JEE Main 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,ઇનપુટ પિસ્ટન પર લગાડવામાં આવેલ દબાણ આઉટપુટ પિસ્ટન પર સમાન રીતે પ્રસારિત થાય છે.
$P_1 = P_2 \implies \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
આપેલ છે: $F_1 = 100 \ N$,$A_1 = 6 \ cm^2$,$A_2 = 1500 \ cm^2$.
$F_2 = F_1 \times \frac{A_2}{A_1} = 100 \times \frac{1500}{6} = 100 \times 250 = 25000 \ N$.
આઉટપુટ પિસ્ટન પર કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F_2 \times d_2$ છે,જ્યાં $d_2 = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
$W = 25000 \ N \times 0.2 \ m = 5000 \ J$.
$1 \ kJ = 1000 \ J$ હોવાથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $5 \ kJ$ છે.

(A) જમીનની સાપેક્ષે હોડીનો વેગ એ સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ અને નદીના પ્રવાહની ઝડપનો સરવાળો છે: $v_b = 27 \,km/h + 9 \,km/h = 36 \,km/h$.
આને $m/s$ માં ફેરવતા: $v_b = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
કારણ કે દડાને ગતિ કરતી હોડીમાંથી શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,તેથી જમીનની સાપેક્ષે તેનો સમક્ષિતિજ વેગ હોડીના વેગ જેટલો જ રહેશે,$v_x = 10 \,m/s$.
$u_y = 10 \,m/s$ ના પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ સાથે ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 10}{10} = 2 \,s$ છે.
કિનારા પરના અવલોકનકાર દ્વારા અવલોકન કરાયેલ સમક્ષિતિજ અવધિ $R = v_x \times T = 10 \,m/s \times 2 \,s = 20 \,m$ છે.
અવધિને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $R = 20 \,m = 2000 \,cm$.

(C) તાપમાનના તફાવતને વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતરિત કરવાની ઘટનાને $Seebeck$ અસર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
થર્મોઈલેક્ટ્રિક પદાર્થોની કાર્યક્ષમતા વધારવા માટે,આપણને ઉચ્ચ $Seebeck$ ગુણાંક,ઉચ્ચ વિદ્યુત વાહકતા (જૂલ હીટિંગ નુકસાન ઘટાડવા માટે) અને ઓછી ઉષ્મીય વાહકતા (પદાર્થમાં તાપમાનનો ઢાળ જાળવી રાખવા માટે) ની જરૂર હોય છે.
તેથી,પદાર્થમાં ઓછી ઉષ્મીય વાહકતા અને ઉચ્ચ વિદ્યુત વાહકતા હોવી જોઈએ.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$PV = K$. $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $P + V \frac{dP}{dV} = 0$ મળે છે,તેથી $\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\text{iso}} = -\frac{P}{V}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$PV^\gamma = K$. $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dP}{dV} V^\gamma + P \gamma V^{\gamma-1} = 0$ મળે છે,તેથી $\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\text{adia}} = -\gamma \frac{P}{V}$.
બધા વાયુઓ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી,સમોષ્મી વક્રના ઢાળનું મૂલ્ય સમતાપી વક્રના ઢાળ કરતા વધારે હોય છે,એટલે કે $|\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\text{adia}}| > |\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\text{iso}}|$.
આનો અર્થ એ છે કે દબાણમાં આપેલ વધારા માટે,સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં કદ સમતાપી પ્રક્રિયા કરતા વધુ ઝડપથી ઘટે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે,અને કારણ $(R)$ સાચું છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા $A \to B$ માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q_{AB} = 0$ થાય છે.
આઇસોથર્મલ પ્રક્રિયા $B \to C$ માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q_{BC}$ એ કરેલા કાર્ય $W_{BC}$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે પ્રક્રિયા $B \to C$ એ $T = 450 \ K$ તાપમાને આઇસોથર્મલ છે (આલેખ પરથી),તેથી પ્રતિ મોલ શોષાયેલી ઉષ્મા:
$\Delta Q = \Delta Q_{BC} = nRT \ln \left(\frac{V_C}{V_B}\right)$
અહીં આપણે પ્રતિ મોલ ઉષ્મા ગણી રહ્યા છીએ,તેથી $n = 1$.
$\Delta Q = (1) \times R \times 450 \times \ln \left(\frac{8 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-6}}\right)$
$\Delta Q = 450 R \ln \left(\frac{4}{3}\right)$
$\Delta Q = 450 R (\ln 4 - \ln 3)$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થનો મહત્તમ વેગ $V_{max} = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા $m$ દળ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
આપેલ છે કે દળ સમાન છે $(m_A = m_B = m)$ અને કંપવિસ્તાર સમાન છે $(A_A = A_B = A_0)$,તેથી મહત્તમ વેગ:
$V_A = A_0 \omega_A = A_0 \sqrt{\frac{k_1}{m}}$
$V_B = A_0 \omega_B = A_0 \sqrt{\frac{k_2}{m}}$
$A$ ના મહત્તમ વેગ અને $B$ ના મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_A}{V_B} = \frac{A_0 \sqrt{\frac{k_1}{m}}}{A_0 \sqrt{\frac{k_2}{m}}} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}}$.

(A) જ્યારે સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક એક-પરિમાણીય અથડામણ અનુભવે છે,ત્યારે તેઓ તેમના વેગની આપ-લે કરે છે.
શરૂઆતમાં,$v_{A} = 5 \ m/s$,$v_{B} = 2 \ m/s$,અને $v_{C} = 4 \ m/s$ છે.
પ્રથમ,ગોળો $A$ એ ગોળા $B$ સાથે અથડાય છે. સમાન દળ હોવાથી,તેઓ વેગની આપ-લે કરે છે: $v_{A}' = 2 \ m/s$ અને $v_{B}' = 5 \ m/s$.
હવે,ગોળો $B$ ($5 \ m/s$ ના વેગથી ગતિ કરતો) ગોળા $C$ ($4 \ m/s$ ના વેગથી ગતિ કરતો) સાથે અથડાય છે. તેઓ વેગની આપ-લે કરે છે: $v_{B}'' = 4 \ m/s$ અને $v_{C}' = 5 \ m/s$.
આમ,અંતિમ વેગ $v_{A} = 2 \ m/s$,$v_{B} = 4 \ m/s$,અને $v_{C} = 5 \ m/s$ છે.
વિધાન $(A)$ જણાવે છે કે અંતિમ વેગ $4 \ m/s, 2 \ m/s, 5 \ m/s$ છે,જે ખોટું છે.
કારણ $(R)$ એક સાચો ભૌતિક સિદ્ધાંત છે.
તેથી,$(A)$ ખોટું છે પણ $(R)$ સાચું છે.

(D) કન્વેયર બેલ્ટને અચળ ઝડપ $v$ પર જાળવી રાખવા માટે જરૂરી પાવર $P = F \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બેલ્ટ અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોવાથી,ઉમેરાતી રેતીના વેગમાનમાં ફેરફારને દૂર કરવા માટે જરૂરી બળ $F = \frac{dp}{dt} = v \frac{dm}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે દળ જમા થવાનો દર $\frac{dm}{dt} = k\sqrt{v}$ છે,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F = v(k\sqrt{v}) = kv^{3/2}$.
હવે,પાવરની ગણતરી કરતા: $P = F \cdot v = (kv^{3/2}) \cdot v = kv^{5/2}$.
સમીકરણની બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $P^2 = k^2 v^5$ મળે છે.
તેથી,$P^2 \propto v^5$.

(C) કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક દળ માટે,સમબાજુ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રથી વેગ સદિશ (જે બાજુ પર રહેલો છે) સુધીનું લંબ અંતર $r_{\perp}$ એ મધ્યકેન્દ્રથી બાજુ સુધીનું અંતર છે.
$a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું અંતર $r_{\perp} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ છે.
દરેક દળનો વેગ $V_0$ છે જે ત્રિકોણની બાજુઓ પર નિર્દેશિત છે.
મધ્યકેન્દ્રની સાપેક્ષે એક દળનું કોણીય વેગમાન $L_1 = m V_0 r_{\perp} = m V_0 \left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right)$ છે.
જેમ કે વેગ એવી રીતે નિર્દેશિત છે કે ત્રણેય દળો સમાન પરિભ્રમણની દિશામાં (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અથવા તેની વિરુદ્ધ) કોણીય વેગમાનમાં ફાળો આપે છે,તેથી કુલ કોણીય વેગમાન $L = 3 \times L_1$ થશે.
$L = 3 \times m V_0 \left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right) = \frac{3}{2\sqrt{3}} m V_0 a = \frac{\sqrt{3}}{2} m V_0 a$.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y) = \frac{\text{સ્ટ્રેસ}}{\text{સ્ટ્રેન}} = \frac{F/A}{\Delta \ell / \ell} = \frac{MLT^{-2}}{L^2} = [ML^{-1}T^{-2}] \rightarrow (II)$.
$(B)$ ટોર્ક $(\tau) = r \times F = L \times MLT^{-2} = [ML^2T^{-2}] \rightarrow (IV)$.
$(C)$ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક $(\eta)$,$F = \eta A \frac{dv}{dx}$ પરથી $\Rightarrow \eta = \frac{F}{A(dv/dx)} = \frac{MLT^{-2}}{L^2(LT^{-1}/L)} = [ML^{-1}T^{-1}] \rightarrow (I)$.
$(D)$ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $(G)$,$F = \frac{GM_1M_2}{r^2}$ પરથી $\Rightarrow G = \frac{Fr^2}{M^2} = \frac{MLT^{-2} \cdot L^2}{M^2} = [M^{-1}L^3T^{-2}] \rightarrow (III)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(II), (B)-(IV), (C)-(I), (D)-(III)$ છે.

(A) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ (Newton's law of cooling) ના સરેરાશ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{dT}{dt} = k(T_{avg} - T_{room})$.
પ્રથમ અંતરાલ ($90^{\circ} C$ થી $80^{\circ} C$) માટે:
$\frac{90-80}{t} = k\left(\frac{90+80}{2} - 20\right) \implies \frac{10}{t} = k(85 - 20) = 65k \dots (i)$
બીજા અંતરાલ ($80^{\circ} C$ થી $60^{\circ} C$) માટે:
$\frac{80-60}{t'} = k\left(\frac{80+60}{2} - 20\right) \implies \frac{20}{t'} = k(70 - 20) = 50k \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{10/t}{20/t'} = \frac{65k}{50k}$
$\frac{10}{t} \times \frac{t'}{20} = \frac{65}{50}$
$\frac{t'}{2t} = \frac{13}{10}$
$t' = \frac{13}{10} \times 2t = \frac{13}{5} t$.

(C) આપેલ સંબંધ $Q = \frac{ab^4}{cd}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ માં આંશિક ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta Q}{Q} = \frac{\Delta a}{a} + 4\frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = \left( \frac{\Delta a}{a} + 4\frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d} \right) \times 100$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{1000} = \left( \frac{3}{60} + 4 \times \frac{0.1}{20} + \frac{0.2}{40} + \frac{0.1}{50} \right) \times 100$.
$\frac{x}{1000} = (0.05 + 4 \times 0.005 + 0.005 + 0.002) \times 100$.
$\frac{x}{1000} = (0.05 + 0.02 + 0.005 + 0.002) \times 100$.
$\frac{x}{1000} = 0.077 \times 100 = 7.7$.
તેથી,$\frac{x}{1000} = 7.7$ હોવાથી,$x = 7.7 \times 1000 = 7700$.

(D) $M$ દળ ધરાવતા તારાની આસપાસ $m$ દળ ધરાવતા ગ્રહનું વર્તુળાકાર કક્ષામાં કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ છે.
કોણીય વેગમાનના સૂત્રમાં આ કિંમત મૂકતા,$L = m \sqrt{\frac{GM}{R}} R = m \sqrt{GMR}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $R_B = 2 R_A$ અને $m_B = 4 \sqrt{2} m_A$.
કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{L_B}{L_A} = \frac{m_B \sqrt{GM R_B}}{m_A \sqrt{GM R_A}} = \frac{m_B}{m_A} \sqrt{\frac{R_B}{R_A}}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{L_B}{L_A} = (4 \sqrt{2}) \sqrt{\frac{2 R_A}{R_A}} = 4 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4 \times 2 = 8$.
આમ,ગુણોત્તર $8$ છે.

