JEE Main 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ગોળાઓ અથડાય તે માટેનો સમય ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં પદાર્થના ભ્રમણકક્ષાના સમયગાળાના પ્રમાણમાં હોય છે,જે કેપ્લરના ત્રીજા નિયમનું પાલન કરે છે: $T^2 \propto \frac{a^3}{M}$.
અહીં,$a$ એ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ છે અને $M$ એ ગોળાઓનું દળ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $T_1 = 4 \text{ s}$,$a_1 = a$,અને $M_1 = m$.
બીજી સ્થિતિ માટે: $a_2 = 2a$ અને $M_2 = 2m$.
પ્રમાણસરતા $T \propto \sqrt{\frac{a^3}{M}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{a_2^3}{M_2} \cdot \frac{M_1}{a_1^3}}$
$\frac{T_2}{4} = \sqrt{\frac{(2a)^3}{2m} \cdot \frac{m}{a^3}}$
$\frac{T_2}{4} = \sqrt{\frac{8a^3}{2m} \cdot \frac{m}{a^3}}$
$\frac{T_2}{4} = \sqrt{4} = 2$
$T_2 = 4 \times 2 = 8 \text{ s}$.

(D) એક છેડે બંધ હવાના સ્તંભની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $L$ એ સ્તંભની લંબાઈ છે.
$L_1 = 100 \ cm = 1.0 \ m$ અને $L_2 = 120 \ cm = 1.2 \ m$ લંબાઈના બે સ્તંભો માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિઓ $f_1 = \frac{v}{4L_1}$ અને $f_2 = \frac{v}{4L_2}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ એ આ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $|f_1 - f_2| = 15 \ Hz$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{v}{4} \left( \frac{1}{L_1} - \frac{1}{L_2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{1}{1.0} - \frac{1}{1.2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{1.2 - 1.0}{1.2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{0.2}{1.2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{1}{6} \right) = 15$.
$v = 15 \times 4 \times 6 = 360 \ m/s$.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલું હોય છે,$W = U_i - U_f$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = U_1 + U_2 = (m_1 g h_{cm1}) + (m_2 g h_{cm2})$.
અહીં $A = 2 \ m^2$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,$g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે.
$U_i = (\rho A \times 10) g \times (10/2) + (\rho A \times 6) g \times (6/2) = \rho Ag (50 + 18) = 68 \rho Ag$.
જ્યારે પાત્રોને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને પાત્રોમાં પાણીની સપાટી સમાન થઈને $h = (10 + 6) / 2 = 8 \ m$ થાય છે.
અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = (\rho A \times 8) g \times (8/2) + (\rho A \times 8) g \times (8/2) = \rho Ag (32 + 32) = 64 \rho Ag$.
થયેલું કાર્ય $W = U_i - U_f = 68 \rho Ag - 64 \rho Ag = 4 \rho Ag$.
$W = 4 \times 10^3 \times 2 \times 10 = 8 \times 10^4 \ J$.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ છે. તેથી, વિનિમય પામેલી કુલ ઉષ્મા $Q_T$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલા કુલ કાર્ય $W$ જેટલી હોય છે, એટલે કે $Q_T = W$.
$1$. $(P_0, V_0)$ થી $(P_0/4, 4V_0)$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ:
થયેલ કાર્ય $W_1 = nRT \ln(V_f/V_i) = P_0 V_0 \ln(4V_0/V_0) = P_0 V_0 \ln 4 = 2 P_0 V_0 \ln 2$.
$2$. $(P_0/4, 4V_0)$ થી $(P_0/4, V_0)$ સુધી સમદાબી સંકોચન:
થયેલ કાર્ય $W_2 = P \Delta V = (P_0/4)(V_0 - 4V_0) = (P_0/4)(-3V_0) = -0.75 P_0 V_0$.
$3$. $(P_0/4, V_0)$ થી $(P_0, V_0)$ સુધી સમકદ ગરમ કરવું:
કદ અચળ હોવાથી થયેલ કાર્ય $W_3 = 0$.
કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 + W_3 = 2 P_0 V_0 \ln 2 - 0.75 P_0 V_0 = P_0 V_0(2 \ln 2 - 0.75)$.
$Q_T = W$ હોવાથી, વિનિમય પામેલી કુલ ઉષ્મા $P_0 V_0(2 \ln 2 - 0.75)$ છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે બ્લોક્સ એકસાથે ગતિ કરે ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_{cm}$
$10 \times 3 + 5 \times 0 = (10 + 5) v_{cm}$
$30 = 15 v_{cm} \Rightarrow v_{cm} = 2 \ m/s$
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા એ અથડામણ દરમિયાન ગતિ ઉર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} kx^2 = K_i - K_f$
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{cm}^2$
$\frac{1}{2} (3000) x^2 = \frac{1}{2} (10) (3)^2 - \frac{1}{2} (15) (2)^2$
$1500 x^2 = 45 - 30$
$1500 x^2 = 15$
$x^2 = \frac{15}{1500} = \frac{1}{100}$
$x = 0.1 \ m$

(D) સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$R = 3H$.
સૂત્રો મૂકતા,$\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = 3 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{2} \sin^2 \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \frac{4}{3}$.
$\tan \theta = \frac{4}{3}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $\sin \theta = \frac{4}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{3}{5}$ મળે છે.
હવે,આ કિંમતોને અવધિના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{u^2 (2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5})}{g} = \frac{24 u^2}{25 g}$.
આને $\frac{n u^2}{25 g}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 24$ મળે છે.

(D) ટર્મિનલ વેગ $v_T$ માટેનું સૂત્ર સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ છે: $v_T = \frac{2}{9} \frac{(\rho_s - \rho_o) r^2 g}{\eta}$,જ્યાં $\rho_s$ એ સ્ટીલની ઘનતા છે,$\rho_o$ એ તેલની ઘનતા છે,$r$ એ દડાની ત્રિજ્યા છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
આપેલ છે:
વ્યાસ $d = 3.6 \ mm = 3.6 \times 10^{-3} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 1.8 \times 10^{-3} \ m$.
$v_T = 2.45 \times 10^{-2} \ m/s$.
$\rho_s = 7825 \ kg/m^3$.
$\rho_o = 925 \ kg/m^3$.
$g = 9.8 \ m/s^2$.
$\eta$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\eta = \frac{2}{9} \frac{(\rho_s - \rho_o) r^2 g}{v_T}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{(7825 - 925) \times (1.8 \times 10^{-3})^2 \times 9.8}{2.45 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{6900 \times 3.24 \times 10^{-6} \times 9.8}{2.45 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{21902.4 \times 10^{-6}}{2.45 \times 10^{-2}} \approx 1.99 \ Pa \cdot s$.

(D) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $x = c_0(t^2 - 2) + c(t - 2)^2$.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[c_0(t^2 - 2) + c(t - 2)^2] = 2c_0t + 2c(t - 2)$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે $v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[2c_0t + 2c(t - 2)] = 2c_0 + 2c = 2(c_0 + c)$.
આમ,કણનો પ્રવેગ $2(c + c_0)$ છે.

(A) બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k)$: $k = \frac{PV}{NT}$. પારિમાણિક સૂત્ર $[k] = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[K]} = ML^2 T^{-2} K^{-1}$. ($III$ સાથે સુસંગત છે)
$(B)$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(\eta)$: $F = 6\pi \eta rv$. પારિમાણિક સૂત્ર $[\eta] = \frac{[F]}{[r][v]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L][LT^{-1}]} = ML^{-1} T^{-1}$. ($IV$ સાથે સુસંગત છે)
$(C)$ પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$: $E = hf$. પારિમાણિક સૂત્ર $[h] = \frac{[E]}{[f]} = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[T^{-1}]} = ML^2 T^{-1}$. ($I$ સાથે સુસંગત છે)
$(D)$ ઉષ્મા વાહકતા $(k)$: $\frac{dQ}{dt} = k A \frac{dT}{dx}$. પારિમાણિક સૂત્ર $[k] = \frac{[ML^2 T^{-3}][L]}{[L^2][K]} = MLT^{-3} K^{-1}$. ($II$ સાથે સુસંગત છે)
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.

