x = 20 \ \text{km} = 20 \times 10^3 \ \text{m}$ છે.
કેમેરા ફિલ્મનું કદ $2 \ \text{cm} \times 2 \ \text{cm}$ છે,તેથી પ્રતિબિંબની બાજુની લંબાઈ $y = 2 \ \text{cm} = 2 \times 10^{-2} \ \text{m}$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,વસ્તુની બાજુની લંબાઈ અને પ્રતિબિંબની બાજુની લંબાઈનો ગુણોત્તર એ વસ્તુના અંતર અને કેન્દ્રલંબાઈના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે (કારણ કે દૂરની વસ્તુ માટે પ્રતિબિંબ કેન્દ્રલંબાઈના સમતલ પર રચાય છે):
$\frac{x}{y} = \frac{H}{f}$
$\frac{20 \ \text{km}}{2 \ \text{cm}} = \frac{18 \ \text{km}}{f}$
$\frac{20 \times 10^3 \ \text{m}}{2 \times 10^{-2} \ \text{m}} = \frac{18 \ \text{km}}{f}$
$10^6 = \frac{18 \ \text{km}}{f}$
$f = \frac{18 \ \text{km}}{10^6} = 18 \times 10^{-6} \ \text{km} = 18 \times 10^{-6} \times 10^5 \ \text{cm} = 1.8 \ \text{cm}$.
તેથી,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $1.8 \ \text{cm}$ છે।

(C) આપેલ પરિપથમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે. ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Z = X + Y$ છે. આ $Z$ ને $NOR$ ગેટના બંને ઇનપુટમાં આપવામાં આવે છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Out = \overline{Z + Z} = \overline{Z}$ છે.
$Z = X + Y$ મૂકતા,આપણને $Out = \overline{X + Y}$ મળે છે. આ $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
પરિપથ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$X$	$Y$	$X+Y$	$Out = \overline{X+Y}$
$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$1$	$0$

કોષ્ટક પરથી,આઉટપુટ કિસ્સાઓ $(B)$,$(C)$ અને $(D)$ માટે લો (શૂન્ય) છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના વિશિષ્ટ સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થિર દળ $m$ અને વેગમાન $p$ ધરાવતા કણની કુલ ઉર્જા $E$ એ સાપેક્ષ ઉર્જા-વેગમાન સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ ઉર્જા એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિર દળ ઉર્જાનો સરવાળો છે,જે નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$
આનું વિસ્તરણ કરતા આપણને મળે છે:
$E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$
પરિમાણીય વિશ્લેષણ આની પુષ્ટિ કરે છે:
$[E] = [M^1 L^2 T^{-2}]$
$[pc] = [M^1 L^1 T^{-1}] \cdot [L^1 T^{-1}] = [M^1 L^2 T^{-2}]$
$[mc^2] = [M^1] \cdot [L^2 T^{-2}] = [M^1 L^2 T^{-2}]$
બધા પદો સમાન પરિમાણ ધરાવતા હોવાથી,સમીકરણ $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ પરિમાણીય રીતે સુસંગત અને ભૌતિક રીતે સાચું છે.

(A) જ્યારે બે સમાન વાહક ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે।
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = 4 \times 10^{-8} \text{ C}$.
સંપર્ક પછી, દરેક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q = \frac{Q}{2} = \frac{4 \times 10^{-8}}{2} = 2 \times 10^{-8} \text{ C}$ થાય છે।
કુલંબના નિયમ મુજબ, $r$ અંતરે તેમની વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$
અહીં $F = 9 \times 10^{-3} \text{ N}$ અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$ આપેલ છે।
$9 \times 10^{-3} = \frac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-8}) \times (2 \times 10^{-8})}{r^2}$
$r^2 = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-16}}{9 \times 10^{-3}}$
$r^2 = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$r = 2 \times 10^{-2} \text{ m} = 2 \text{ cm}$.