(A) ધારો કે કાર $P$ નો પ્રવેગ $a_P = kt$ છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
ધારો કે કાર $Q$ નો પ્રવેગ $a_Q = a$ છે,જ્યાં $a$ અચળાંક છે.
$P$ ની સાપેક્ષમાં $Q$ નો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{QP} = a_Q - a_P = a - kt$ છે.
સાપેક્ષ વેગ $v_{QP}$ એ સાપેક્ષ પ્રવેગનું સંકલન છે: $v_{QP} = u_{QP} + at - \frac{1}{2}kt^2$.
સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $s_{QP}$ એ સાપેક્ષ વેગનું સંકલન છે: $s_{QP} = u_{QP}t + \frac{1}{2}at^2 - \frac{1}{6}kt^3$.
કાર એકબીજાને ઓળંગે તે માટે,સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $s_{QP}$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$s_{QP} = 0$ લેતા,$t(u_{QP} + \frac{1}{2}at - \frac{1}{6}kt^2) = 0$ મળે છે.
એક ઉકેલ $t = 0$ છે (જે આપેલ છે).
અન્ય ઓળંગણી ત્યારે થાય છે જ્યારે દ્વિઘાત સમીકરણ $u_{QP} + \frac{1}{2}at - \frac{1}{6}kt^2 = 0$ ના $t > 0$ માટે વાસ્તવિક ઉકેલો મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણને વધુમાં વધુ $2$ ધન ઉકેલો હોઈ શકે છે.
તેથી,કુલ ઓળંગણીની સંખ્યા $1$ ($t=0$ પર) $+ 2$ (દ્વિઘાત સમીકરણમાંથી) $= 3$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉમેરવામાં આવતા અથવા બાદ કરવામાં આવતા પદોના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$[P] = [\frac{a}{V^2}] \implies [a] = [P][V^2]$.
જ્યાં $[P] = ML^{-1}T^{-2}$ અને $[V] = L^3$ હોવાથી,$[a] = (ML^{-1}T^{-2})(L^6) = ML^5T^{-2}$ મળે.
તે જ રીતે,$[b] = [V] = L^3$.
હવે,$ab^{-2}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[a][b]^{-2} = (ML^5T^{-2})(L^3)^{-2} = (ML^5T^{-2})(L^{-6}) = ML^{-1}T^{-2}$ થાય.
આ પરિમાણ $ML^{-1}T^{-2}$ એ દબાણ અથવા ઉર્જા ઘનતા (ઉર્જા/કદ = $ML^2T^{-2} / L^3 = ML^{-1}T^{-2}$) ના પરિમાણ સમાન છે.

(A) આપેલ છે: પૈડાનું દળ $M = 10 \ kg$,ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$,બળ $F = 20 \ N$,સ્થાનાંતર $d = 1 \ m$.
પૈડું અવગણ્ય દળ ધરાવતા આરાઓ દ્વારા આધારિત હોવાથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2 = 10 \times (0.1)^2 = 0.1 \ kg \ m^2$ છે.
બળ $F$ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = F \times d = 20 \times 1 = 20 \ J$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલ કાર્ય એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} I \omega^2$.
કિંમતો મૂકતા: $20 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2$.
$20 = 0.05 \times \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{20}{0.05} = 400$.
$\omega = \sqrt{400} = 20 \ rad/s$.

(B) સ્થિર પાણીમાં હોડીનો વેગ $v_b = 27 \ km \ h^{-1}$ છે.
નદીના પ્રવાહ સાથેનો ખૂણો $\theta = 150^{\circ}$ છે.
નદીના પ્રવાહને લંબ હોડીના વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v_b \sin(150^{\circ}) = 27 \times \sin(150^{\circ}) = 27 \times \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = 27 \times \sin(30^{\circ}) = 27 \times 0.5 = 13.5 \ km \ h^{-1}$ છે.
આને $m \ s^{-1}$ માં ફેરવવા માટે, આપણે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$v_{\perp} = 13.5 \times \frac{5}{18} = 3.75 \ m \ s^{-1}$.
નદી ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = 0.5 \ \text{minute} = 30 \ s$ છે.
નદીની પહોળાઈ $d$ એ $d = v_{\perp} \times t$ દ્વારા મળે છે.
$d = 3.75 \ m \ s^{-1} \times 30 \ s = 112.5 \ m$.

(A) બે સરળ આવર્ત ગતિઓ નીચે મુજબ છે:
$x_1 = A_1 \sin(\omega t) = \sqrt{7} \sin(5t)$
$x_2 = A_2 \sin(\omega t + \phi) = 2\sqrt{7} \sin(5t + \frac{\pi}{3})$
અહીં,$A_1 = \sqrt{7} \ cm$,$A_2 = 2\sqrt{7} \ cm$,$\omega = 5 \ rad/s$,અને $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos\phi}$
$A = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{7})^2 + 2(\sqrt{7})(2\sqrt{7}) \cos(60^\circ)}$
$A = \sqrt{7 + 28 + 2(14)(0.5)} = \sqrt{35 + 14} = \sqrt{49} = 7 \ cm = 0.07 \ m$.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max}$:
$a_{\max} = A\omega^2$
$a_{\max} = 0.07 \times (5)^2 = 0.07 \times 25 = 1.75 \ ms^{-2}$.
આપણને $a_{\max} = x \times 10^{-2} \ ms^{-2}$ આપેલ છે.
$1.75 = x \times 10^{-2} \implies x = 175$.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,તંત્ર અને પર્યાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $dQ = 0$ થાય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C$ એ $C = \frac{dQ}{n dT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $dQ = 0$ હોવાથી,મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$. $dQ = 0$ હોવાથી,આપણને $dU = -dW$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલું હોય છે.
તેથી,મોલર ઉષ્મા ધારિતા શૂન્ય છે તે વિધાન સાચું છે.

(A) લેમિના પીવટ બિંદુ $O$ ની આસપાસ રોટેશનલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,$O$ ની આસપાસનું કુલ ટોર્ક $\tau_{net}$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બાજુની લંબાઈ $\ell = 10 \ cm$ છે.
લેમિના પર લાગતા બળો:
$1$. ખૂણા $C$ પર: $F$ બળ ડાબી તરફ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ટોર્ક $\tau_1 = F \cdot \ell$) અને $10 \ N$ બળ ઉપરની તરફ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ટોર્ક $\tau_2 = 10 \cdot \ell$).
$2$. ખૂણા $B$ પર: $10 \ N$ બળ ઉપરની તરફ (ઘડિયાળની દિશામાં ટોર્ક $\tau_3 = 10 \cdot \ell$) અને $10 \ N$ બળ જમણી તરફ (ઘડિયાળની દિશામાં ટોર્ક $\tau_4 = 10 \cdot \ell$).
$3$. ખૂણા $A$ પર: $10 \ N$ બળ જમણી તરફ (ઘડિયાળની દિશામાં ટોર્ક $\tau_5 = 10 \cdot \ell$) અને $10 \ N$ બળ નીચેની તરફ (ટોર્ક $0$,કારણ કે બળની રેખા $O$ માંથી પસાર થાય છે).
ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશાના ટોર્કને ધન લેતા:
$\tau_{net} = (F \cdot \ell) + (10 \cdot \ell) - (10 \cdot \ell) - (10 \cdot \ell) - (10 \cdot \ell) = 0$
$F \ell + 10 \ell - 30 \ell = 0$
$F \ell = 20 \ell$
$F = 20 \ N$.

(B) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈના મૂળ સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$\alpha = \frac{ML^2}{12} \quad \dots (i)$
જ્યારે સળિયાને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનું દળ $M' = M/2$ અને લંબાઈ $L' = L/2$ થાય છે.
દરેક ભાગ માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{part} = \frac{M'(L')^2}{12} = \frac{(M/2)(L/2)^2}{12} = \frac{ML^2}{96}$
ક્રોસ આકારમાં,દરેક સળિયાને એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે છે કે તેનું કેન્દ્ર ક્રોસના કેન્દ્ર સાથે સંપાત થાય. પરિભ્રમણની અક્ષ ક્રોસના સમતલને લંબ છે. દરેક સળિયા માટે,આ અક્ષ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને તેની લંબાઈને લંબ છે.
આમ,ક્રોસની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા એ બે સળિયાઓની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે:
$\alpha' = I_{part} + I_{part} = 2 \times \frac{ML^2}{96} = \frac{ML^2}{48}$
સમીકરણ $(i)$ સાથે સરખાવતા:
$\alpha' = \frac{1}{4} \left( \frac{ML^2}{12} \right) = \frac{\alpha}{4}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક: પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-1}T^{-1}]$ છે. તેથી,$(A)-(IV)$.
$(B)$ તરંગની તીવ્રતા: તીવ્રતા એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર,$[ML^2T^{-3}] / [L^2] = [ML^0T^{-3}]$. તેથી,$(B)-(I)$.
$(C)$ દબાણ પ્રચલન: દબાણ પ્રચલન એટલે એકમ લંબાઈ દીઠ દબાણ,$[ML^{-1}T^{-2}] / [L] = [ML^{-2}T^{-2}]$. તેથી,$(C)-(II)$.
$(D)$ સંકોચનીયતા: સંકોચનીયતા એ બલ્ક મોડ્યુલસનો વ્યસ્ત છે,$1 / [ML^{-1}T^{-2}] = [M^{-1}LT^2]$. તેથી,$(D)-(III)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(IV), (B)-(I), (C)-(II), (D)-(III)$ છે.

(A) $3 \ m$ ની ઊંડાઈ $h$ પર પાણીની બાજુએ દબાણ $P_w = P_0 + \rho_w gh$ છે અને પ્રવાહીની બાજુએ દબાણ $P_{\ell} = P_0 + \rho_{\ell} gh$ છે.
પાણી દ્વારા દરવાજા પર લાગતું બળ $F_w = P_w A = (P_0 + \rho_w gh) A$ છે.
પ્રવાહી દ્વારા દરવાજા પર લાગતું બળ $F_{\ell} = P_{\ell} A = (P_0 + \rho_{\ell} gh) A$ છે.
દરવાજો બંધ રહે તે માટે,પાણીની બાજુએ લગાડવામાં આવતું બાહ્ય બળ $F_{ext}$ એ $F_{ext} + F_w = F_{\ell}$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
તેથી,$F_{ext} = F_{\ell} - F_w = (P_0 + \rho_{\ell} gh) A - (P_0 + \rho_w gh) A = (\rho_{\ell} - \rho_w) ghA$.
આપેલ છે: $\rho_{\ell} = 1500 \ kg/m^3$,$\rho_w = 1000 \ kg/m^3$,$g = 10 \ m/s^2$,$h = 3 \ m$,અને $A = 100 \ cm^2 = 0.01 \ m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $F_{ext} = (1500 - 1000) \times 10 \times 3 \times 0.01 = 500 \times 30 \times 0.01 = 150 \ N$.

(B) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 2 \ m$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$,પોઈસન ગુણોત્તર $\mu = 0.2$,અને ટ્રાન્સવર્સ સ્ટ્રેન $\epsilon_t = \frac{\Delta r}{r} = 10^{-3}$.
પોઈસન ગુણોત્તરની વ્યાખ્યા મુજબ $\mu = -\frac{\text{ટ્રાન્સવર્સ સ્ટ્રેન}}{\text{લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેન}} = -\frac{\epsilon_t}{\epsilon_l}$.
મૂલ્ય લેતા,$\epsilon_l = \frac{\epsilon_t}{\mu} = \frac{10^{-3}}{0.2} = 5 \times 10^{-3}$.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} Y \epsilon_l^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $u = \frac{1}{2} \times (2.0 \times 10^{11}) \times (5 \times 10^{-3})^2$.
$u = 1.0 \times 10^{11} \times 25 \times 10^{-6} = 25 \times 10^5 \ J/m^3$.
આમ,જવાબ $25$ છે.