(C) બંધ પાત્રમાં રહેલા આદર્શ વાયુ માટે કદ $V$ અચળ રહે છે,જે સમકદ પ્રક્રિયા (isochoric process) દર્શાવે છે.
ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ માટે દબાણ $P$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$,અથવા નાના ફેરફારો માટે,$\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta T}{T}$.
આપેલ છે કે દબાણમાં $0.4 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta P}{P} = \frac{0.4}{100}$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 1 \ K$ આપેલ છે (કારણ કે $1^{\circ} C$ નો ફેરફાર એ $1 \ K$ ના ફેરફારને સમાન છે).
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{0.4}{100} = \frac{1}{T}$.
$T$ માટે ઉકેલતા,આપણને $T = \frac{100}{0.4} = 250 \ K$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $v_{i} = 10 \ m/s$,બળ $F = -kx$,જ્યાં $k = 10 \ N/m$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$a = \frac{F}{m} = -\frac{kx}{m} = -\frac{10x}{1} = -10x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = v \frac{dv}{dx}$,તેથી $v \frac{dv}{dx} = -10x$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{10}^{v} v \, dv = \int_{0.1}^{1.9} -10x \, dx$.
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{10}^{v} = -10 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0.1}^{1.9}$.
$\frac{v^2 - 100}{2} = -5 \left( 1.9^2 - 0.1^2 \right)$.
$\frac{v^2 - 100}{2} = -5 \left( 3.61 - 0.01 \right) = -5 \left( 3.60 \right) = -18$.
$v^2 - 100 = -36$.
$v^2 = 64$.
$v = 8 \ m/s$.

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P$,જેની ત્રિજ્યા $R$ અને પૃષ્ઠતાણ $T$ છે,તે $\Delta P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પરપોટા $A$ માં વધારાનું દબાણ એ પરપોટા $B$ કરતા અડધું છે,તેથી $\Delta P_A = \frac{1}{2} \Delta P_B$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{4T}{R_A} = \frac{1}{2} \left( \frac{4T}{R_B} \right)$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{R_A} = \frac{1}{2R_B}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R_A = 2R_B$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
તેથી,કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \left( \frac{R_A}{R_B} \right)^3 = (2)^3 = 8$ થાય.
કારણ કે $V_A = n V_B$,તેથી $n = 8$ મળે છે.

(A) આપેલ સંબંધ: $C = p^1 q^2 r^{-3} s^{-1/2}$.
$C$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર:
$\frac{\Delta C}{C} = \left| 1 \frac{\Delta p}{p} \right| + \left| 2 \frac{\Delta q}{q} \right| + \left| 3 \frac{\Delta r}{r} \right| + \left| \frac{1}{2} \frac{\Delta s}{s} \right|$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ: $\frac{\Delta p}{p} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta q}{q} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 3\%$,$\frac{\Delta s}{s} \times 100 = 2\%$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta C}{C} \times 100 = (1 \times 1\%) + (2 \times 2\%) + (3 \times 3\%) + (0.5 \times 2\%)$.
$= 1\% + 4\% + 9\% + 1\% = 15\%$.
આમ,$C$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $15\%$ છે.

(C) અથડામણની આવૃત્તિ $(f)$ એ એકમ સમયમાં થતી અથડામણોની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે સરેરાશ ઝડપ $(v_{avg})$ અને સરેરાશ મુક્ત પથ $(\lambda)$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f = \frac{v_{avg}}{\lambda}$
આપેલ છે:
$v_{avg} = 600 \ m/s$
$\lambda = 3 \times 10^{-7} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{600}{3 \times 10^{-7}}$
$f = 200 \times 10^7 \ s^{-1}$
$f = 2 \times 10^9 \ s^{-1}$

(C) ગુણોત્તર $K = \frac{\cos \theta_{A}}{\cos \theta_{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K$ ઋણ હોવા માટે,$\cos \theta_{A}$ અને $\cos \theta_{B}$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
જો $\theta < 90^{\circ}$ હોય,તો $\cos \theta > 0$ (અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ).
જો $\theta > 90^{\circ}$ હોય,તો $\cos \theta < 0$ (બહિર્ગોળ મેનિસ્કસ).
તેથી,જો $K < 0$ હોય,તો એક પ્રવાહી અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ $(\theta < 90^{\circ})$ અને બીજું પ્રવાહી બહિર્ગોળ મેનિસ્કસ $(\theta > 90^{\circ})$ ધરાવતું હોવું જોઈએ.

(C) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ કોણીય વેગમાનના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$.
કારણ કે $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$,તેથી સમીકરણ $B$ સાચું છે: $\vec{\tau} = \frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p})$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p}) = (\frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p}) + (\vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt})$.
અહીં $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ અને $\vec{p} = m\vec{v}$ હોવાથી,પદ $(\vec{v} \times m\vec{v}) = 0$ થાય છે. તેથી,$\vec{\tau} = \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt}$,જે દર્શાવે છે કે સમીકરણ $C$ સાચું છે.
વળી,$\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}$ હોવાથી,સમીકરણ $E$ સાચું છે: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
સ્થિર અક્ષની આસપાસ ફરતા દ્રઢ પદાર્થ માટે,$\vec{\tau} = I\vec{\alpha}$ થાય છે,તેથી સમીકરણ $D$ પણ સાચું છે.
સમીકરણ $A$ ખોટું છે કારણ કે $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ છે,$\vec{r} \times \vec{L}$ નથી.
આમ,$B, C, D$ અને $E$ સાચા છે.

(B) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $V = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
આપેલ છે કે તમામ વાયુઓ માટે ગુણોત્તર $\frac{P}{\rho}$ સમાન છે,તેથી ધ્વનિની ઝડપ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં છે: $V \propto \sqrt{\gamma}$.
$He$ (એક-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f = 3$ છે,તેથી $\gamma_{He} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
$CH_4$ (બહુ-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિની માત્રા $f = 6$ છે,તેથી $\gamma_{CH_4} = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
$CO_2$ (બહુ-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિની માત્રા $f = 6$ છે,તેથી $\gamma_{CO_2} = 1 + \frac{2}{6} = \frac{4}{3}$.
તેથી,ઝડપનો ગુણોત્તર $V_{He} : V_{CH_4} : V_{CO_2} = \sqrt{\gamma_{He}} : \sqrt{\gamma_{CH_4}} : \sqrt{\gamma_{CO_2}} = \sqrt{\frac{5}{3}} : \sqrt{\frac{4}{3}} : \sqrt{\frac{4}{3}}$ થાય છે.

(D) વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{E}$ અને ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{M}$ નો ગુણોત્તર $\frac{\phi_{E}}{\phi_{M}} = \frac{E \cdot A}{B \cdot A} = \frac{E}{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $E = c \cdot B$ (જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે),તેથી ગુણોત્તર $\frac{E}{B} = c$ થાય.
ઝડપ $c$ નું પરિમાણ $[L T^{-1}]$ છે.
આને $M^{P} L^{Q} T^{R} A^{S}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $M^{0} L^{1} T^{-1} A^{0}$ મળે છે.
આમ,$Q = 1$ અને $R = -1$ થાય.