(B) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલરાઈઝરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $\frac{I_0}{2}$ થાય છે.
તેથી,$P_1$ અને $P_2$ માંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = I_2 = \frac{I_0}{2}$ છે.
જ્યારે આ પ્રકાશ $P_3$ માંથી પસાર થાય છે (જેની અક્ષ $P_1$ અને $P_2$ બંને સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે),ત્યારે દરેક તરંગની તીવ્રતા $I' = I_1 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{I_0}{4}$ થાય છે.
જે બિંદુએ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ છે,ત્યાં કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય છે.
પરિણામી તીવ્રતા $I_{res}$ નું સૂત્ર $I_{res} = I' + I' + 2\sqrt{I' I'} \cos(\Delta \phi) = 2I' + 2I' \cos(\frac{2\pi}{3})$ છે.
$I' = \frac{I_0}{4}$ અને $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$I_{res} = 2(\frac{I_0}{4}) + 2(\frac{I_0}{4})(-\frac{1}{2}) = \frac{I_0}{2} - \frac{I_0}{4} = \frac{I_0}{4}$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વીજભારિત કણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાંબા સોલેનોઇડ માટે,અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ મીટર આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આવર્તકાળના સૂત્રમાં $B$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{2\pi m}{q \mu_0 n I}$.
$n$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $n = \frac{2\pi m}{q \mu_0 I T}$.
આપેલ કિંમતો: $m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,$I = 1.5 \text{ A}$,$T = 75 \times 10^{-9} \text{ s}$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ N/A}^2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{2\pi \times 9 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-19} \times 4\pi \times 10^{-7} \times 1.5 \times 75 \times 10^{-9}}$.
$n = \frac{18\pi \times 10^{-31}}{9.6\pi \times 10^{-35} \times 75}$.
$n = \frac{18 \times 10^4}{720} = 250 \text{ આંટા/મીટર}$.

(C) સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P$ એ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = \frac{N \cdot E_{photon}}{t} = n \cdot \frac{hc}{\lambda}$,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ફોટોનની સંખ્યા છે.
આપેલ પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = 2$ છે.
સૂત્ર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{n_1 \cdot (hc / \lambda_1)}{n_2 \cdot (hc / \lambda_2)} = \frac{n_1 \lambda_2}{n_2 \lambda_1}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 = \frac{(2 \times 10^{15}) \times 300}{n_2 \times 600}$.
$2 = \frac{2 \times 10^{15}}{2 \cdot n_2}$.
$2 = \frac{10^{15}}{n_2}$.
$n_2 = \frac{10^{15}}{2} = 0.5 \times 10^{15} = 5 \times 10^{14}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(D) કેપેસિટર સમાન બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,બંને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહે છે.
ચાર્જ-સમયના આલેખ પરથી,આપણે કેપેસિટર પર સંગ્રહિત મહત્તમ ચાર્જ $q$ જોઈ શકીએ છીએ. જેમ $t \to \infty$,કેપેસિટર પરનો ચાર્જ તેના મહત્તમ મૂલ્ય $q = CV$ સુધી પહોંચે છે.
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે કેપેસિટર $C_2$ માટે સ્થિર-સ્થિતિનો ચાર્જ $q_2$ એ કેપેસિટર $C_1$ ના ચાર્જ $q_1$ કરતા વધારે છે (એટલે કે $q_2 > q_1$).
$q = CV$ હોવાથી અને $V$ અચળ હોવાથી,$q \propto C$ થાય. તેથી,$C_2 > C_1$.
કેપેસિટર માં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક રીતે,$U = \frac{1}{2} qV$ નો ઉપયોગ કરતા,$V$ અચળ હોવાથી અને $q_2 > q_1$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $U_2 > U_1$.
આમ,$C_2 > C_1$ અને $U_2 > U_1$ સાચું છે.

(C) અનંત લંબાઈના વિદ્યુતભારિત તારથી $r$ અંતરે સ્થિતિમાન $V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\int \frac{2k\lambda}{r} dr = -2k\lambda \ln r + C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x, y$ અને $z$ અક્ષ પર મૂકવામાં આવેલા ત્રણ તાર માટે,બિંદુ $(x, y, z)$ થી તારના અંતર અનુક્રમે $r_x = \sqrt{y^2+z^2}$,$r_y = \sqrt{x^2+z^2}$ અને $r_z = \sqrt{x^2+y^2}$ છે.
કુલ સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક તારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = -2k\lambda \ln(\sqrt{y^2+z^2}) - 2k\lambda \ln(\sqrt{x^2+z^2}) - 2k\lambda \ln(\sqrt{x^2+y^2}) + C$.
$V = -k\lambda \ln[(y^2+z^2)(x^2+z^2)(x^2+y^2)] + C$.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ માટે,$V = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે ગુણાકાર $(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)$ અચળ હોવો જોઈએ.