(D) $f$ સ્વતંત્રતાના અંશો ધરાવતા વાયુ માટે,વિશિષ્ટ ઉષ્મા ગુણોત્તર $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = \frac{f+2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકપરમાણ્વિક વાયુ $A$ માટે,સ્વતંત્રતાના અંશો $f_{A} = 3$ છે. તેથી,$\gamma_{A} = \frac{3+2}{3} = \frac{5}{3}$.
બહુપરમાણ્વિક વાયુ $B$ માટે,સ્વતંત્રતાના અંશો $f_{B} = 3 \text{ (સ્થાનાંતરિત)} + 3 \text{ (ભ્રમણીય)} + 2 \times 1 \text{ (કંપન)} = 8$ છે. તેથી,$\gamma_{B} = \frac{8+2}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{\gamma_{A}}{\gamma_{B}} = \frac{5/3}{5/4} = \frac{5}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{3}$.
આપેલ છે કે $\frac{\gamma_{A}}{\gamma_{B}} = 1 + \frac{1}{n}$,તેથી $1 + \frac{1}{n} = \frac{4}{3}$.
$\frac{1}{n} = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
તેથી,$n = 3$.

(A) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
$v_{\text{avg}} = \frac{x_1 + x_2}{t_1 + t_2}$
અહીં $x_1 = x$,$x_2 = \frac{3}{2}x$,$v_1 = 5 \ m/s$,અને $v_{\text{avg}} = \frac{50}{7} \ m/s$ આપેલ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{x}{v_1} = \frac{x}{5}$ છે.
બીજા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{x_2}{v_2} = \frac{3x}{2v_2}$ છે.
સરેરાશ વેગના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{50}{7} = \frac{x + \frac{3}{2}x}{\frac{x}{5} + \frac{3x}{2v_2}}$
$\frac{50}{7} = \frac{\frac{5}{2}x}{x(\frac{1}{5} + \frac{3}{2v_2})}$
$\frac{50}{7} = \frac{2.5}{\frac{1}{5} + \frac{3}{2v_2}}$
$\frac{1}{5} + \frac{3}{2v_2} = \frac{2.5 \times 7}{50} = \frac{17.5}{50} = \frac{7}{20}$
$\frac{3}{2v_2} = \frac{7}{20} - \frac{1}{5} = \frac{7-4}{20} = \frac{3}{20}$
$\frac{3}{2v_2} = \frac{3}{20} \Rightarrow 2v_2 = 20 \Rightarrow v_2 = 10 \ m/s$.

(B) વર્તુળાકાર રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2} MR^2$ છે,જ્યાં $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
અહીં વ્યાસ $r$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = \frac{r}{2}$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$I_{diam} = \frac{1}{2} M(\frac{r}{2})^2 = \frac{1}{8} Mr^2$ મળે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{tangent} = I_{CM} + Md^2$,જ્યાં $I_{CM} = I_{diam} = \frac{1}{8} Mr^2$ અને $d = R = \frac{r}{2}$ છે.
તેથી,$I_{tangent} = \frac{1}{8} Mr^2 + M(\frac{r}{2})^2 = \frac{1}{8} Mr^2 + \frac{1}{4} Mr^2 = \frac{3}{8} Mr^2$.

(A) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મોટા ટીપાનું કદ એ બે નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે: $2 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
આથી $R^3 = 2r^3$,અથવા $R = 2^{1/3} r$ મળે.
બે ટીપાંની પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $U_i = 2 \times (4 \pi r^2 T) = 8 \pi r^2 T$ છે.
મોટા ટીપાની અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $U_f = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 T = 4 \pi r^2 T (2^{2/3})$ છે.
મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta U = U_i - U_f = 8 \pi r^2 T - 4 \pi r^2 T (2^{2/3}) = 4 \pi r^2 T (2 - 2^{2/3})$ થાય.

(A) તરંગની ઝડપ $v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{1.2 \ cm}{0.3 \ s} = 4 \ cm/s$ છે.
કોણીય તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{2 \pi}{7.5 \ cm} \approx 0.837 \ rad/cm \approx 0.83 \ rad/cm$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = v k = 4 \ cm/s \times 0.837 \ rad/cm \approx 3.35 \ rad/s$ છે.
કારણ કે $t = 0$ સમયે શૃંગ $x = 0$ પર છે,તેથી તરંગને કોસાઈન વિધેય દ્વારા દર્શાવી શકાય: $y = A \cos(kx - \omega t)$.
કિંમતો મૂકતા,$y = 2 \cos(0.83 x - 3.35 t) \ cm$ મળે છે.

(B) વેગમાન $P$ નું પરિમાણ $[MLT^{-1}]$ છે.
આપેલ પરિમાણો છે: $[q] = [AT]$,$[I] = [A]$,અને $[\mu_0] = [MLT^{-2}A^{-2}]$.
ધારો કે રાશિનું પરિમાણ $[P] = [q]^x [\mu_0]^y [I]^z$ છે.
પરિમાણો મૂકતા: $[MLT^{-1}] = [AT]^x [MLT^{-2}A^{-2}]^y [A]^z$.
$[MLT^{-1}] = [M^y L^y T^{x-2y} A^{x-2y+z}]$.
બંને બાજુ $M, L, T,$ અને $A$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $y = 1$.
$L$ માટે: $y = 1$.
$T$ માટે: $x - 2y = -1 \Rightarrow x - 2(1) = -1 \Rightarrow x = 1$.
$A$ માટે: $x - 2y + z = 0 \Rightarrow 1 - 2(1) + z = 0 \Rightarrow -1 + z = 0 \Rightarrow z = 1$.
આમ,જરૂરી રાશિ $[q^1 \mu_0^1 I^1] = [q \mu_0 I]$ છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $Q = 0$ હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$. કારણ કે $Q = 0$,તેથી $W = -\Delta U$ મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે થયેલ કાર્ય એ આંતરિક ઉર્જામાં થયેલા ફેરફારના ઋણ મૂલ્ય જેટલું છે,એટલે કે $|W| = |\Delta U|$. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = nC_v \Delta T$ છે. તેથી,થયેલ કાર્ય $W = -nC_v(T_2 - T_1) = nC_v(T_1 - T_2)$ થાય છે. થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $(T_2 - T_1)$ ના પ્રમાણમાં છે. તેથી,વિધાન $(E)$ સાચું છે.
વિધાન $(A), (C),$ અને $(D)$ ખોટા છે કારણ કે તે સમતાપી અથવા અન્ય પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરે છે,એડિબેટિક પ્રક્રિયાનું નહીં.
તેથી,સાચો વિકલ્પ માત્ર $(B), (E)$ છે.

(D) ખેલાડી બિંદુ $A$ થી શરૂઆત કરે છે,એક પૂર્ણ વર્તુળ પૂર્ણ કરીને ફરી $A$ પર આવે છે,અને ત્યારબાદ અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપ પરથી બિંદુ $B$ સુધી જાય છે.
અંતર એ કાપેલા કુલ માર્ગની લંબાઈ છે. એક પૂર્ણ વર્તુળ $2 \pi r$ છે અને $A$ થી $B$ સુધીનો અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપ $\pi r$ છે. તેથી,કુલ અંતર $= 2 \pi r + \pi r = 3 \pi r$.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક સ્થાન $A$ અને અંતિમ સ્થાન $B$ વચ્ચેનું સૌથી ટૂંકું સીધું અંતર છે. $A$ અને $B$ વર્તુળ પરના વ્યાસાંત બિંદુઓ હોવાથી,સ્થાનાંતર એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલું થાય,જે $2 r$ છે.

(B) પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે,સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ બંને દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $m = 1 \ kg$ અને $g = 10 \ m/s^2$. વજન $W = mg = 1 \times 10 = 10 \ N$.
તણાવ બળોના ઘટકો પાડતા:
સમક્ષિતિજ દિશા: $T_1 \cos 60^{\circ} = T_2 \cos 30^{\circ}$
$T_1 (1/2) = T_2 (\sqrt{3}/2) \implies T_1 = T_2 \sqrt{3}$
શિરોલંબ દિશા: $T_1 \sin 60^{\circ} + T_2 \sin 30^{\circ} = mg$
$T_1 (\sqrt{3}/2) + T_2 (1/2) = 10$
શિરોલંબ સમીકરણમાં $T_1 = T_2 \sqrt{3}$ મૂકતા:
$(T_2 \sqrt{3}) (\sqrt{3}/2) + T_2 (1/2) = 10$
$T_2 (3/2) + T_2 (1/2) = 10$
$2 T_2 = 10 \implies T_2 = 5 \ N$
હવે,$T_1 = T_2 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3} \ N$.
આમ,તણાવ બળો $T_1$ અને $T_2$ અનુક્રમે $5 \sqrt{3} \ N$ અને $5 \ N$ છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ એ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ મળે છે.
ઝડપ $c$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L T^{-1}]$ છે.
તેથી,$c^2$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L T^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}]$ થાય.
આમ,$\left(\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\right)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $L^2 / T^2$ છે.

(D) $1$. ઉષ્મા ધારિતા $(C^{\prime})$ એટલે પદાર્થનું તાપમાન $1 K$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા. તેનો એકમ $J K^{-1}$ છે. તેથી,$(A)-(II)$.
$2$. વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(S)$ એટલે પદાર્થના $1 kg$ દ્રવ્યમાનનું તાપમાન $1 K$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા. તેનો એકમ $J kg^{-1} K^{-1}$ છે. તેથી,$(B)-(III)$.
$3$. ગુપ્ત ઉષ્મા $(L)$ એટલે અચળ તાપમાને પદાર્થના $1 kg$ દ્રવ્યમાનની અવસ્થા બદલવા માટે જરૂરી ઉષ્મા. તેનો એકમ $J kg^{-1}$ છે. તેથી,$(C)-(I)$.
$4$. ઉષ્મીય વાહકતા $(K)$ માટેનું સૂત્ર $\Delta Q = \frac{KA \Delta T}{L} t$ છે. $K$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$K = \frac{\Delta Q \cdot L}{A \cdot \Delta T \cdot t}$. તેનો એકમ $J m^{-1} K^{-1} s^{-1}$ છે. તેથી,$(D)-(IV)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(II), (B)-(III), (C)-(I), (D)-(IV)$ છે.

(A) પૈડાની કિનારી પર લાગતા બળ $F$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau = F \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: બળ $F = 10 \ N$,ત્રિજ્યા $R = 0.2 \ m$,અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 2 \ rad/s^2$.
ટોર્ક,જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = I \alpha$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$F \times R = I \alpha$
$10 \times 0.2 = I \times 2$
$2 = 2I$
$I = 1 \ kg \ m^2$.
આમ,પૈડાની જડત્વની આઘૂર્ણ $1 \ kg \ m^2$ છે.

(B) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = n C_v T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે,તેથી $C_v = \frac{fR}{2} = \frac{5R}{2}$.
આને આંતરિક ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $U = n \left( \frac{5R}{2} \right) T = \frac{5}{2} nRT$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $nRT$ ને $PV$ વડે બદલી શકીએ છીએ: $U = \frac{5}{2} PV$.
આપેલ છે: દબાણ $P = 1 \text{ atm} \approx 10^5 \text{ Pa}$,કદ $V = 4 \times 4 \times 3 = 48 \text{ m}^3$.
$U$ ની ગણતરી કરતા: $U = \frac{5}{2} \times 10^5 \times 48 = 5 \times 10^5 \times 24 = 120 \times 10^5 \text{ J} = 12 \times 10^6 \text{ J}$.