(A) આપેલ સ્થાન સદિશ $\vec{r} = a(\hat{i} \cos \omega t + \hat{j} \sin \omega t)$ છે.
બળ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ શોધીશું.
વેગ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = a\omega(-\hat{i} \sin \omega t + \hat{j} \cos \omega t)$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -a\omega^2(\hat{i} \cos \omega t + \hat{j} \sin \omega t) = -\omega^2\vec{r}$.
કારણ કે $\vec{F} = m\vec{a}$,તેથી $\vec{F} = -m\omega^2\vec{r}$.
આ દર્શાવે છે કે બળ $\vec{F}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(B) પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે,તણાવના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકો બળોને સંતુલિત કરવા જોઈએ.
સમક્ષિતિજ સંતુલન: $T_1 \cos \theta_1 = T_2 \cos \theta_2$.
આપેલ છે કે $T_1 = \sqrt{3} T_2$,તેથી $\sqrt{3} T_2 \cos \theta_1 = T_2 \cos \theta_2$,જેનું સાદું રૂપ $\sqrt{3} \cos \theta_1 = \cos \theta_2$ થાય છે.
શિરોલંબ સંતુલન: $T_1 \sin \theta_1 + T_2 \sin \theta_2 = mg$.
$T_1 = \sqrt{3} T_2$ મૂકતા: $T_2 (\sqrt{3} \sin \theta_1 + \sin \theta_2) = mg$.
વિકલ્પ $B$ ચકાસતા: $\theta_1 = 60^{\circ}$ અને $\theta_2 = 30^{\circ}$.
સમક્ષિતિજ ચકાસણી: $\sqrt{3} \cos 60^{\circ} = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. આ સમાન છે.
શિરોલંબ ચકાસણી: $T_2 (\sqrt{3} \sin 60^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = T_2 (\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = T_2 (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) = T_2 (2) = mg$.
આમ,$T_2 = \frac{mg}{2}$.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થને અનંત સુધી ફેંકવા માટે જરૂરી ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{1}{2}m(2gR) = mgR$ છે.
વિધાનમાં ઊર્જા $\frac{1}{2}mgR$ જણાવેલ હોવાથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
અનંત અંતરે પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં પદાર્થ માટે સ્થિતિઊર્જાનું મહત્તમ મૂલ્ય છે. તેથી,કારણ $R$ સાચું છે.

(A) $\ell$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{4\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પાઈપને તેના કદના $\left(\frac{1}{5}\right)$ ભાગ જેટલું પાણીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે હવાના સ્તંભની અસરકારક લંબાઈ $\ell' = \ell - \frac{\ell}{5} = \frac{4\ell}{5}$ થાય છે.
નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{4\ell'} = \frac{v}{4(\frac{4\ell}{5})} = \frac{5v}{16\ell}$ છે.
આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta f = f_2 - f_1 = \frac{5v}{16\ell} - \frac{v}{4\ell} = \frac{5v - 4v}{16\ell} = \frac{v}{16\ell}$ છે.
આવૃત્તિમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta f}{f_1} \times 100 = \frac{\frac{v}{16\ell}}{\frac{v}{4\ell}} \times 100 = \frac{4}{16} \times 100 = 25 \%$ છે.

(D) સાદા લોલક માટે,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ $\alpha = -\omega^2 \theta$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega^2 = \frac{g}{l}$ છે.
બંને લોલકનો કોણીય પ્રવેગ મૂલ્યમાં સમાન હોવાથી,આપણી પાસે $|\alpha_1| = |\alpha_2|$ છે.
$\alpha$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\frac{g}{l_1} \theta_1 = \frac{g}{l_2} \theta_2$ મળે છે.
બંને બાજુથી ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{\theta_1}{l_1} = \frac{\theta_2}{l_2}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\theta_1 l_2 = \theta_2 l_1$ મળે છે.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા તળિયે પહોંચતા સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$\omega = \frac{v}{R}$,તેથી $Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + \frac{k^2}{R^2})$,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
આમ,$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$.
રીંગ માટે,$I = MR^2$,તેથી $k^2 = R^2$ અને $v_{\text{ring}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$.
ઘન ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}MR^2$,તેથી $k^2 = \frac{2}{5}R^2$ અને $v_{\text{sphere}} = \sqrt{\frac{2gh}{1 + 2/5}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}}$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{\text{ring}}}{v_{\text{sphere}}} = \frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{10gh/7}} = \sqrt{\frac{7}{10}}$ છે.
$\sqrt{\frac{x}{5}}$ સ્વરૂપમાં મેળવવા માટે,$\sqrt{\frac{7}{10}} = \sqrt{\frac{3.5}{5}}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$x = 4$ મળે છે.

(B) શીયર સ્ટ્રેસ $\sigma$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ પર લાગતા બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $l$ બાજુ અને $d$ જાડાઈ ધરાવતા સ્લેબ માટે,જે સપાટી પર બળ લાગે છે તેનું ક્ષેત્રફળ $A = l \times d$ છે.
આમ,બે સ્લેબ માટે શીયર સ્ટ્રેસ:
$\sigma_1 = \frac{F}{l d_1}$ અને $\sigma_2 = \frac{F}{l d_2}$.
શીયર મોડ્યુલસ $\eta$ ને શીયર સ્ટ્રેસ અને વિરૂપણના ખૂણા $\theta$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (નાના ખૂણાઓ માટે,$\theta \approx \tan \theta$):
$\eta = \frac{\sigma}{\theta} \Rightarrow \theta = \frac{\sigma}{\eta}$.
આપેલ છે કે $\theta_2 = 2\theta_1$,આપણે અભિવ્યક્તિઓ મૂકીએ:
$\frac{\sigma_2}{\eta_2} = 2 \left( \frac{\sigma_1}{\eta_1} \right)$.
$\sigma_1 = \frac{F}{l d_1}$,$\sigma_2 = \frac{F}{l d_2}$,અને $d_2 = 2d_1$ મૂકતા:
$\frac{F}{l d_2 \eta_2} = 2 \left( \frac{F}{l d_1 \eta_1} \right)$.
$\frac{1}{2d_1 \eta_2} = \frac{2}{d_1 \eta_1} \Rightarrow \frac{1}{\eta_2} = \frac{4}{\eta_1} \Rightarrow \eta_2 = \frac{\eta_1}{4}$.
આપેલ છે કે $\eta_1 = 4 \times 10^9 \ N/m^2$,તેથી:
$\eta_2 = \frac{4 \times 10^9}{4} = 1 \times 10^9 \ N/m^2$.
આને $x \times 10^9 \ N/m^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(A) શીટનું પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_0 = l \times d = 9 \ cm \times 4 \ cm = 36 \ cm^2 = 36 \times 10^{-4} \ m^2$ છે.
ઉષ્માના સૂત્ર $\Delta Q = m C_v \Delta T$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T$ શોધીએ છીએ:
$8.1 \times 10^2 = 0.1 \times 900 \times \Delta T$
$810 = 90 \times \Delta T$
$\Delta T = \frac{810}{90} = 9 \ K$.
ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_0 \beta \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta = 2\alpha$ એ ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંક છે.
$\Delta A = A_0 (2\alpha) \Delta T$
$\Delta A = (36 \times 10^{-4} \ m^2) \times (2 \times 3.1 \times 10^{-5} \ K^{-1}) \times (9 \ K)$
$\Delta A = 36 \times 10^{-4} \times 6.2 \times 10^{-5} \times 9$
$\Delta A = 2008.8 \times 10^{-9} \ m^2 \approx 2.0 \times 10^{-6} \ m^2$.

(A) શીયર મોડ્યુલસ $G$ એ શીયર સ્ટ્રેસ અને શીયર સ્ટ્રેઈન (નાના ખૂણાઓ માટે કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$G = \frac{\text{Shear Stress}}{\theta}$
શીયર સ્ટ્રેસ $\sigma = \frac{F}{A}$,જ્યાં $F = 10^5 \ N$ અને $A = \pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે $r = 4 \ cm = 0.04 \ m = 4 \times 10^{-2} \ m$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi \times (4 \times 10^{-2})^2 = 16 \pi \times 10^{-4} \ m^2$.
હવે,સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10^{10} = \frac{10^5 / (16 \pi \times 10^{-4})}{\theta}$
$\theta = \frac{10^5}{16 \pi \times 10^{-4} \times 10^{10}}$
$\theta = \frac{10^5}{16 \pi \times 10^6} = \frac{1}{160 \pi} \text{ radian}$.