(C) બિંદુ $O$ પર રહેલા સિક્કાને બિંદુ $E$ થી જોવા માટે,પ્રકાશનું કિરણ પ્રવાહીની સપાટી પરના બિંદુ $B$ પાસેથી બહાર નીકળવું જોઈએ.
ધારો કે અર્ધગોળાકાર પાત્રની ત્રિજ્યા $R$ છે. કિરણ $O$ થી $B$ સુધી ગતિ કરે છે.
સપાટી પર આપાતકોણ $\theta$ એ $B$ આગળના લંબ અને કિરણ $OB$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ઉપરની સપાટીનું કેન્દ્ર,$O$ અને $B$ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ થાય.
કિરણ સપાટી પરથી બહાર નીકળે તે માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $c$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$\theta \leq c$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta \leq \sin c$.
$\sin c = \frac{1}{\mu}$ હોવાથી,આપણને $\sin 45^{\circ} \leq \frac{1}{\mu}$ મળે છે.
$\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \frac{1}{\mu} \implies \mu \leq \sqrt{2}$.
જોકે,કિરણ સપાટીને સ્પર્શીને $E$ સુધી પહોંચે તે માટે,આપણે ક્રાંતિક સ્થિતિ $\sin c = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\mu}$ ની જરૂર છે.
તેથી,$\mu = \sqrt{2}$.

(D) તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (-\hat{k})$ છે.
જેમ કણ ગતિ કરે છે,તેના પર ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ લાગે છે. ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,ઝડપ $v_0$ અચળ રહે છે.
ધારો કે વેગ $\vec{v} = -v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ છે. બળ $\vec{F} = q(-v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (-\hat{k}) = \frac{\mu_0 I q}{2 \pi r} (-v_x \hat{j} - v_y \hat{i})$ છે.
પ્રવેગના ઘટકો $a_x = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m r} v_y$ અને $a_y = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m r} v_x$ છે.
$\frac{v_x dv_x}{dr} = a_x = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m r} v_y$ અને $v_y = \sqrt{v_0^2 - v_x^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\int_{0}^{v_0} \frac{v_x dv_x}{\sqrt{v_0^2 - v_x^2}} = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m} \int_{a}^{x_1} \frac{dr}{r}$ મળે છે.
આને ઉકેલતા $v_0 = \frac{\mu_0 I q}{2 \pi m} \ln(\frac{a}{x_1})$ મળે છે,તેથી $x_1 = a e^{-\frac{2 \pi m v_0}{\mu_0 I q}}$.
સમાનતાને કારણે,કણ $x = x_1 e^{-\frac{2 \pi m v_0}{\mu_0 I q}} = a e^{-\frac{4 \pi m v_0}{\mu_0 I q}}$ અંતરે પાછો ફરે છે.

(A) $\beta^{-}$ ક્ષયમાં, ન્યુક્લિયસની અંદરનો એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોન, ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિન્યુટ્રિનોમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આ પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: $n \rightarrow p + e^{-} + \overline{v}$.
આ પ્રક્રિયામાં વિદ્યુતભાર, બેરિયોન સંખ્યા અને લેપ્ટોન સંખ્યાનું સંરક્ષણ થાય છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $\overline{B}$ છે. તેનું આઉટપુટ $P = A \cdot \overline{B}$ છે.
ધારો કે બીજા $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. તેનું આઉટપુટ $Q = A \cdot B$ છે.
આ આઉટપુટ $P$ અને $Q$ ને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{P + Q} = \overline{(A \cdot \overline{B}) + (A \cdot B)}$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$Y = \overline{A \cdot (\overline{B} + B)}$
કારણ કે $\overline{B} + B = 1$,તેથી $Y = \overline{A \cdot 1} = \overline{A}$.
આ $A$ ઇનપુટ ધરાવતા $NOT$ ગેટને અનુરૂપ છે. એક $NAND$ ગેટ જેના બંને ઇનપુટ $A$ સાથે જોડાયેલા હોય તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,કારણ કે તેનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) પરિપથના નોડ્સને નામ આપીને,આપણે દરેક બિંદુ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાન ઓળખી શકીએ છીએ. ધારો કે ડાબો છેડો $A$ છે અને જમણો છેડો $B$ છે.
જોડાણોને અનુસરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ત્રણેય અવરોધકો,જે દરેકનું મૂલ્ય $\frac{r}{3}$ છે,તે બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા અવરોધકો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$
$R_1 = R_2 = R_3 = \frac{r}{3}$ મૂકતા:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{r/3} + \frac{1}{r/3} + \frac{1}{r/3} = \frac{3}{r} + \frac{3}{r} + \frac{3}{r} = \frac{9}{r}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{r}{9}$.