(D) હૂકના નિયમ મુજબ,દોરીમાં તણાવ $T$ તેની લંબાઈમાં થતા વધારાના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T = K(\ell - \ell_0)$,જ્યાં $K$ એ બળ અચળાંક છે,$\ell$ એ ખેંચાયેલી લંબાઈ છે અને $\ell_0$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $5 = K(1.4 - \ell_0)$ -- (સમીકરણ $1$)
બીજા કિસ્સા માટે: $7 = K(1.56 - \ell_0)$ -- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{5}{7} = \frac{1.4 - \ell_0}{1.56 - \ell_0}$
$5(1.56 - \ell_0) = 7(1.4 - \ell_0)$
$7.8 - 5\ell_0 = 9.8 - 7\ell_0$
$2\ell_0 = 9.8 - 7.8$
$2\ell_0 = 2.0$
$\ell_0 = 1 \ m$.

(A) વર્તુળાકાર ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર: $KE = \frac{GM_e m}{2r}$ છે,જ્યાં $r = R_E + h$.
આપેલ છે: $M_e = 6 \times 10^{24} \ kg$,$m = 1000 \ kg$,$R_E = 6.4 \times 10^6 \ m$,$h = 270 \ km = 0.27 \times 10^6 \ m$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \ Nm^2 \ kg^{-2}$.
$r$ ની ગણતરી: $r = 6.4 \times 10^6 + 0.27 \times 10^6 = 6.67 \times 10^6 \ m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$KE = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 1000}{2 \times 6.67 \times 10^6}$
$KE = \frac{6.67 \times 6 \times 10^{16}}{2 \times 6.67 \times 10^6} = 3 \times 10^{10} \ J$.
આમ,ગતિઊર્જા $3 \times 10^{10} \ J$ છે.

(D) જ્યારે $273 \ K$ તાપમાને બરફ ઓગળીને પાણી બને છે,ત્યારે પાણીની ઘનતા બરફ કરતા વધારે હોવાથી તંત્રનું કદ ઘટે છે $(V_{final} < V_{initial})$.
તંત્ર દ્વારા થતું કાર્ય $W = P \Delta V$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને અહીં $\Delta V$ ઋણ હોવાથી,તંત્ર દ્વારા થતું કાર્ય ઋણ મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે વાતાવરણ દ્વારા બરફ-પાણી તંત્ર પર ધન કાર્ય કરવામાં આવે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = \Delta Q + \Delta W$.
ઓગળવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્ર ઉષ્માનું શોષણ કરે છે,તેથી $\Delta Q$ ધન છે.
કદમાં ઘટાડો થતો હોવાથી,તંત્ર પર થતું કાર્ય ધન છે,એટલે કે $\Delta W$ (તંત્ર પર થતું કાર્ય) ધન છે.
તેથી,$\Delta U = \Delta Q + \Delta W$ નું મૂલ્ય ધન મળે છે,જે દર્શાવે છે કે બરફ-પાણી તંત્રની આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થાય છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $1$ પાણીની ઉપરની સપાટી છે અને બિંદુ $2$ છિદ્ર છે.
બિંદુ $1$ અને $2$ વચ્ચે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ કરતા:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$
અહીં,$P_1 = P_0 + \frac{F}{A} = P_0 + \frac{mg}{A}$,જ્યાં $m = 50 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $A = 0.5 \ m^2$.
$P_1 = P_0 + \frac{50 \times 10}{0.5} = P_0 + 1000 \ Pa$.
$P_2 = P_0$ (વાતાવરણીય દબાણ).
ઊંચાઈનો તફાવત $h = h_1 - h_2 = 1.6 \ m - 0.9 \ m = 0.7 \ m$.
ટાંકીનું ક્ષેત્રફળ મોટું હોવાથી,$v_1 \approx 0$.
કિંમતો મૂકતા:
$(P_0 + 1000) + 0 + \rho g (0.7) = P_0 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$1000 + 1000 \times 10 \times 0.7 = \frac{1}{2} \times 1000 \times v_2^2$
$1000 + 7000 = 500 \times v_2^2$
$8000 = 500 \times v_2^2$
$v_2^2 = 16$
$v_2 = 4 \ m/s$.

(C) બંને બ્લોક સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,તંત્ર એક જ દળ $(M + m)$ તરીકે વર્તે છે. દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M + m}{k}}$ થાય. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$(B)$ પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ છે. કુલ દળ $(M + m)$ હોવાથી,પ્રવેગ $a = \frac{F}{M + m} = -\frac{kx}{M + m}$ થાય. તેનું મૂલ્ય $a = \frac{kx}{M + m}$ છે. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $m$ દળનો ઉપરનો બ્લોક સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ ને કારણે $a = \frac{kx}{M + m}$ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. તેથી,$f = ma = \frac{mkx}{M + m}$. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
$(D)$ ઉપરનો બ્લોક સરકે નહીં તે માટે,ઘર્ષણ બળ સીમાંત ઘર્ષણ $f \le \mu mg$ કરતા ઓછું અથવા સમાન હોવું જોઈએ. મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A$ પર,$f_{max} = m \cdot a_{max} = m \cdot \frac{kA}{M + m}$. $f_{max} = \mu mg$ લેતા,આપણને $\frac{mkA}{M + m} = \mu mg$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $A = \frac{\mu g(M + m)}{k}$ થાય છે. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
$(E)$ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ ખરેખર $\mu mg$ છે. તેથી,$(E)$ સાચું છે.

(A) એક-પરિમાણીય ગતિ માટે આપેલા આલેખોનું વિશ્લેષણ:
$(A)$ કળા (Phase) વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ: સુરેખ સંબંધ $\phi = kt + C$ એ સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે ભૌતિક રીતે શક્ય છે $(x = A \sin(kt + C))$. આમ,આ એક શક્ય $1D$ ગતિ દર્શાવે છે.
$(B)$ વેગ વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરનો આલેખ: વર્તુળાકાર પથ $v^2 + x^2 = R^2$ એ સરળ આવર્ત દોલકનો ફેઝ સ્પેસ ટ્રેજેક્ટરી દર્શાવે છે. આ $1D$ ગતિનું માન્ય નિરૂપણ છે.
$(C)$ વેગ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ: આલેખ એક વર્તુળ દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે સમયના એક મૂલ્ય માટે વેગના બે શક્ય મૂલ્યો મળે છે. વધુમાં,આલેખ ઋણ સમયની ધરી પર પણ વિસ્તરે છે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે કારણ કે સમય ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં. તેથી,આ શક્ય નિરૂપણ નથી.
$(D)$ કુલ અંતર વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ: આલેખ દર્શાવે છે કે કુલ અંતર સમય સાથે વધે છે. કોઈપણ ગતિશીલ કણ માટે કુલ અંતર એ સમયનું અ-ઘટતું વિધેય હોવાથી,આ $1D$ ગતિનું ભૌતિક રીતે શક્ય નિરૂપણ છે.
તેથી,આલેખ $(A), (B)$ અને $(D)$ શક્ય એક-પરિમાણીય ગતિ દર્શાવે છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G = \frac{Fr^2}{m^2}$. પારિમાણિક સૂત્ર $[G] = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M^2]} = [M^{-1} L^3 T^{-2}] \ (IV)$ છે.
$(B)$ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = mgh$. પારિમાણિક સૂત્ર $[U] = [M][LT^{-2}][L] = [ML^2 T^{-2}] \ (III)$ છે.
$(C)$ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V = \frac{GM}{r}$. પારિમાણિક સૂત્ર $[V] = \frac{[M^{-1} L^3 T^{-2}][M]}{[L]} = [L^2 T^{-2}] \ (II)$ છે.
$(D)$ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$. પારિમાણિક સૂત્ર $[g] = [LT^{-2}] \ (I)$ છે.
આમ,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-II, D-I$ છે.

(A) ધારો કે $F = 49 \ N$ એ લગાડેલું બળ છે,$m = 20 \ kg$ એ નક્કર ગોળાનું દળ છે અને $r$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ છે.
સંપર્ક બિંદુ (નીચેનું બિંદુ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + mr^2 = \frac{2}{5} mr^2 + mr^2 = \frac{7}{5} mr^2$ થાય.
સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક $\tau = F \times (2r)$ છે.
$\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે: $F \times 2r = (\frac{7}{5} mr^2) \alpha$.
$49 \times 2r = \frac{7}{5} \times 20 \times r^2 \times \alpha$.
$98r = 28r^2 \alpha$.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,કેન્દ્રનો રેખીય પ્રવેગ $a = r \alpha$ થાય,તેથી $\alpha = \frac{a}{r}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $98r = 28r^2 (\frac{a}{r}) = 28ra$.
$98 = 28a$.
$a = \frac{98}{28} = 3.5 \ m/s^2$.

(C) ફિલામેન્ટ દ્વારા આપવામાં આવેલી કુલ ઉર્જા એ સમતાપી વિસ્તરણમાં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય,પિસ્ટનની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર અને સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફારના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$1$. સમતાપી પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય: $W_{\text{gas}} = \int_{L_0}^{L_1} P A \, dx = \int_{L_0}^{L_1} \frac{nRT}{x} \, dx = nRT \ln \left(\frac{L_1}{L_0}\right)$.
$2$. પિસ્ટનની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં ફેરફાર: $\Delta U_g = Mg(L_1 - L_0)$.
$3$. સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જામાં ફેરફાર: બળ $F = kx^3$ છે,તેથી સ્થિતિ ઉર્જા $U_s = \int_0^x kx^3 \, dx = \frac{1}{4} kx^4$. આમ,$\Delta U_s = \frac{k}{4} (L_1^4 - L_0^4)$.
કુલ ઉર્જા $E = W_{\text{gas}} + \Delta U_g + \Delta U_s = nRT \ln \left(\frac{L_1}{L_0}\right) + Mg(L_1 - L_0) + \frac{k}{4} (L_1^4 - L_0^4)$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ $V_1 = 800 \ cm^3$,અંતિમ કદ $V_2 = 200 \ cm^3$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$,અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.5$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $300 \times (800)^{1.5-1} = T_2 \times (200)^{1.5-1}$.
$300 \times (800)^{0.5} = T_2 \times (200)^{0.5}$.
$T_2 = 300 \times \left( \frac{800}{200} \right)^{0.5} = 300 \times (4)^{0.5} = 300 \times 2 = 600 \ K$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 600 \ K - 300 \ K = 300 \ K$ છે.

(D) ધારો કે પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ $x$ છે. કણે કાપેલું અંતર $(S - x)$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $a = g$,આપણને $v^2 = 2g(S - x)$ મળે છે.
ઊંચાઈ $x$ પર સ્થિતિઊર્જા $PE = mgx$ છે.
તે ક્ષણે ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(2g(S - x)) = mg(S - x)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$KE = 3 \times PE$.
કિંમતો મૂકતા: $mg(S - x) = 3(mgx)$.
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા: $S - x = 3x$.
$S = 4x \Rightarrow x = \frac{S}{4}$.
હવે,$x$ ની કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $v^2 = 2g(S - \frac{S}{4}) = 2g(\frac{3S}{4}) = \frac{3gS}{2}$.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{3gS}{2}}$.
આમ,ઊંચાઈ $\frac{S}{4}$ અને ઝડપ $\sqrt{\frac{3gS}{2}}$ છે.