(B) તંત્ર બંધ હોવાથી વાયુના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે.
ધારો કે નાના પાત્રનું કદ $V$ છે અને મોટા પાત્રનું કદ $2V$ છે.
મોટા પાત્રમાં શરૂઆતના મોલ: $n_1 = \frac{P_1 V_1}{R T_1} = \frac{8 \times 2V}{R \times 1000} = \frac{16V}{1000R}$.
નાના પાત્રમાં શરૂઆતના મોલ: $n_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{7 \times V}{R \times 500} = \frac{14V}{1000R}$.
કુલ શરૂઆતના મોલ: $n_{total} = n_1 + n_2 = \frac{16V + 14V}{1000R} = \frac{30V}{1000R}$.
સ્થાયી અવસ્થામાં,કુલ કદ $V_f = V + 2V = 3V$ છે અને તાપમાન $T_f = 600 \ K$ છે.
અંતિમ અવસ્થા માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $n_{total} = \frac{P_f V_f}{R T_f}$.
$\frac{30V}{1000R} = \frac{P_f \times 3V}{R \times 600}$.
બંને બાજુથી $V$ અને $R$ ને દૂર કરતા:
$\frac{30}{1000} = \frac{3 P_f}{600}$.
$\frac{30}{1000} = \frac{P_f}{200}$.
$P_f = \frac{30 \times 200}{1000} = 6 \ kPa$.

(A) પદાર્થ પૃથ્વી પર પાછો ન આવે તે માટે,અનંત અંતરે તેની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ.
ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી પદાર્થનું અંતર $r = R + 3R = 4R$ છે.
આ બિંદુએ સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{4R}$ છે.
ધારો કે પ્રક્ષેપણ ઝડપ $v$ છે. ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{4R} = 0 + 0$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{4R}$
$v^2 = \frac{GM}{2R}$
$v = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$

(D) સરેરાશ વેગ $\langle v \rangle = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તત્કાલીન વેગ એ $x-t$ આલેખનો ઢાળ છે,$v = \frac{dx}{dt}$.
$(A)$ $t = 0$ થી $t = 3\ s$ સુધી: $x_i = 0$,$x_f = 5$. $\langle v \rangle = \frac{5 - 0}{3 - 0} = \frac{5}{3}\ m/s$. વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ $t = 3$ થી $t = 5\ s$ સુધી: $x_i = 5$,$x_f = 5$. $\langle v \rangle = \frac{5 - 5}{5 - 3} = 0\ m/s$. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $t = 2\ s$ પર,આલેખ $(1, -5)$ અને $(3, 5)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે. ઢાળ $= \frac{5 - (-5)}{3 - 1} = \frac{10}{2} = 5\ m/s$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ $t = 5$ થી $t = 7\ s$ સુધી: $x_i = 5$,$x_f = 0$. $\langle v \rangle = \frac{0 - 5}{7 - 5} = -2.5\ m/s$. $t = 6.5\ s$ પર,ઢાળ $= \frac{0 - 10}{7 - 6} = -10\ m/s$. વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
$(E)$ $t = 0$ થી $t = 9\ s$ સુધી: $x_i = 0$,$x_f = 0$. $\langle v \rangle = \frac{0 - 0}{9 - 0} = 0\ m/s$. વિધાન $(E)$ સાચું છે.
આમ,$(B), (C), (E)$ સાચા છે.

(A) સમતલ સપાટી પર ગબડતા પૈડા માટે,સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ $B$ નો વેગ $V_B = 2v$ છે,જ્યાં $v$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ છે.
આપેલ છે કે $V_B = 8 \ m/s$,તેથી $2v = 8 \ m/s$,જેનો અર્થ છે કે $v = 4 \ m/s$.
તળિયે રહેલું બિંદુ $A$ એ તત્કાલીન પરિભ્રમણ કેન્દ્ર છે.
રીમ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ નો વેગ $V_P = \omega r_P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_P$ એ તત્કાલીન કેન્દ્ર $A$ થી અંતર છે.
કેન્દ્ર $C$ ની સપાટી પર રહેલા બિંદુ $P$ માટે,અંતર $AP = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ છે,જ્યાં $R$ એ પૈડાની ત્રિજ્યા છે.
કારણ કે $v = \omega R$,તેથી $\omega = v/R$.
આમ,$V_P = (v/R) \times (R\sqrt{2}) = v\sqrt{2}$.
$v = 4 \ m/s$ મૂકતા,આપણને $V_P = 4\sqrt{2} \ m/s$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $300$ મુખ્ય સ્કેલ વિભાગો $(MSD) = 15 \ cm$.
તેથી,$1 \ MSD = \frac{15}{300} \ cm = 0.05 \ cm$.
આપેલ છે કે $25$ વર્નિયર સ્કેલ વિભાગો $(VSD) = 24 \ MSD$.
તેથી,$1 \ VSD = \frac{24}{25} \ MSD$.
ટ્રાવેલિંગ માઇક્રોસ્કોપનું લઘુત્તમ માપન $(LC)$ એ $LC = 1 \ MSD - 1 \ VSD$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$LC = 1 \ MSD - \frac{24}{25} \ MSD = \frac{1}{25} \ MSD$.
હવે,$1 \ MSD = 0.05 \ cm$ મૂકતા,આપણને $LC = \frac{1}{25} \times 0.05 \ cm = 0.002 \ cm$ મળે છે.

(C) બ્લોક અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે $(a = 0)$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં બળોનું સંતુલન: $F \cos 45^{\circ} = f_k$,જ્યાં $f_k = \mu N$.
શિરોલંબ દિશામાં બળોનું સંતુલન: $N + F \sin 45^{\circ} = mg \Rightarrow N = mg - \frac{F}{\sqrt{2}}$.
$N$ ની કિંમત ઘર્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{F}{\sqrt{2}} = 0.25 \left( 25 \times 9.8 - \frac{F}{\sqrt{2}} \right)$.
$\frac{F}{\sqrt{2}} = 0.25 \times 245 - 0.25 \frac{F}{\sqrt{2}}$.
$1.25 \frac{F}{\sqrt{2}} = 61.25$.
$F = \frac{61.25 \times \sqrt{2}}{1.25} = 49 \sqrt{2} \ N$.
લાગુ પાડેલા બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F S \cos 45^{\circ}$ છે.
$W = (49 \sqrt{2}) \times 5 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 49 \times 5 = 245 \ J$.

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ છે,જ્યાં $\Delta W = P \Delta V$.
$(A)$ સમદાબી પ્રક્રિયા: દબાણ અચળ $(P = C)$ રહે છે. કાર્ય $P \Delta V$ છે. તેથી,$\Delta Q = \Delta U + P \Delta V$. જે $(IV)$ સાથે સુસંગત છે.
$(B)$ સમકદ પ્રક્રિયા: કદ અચળ $(V = C)$ રહે છે,તેથી $\Delta V = 0$ અને $\Delta W = 0$. તેથી,$\Delta Q = \Delta U$. જે $(II)$ સાથે સુસંગત છે.
$(C)$ એડિબેટિક પ્રક્રિયા: ઉષ્માનો કોઈ વિનિમય થતો નથી,તેથી $\Delta Q = 0$. જે $(III)$ સાથે સુસંગત છે.
$(D)$ સમતાપી પ્રક્રિયા: તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$. તેથી,$\Delta Q = \Delta W$. જે $(I)$ સાથે સુસંગત છે.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(IV), (B)-(II), (C)-(III), (D)-(I)$ છે.

(C) તરંગના સ્થાનાંતર માટેનું આપેલ સમીકરણ $x(t) = 5 \cos \left(628 t + \frac{\pi}{2}\right)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા, આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 628 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$, જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે.
તેથી, $2 \times 3.14 \times f = 628$.
$6.28 f = 628$.
$f = \frac{628}{6.28} = 100 \text{ Hz}$.
વેગ $(v)$, આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે.
અહીં $v = 300 \text{ m/s}$ આપેલ છે, તેથી $300 = 100 \times \lambda$.
આમ, $\lambda = \frac{300}{100} = 3 \text{ m}$.

(B) વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ $P_e = q \times d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $d$ એ અંતર છે. તેના પરિમાણ $[A T L]$ છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = I \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે. તેના પરિમાણ $[A L^2]$ છે.
તેમનો ગુણોત્તર $\frac{P_e}{M} = \frac{[A T L]}{[A L^2]} = [M^0 L^{-1} T^1 A^0]$ થાય છે.
આને $[M^P L^Q T^R A^S]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $P = 0$ અને $Q = -1$ મળે છે.