(D) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho \ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $R \propto \ell$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,દરેક બાજુનો અવરોધ $R/3$ છે. એક બાજુના બે છેડાઓ વચ્ચે સમતુલ્ય અવરોધ શોધતી વખતે,આપણી પાસે $R/3$ નો એક અવરોધ બાકીના બે શ્રેણીબદ્ધ અવરોધો (જેનો સરવાળો $2R/3$ થાય છે) સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
$(R_{eq})_1 = \frac{(R/3) \times (2R/3)}{(R/3) + (2R/3)} = \frac{2R^2/9}{R} = \frac{2R}{9}$.
ચોરસ માટે,દરેક બાજુનો અવરોધ $R/4$ છે. એક બાજુના બે છેડાઓ વચ્ચે સમતુલ્ય અવરોધ શોધતી વખતે,આપણી પાસે $R/4$ નો એક અવરોધ બાકીના ત્રણ શ્રેણીબદ્ધ અવરોધો (જેનો સરવાળો $3R/4$ થાય છે) સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
$(R_{eq})_2 = \frac{(R/4) \times (3R/4)}{(R/4) + (3R/4)} = \frac{3R^2/16}{R} = \frac{3R}{16}$.
સમતુલ્ય અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{(R_{eq})_1}{(R_{eq})_2} = \frac{2R/9}{3R/16} = \frac{2}{9} \times \frac{16}{3} = \frac{32}{27}$ થાય છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ લંબાઈ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નળાકારમાં રહેલી કુલ ઉર્જા $U = u \times V = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \times (\pi R^2 L)$ છે.
આપેલ છે કે બંને નળાકારો માટે ઉર્જા $U$ સમાન રહે છે,તેથી $U_1 = U_2$.
$\frac{1}{2} \epsilon_0 E_1^2 \pi R_1^2 L_1 = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_2^2 \pi R_2^2 L_2$.
$L_1 = L_2$ અને $R_2 = \frac{R_1}{2}$ હોવાથી,સમીકરણ $E_1^2 R_1^2 = E_2^2 (\frac{R_1}{2})^2$ માં પરિણમે છે.
$E_1^2 R_1^2 = E_2^2 \frac{R_1^2}{4}$.
$E_2^2 = 4 E_1^2$,જેનો અર્થ છે $E_2 = 2 E_1$.
$E_1 = 100 \ NC^{-1}$ આપેલ હોવાથી,આપણને $E_2 = 2 \times 100 = 200 \ NC^{-1}$ મળે છે.
આમ,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $200 \sin(\omega t - kx) \ NC^{-1}$ છે.

(C) દોરીના બંધનને કારણે કણ $O$ કેન્દ્રિત $\ell$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
શરૂઆતમાં,કણ $x$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે છે. પ્રારંભિક $x$-યામ $x_i = \ell \cos(60^{\circ}) = \frac{\ell}{2}$ છે.
જ્યારે કણ $x$-અક્ષને ઓળંગે છે,ત્યારે તેનો અંતિમ $x$-યામ $x_f = \ell$ થાય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં કણનું સ્થાનાંતર $\Delta x = x_f - x_i = \ell - \frac{\ell}{2} = \frac{\ell}{2}$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$W_{\text{electric}} = \Delta K$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = qE \Delta x = qE \left(\frac{\ell}{2}\right)$ છે.
સિસ્ટમ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $K_i = 0$ અને $K_f = \frac{1}{2}mv^2$.
આમ,$qE \frac{\ell}{2} = \frac{1}{2}mv^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v^2 = \frac{qE\ell}{m}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{qE\ell}{m}}$.

(C) ધારો કે પ્રોટોન અને ફોટોન બંનેની ઊર્જા $E$ છે.
ફોટોન માટે,ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda_{photon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\lambda_{photon} = \frac{hc}{E}$.
પ્રોટોન માટે,ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} m_p v^2$ છે. પ્રોટોનનું વેગમાન $p = \sqrt{2 m_p E}$ છે.
પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_{proton} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m_p E}}$ છે.
પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ અને ફોટોનની તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{proton}}{\lambda_{photon}} = \frac{h / \sqrt{2 m_p E}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2 m_p E}} \times \frac{E}{hc} = \frac{E}{c \sqrt{2 m_p E}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2 m_p}}$.