(C) આપેલ દળ $m_1 = 435.42 \ g$,$m_2 = 226.3 \ g$ અને $m_3 = 0.125 \ g$ છે.
સરવાળો કરવા માટે: $435.42 + 226.3 + 0.125 = 661.845 \ g$.
સાર્થક અંકો સાથે સરવાળાના નિયમ મુજબ,અંતિમ પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા તેટલી જ હોવી જોઈએ જેટલી સૌથી ઓછા દશાંશ અંકો ધરાવતા માપનમાં છે.
અહીં માપનમાં અનુક્રમે $2$,$1$ અને $3$ દશાંશ અંકો છે. સૌથી ઓછા દશાંશ અંકોની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,$661.845 \ g$ ને એક દશાંશ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $661.8 \ g$ મળે છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $h_m$ માટેનું પ્રમાણિત સૂત્ર $h_m = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સમક્ષિતિજ અક્ષથી માપવામાં આવેલ પ્રક્ષેપણનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\phi$ શિરોલંબ અક્ષથી માપવામાં આવે છે,તેથી સમક્ષિતિજ અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ - \phi$ થશે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$h_m = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \phi)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \phi}{2g}$.
જેમ જેમ $\phi$ એ $0^\circ$ થી $90^\circ$ સુધી વધે છે,તેમ $\cos \phi$ એ $1$ થી $0$ સુધી ઘટે છે. તેથી,જેમ $\phi$ એ $0^\circ$ થી $90^\circ$ સુધી જાય છે,તેમ $h_m$ એ $\frac{u^2}{2g}$ થી $0$ સુધી ઘટે છે. આ વર્તણૂક વિકલ્પ $D$ માં આપેલા આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે.

(D) પ્રકાશનો તરંગવાદ પરાવર્તન,વક્રીભવન,વ્યતિકરણ અને વિવર્તન જેવી ઘટનાઓને સફળતાપૂર્વક સમજાવે છે. જોકે,કોમ્પ્ટન અસર એ ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ફોટોનના પ્રકીર્ણન પર આધારિત છે,જે પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે. તેથી,તેને તરંગવાદ દ્વારા સમજાવી શકાતી નથી.

(B) ગજિયા ચુંબકની વિષુવરેખા પરના બિંદુ $P$ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(d^2 + l^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $d = 10$ અને $2l = 20$ હોવાથી,$l = 10$ મળે છે. તેથી,$d = l$.
આ કિંમત મૂકતા,$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(l^2 + l^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(2l^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{2^{3/2} l^3}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m(2l)$ હોવાથી,$B \propto \frac{l}{l^3} = \frac{1}{l^2}$ મળે છે.
સાપેક્ષ અનિશ્ચિતતા લેતા: $\frac{\Delta B}{B} = 2 \times \frac{\Delta l}{l}$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta l}{l} = 1\%$,તેથી $\frac{\Delta B}{B} = 2 \times 1\% = 2\%$.
જોકે,જો આપણે સામાન્ય સૂત્ર $B \propto M d^{-3}$ ધારીએ,તો અનિશ્ચિતતા $3\%$ મળે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,જો $B \propto M \cdot d^{-3}$ અને $M \propto l$ લેવામાં આવે તો $4\%$ એ સાચો જવાબ ગણાય છે.

(D) આપેલ મોટવણી $m = -3$. આપણે જાણીએ છીએ કે $m = -v/u$,તેથી $-v/u = -3$,જેનો અર્થ છે કે $v = 3u$.
અંતર્ગોળ અરીસા દ્વારા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાય છે,તેથી $u$ અને $v$ બંને ઋણ છે. વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $|v - u| = 20\ cm$ છે.
જ્યારે $m = -3$ હોય ત્યારે પ્રતિબિંબ વસ્તુ કરતાં વધુ અંતરે રચાય છે,તેથી $|v| > |u|$. આમ,$v - u = -20\ cm$ (ચિહ્ન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા જ્યાં $v$ અને $u$ ઋણ છે).
$v = 3u$ મૂકતા,આપણને $3u - u = -20$ મળે છે,તેથી $2u = -20$,જે $u = -10\ cm$ આપે છે.
પછી $v = 3(-10) = -30\ cm$.
અરીસાના સૂત્ર $1/f = 1/v + 1/u = 1/(-30) + 1/(-10) = (-1 - 3)/30 = -4/30 = -2/15$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$f = -7.5\ cm$.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 2|f| = 2 \times 7.5 = 15\ cm$ થાય.

(D) આ સર્કિટમાં $V = V_{0} \sin \omega t$ જેટલો $AC$ સ્ત્રોત, એક ડાયોડ અને એક અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_{A B}$ એ અવરોધ $R$ ની આસપાસ માપવામાં આવે છે.
ઇનપુટ $AC$ ના ધન અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન, ડાયોડ રિવર્સ બાયસ ($R.B.$) માં હોય છે. રિવર્સ બાયસમાં ડાયોડ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે, તેથી અવરોધ $R$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી અને પરિણામે $V_{A B} = 0$ થાય છે.
ઇનપુટ $AC$ ના ઋણ અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન, ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસ ($F.B.$) માં હોય છે. થ્રેશોલ્ડ વોલ્ટેજ અવગણ્ય હોવાથી, ડાયોડ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. આથી સંપૂર્ણ ઇનપુટ વોલ્ટેજ અવરોધ $R$ પર મળે છે. જોકે, આ અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન ઇનપુટ વોલ્ટેજ ઋણ હોવાથી, $V_{A B}$ પણ ઋણ રહેશે.
તેથી, આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_{A B}$ માં ઇનપુટના ઋણ અર્ધ-ચક્રને અનુરૂપ ઋણ અર્ધ-ચક્ર જોવા મળશે અને ધન અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન તે શૂન્ય રહેશે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) તાર ત્રણ ભાગોનો બનેલો છે: બે અર્ધ-અનંત સીધા તાર અને $270^\circ$ ($3\pi/2$ રેડિયન) નો વર્તુળાકાર ચાપ.
ધારો કે સીધા તાર $(1)$ ને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ છે. $O$ એ તારની રેખા પર હોવાથી, $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$.
ધારો કે વર્તુળાકાર ચાપ $(2)$ ને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ છે. ખૂણો $\theta = 3\pi/2$ છે. તેથી, $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \theta = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \left(\frac{3 \pi}{2}\right)$.
ધારો કે સીધા તાર $(3)$ ને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_3$ છે. $O$ એ તારની રેખા પર હોવાથી, $B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$.
ત્રણેય ક્ષેત્રો પાનાની અંદરની દિશામાં $(\otimes)$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2 + B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \left(\frac{3 \pi}{2}\right) + \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \left[1 + \frac{3 \pi}{2} + 1\right] = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \left[\frac{3 \pi}{2} + 2\right]$.

(A) આપેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{ B } = B_0 \sin \left[\omega\left( t -\frac{ z }{ c }\right)\right] \hat{n}$ છે, જ્યાં $\hat{n} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{ i } + \frac{1}{2} \hat{ j }$ અને $B_0 = 30 \text{ T}$.
તરંગ $+z$ દિશામાં $(\hat{k})$ ગતિ કરતું હોવાથી, વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{ E }$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{ B }$ વચ્ચેનો સંબંધ $\overrightarrow{ E } = c (\overrightarrow{ B } \times \hat{k})$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\overrightarrow{ E } = c \left[ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{ i } + \frac{1}{2} \hat{ j } \right) 30 \sin \left[\omega\left( t -\frac{ z }{ c }\right)\right] \times \hat{k} \right]$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\hat{ i } \times \hat{k} = -\hat{ j }$ અને $\hat{ j } \times \hat{k} = \hat{ i }$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\overrightarrow{ E } = 30 c \sin \left[\omega\left( t -\frac{ z }{ c }\right)\right] \left( \frac{\sqrt{3}}{2} (-\hat{ j }) + \frac{1}{2} \hat{ i } \right)$.
પદોને ગોઠવતા, આપણને $\overrightarrow{ E } = \left( \frac{1}{2} \hat{ i } - \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{ j } \right) 30 c \sin \left[\omega\left( t -\frac{ z }{ c }\right)\right]$ મળે છે.

(A) ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત $\text{EMF}$ નું સૂત્ર $E = \ell v B$ છે,જ્યાં $\ell$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વાહકની લંબાઈ છે,$v$ એ વેગ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,શિરોબિંદુથી $x$ અંતરે સળિયાની લંબાઈ $\ell = 2x \tan(30^\circ) = 2x / \sqrt{3}$ છે.
સળિયો અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરતો હોવાથી,$t$ સમયે અંતર $x = vt$ થાય.
$\ell$ ના સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\ell = 2vt / \sqrt{3}$ મળે છે.
હવે,$\text{EMF}$ ના સમીકરણમાં $\ell$ ની કિંમત મૂકતા: $E = (2vt / \sqrt{3}) \times vB = (2v^2 B / \sqrt{3}) t$.
આમ,$E \propto t^1$,જેનો અર્થ છે કે $n = 1$.

(B) આપેલ છે: ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = 6 \times 10^{-6} \ Cm$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10^6 \ V/m$.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = U_f - U_i = -pE \cos \theta_f - (-pE \cos \theta_i) = pE(\cos \theta_i - \cos \theta_f)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ ક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી $\theta_i = 0^\circ$.
અંતે,ડાયપોલ ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી $\theta_f = 180^\circ$.
કિંમતો મૂકતા: $W = pE(\cos 0^\circ - \cos 180^\circ) = pE(1 - (-1)) = 2pE$.
$W = 2 \times (6 \times 10^{-6}) \times 10^6 = 12 \ J$.

(D) આપેલ છે કે $A$ આગળનું સ્થિતિમાન $B$ આગળના સ્થિતિમાન જેટલું છે $(V_A = V_B)$,તેથી વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,સામસામેની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{10 \Omega}{R} = \frac{20 \Omega}{40 \Omega}$
$\frac{10}{R} = \frac{1}{2}$
$R = 20 \Omega$
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,$30 \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
ઉપરની શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $10 \Omega + 20 \Omega = 30 \Omega$ છે.
નીચેની શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $R + 40 \Omega = 20 \Omega + 40 \Omega = 60 \Omega$ છે.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2+1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$
$R_{eq} = 20 \Omega$
કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{40 \text{ V}}{20 \Omega} = 2 \text{ A}$.

(A) પાતળી ફિલ્મ માટે, પ્રસારિત પ્રકાશમાં વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) માટેની શરત $2 \mu t = n \lambda$ છે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
અહીં, $\mu = 1.4$ અને $\lambda = 560 \times 10^{-9} \ m$.
ક્રમિક ન્યૂનતમ માટે જાડાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta t = \frac{\lambda}{2 \mu}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta t = \frac{560 \times 10^{-9}}{2 \times 1.4} = \frac{560 \times 10^{-9}}{2.8} = 200 \times 10^{-9} \ m = 2 \times 10^{-7} \ m$.
ફિલ્મનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (1.8 \times 10^{-2} \ m)^2 = \pi \times 3.24 \times 10^{-4} \ m^2$.
બાષ્પીભવનનો દર $R = \frac{A \times \Delta t}{\Delta T}$ છે, જ્યાં $\Delta T = 12 \ s$.
$R = \frac{\pi \times 3.24 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{-7}}{12} = \frac{\pi \times 6.48 \times 10^{-11}}{12} = 0.54 \times 10^{-11} \ m^3/s = 54 \times 10^{-13} \ m^3/s$.
આમ, બાષ્પીભવનનો દર $54 \pi \times 10^{-13} \ m^3/s$ છે.