(B) નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,$M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$.
તેથી,$M \propto R^3$.
જ્યારે ત્રિજ્યા $R$ થી બદલાઈને $R/2$ થાય છે,ત્યારે દળ $M$ થી બદલાઈને $M' = M \cdot (1/2)^3 = M/8$ થાય છે.
ગોળા પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_1 = L_2$.
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{2}{5}MR^2)\omega_1 = (\frac{2}{5}M'(R/2)^2)\omega_2$.
$(\frac{2}{5}MR^2)\omega_1 = (\frac{2}{5} \cdot \frac{M}{8} \cdot \frac{R^2}{4})\omega_2$.
$MR^2 \omega_1 = (\frac{M R^2}{32}) \omega_2$.
$\omega_2 = 32 \omega_1$.
આને $x\omega_1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 32$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x = a \cos(1.5 t) \cos(50.5 t)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$x = \frac{a}{2} [\cos(50.5 t + 1.5 t) + \cos(50.5 t - 1.5 t)]$
$x = \frac{a}{2} \cos(52 t) + \frac{a}{2} \cos(49 t)$.
અહીં,કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 52 \ rad/s$ અને $\omega_2 = 49 \ rad/s$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $f_{\text{beat}} = |f_1 - f_2| = \frac{|\omega_1 - \omega_2|}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f_{\text{beat}} = \frac{52 - 49}{2 \pi} = \frac{3}{2 \pi} \ Hz$.
બીટ આવર્તકાળ $T_{\text{beat}} = \frac{1}{f_{\text{beat}}} = \frac{2 \pi}{3} \ s$ છે.
$\pi \approx 3.14$ મૂકતા,આપણને $T_{\text{beat}} = \frac{2 \times 3.14}{3} = \frac{6.28}{3} \approx 2.09 \ s$ મળે છે.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,બીટ આવર્તકાળ $2 \ s$ થાય છે.

(D) ધારો કે સળિયાની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda$ છે. કુલ લંબાઈ $5L$ છે,તેથી કુલ દળ $M = 5L\lambda$ થાય. બે ભાગોની લંબાઈ $2L$ અને $3L$ છે,જેમના દળ $m_1 = 2L\lambda$ અને $m_2 = 3L\lambda$ છે.
$x$-અક્ષ પર $2L$ લંબાઈના આડા ભાગ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_1, y_1) = (L, 0)$ પર છે.
$y$-અક્ષ પર $3L$ લંબાઈના ઊભા ભાગ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_2, y_2) = (0, 1.5L)$ પર છે.
$L = 10 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$m_1 = 20\lambda$ અને $m_2 = 30\lambda$ થાય. યામ $(x_1, y_1) = (10, 0)$ અને $(x_2, y_2) = (0, 15)$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $x_{com} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2} = \frac{20\lambda(10) + 30\lambda(0)}{50\lambda} = \frac{200}{50} = 4 \ cm$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $y_{com} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2}{m_1 + m_2} = \frac{20\lambda(0) + 30\lambda(15)}{50\lambda} = \frac{450}{50} = 9 \ cm$ છે.
આમ,સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{com} = 4 \hat{i} + 9 \hat{j}$ થાય.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $v$ છે. પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta_1 = 45^{\circ} + \alpha$ અને $\theta_2 = 45^{\circ} - \alpha$ છે.
ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2v \sin \theta}{g}$ છે.
ઉડ્ડયન સમય $T_1$ અને $T_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin(45^{\circ} + \alpha)}{\sin(45^{\circ} - \alpha)}$.
ત્રિકોણમિતીય વિસ્તરણ $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin 45^{\circ} \cos \alpha + \cos 45^{\circ} \sin \alpha}{\sin 45^{\circ} \cos \alpha - \cos 45^{\circ} \sin \alpha}$.
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha - \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$.
અંશ અને છેદને $\cos \alpha$ વડે ભાગતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}$.

$(A)$ વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશ (degree of freedom) છે।
ત્રિ-પરમાણ્વીય દ્રઢ વાયુ માટે, $f = 6$, તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{6} = \frac{4}{3}$. $(A-III)$
દ્વિ-પરમાણ્વીય અદ્રઢ વાયુ માટે, $f = 7$, તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$. $(B-IV)$
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, $f = 3$, તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. $(C-I)$
દ્વિ-પરમાણ્વીય દ્રઢ વાયુ માટે, $f = 5$, તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$. $(D-II)$
આમ, સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.

(A) ઢળતા સમતલ પર બ્લોક પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 60^{\circ}$ નીચેની તરફ અને ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu mg \cos 60^{\circ}$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
ઢળતા સમતલ પર ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mg \sin 60^{\circ} - \mu mg \cos 60^{\circ} = ma$
અહીં $a = \frac{g}{2}$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$g \sin 60^{\circ} - \mu g \cos 60^{\circ} = \frac{g}{2}$
$g$ વડે ભાગતા:
$\sin 60^{\circ} - \mu \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\mu}{2} = \frac{1}{2}$
$2$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3} - \mu = 1$
$\mu = \sqrt{3} - 1$

(D) આપેલ બળ $\vec{F} = (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ N$ અને દળ $m = 1000 \ g = 1 \ kg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F} = m\vec{a}$,તેથી $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ m/s^2$.
કારણ કે $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$,આપણે સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીએ છીએ (ધારો કે $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v} = 0$ છે):
$\vec{v} = \int \vec{a} \ dt = \int (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ dt = t^2 \hat{i} + t^3 \hat{j} \ m/s$.
પાવર $P$ એ બળ અને વેગનો અદિશ ગુણાકાર છે: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$.
$P = (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \cdot (t^2 \hat{i} + t^3 \hat{j})$.
$P = (2t)(t^2) + (3t^2)(t^3) = 2t^3 + 3t^5 \ W$.

(B) આપેલ છે: $\frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{3}$ અને $\frac{d_A}{d_B} = 2$.
તારની લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ એ સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,$Y_A = Y_B$. આપેલ છે કે લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ સમાન છે,તેથી $F_A = F_B$.
લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{F_A L_A}{A_A Y_A} \times \frac{A_B Y_B}{F_B L_B} = \left(\frac{L_A}{L_B}\right) \left(\frac{A_B}{A_A}\right)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_B}{A_A} = \left(\frac{d_B}{d_A}\right)^2$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \left(\frac{1}{3}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.

(A) બધા પદાર્થોનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ સમાન છે.
$A \rightarrow$ ડિસ્ક,$B \rightarrow$ નક્કર ગોળો,$C \rightarrow$ ગોળીય કવચ.
ડિસ્કની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{MR^2}{4}$ છે.
$PQ$ અક્ષ ડિસ્ક $A$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને ગોળાઓ $B$ અને $C$ ને સ્પર્શે છે.
ડિસ્ક $A$ માટે: $I_A = \frac{MR^2}{2}$.
નક્કર ગોળા $B$ માટે: સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_B = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$.
ગોળીય કવચ $C$ માટે: સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_C = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{3}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{3}MR^2$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{PQ} = I_A + I_B + I_C = \frac{MR^2}{4} + \frac{7}{5}MR^2 + \frac{5}{3}MR^2$.
$I_{PQ} = MR^2 \left( \frac{15 + 84 + 100}{60} \right) = \frac{199}{60} MR^2$.
$I = \frac{MR^2}{4}$ હોવાથી,$MR^2 = 4I$.
$I_{PQ} = \frac{199}{60} (4I) = \frac{199}{15} I$.
તેથી,$x = 199$.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$,વ્યાસ $d = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$,તાપમાન $T = 1727^{\circ} C = 1727 + 273 = 2000 \ K$,પાવર $P = 94.2 \ W$,સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma = 6.0 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$.
વિકિરણ માટે સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ વાપરતા: $P = \varepsilon \sigma A T^4$,જ્યાં $A$ એ તારની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
તારનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ (નળાકાર) $A = \pi d L$ છે.
$A = 3.14 \times (0.5 \times 10^{-3} \ m) \times (0.1 \ m) = 1.57 \times 10^{-4} \ m^2$.
પાવરના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$94.2 = \varepsilon \times (6.0 \times 10^{-8}) \times (1.57 \times 10^{-4}) \times (2000)^4$.
$94.2 = \varepsilon \times (6.0 \times 10^{-8}) \times (1.57 \times 10^{-4}) \times (16 \times 10^{12})$.
$94.2 = \varepsilon \times (6.0 \times 1.57 \times 16) \times 10^0$.
$94.2 = \varepsilon \times (150.72)$.
$\varepsilon = \frac{94.2}{150.72} = 0.625$.
કારણ કે $\varepsilon = \frac{x}{8}$,તેથી $0.625 = \frac{x}{8} \implies x = 0.625 \times 8 = 5$.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આલેખ એક વર્તુળ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $W = \pi \times r_P \times r_V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_P$ અને $r_V$ અનુક્રમે દબાણ અને કદની અક્ષો પરની ત્રિજ્યા છે.
દબાણની અક્ષ પરનો વ્યાસ $d_P = (500 - 300) \text{ kPa} = 200 \times 10^3 \text{ Pa}$ છે. તેથી,$r_P = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$.
કદની અક્ષ પરનો વ્યાસ $d_V = (350 - 150) \text{ cm}^3 = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ છે. તેથી,$r_V = 100 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
થયેલ કાર્ય $W = \pi \times r_P \times r_V = 3.14 \times (100 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-6}) \text{ J}$ છે.
$W = 3.14 \times 10^4 \times 10^{-6} \times 100 \text{ J} = 3.14 \times 10^0 \text{ J} = 3.14 \text{ J}$.
આને $\times 10^{-1} \text{ J}$ તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે $W = 31.4 \times 10^{-1} \text{ J}$ લખીએ છીએ.
આમ,મૂલ્ય $31.4$ છે.