(B) વિચલન રહિત વિભાજન માટે,બે પાતળા પ્રિઝમના સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
કુલ વિચલન $\delta_{\text{net}} = \delta_1 - \delta_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન $\delta = (\mu - 1)A$ છે.
તેથી,$(\mu_1 - 1)A_1 - (\mu_2 - 1)A_2 = 0$.
આપેલ છે કે $\mu_1 = 1.54$,$A_1 = 4^{\circ}$,અને $\mu_2 = 1.72$.
કિંમતો મૂકતા: $(1.54 - 1) \times 4^{\circ} - (1.72 - 1) \times A_2 = 0$.
$0.54 \times 4 = 0.72 \times A_2$.
$2.16 = 0.72 \times A_2$.
$A_2 = \frac{2.16}{0.72} = 3^{\circ}$.

(A) $YDSE$ માં,મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$y_n = \frac{n \lambda D}{d}$
અહીં,સમાન શલાકા ક્રમ માટે $n$,$D$ અને $d$ અચળ છે.
તેથી,સ્થાન $y$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(y \propto \lambda)$.
આપેલ છે:
$y_1 = 10 \ mm$,$\lambda_1 = 600 \ nm$
$\lambda_2 = 660 \ nm$
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{y_2}{y_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
$\frac{y_2}{10 \ mm} = \frac{660 \ nm}{600 \ nm}$
$y_2 = 10 \times \frac{660}{600} \ mm$
$y_2 = 10 \times 1.1 \ mm = 11 \ mm$
આમ,$10^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $11 \ mm$ થશે.

(C) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.4 \ \text{T}$,ત્રિજ્યા $R = 20 \ \text{cm} = 0.2 \ \text{m}$,કોણીય વેગ $\omega = 10 \pi \ \text{rad s}^{-1}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરતી ડિસ્કના કેન્દ્ર અને કિનારી વચ્ચે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ અથવા વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{2} B \omega R^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (10 \pi) \times (0.2)^2$
$E = 0.2 \times 10 \times 3.14 \times 0.04$
$E = 2 \times 3.14 \times 0.04$
$E = 6.28 \times 0.04 = 0.2512 \ \text{V}$
આમ,ઉદ્ભવતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $0.2512 \ \text{V}$ છે.

(A) આપેલ છે: કેપેસીટન્સ $C = 1 \ \mu F = 10^{-6} \ F$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 20 \ V$,અંતર $d = 1 \ \mu m = 10^{-6} \ m$.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d} = \frac{20}{10^{-6}} = 20 \times 10^6 \ V/m$ થાય.
ઉર્જા ઘનતા $u$ નું સૂત્ર $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $u = \frac{1}{2} \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (20 \times 10^6)^2$.
$u = 0.5 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 400 \times 10^{12}$.
$u = 0.5 \times 8.854 \times 400 = 1770.8 \ J/m^3 \approx 1.8 \times 10^3 \ J/m^3$.

(C) આપેલ છે: $n_1 = 1.3$,$n_2 = 1.4$,$u = -13 \ \text{cm}$,$m = -2$. મેનિસ્કસ $A$ તરફ બહિર્ગોળ છે,તેથી વક્રતા કેન્દ્ર $B$ માં છે,જે $R$ ને ધન બનાવે છે $(R > 0)$.
ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવનનું સૂત્ર વાપરતા: $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.4}{v} - \frac{1.3}{-13} = \frac{1.4 - 1.3}{R} \implies \frac{1.4}{v} + 0.1 = \frac{0.1}{R} \implies \frac{1.4}{v} = \frac{0.1}{R} - 0.1 = \frac{0.1(1-R)}{R}$.
આમ,$v = \frac{1.4R}{0.1(1-R)} = \frac{14R}{1-R}$.
ગોળીય વક્રીભવનકારક સપાટી માટે મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{n_1 v}{n_2 u}$ છે.
$m = -2$ મૂકતા: $-2 = \frac{1.3 \times v}{1.4 \times (-13)} \implies -2 = \frac{1.3 \times v}{-18.2} \implies v = \frac{-2 \times -18.2}{1.3} = \frac{36.4}{1.3} = 28 \ \text{cm}$.
હવે,$v$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $28 = \frac{14R}{1-R} \implies 28(1-R) = 14R \implies 2 - 2R = R \implies 3R = 2 \implies R = \frac{2}{3} \ \text{cm}$.

(B) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n \propto 1/n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f$ ને $f = v / (2 \pi r)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રમાણસરતા મૂકતા,આપણને $f \propto (1/n) / n^2 = 1/n^3$ મળે છે.
તેથી,પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $1/n^3$ મુજબ બદલાય છે.