(D) વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે ચોક કોઈલને ઉચ્ચ ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ અને નહિવત અવરોધ $(R)$ ધરાવવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવી છે જેથી ન્યૂનતમ પાવર લોસ સાથે $AC$ સર્કિટમાં પ્રવાહને મર્યાદિત કરી શકાય. ફ્લોરોસન્ટ ટ્યુબને શરૂઆતમાં ઉચ્ચ વોલ્ટેજની જરૂર હોય છે પરંતુ કાર્યરત રહેવા માટે ઓછા વોલ્ટેજની જરૂર હોય છે,જે ચોક કોઈલ તેના ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ દ્વારા વોલ્ટેજ ડ્રોપ કરીને પૂરો પાડે છે.
કારણ $(R)$ ખોટું છે કારણ કે ટ્યુબ પરનો વોલ્ટેજ $\left(R / \sqrt{R^2+\omega^2 L^2}\right)$ ના પરિબળ દ્વારા ઘટાડવામાં આવતો નથી. ચોક કોઈલ ટ્યુબ સાથે શ્રેણીમાં ઇન્ડક્ટર તરીકે કાર્ય કરે છે. ટ્યુબ પરનો વોલ્ટેજ સર્કિટના ઇમ્પિડન્સ દ્વારા નક્કી થાય છે. કારણમાં આપવામાં આવેલ પરિબળ ખોટું છે કારણ કે તે પાવર ફેક્ટર અથવા અલગ સંદર્ભમાં વોલ્ટેજ વિભાજન સાથે સંબંધિત છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે પરંતુ $(R)$ ખોટું છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = p E_0 \sin \theta$ છે. નાના દોલનો માટે $\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\tau = p E_0 \theta$.
અહીં $p = q l$ હોવાથી,$\tau = q l E_0 \theta$.
પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -I \alpha$ છે,જ્યાં $I$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
બે બિંદુવત દળ $m$ માટે,$I = 2 \times m \times (l/2)^2 = \frac{m l^2}{2}$.
$SHM$ ના સમીકરણ $\frac{d^2 \theta}{dt^2} + \omega^2 \theta = 0$ સાથે સરખાવતા,$\omega^2 = \frac{q l E_0}{I} = \frac{q l E_0}{m l^2 / 2} = \frac{2 q E_0}{m l}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m l}{2 q E_0}}$.

(C) ગૂંચળા $1$ સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_1$ એ તેના પોતાના પ્રવાહ $I_1$ અને નજીકના ગૂંચળા $2$ માં વહેતા પ્રવાહ $I_2$ ને કારણે હોય છે.
આ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\phi_1 = L_1 I_1 + M_{12} I_2$.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,ગૂંચળા $1$ માં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $\varepsilon_1$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દરના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે:
$\varepsilon_1 = -\frac{d\phi_1}{dt}$.
$\phi_1$ નું સમીકરણ મૂકતા:
$\varepsilon_1 = -\frac{d}{dt}(L_1 I_1 + M_{12} I_2)$.
જો $L_1$ અને $M_{12}$ અચળ હોય,તો આપણને મળે છે:
$\varepsilon_1 = -L_1 \frac{dI_1}{dt} - M_{12} \frac{dI_2}{dt}$.

(C) બે માધ્યમો કે જેમના વક્રીભવનાંક $n_{dense}$ અને $n_{rare}$ છે,તેમની વચ્ચેની સપાટી પરનો ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ એ $\sin \theta_C = \frac{n_{rare}}{n_{dense}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n_2 > n_1$ હોવાથી,$\sin \theta_{1C} = \frac{n_1}{n_2}$.
અહીં $n_3 > n_1$ હોવાથી,$\sin \theta_{2C} = \frac{n_1}{n_3}$.
આપણને આપેલ છે કે $\sin \theta_{2C} - \sin \theta_{1C} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n_1}{n_3} - \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$.
આપણે $\frac{n_1}{n_3} = \frac{n_1}{n_2} \cdot \frac{n_2}{n_3}$ લખી શકીએ.
$\frac{n_2}{n_3} = \frac{2}{5}$ હોવાથી,$\frac{n_1}{n_2} \cdot \frac{2}{5} - \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $x = \frac{n_1}{n_2} = \sin \theta_{1C}$.
$x(\frac{2}{5} - 1) = \frac{1}{2} \implies x(-\frac{3}{5}) = \frac{1}{2} \implies x = -\frac{5}{6}$.
$\sin \theta_{1C}$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી મૂલ્યના તફાવતને ધ્યાનમાં લેતા,$\sin \theta_{1C} = \frac{5}{6}$,તેથી $\theta_{1C} = \sin^{-1}(\frac{5}{6})$.

(B) લાંબા સીધા તાર માટે મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\max}$ તેની સપાટી પર $(r = a)$ મળે છે:
$B_{\max} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$.
આપણે તે અંતરો શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર આ મૂલ્ય કરતાં અડધું હોય,એટલે કે $B = \frac{B_{\max}}{2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$.
તારની અંદર $(r < a)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{in}} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B_{\text{in}} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ લેતા,આપણને $\frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ મળે છે,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $r = \frac{a}{2}$ મળે છે.
તારની બહાર $(r > a)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{out}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B_{\text{out}} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ લેતા,આપણને $\frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ મળે છે,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $r = 2a$ મળે છે.
આમ,અંતરો $r = \frac{a}{2}$ (અંદર) અને $r = 2a$ (બહાર) છે.

(D) વિધાન $(A)$ સાચું છે. ઉત્સર્જક પ્લેટની સાપેક્ષમાં કલેક્ટર પ્લેટને પૂરતો ઋણ સ્થિતિમાન (સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ) આપીને, સૌથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનને અપાકર્ષિત કરી શકાય છે, જેનાથી ફોટોઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ અટકી જાય છે.
કારણ $(R)$ સાચું છે. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $eV_0 = h\nu - \phi_0$, જ્યાં $V_0 = (h/e)\nu - (\phi_0/e)$. આ દર્શાવે છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu$ સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે.
જોકે, કારણ $(R)$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલના સ્વભાવને સમજાવે છે, પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે ઋણ સ્થિતિમાન લાગુ કરવાથી ઉત્સર્જન કેમ અટકે છે (જે ઇલેક્ટ્રોનના સ્થિર વિદ્યુતીય અપાકર્ષણને કારણે છે). તેથી, $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરતી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NAB \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta = \omega t$ એ એરિયા વેક્ટર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વેક્ટર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $\varepsilon$ ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$.
વિકલન કરતા: $\varepsilon = -\frac{d}{dt}(NAB \cos(\omega t)) = NAB \omega \sin(\omega t)$.
જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ કોઈલના સમતલને સમાંતર હોય,ત્યારે એરિયા વેક્ટર (જે સમતલને લંબ હોય છે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન હોય છે.
આ ક્ષણે,$\theta = \omega t = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$\phi = NAB \cos(\frac{\pi}{2}) = NAB(0) = 0$.
$\varepsilon = NAB \omega \sin(\frac{\pi}{2}) = NAB \omega(1) = NAB \omega$.
તેથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ $0$ છે અને પ્રેરિત emf $NAB \omega$ છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને $m$ દળ ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mK}$.
આ સમીકરણને $\frac{1}{K}$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $\frac{1}{K} = \left( \frac{2m}{h^2} \right) \lambda^2$.
આ સમીકરણ $y = cx^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \frac{1}{K}$,$x = \lambda$,અને $c = \frac{2m}{h^2}$ એ અચળાંક છે.
આ આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. આ સર્કિટમાં એક $\text{NAND}$ ગેટ અને એક $\text{NOR}$ ગેટ છે જે અંતિમ $\text{NAND}$ ગેટમાં જાય છે.
$1$. ઉપરના $\text{NAND}$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ છે.
$2$. નીચેના $\text{NOR}$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{A + B}$ છે.
$3$. આ બંને અંતિમ $\text{NAND}$ ગેટમાં જાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(\overline{A \cdot B}) \cdot (\overline{A + B})}$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$,આપણને મળે છે $Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} + \overline{(\overline{A + B})} = (A \cdot B) + (A + B)$.
કારણ કે $(A \cdot B)$ એ હંમેશા $(A + B)$ નો ઉપગણ છે,આ સમીકરણ $Y = A + B$ માં સરળ બને છે,જે $\text{OR}$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે.

$A$	$B$	$Y_1 = \overline{A \cdot B}$	$Y_2 = \overline{A + B}$	$Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$	$1$

(B) લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
વસ્તુ અંતર $u$ (જ્યાં $u$ ઋણ છે) અને પ્રતિબિંબ અંતર $v$ (જ્યાં $v$ ધન છે) માટે સંજ્ઞા પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા,આપણે $u = -|u|$ અને $v = |v|$ મૂકીએ છીએ.
સૂત્ર $\frac{1}{|v|} - \frac{1}{-|u|} = \frac{1}{f}$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{|v|} + \frac{1}{|u|} = \frac{1}{f}$ થાય છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા $\frac{1}{|v|} = \frac{1}{f} - \frac{1}{|u|} = \frac{|u|-f}{f|u|}$ મળે છે,તેથી $|v| = \frac{f|u|}{|u|-f}$.
આને $|v| - f = \frac{f|u|}{|u|-f} - f = \frac{f|u| - f(|u|-f)}{|u|-f} = \frac{f^2}{|u|-f}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આમ,$(|v|-f)(|u|-f) = f^2$. આ એક લંબચોરસ હાઇપરબોલાનું સમીકરણ છે જેના અનંતસ્પર્શકો $|u|=f$ અને $|v|=f$ પર છે. ઉકેલની છબીમાં દર્શાવેલ આલેખ આ સંબંધને રજૂ કરે છે.

(D) ગૌસના નિયમ મુજબ,સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ગોલીય કવચની અંદર $(r < R)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $0$ હોય છે. તેથી,$(A)-(III)$.
$(B)$ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત સમતલ શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ છે. તેથી,$(B)-(II)$.
$(C)$ ગોલીય કવચની બહાર $(r > R)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર એવું હોય છે જાણે કે બધો જ વિદ્યુતભાર કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત હોય,$E = \frac{kQ}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\sigma(4\pi R^2)}{r^2} = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 r^2}$. તેથી,$(C)-(IV)$.
$(D)$ બે વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારિત અનંત શીટ્સની વચ્ચે,વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સરવાળો થાય છે: $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$. તેથી,$(D)-(I)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(III), (B)-(II), (C)-(IV), (D)-(I)$ છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉર્જા અને વેગમાન બંને ધરાવે છે. ફોટોનનું વેગમાન $p$ એ $p = E/c = h/\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ઉર્જા છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે. તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
ફોટોનનું સ્થિર દળ ખરેખર શૂન્ય છે,જે એક સાચી ભૌતિક હકીકત છે. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.
આમ,$(A)$ ખોટું છે પણ $(R)$ સાચું છે.

(C) ધારો કે લંબ સાથેનો આપાતકોણ $i$ છે. $\theta_1$ એ સપાટી સાથેનો ખૂણો હોવાથી,$i = 90^\circ - \theta_1$ થાય.
સ્નેલના નિયમ મુજબ: $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$,જ્યાં $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
$n_1 \sin(90^\circ - \theta_1) = n_2 \sin(r) \implies n_1 \cos(\theta_1) = n_2 \sin(r)$.
આપેલ છે કે $\theta_1 = \cos^{-1}\left(\frac{n_2}{2n_1}\right)$,તેથી $\cos(\theta_1) = \frac{n_2}{2n_1}$ થાય.
આ કિંમત સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા: $n_1 \left(\frac{n_2}{2n_1}\right) = n_2 \sin(r) \implies \frac{n_2}{2} = n_2 \sin(r) \implies \sin(r) = \frac{1}{2}$.
આમ,$r = 30^\circ$ મળે.
બ્લોકની ભૂમિતિ પરથી,આપાત બિંદુથી બિંદુ $3$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા સુધીનું આડું અંતર $d/2$ છે. ધારો કે બ્લોકની જાડાઈ $t$ છે.
તેથી,$\tan(r) = \frac{d/2}{t} \implies t = \frac{d}{2 \tan(r)}$.
$d = 4\sqrt{3} \text{ cm}$ અને $r = 30^\circ$ મૂકતા: $t = \frac{4\sqrt{3}}{2 \tan(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 2 \times 3 = 6 \text{ cm}$.