(A) કેપ્લરનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે સૂર્યથી ગ્રહ સુધીનો ત્રિજ્યા સદિશ સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ કાપે છે. આનો અર્થ એ છે કે ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{dA}{dt}$ અચળ છે.
ક્ષેત્રીય વેગનું સૂત્ર $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $m$ એ ગ્રહનું દળ છે.
સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી,સૂર્યની સાપેક્ષમાં ગ્રહ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ શૂન્ય છે $(\tau = \vec{r} \times \vec{F} = 0)$.
ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
જેમ કે $L$ અને $m$ અચળ છે,તેથી ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{dA}{dt}$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને કારણ $(R)$ તેની સાચી ભૌતિક સમજૂતી આપે છે.

(D) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા (પ્રતિ અણુ) નું સૂત્ર $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
હિલિયમ $(He)$ અને આર્ગોન $(Ar)$ બંને એકપરમાણ્વિક વાયુઓ હોવાથી,તેમની મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) સમાન $(f = 3)$ છે.
આપેલ છે કે બંને વાયુઓ સમાન તાપમાને $(T = 300 \ K)$ છે,તેથી પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિ ઊર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સરેરાશ ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર: $\frac{K.E._{He}}{K.E._{Ar}} = \frac{\frac{3}{2} k_B T}{\frac{3}{2} k_B T} = 1: 1$ થાય છે.

(A) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho gr}$.
આપેલ કિંમતો: $T = 70 \ dyn/cm$,$\theta = 0^{\circ}$,$\rho = 1 \ g/cm^3$,$g = 980 \ cm/s^2$,અને $r = 0.1 \ mm = 0.01 \ cm$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$h = \frac{2 \times 70 \times \cos 0^{\circ}}{1 \times 980 \times 0.01} = \frac{140}{9.8} = \frac{1400}{98} = \frac{100}{7} \ cm$.
નળી શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલી છે,જેનો અર્થ છે કે સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થાય.
નળીમાં પાણીના સ્તંભની લંબાઈ $\ell$ અને શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ $\ell = \frac{h}{\sin \alpha}$ છે.
$\alpha = 60^{\circ}$ મૂકતા:
$\ell = \frac{100/7}{\sin 60^{\circ}} = \frac{100/7}{\sqrt{3}/2} = \frac{200}{7\sqrt{3}} \approx 16.49 \ cm$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) મૂવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટરની વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતા $(S_V)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$S_V = \frac{\theta}{V} = \frac{NAB}{kR}$
જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$k$ એ ટોર્સનલ અચળાંક છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
આપેલ છે કે $k$ બંને કોઈલ માટે સમાન છે,તેથી વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતાનો ગુણોત્તર:
$\frac{S_{V1}}{S_{V2}} = \frac{N_1 A_1 B_1}{N_2 A_2 B_2} \times \frac{R_2}{R_1}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{S_{V1}}{S_{V2}} = \frac{15 \times 3.6 \times 10^{-3} \times 0.25}{21 \times 1.8 \times 10^{-3} \times 0.50} \times \frac{7}{5}$
$\frac{S_{V1}}{S_{V2}} = \frac{15 \times 3.6 \times 0.25}{21 \times 1.8 \times 0.50} \times \frac{7}{5}$
$\frac{S_{V1}}{S_{V2}} = \frac{13.5}{18.9} \times 1.4 = \frac{13.5}{18.9} \times \frac{7}{5} = \frac{94.5}{94.5} = 1$
તેથી,ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ હંમેશા વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ અચળ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v$ અચળ રહે છે.
જેમ ઝડપ $v$ અચળ રહે છે,તેમ વેગમાન $p = mv$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
આમ,$t$ સમયે તરંગલંબાઇ પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ જેટલી જ રહેશે.

(D) સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r$ ધરાવતા માધ્યમમાં ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u$ નું સૂત્ર $u = \frac{B^2}{2\mu_r\mu_0}$ છે.
અહીં $\mu_r = 2$ આપેલ છે,તેથી $u = \frac{B^2}{2(2)\mu_0} = \frac{B^2}{4\mu_0}$ થાય.
કદ $V = Al$ માં સંગ્રહિત કુલ ચુંબકીય ઉર્જા $U = u \times V$ છે.
તેથી,$U = \frac{B^2}{4\mu_0} \times Al = \frac{B^2 Al}{4\mu_0}$.

(B) બે મોટી સમાંતર વાહક પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સમાન હોય છે અને તે $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $d = 10 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $E = \frac{V}{10 \ cm}$.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = E \cdot \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta x$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં બિંદુઓ વચ્ચેના સ્થાનાંતર સદિશનો પ્રક્ષેપ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન પ્લેટથી ઋણ પ્લેટ તરફ (આડું) હોય છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું આડું અંતર (પ્રક્ષેપ) એ $C$ અને $B$ વચ્ચેના આડા અંતર જેટલું જ છે,જે $4 \ cm$ છે.
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = E \cdot (4 \ cm) = \left( \frac{V}{10 \ cm} \right) \times 4 \ cm = \frac{4}{10} V = \frac{2}{5} V$ થાય.

(C) બોહરના મોડેલ મુજબ,હાઇડ્રોજન જેવા આયન માટે કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ છે.
$Li^{++}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
ભૂમિ અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 1$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = a_0 \frac{1^2}{3} = \frac{1}{3} a_0$.
આપેલ અભિવ્યક્તિ $\frac{1}{X} a_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $X = 3$.

(C) ન્યુક્લિયર સંલયન પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: ${ }_1 H^2 + { }_1 H^2 \rightarrow { }_2 He^4$.
પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા: $2 \times (2 \times 1.1 \ \text{MeV}) = 4.4 \ \text{MeV}$.
નીપજની કુલ બંધન ઉર્જા: $4 \times 7.0 \ \text{MeV} = 28.0 \ \text{MeV}$.
મુક્ત થતી ઉર્જા ($Q$-મૂલ્ય) એ નીપજની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે: $Q = BE_{\text{product}} - BE_{\text{reactants}}$.
$Q = 28.0 \ \text{MeV} - 4.4 \ \text{MeV} = 23.6 \ \text{MeV}$.

(B) $1$. પ્રથમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $1$ અને $1$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ છે.
$2$. આ આઉટપુટ $0$ ને $AND$ ગેટ અને $NOT$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$3$. $AND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $0$ અને $0$ છે (કારણ કે $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $0$ છે અને તે $AND$ ગેટના બંને ઇનપુટ્સ સાથે જોડાયેલ છે). તેથી,$P = 0 \cdot 0 = 0$.
$4$. $OR$ ગેટના ઇનપુટ્સ એ પ્રારંભિક ઇનપુટ્સ $1$ અને $1$ સાથે જોડાયેલા બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ છે. $OR$ ગેટના ઇનપુટ્સ $\overline{1} = 0$ અને $\overline{1} = 0$ છે. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $0 + 0 = 0$ છે.
$5$. $NOR$ ગેટ બે ઇનપુટ્સ મેળવે છે: એક $NOT$ ગેટમાંથી (જે $NAND$ આઉટપુટ $0$ ને ઉલટાવીને $1$ કરે છે) અને બીજું $OR$ ગેટના આઉટપુટ $0$ માંથી. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Q = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ છે.
$6$. તેથી,$P = 0$ અને $Q = 0$ છે.

(A) આપેલ છે કે,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 12 \ cm$. કેન્દ્રલંબાઈ $f = R / 2 = 6 \ cm$.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,$f = -6 \ cm$ અને વસ્તુ અંતર $u = -18 \ cm$. મોટવણીના સૂત્ર $m = f / (f - u)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m_{concave} = -6 / (-6 - (-18)) = -6 / 12 = -1 / 2$. પ્રતિબિંબનું કદ $|m_{concave}| = 1 / 2$ છે.
બહિર્ગોળ અરીસા માટે,$f = +6 \ cm$ અને વસ્તુ અંતર $u = -18 \ cm$. મોટવણીના સૂત્ર $m = f / (f - u)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m_{convex} = 6 / (6 - (-18)) = 6 / 24 = 1 / 4$. પ્રતિબિંબનું કદ $|m_{convex}| = 1 / 4$ છે.
બહિર્ગોળ અરીસા દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબ અને અંતર્ગોળ અરીસા દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબના કદનો ગુણોત્તર:
ગુણોત્તર $= |m_{convex}| / |m_{concave}| = (1 / 4) / (1 / 2) = 1 / 2$.

(B) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેતા,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \frac{2}{R}$.
અહીં $R = 1/6 \ cm$ આપેલ છે,તેથી પાવર $\frac{2}{R} = 2 \times 6 = 12 \ cm^{-1}$ ના પ્રમાણમાં છે.
નવા લેન્સ માટે,આપણે $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = 12$ થવું જોઈએ.
વિકલ્પ $B$ તપાસતા: $R_1 = 1/5 \ cm$ અને $R_2 = 1/7 \ cm$,તેથી $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = 5 + 7 = 12$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત રીંગની અક્ષ પર $z$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{kQz}{(z^2 + R^2)^{3/2}}$
જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર મહત્તમ હોય તે સ્થાન શોધવા માટે,આપણે $E$ નું $z$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dE}{dz} = kQ \left[ \frac{(z^2 + R^2)^{3/2} - z \cdot \frac{3}{2}(z^2 + R^2)^{1/2} \cdot 2z}{(z^2 + R^2)^3} \right] = 0$
$(z^2 + R^2)^{3/2} - 3z^2(z^2 + R^2)^{1/2} = 0$
$(z^2 + R^2) - 3z^2 = 0$
$R^2 - 2z^2 = 0$
$z = \frac{R}{\sqrt{2}}$
આપેલ ત્રિજ્યા $R = a\sqrt{2}$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$z = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = a$
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $z = a$ પર મહત્તમ છે.

(B) ટ્રુથ ટેબલ દર્શાવે છે કે આઉટપુટ $Y$ ફક્ત ત્યારે જ $1$ છે જ્યારે $A=1$ હોય.
ખાસ કરીને,જ્યારે $A=0$ હોય,ત્યારે $B$ ગમે તે હોય,$Y=0$ મળે છે.
જ્યારે $A=1$ હોય,ત્યારે $B$ ગમે તે હોય,$Y=1$ મળે છે.
આ બુલિયન સમીકરણ $Y = A$ ને અનુરૂપ છે.
ચાલો સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરીએ:
વિકલ્પ $A$: $Y = (A+B) \cdot B$. જો $A=0, B=1$ હોય,તો $Y = (0+1) \cdot 1 = 1$. આ ટ્રુથ ટેબલ સાથે મેળ ખાતું નથી.
વિકલ્પ $B$: $Y = (A+B) \cdot A$.
જો $A=0, B=0$ હોય,તો $Y = (0+0) \cdot 0 = 0$.
જો $A=0, B=1$ હોય,તો $Y = (0+1) \cdot 0 = 0$.
જો $A=1, B=0$ હોય,તો $Y = (1+0) \cdot 1 = 1$.
જો $A=1, B=1$ હોય,તો $Y = (1+1) \cdot 1 = 1$.
આ આપેલ ટ્રુથ ટેબલ સાથે સંપૂર્ણ રીતે મેળ ખાય છે.

(C) સંપૂર્ણ પરાવર્તક સપાટી પર રેડિયેશન દબાણ $P_{rad} = \frac{2I}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ તીવ્રતા છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ $(3 \times 10^8 \text{ m/s})$ છે.
તીવ્રતા $I = \frac{P}{A} = \frac{P}{4\pi r^2}$,જ્યાં $P = 450 \text{ W}$ અને $r = 2 \text{ m}$ છે.
$I = \frac{450}{4 \pi (2)^2} = \frac{450}{16\pi} \text{ W/m}^2$.
દબાણના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P_{rad} = \frac{2 \times 450}{16\pi \times 3 \times 10^8} = \frac{900}{48\pi \times 10^8} = \frac{150}{8\pi \times 10^8} \text{ Pa}$.
$P_{rad} \approx \frac{150}{25.13} \times 10^{-8} \approx 5.97 \times 10^{-8} \text{ Pa}$.
નજીકની કિંમત લેતા,આપણને $6 \times 10^{-8} \text{ Pa}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 25 \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = 5 \ mm^2 = 5 \times 10^{-6} \ m^2$,અવરોધકતા $\rho = 2 \times 10^{-6} \ \Omega \ m$.
પ્રથમ,તારનો કુલ અવરોધ ગણો: $R = \frac{\rho L}{A} = \frac{2 \times 10^{-6} \times 25}{5 \times 10^{-6}} = 10 \ \Omega$.
જ્યારે તારને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ બિંદુઓ તારને બે સમાન અર્ધવર્તુળાકાર ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે,જે દરેકનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2} = \frac{10}{2} = 5 \ \Omega$ થાય છે.
આ બે ભાગો વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'} = \frac{2}{5} \implies R_{eq} = \frac{5}{2} = 2.5 \ \Omega$.

(B) પ્રથમ ગોઠવણીમાં,બે ડાયઇલેક્ટ્રિક શ્રેણીમાં છે. દરેક ભાગનું કેપેસીટન્સ $C_a = \frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_0 A}{d}$ અને $C_b = \frac{2 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d}$ છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_1 = \frac{C_a C_b}{C_a + C_b} = \frac{(\frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_0 A}{d})(\frac{2 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d})}{\frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_0 A}{d} + \frac{2 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d}} = \frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)}$.
બીજી ગોઠવણીમાં,બે ડાયઇલેક્ટ્રિક સમાંતરમાં છે. દરેક ભાગનું કેપેસીટન્સ $C_c = \frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 (A/2)}{d}$ અને $C_d = \frac{\varepsilon_2 \varepsilon_0 (A/2)}{d}$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_2 = C_c + C_d = \frac{\varepsilon_0 A}{2d} (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C_2}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)} \times \frac{2d}{\varepsilon_0 A (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)} = \frac{4 \varepsilon_1 \varepsilon_2}{(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)^2}$.