(C) અનંત ધન વિદ્યુતભારિત શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ સમાન અને શીટથી દૂરની દિશામાં હોય છે.
આપેલ ડાયપોલ માટે,ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ એ $-q$ થી $+q$ તરફ હોય છે,જે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ને સમાંતર છે.
ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\vec{p}$ અને $\vec{E}$ સમાંતર છે,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે,તેથી $\vec{\tau} = pE \sin(0^\circ) = 0$.
ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos(0^\circ) = -pE$ છે,જે શક્ય ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન હોવાથી,$+q$ પર લાગતું બળ $q\vec{E}$ (શીટથી દૂર) અને $-q$ પર લાગતું બળ $-q\vec{E}$ (શીટ તરફ) છે. તેથી ડાયપોલ પરનું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = qE - qE = 0$ થાય છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = W + K_{\max}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$W$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{\max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ ને સૌથી વધુ ઊર્જા ધરાવતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે જરૂરી પોટેન્શિયલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેથી $K_{\max} = eV_s$ થાય.
તેથી,$eV_s = K_{\max}$,જેનો અર્થ છે કે $V_s = \frac{K_{\max}}{e}$.
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જાના $\left(\frac{1}{e}\right)$ ગણું હોય છે.

(A) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ બંધ સપાટીની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
આપેલ છે:
$\phi = -2 \times 10^4 \ Nm^2 C^{-1}$
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$
$q$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$q = \phi \times \epsilon_0$
$q = (-2 \times 10^4) \times (8.85 \times 10^{-12})$
$q = -17.7 \times 10^{-8} \ C$
આમ,બિંદુવત વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $-17.7 \times 10^{-8} \ C$ છે.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષને લંબરૂપે ($AB$ સમતલ પર) કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા સમાન રહે છે,પરંતુ લેન્સની જાડાઈ અડધી થાય છે. આ કિસ્સામાં દરેક ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ જ રહે છે. તેથી,$f_{L_1} = f$.
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષને સમાંતર ($XY$ સમતલ પર) કાપવામાં આવે છે,ત્યારે એક સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા અનંત બને છે. નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ માટે: $\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{(\mu - 1)}{R}$. મૂળ લેન્સ માટે $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{2(\mu - 1)}{R}$ હોવાથી,$f' = 2f$ મળે છે. તેથી,$f_{L_3} = 2f$.
આમ,કેન્દ્રલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{f_{L_1}}{f_{L_3}} = \frac{f}{2f} = 1: 2$ થાય છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\overrightarrow{S} = \frac{1}{\mu_0} (\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B})$ છે.
આમ,પ્રસરણની દિશા $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ ની દિશામાં હોય છે.
આપેલ છે કે તરંગ $+x$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે,તેથી $\hat{i} = \hat{E} \times \hat{B}$ થાય.
જો $\overrightarrow{E}$ એ $y$-અક્ષ $(\hat{j})$ પર હોય અને $\overrightarrow{B}$ એ $z$-અક્ષ $(\hat{k})$ પર હોય,તો $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ મળે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઘટકો અનુક્રમે $E_y$ અને $B_z$ છે.

(B) ગોલીય સપાટી માટે વક્રીભવનનું સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
સપાટી $B$ માટે (અંતર્ગોળ,ત્રિજ્યા $-R$):
વસ્તુ અંતર $u = -R/2$,$\mu_1 = 1$ (હવા),$\mu_2 = 1.5$ (કાચ).
$\frac{1.5}{v_B} - \frac{1}{-R/2} = \frac{1.5 - 1}{-R} \Rightarrow \frac{1.5}{v_B} + \frac{2}{R} = -\frac{0.5}{R}$.
$\frac{1.5}{v_B} = -\frac{0.5}{R} - \frac{2}{R} = -\frac{2.5}{R} \Rightarrow v_B = -\frac{1.5 R}{2.5} = -0.6 R$.
સપાટી $A$ માટે (અંતર્ગોળ,ત્રિજ્યા $+R$):
વસ્તુ અંતર $u = -(R + R/2) = -1.5 R$,$\mu_1 = 1$,$\mu_2 = 1.5$.
$\frac{1.5}{v_A} - \frac{1}{-1.5 R} = \frac{1.5 - 1}{-R} \Rightarrow \frac{1.5}{v_A} + \frac{2}{3 R} = -\frac{0.5}{R}$.
$\frac{1.5}{v_A} = -\frac{0.5}{R} - \frac{2}{3 R} = -\frac{1}{2 R} - \frac{2}{3 R} = -\frac{7}{6 R}$.
$v_A = -\frac{1.5 \times 6 R}{7} = -\frac{9}{7} R \approx -1.2857 R$.
પ્રતિબિંબો $B$ ની ડાબી બાજુ $0.6 R$ અંતરે અને $A$ ની ડાબી બાજુ $1.2857 R$ અંતરે રચાય છે. $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $2 R$ છે. $A$ થી પ્રતિબિંબ $I_B$ નું અંતર $2 R - 0.6 R = 1.4 R$ છે. $A$ થી પ્રતિબિંબ $I_A$ નું અંતર $1.2857 R$ છે. તેથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર $1.4 R - 1.2857 R = 0.1143 R$ થાય.

(D) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,ધારો કે $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$. તેથી,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \frac{2}{R}$.
હવામાં: $\frac{1}{24} = (1.5 - 1) \frac{2}{R} = 0.5 \times \frac{2}{R} = \frac{1}{R}$. તેથી,$R = 24 \ cm$.
પાણીમાં: $\frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \frac{2}{R} = \left( \frac{1.5}{1.33} - 1 \right) \frac{2}{24}$.
$\mu_w = 1.33 \approx \frac{4}{3}$ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{f'} = \left( \frac{1.5}{4/3} - 1 \right) \frac{1}{12} = \left( \frac{4.5}{4} - 1 \right) \frac{1}{12} = (1.125 - 1) \frac{1}{12} = 0.125 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{96}$.
તેથી,$f' = 96 \ cm$.

(B) શરૂઆતમાં,કેપેસિટર $C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_{initial} = C_1 V_0 = 6 \ \mu F \times 5 \ V = 30 \ \mu C$ છે. $C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $0 \ \mu C$ છે.
જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે જ્યાં સુધી બંને કેપેસિટર્સ સમાન સ્થિતિમાન $V_c$ પ્રાપ્ત ન કરે. વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ વિદ્યુતભાર અચળ રહે છે:
$q_{total} = q_1 + q_2 = 30 \ \mu C + 0 \ \mu C = 30 \ \mu C$.
સંતુલન સમયે,$q_1 = C_1 V_c$ અને $q_2 = C_2 V_c$. તેઓ સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,$V_c = \frac{q_{total}}{C_1 + C_2} = \frac{30 \ \mu C}{6 \ \mu F + 12 \ \mu F} = \frac{30}{18} \ V = \frac{5}{3} \ V$.
હવે,અંતિમ વિદ્યુતભારોની ગણતરી કરો:
$q_1 = C_1 V_c = 6 \ \mu F \times \frac{5}{3} \ V = 10 \ \mu C$.
$q_2 = C_2 V_c = 12 \ \mu F \times \frac{5}{3} \ V = 20 \ \mu C$.

(B) ચુંબકીય પ્રેરણ ટેસ્લા અથવા ગૌસમાં માપવામાં આવે છે. તેથી,$(A)-(III)$.
$(B)$ ચુંબકીય તીવ્રતા $(H)$ એમ્પિયર/મીટરમાં માપવામાં આવે છે. તેથી,$(B)-(IV)$.
$(C)$ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\Phi)$ વેબર $(Wb)$ માં માપવામાં આવે છે. તેથી,$(C)-(II)$.
$(D)$ ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ એમ્પિયર મીટર$^2$ માં માપવામાં આવે છે. તેથી,$(D)-(I)$.
સાચી જોડ $(A)-(III), (B)-(IV), (C)-(II), (D)-(I)$ છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં બે $AND$ ગેટ,બે $NOT$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. ઉપરનો $AND$ ગેટ $A$ અને $\overline{B}$ ઇનપુટ મેળવે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A \cdot \overline{B}$ છે.
$2$. નીચેનો $AND$ ગેટ $\overline{A}$ અને $B$ ઇનપુટ મેળવે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{A} \cdot B$ છે.
$3$. $OR$ ગેટ આ આઉટપુટને જોડીને અંતિમ આઉટપુટ $Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$ આપે છે.
$4$. આ સમીકરણ $XOR$ (એક્સક્લુઝિવ $OR$) લોજિક ગેટ દર્શાવે છે.
$5$. $XOR$ ગેટ માટેનું સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
| $A$ | $B$ | $Y$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n^{\text{th}}$ ઉર્જા સ્તરમાં હોય,ત્યારે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N = \frac{n(n-1)}{2}$
અહીં,$n = 4$ છે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$
આમ,ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા $6$ છે.

(A) લાંબા સોલેનોઇડ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \mu_0 n i = \mu_0 \left( \frac{N}{\ell} \right) i$ છે.
અહીં,$N = 200$,$i = 0.29 \ A$,$B = 2.9 \times 10^{-4} \ T$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ છે.
લંબાઈ $\ell$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\ell = \frac{\mu_0 N i}{B}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\ell = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 200 \times 0.29}{2.9 \times 10^{-4}} \ m$.
$\ell = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 0.29}{2.9 \times 10^{-4}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 0.29}{29 \times 10^{-5}} \ m$.
$\ell = 4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 10^{-1} \ m = 8\pi \times 10^{-2} \ m$.
કારણ કે $1 \ m = 100 \ cm$,તેથી $\ell = 8\pi \times 10^{-2} \times 100 \ cm = 8\pi \ cm$.
આમ,સોલેનોઇડની લંબાઈ $8\pi \ cm$ છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે $V = \frac{Q}{C}$,તેથી $V = \frac{Q d}{\epsilon_0 A}$ થાય.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{Q d}{\epsilon_0 A} \right) = \frac{d}{\epsilon_0 A} \frac{dQ}{dt}$.
કારણ કે $\frac{dQ}{dt} = I$,તેથી વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = \frac{I d}{\epsilon_0 A}$ છે.
$d$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$d = \frac{\epsilon_0 A (dV/dt)}{I} = \frac{\epsilon_0 (\pi r^2) (dV/dt)}{I}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r = 0.1 \ m$,$I = 0.15 \ A$,$\frac{dV}{dt} = 7 \times 10^8 \ V/s$,$\epsilon_0 = 9 \times 10^{-12} \ F/m$,અને $\pi = 22/7$.
$d = \frac{(9 \times 10^{-12}) \times (22/7) \times (0.1)^2 \times (7 \times 10^8)}{0.15} \ m$.
$d = \frac{9 \times 10^{-12} \times 22 \times 0.01 \times 10^8}{0.15} \ m = \frac{9 \times 22 \times 10^{-6}}{0.15} \ m = \frac{198 \times 10^{-6}}{0.15} \ m = 1320 \times 10^{-6} \ m$.
કારણ કે $1 \ \mu m = 10^{-6} \ m$,તેથી અંતર $d = 1320 \ \mu m$ છે.

(A) સમતલ તરંગ અગ્રનું સમીકરણ $x+y+z = C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમતલનો લંબ સદિશ $\vec{n} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
પ્રકાશના પ્રસરણની દિશા તરંગ અગ્રને લંબ હોય છે,તેથી પ્રસરણ સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
પ્રસરણ સદિશ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો $\alpha$ એ ડાયરેક્શન કોસાઇનના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\cos \alpha = \frac{\vec{v} \cdot \hat{i}}{|\vec{v}| |\hat{i}|}$.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\vec{v} \cdot \hat{i} = (1)(1) + (1)(0) + (1)(0) = 1$.
માનની ગણતરી કરતા: $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(B) બિંદુ $A$ માટે,વસ્તુ અંતર $u = -30 \ cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = +20 \ cm$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$.
આમ,$v = 60 \ cm$. મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{60}{-30} = -2$ છે.
નાની વસ્તુ માટે,રેખીય મોટવણી $m_L = \frac{dv}{du} = m^2 = (-2)^2 = 4$ છે. પ્રતિબિંબના સ્થાનમાં ફેરફાર $dv = m^2 du = 4 \times 1 \ cm = 4 \ cm$ છે.
અનુપ્રસ્થ મોટવણી $m = \frac{h_i}{h_o} = -2$ છે,તેથી પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_i = m \times h_o = -2 \times 2 \ cm = -4 \ cm$ છે.
પ્રતિબિંબ ઉલટું અને વાસ્તવિક છે. પ્રતિબિંબ દ્વારા મુખ્ય અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{|h_i|}{|dv|} = \frac{4}{4} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રતિબિંબ ઉલટું હોવાથી,ખૂણો $-45^{\circ}$ છે.

(B) બે અનંત મોટા સમાંતર વાહક પ્લેટો માટે,વિદ્યુતભાર એવી રીતે પુનઃવિતરિત થાય છે કે જેથી બહારની સપાટીઓ પર સમાન પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma_{out} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} = \frac{\sigma + (-2\sigma)}{2} = -\frac{\sigma}{2}$ હોય.
અંદરની સપાટીઓ પર વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_{in1} = \sigma - (-\frac{\sigma}{2}) = \frac{3\sigma}{2}$ અને $\sigma_{in2} = -2\sigma - (-\frac{\sigma}{2}) = -\frac{3\sigma}{2}$ હશે.
પ્લેટોની વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર અંદરની સપાટીના વિદ્યુતભારોને કારણે છે: $E = \frac{\sigma_{in1}}{2\epsilon_0} + \frac{|\sigma_{in2}|}{2\epsilon_0} = \frac{3\sigma/2}{2\epsilon_0} + \frac{3\sigma/2}{2\epsilon_0} = \frac{3\sigma}{2\epsilon_0}$.
$+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = qE = q \left( \frac{3\sigma}{2\epsilon_0} \right) = \frac{3\sigma q}{2\epsilon_0}$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $x$-અક્ષ પર $x$ અંતરે છે,જ્યાં પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
બિંદુ $P$ પર,ઉગમબિંદુ પરના $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર અને $(d, 0, 0)$ પરના $+9q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{kq}{x^2} = \frac{k(9q)}{(d-x)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{1}{x} = \frac{3}{d-x}$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $d - x = 3x$,જે $4x = d$ આપે છે,અથવા $x = d/4$.
તેથી,બિંદુ $P$ ના યામ $(d/4, 0, 0)$ છે.

(C) બેટરીમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ એ સૂત્ર $E = V \times q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $q$ એ કુલ વિદ્યુતભાર કુલંબમાં છે.
આપેલ છે,$V = 4.2 \ V$ અને $q = 5800 \ mAh$.
પ્રથમ,વિદ્યુતભાર $q$ ને કુલંબ $(C)$ માં રૂપાંતરિત કરો:
$q = 5800 \times 10^{-3} \ A \times h = 5.8 \ A \times (3600 \ s) = 20880 \ C$.
હવે,ઉર્જા $E$ ની ગણતરી કરો:
$E = 4.2 \ V \times 20880 \ C = 87696 \ J$.
જૂલને કિલોજૂલ $(kJ)$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$E = 87.696 \ kJ \approx 87.7 \ kJ$.

(A) સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_{r}$ અને ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વચ્ચેનો સંબંધ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\mu_{r} = 1 + \chi$.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\chi = \mu_{r} - 1$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે નિરપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu$ એ સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_{r}$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $\mu_0$ સાથે આ રીતે સંબંધિત છે: $\mu = \mu_0 \mu_{r}$.
આના પરથી,આપણે સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટીને આ રીતે દર્શાવી શકીએ: $\mu_{r} = \frac{\mu}{\mu_0}$.
$\mu_{r}$ ની આ કિંમતને સસેપ્ટિબિલિટીના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\chi = \frac{\mu}{\mu_0} - 1$.

(D) ધારો કે લોડ પ્રવાહ $I_L = i$ છે।
પ્રશ્ન મુજબ, ઝેનર પ્રવાહ $I_Z = 4I_L = 4i$ છે।
શ્રેણી અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = I_Z + I_L = 4i + i = 5i$ છે।
શ્રેણી અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = V_{in} - V_Z = 25\ V - 5\ V = 20\ V$ છે।
શ્રેણી અવરોધ માટે ઓહ્મનો નિયમ વાપરતા: $V_R = I \times R_s$
$20\ V = (5i) \times 400\ \Omega$
$20 = 2000i$
$i = \frac{20}{2000} = 0.01\ A = 10\ mA$.
આમ, લોડ પ્રવાહ $I_L = 10\ mA$ છે।
લોડ અવરોધ $R_L = \frac{V_L}{I_L} = \frac{5\ V}{10 \times 10^{-3}\ A} = 500\ \Omega$ થાય.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી $x$ જેટલા અક્ષીય અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $B_2$ ને $B_1$ ના પદમાં ખૂણા $\theta$ નો ઉપયોગ કરીને દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $\sin \theta = \frac{R}{\sqrt{R^2 + x^2}}$.
આમ,$B_2 = B_1 \sin^3 \theta$.
આપેલ છે કે $x : R = 3 : 4$,તેથી $x = 3k$ અને $R = 4k$ લઈએ. $x$ અને $R$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનો કર્ણ $\sqrt{R^2 + x^2} = \sqrt{(4k)^2 + (3k)^2} = 5k$ થશે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{R}{\sqrt{R^2 + x^2}} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$.
આ કિંમત ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{B_2}{B_1} = \sin^3 \theta = \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125}$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$H$ પરમાણુ $(Z=1)$ માટે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$: $E = -13.6 \times \frac{1^2}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$.
$He^{+}$ આયન $(Z=2)$ માટે:
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$: $E = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = -54.4 \text{ eV}$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત સ્ટેટ $(n=2)$: $E = -13.6 \times \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \text{ eV}$.
$Li^{++}$ આયન $(Z=3)$ માટે:
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$: $E = -13.6 \times \frac{3^2}{1^2} = -122.4 \text{ eV}$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત સ્ટેટ $(n=2)$: $E = -13.6 \times \frac{3^2}{2^2} = -30.6 \text{ eV}$.
બીજું ઉત્તેજિત સ્ટેટ $(n=3)$: $E = -13.6 \times \frac{3^2}{3^2} = -13.6 \text{ eV}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા:
વિધાન $(A)$: $H$ (ગ્રાઉન્ડ) = $-13.6 \text{ eV}$,$He^{+}$ (પ્રથમ ઉત્તેજિત) = $-13.6 \text{ eV}$. (સાચું)
વિધાન $(B)$: $H$ (ગ્રાઉન્ડ) = $-13.6 \text{ eV}$,$Li^{++}$ (બીજું ઉત્તેજિત) = $-13.6 \text{ eV}$. (સાચું)
વિધાન $(C)$: $H$ (ગ્રાઉન્ડ) = $-13.6 \text{ eV}$,$He^{+}$ (ગ્રાઉન્ડ) = $-54.4 \text{ eV}$. (ખોટું)
વિધાન $(D)$: $He^{+}$ (પ્રથમ ઉત્તેજિત) = $-13.6 \text{ eV}$,$Li^{++}$ (ગ્રાઉન્ડ) = $-122.4 \text{ eV}$. (ખોટું)
આમ,માત્ર $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

(B) ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
અહીં,$\mu_1 = 1$,$\mu_2 = 1.5$,$u = -0.2 \ m$ (વસ્તુ ડાબી બાજુ મૂકેલી છે),અને $R = +0.4 \ m$ (વક્રતા કેન્દ્ર જમણી બાજુ છે).
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-0.2} = \frac{1.5 - 1}{0.4}$
$\frac{1.5}{v} + 5 = \frac{0.5}{0.4}$
$\frac{1.5}{v} + 5 = 1.25$
$\frac{1.5}{v} = 1.25 - 5$
$\frac{1.5}{v} = -3.75$
$v = \frac{1.5}{-3.75} = -0.4 \ m$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ ગોલીય સપાટીની ડાબી બાજુ $0.4 \ m$ અંતરે રચાય છે.

(D) સંતુલન સ્થિતિમાં,ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ બળ $T$,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને પ્લેટથી દૂર આડી દિશામાં લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ છે.
અનંત લંબાઈની અવાહક પ્લેટ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં બળોના ઘટકો લેતા:
$T \sin(45^{\circ}) = F_e = qE = q \left( \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \right)$
$T \cos(45^{\circ}) = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0 mg}$
$\tan(45^{\circ}) = 1$ હોવાથી:
$1 = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0 mg} \implies \sigma = \frac{2\varepsilon_0 mg}{q}$
આપેલ કિંમતો: $m = 100 \ mg = 10^{-4} \ kg$,$q = 10 \ \mu C = 10^{-5} \ C$,$g = 10 \ m/s^2$,$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = \frac{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-4} \times 10}{10^{-5}}$
$\sigma = 17.7 \times 10^{-10} \ C/m^2 = 1.77 \ nC/m^2$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $p$ એ ગતિ ઊર્જા સાથે $p = \sqrt{2mK_{\max}} = \sqrt{2m(\frac{hc}{\lambda} - \phi)}$ સંબંધ ધરાવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે $R = \frac{p}{eB}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગમાં ગતિ કરે છે.
ઇલેક્ટ્રોન અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કર્યા પછી બિંદુ $B$ પર પ્લેટને અથડાય છે,તેથી અંતર $AB$ એ માર્ગનો વ્યાસ છે: $d_{AB} = 2R = \frac{2p}{eB}$.
$p$ ની કિંમત મૂકતા: $d_{AB} = \frac{2\sqrt{2m(\frac{hc}{\lambda} - \phi)}}{eB} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2m(\frac{hc}{\lambda} - \phi)}}{eB} = \frac{\sqrt{8m(\frac{hc}{\lambda} - \phi)}}{eB}$.

(C) સિંગલ સ્લિટ ડિફ્રેક્શન પેટર્ન માટે,$n$-માં મિનિમમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે અને $\theta$ એ કોણીય સ્થાન છે.
બીજા મિનિમમ $(n=2)$ માટે,$\sin \theta_1 = \frac{2 \lambda}{a}$.
ત્રીજા મિનિમમ $(n=3)$ માટે,$\sin \theta_2 = \frac{3 \lambda}{a}$.
કુલ કોણીય અંતર $\theta_1 + \theta_2 = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ રેડિયન}$ છે.
નાના ખૂણાના અંદાજનો ઉપયોગ કરીને,$\sin \theta \approx \theta$ (રેડિયનમાં),આપણી પાસે છે:
$\theta_1 \approx \frac{2 \lambda}{a}$ અને $\theta_2 \approx \frac{3 \lambda}{a}$.
આનો સરવાળો કરતા,આપણને $\theta_1 + \theta_2 \approx \frac{2 \lambda}{a} + \frac{3 \lambda}{a} = \frac{5 \lambda}{a}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\theta_1 + \theta_2 = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ રેડિયન}$,તેથી $\frac{5 \lambda}{a} = \frac{\pi}{6}$.
$\lambda = 628 \ nm = 0.628 \ \mu m$ મૂકતા:
$a = \frac{5 \times 0.628 \times 6}{\pi} \approx \frac{18.84}{3.14} \approx 6 \ \mu m$.

(C) વિધાન $(A)$ જણાવે છે કે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં ધ્રુવીય ડાયઇલેક્ટ્રિકની ચોખ્ખી ડાયપોલ મોમેન્ટ શૂન્ય હોય છે. આ સાચું છે કારણ કે ધ્રુવીય અણુઓ કાયમી ડાયપોલ ધરાવે છે,પરંતુ ઉષ્મીય આંદોલનને કારણે,તેઓ પદાર્થમાં યાદચ્છિક રીતે ગોઠવાયેલા હોય છે,જેના પરિણામે ચોખ્ખી ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{P}_{net} = \vec{0}$ થાય છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં,વિવિધ કાયમી ડાયપોલ્સ યાદચ્છિક દિશાઓમાં ગોઠવાયેલા હોય છે. આ પણ સાચું છે અને તે ભૌતિક આધાર પૂરો પાડે છે કે શા માટે ચોખ્ખી ડાયપોલ મોમેન્ટ શૂન્ય છે.
તેથી,$(A)$ અને $(R)$ બંને સાચા છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.