(B) . પ્રક્રિયા $_0^1 n + { }_{92}^{235} U \rightarrow { }_{54}^{140} Xe + { }_{38}^{94} Sr + 2_0^1 n$ એ ન્યુક્લિયર વિખંડનનું ઉત્તમ ઉદાહરણ છે,જેમાં ભારે ન્યુક્લિયસ હલકા ન્યુક્લિયસમાં વિભાજિત થાય છે. તેથી,$A-III$.
$B$. પ્રક્રિયા $2H_2 + O_2 \rightarrow 2H_2O$ એ પરમાણુઓની પુનઃગોઠવણી દર્શાવતી સામાન્ય રાસાયણિક પ્રક્રિયા છે. તેથી,$B-I$.
$C$. પ્રક્રિયા $_1^2 H + _1^2 H \rightarrow _2^3 He + _0^1 n$ એ ન્યુક્લિયર સંલયન પ્રક્રિયા છે જે ઉર્જા મુક્ત કરે છે ($+ve \ Q$ મૂલ્ય). તેથી,$C-II$.
$D$. પ્રક્રિયા $_1^1 H + _1^3 H \rightarrow _1^2 H + _1^2 H$ એ ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા છે જેમાં ઉર્જાની જરૂર પડે છે (ઉષ્માશોષક,$-ve \ Q$ મૂલ્ય). તેથી,$D-IV$.
આમ,સાચી જોડ $A-III, B-I, C-II, D-IV$ છે.

(A) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચ માટે,કવચની અંદરનું સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે: સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_{surface} = 120 \ V$ અને ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm$.
$1$. કેન્દ્ર પર $(r = 0 \ cm)$: કારણ કે $r < R$,તેથી સ્થિતિમાન સપાટીના સ્થિતિમાન જેટલું જ રહે,એટલે કે $V_{centre} = 120 \ V$.
$2$. કેન્દ્રથી $r = 5 \ cm$ અંતરે: કારણ કે $r < R$,તેથી અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન અચળ રહે છે,એટલે કે $V_{r=5cm} = 120 \ V$.
$3$. કેન્દ્રથી $r = 15 \ cm$ અંતરે: કારણ કે $r > R$,તેથી કવચ બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે. સ્થિતિમાનનું સૂત્ર $V = \frac{kQ}{r}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V_{surface} = \frac{kQ}{R} = 120 \ V$,તેથી $kQ = 120 \times 10 = 1200 \ V \cdot cm$.
આમ,$V_{r=15cm} = \frac{1200}{15} = 80 \ V$.
તેથી,સ્થિતિમાન $120 \ V, 120 \ V, 80 \ V$ થશે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટેની શરત એ છે કે આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના કાર્ય વિધેય કરતા વધારે હોવી જોઈએ: $E = \frac{hc}{\lambda} > \phi$.
અહીં કાર્ય વિધેય $\phi = 3 \ eV$ આપેલ છે અને $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ લેતા,થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ નીચે મુજબ મળે:
$\lambda_0 = \frac{hc}{\phi} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{3 \ eV} \approx 413.3 \ nm$.
ઉત્સર્જન થવા માટે,આપાત તરંગલંબાઇ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ: $\lambda < 413.3 \ nm$.
દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ આશરે $400 \ nm$ (જાંબલી/વાદળી) થી $700 \ nm$ (લાલ) સુધીની હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વાદળી પ્રકાશની ઉર્જા અન્ય વિકલ્પો (લીલો,પીળો,લાલ) કરતા વધારે છે,તેથી તે ઉત્સર્જન માટે સૌથી યોગ્ય વિકલ્પ છે.

(C) લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = +10 \ cm$ અને $R_2 = -15 \ cm$ છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = +12 \ cm$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-15} \right)$.
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \right)$.
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{3 + 2}{30} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{5}{30} \right)$.
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{6} \right)$.
$\mu - 1 = \frac{6}{12} = 0.5$.
$\mu = 1.5$.

(A) પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = i + e - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ વિચલનની સ્થિતિમાં $(\delta_{\text{min}})$,આપાતકોણ અને નિર્ગમન કોણ સમાન હોય છે $(i = e)$.
આ સ્થિતિમાં,પ્રિઝમની અંદરનું વક્રીભૂત કિરણ પ્રિઝમના પાયાને સમાંતર હોય છે.
વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે અંદરનું કિરણ પાયાને સમાંતર છે.
વિધાન $(C)$ સાચું છે કારણ કે ન્યૂનતમ વિચલન સમયે $i = e$ હોય છે.
વિધાન $(D)$ સાચું છે કારણ કે કોઈપણ વિચલન $\delta > \delta_{\text{min}}$ માટે,આપાતકોણના બે મૂલ્યો $i_1$ અને $i_2$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $i_1 = e$ અને $i_2 = i$ થાય,પરિણામે સમાન વિચલન મળે છે.
વિધાન $(B)$ ખોટું છે કારણ કે મોટો પ્રિઝમ કોણ $A$ સામાન્ય રીતે ન્યૂનતમ વિચલનનો મોટો કોણ આપે છે.
વિધાન $(E)$ ખોટું છે કારણ કે ન્યૂનતમ વિચલન સમયે $r_1 = r_2 = A/2$ હોય છે,તેથી વક્રીભવન કોણ પ્રિઝમ કોણ કરતા અડધો હોય છે,બમણો નહીં.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A), (C)$ અને $(D)$ છે.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ શોધવાનું સૂત્ર $F = I \ell B \sin(\theta)$ છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 8 \ A$
લંબાઈ $\ell = 4.0 \ cm = 0.04 \ m$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.15 \ T$
ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ (કારણ કે તાર ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે),તેથી $\sin(90^{\circ}) = 1$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = 8 \times 0.04 \times 0.15 \times 1$
$F = 0.32 \times 0.15 = 0.048 \ N$
$mN$ માં ફેરવવા માટે,$1000$ વડે ગુણો:
$F = 0.048 \times 1000 \ mN = 48 \ mN$.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$I_{\max} = (\sqrt{4I} + \sqrt{9I})^2 = (2\sqrt{I} + 3\sqrt{I})^2 = (5\sqrt{I})^2 = 25I$.
વ્યતિકરણ ભાતમાં ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$I_{\min} = (\sqrt{4I} - \sqrt{9I})^2 = (2\sqrt{I} - 3\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત $I_{\max} - I_{\min} = 25I - I = 24I$ છે.
આને $xI$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 24$ મળે છે.

(D) સીધા વિભાગો $AB$ અને $CD$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે આ વિભાગોની કાર્યરેખા કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપને કારણે તેના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બહારના અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4R_1}$ છે (સમતલની અંદરની તરફ).
$R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અંદરના અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_2}$ છે (સમતલની બહારની તરફ).
$O$ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = |B_2 - B_1| = \frac{\mu_0 I}{4} \left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $I = 12 \ A$,$R_1 = 6 \pi \ m$,$R_2 = 4 \pi \ m$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ Tm \ A^{-1}$.
$B_0 = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 12}{4} \left( \frac{1}{4 \pi} - \frac{1}{6 \pi} \right)$
$B_0 = 12 \pi \times 10^{-7} \left( \frac{3 - 2}{12 \pi} \right)$
$B_0 = 12 \pi \times 10^{-7} \left( \frac{1}{12 \pi} \right) = 1 \times 10^{-7} \ T$.
આને $k \times 10^{-7} \ T$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 1$ મળે છે.

(A) એમીટર $(R_A = 240\ \Omega)$ અને શંટ $(R_S = 10\ \Omega)$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_p = \frac{R_A \times R_S}{R_A + R_S} = \frac{240 \times 10}{240 + 10} = \frac{2400}{250} = 9.6\ \Omega$
પરિપથનો કુલ અવરોધ:
$R_{\text{eq}} = 150.4\ \Omega + 9.6\ \Omega = 160\ \Omega$
$20\ V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{20}{160} = 0.125\ A$
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,એમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_A$:
$I_A = I \times \left( \frac{R_S}{R_A + R_S} \right) = 0.125 \times \left( \frac{10}{240 + 10} \right) = 0.125 \times \left( \frac{10}{250} \right) = 0.125 \times 0.04 = 0.005\ A$
મિલીએમ્પિયરમાં રૂપાંતર કરતા:
$I_A = 0.005\ A = 5\ mA$.

(D) ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\tau = 80 \sqrt{3} \ N \ m$ અને $\theta = 60^{\circ}$.
$80 \sqrt{3} = MB \sin 60^{\circ} = MB \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
બંને બાજુ $\frac{2}{\sqrt{3}}$ વડે ગુણતા,આપણને $MB = 160 \ J$ મળે છે.
ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -M \cdot B = -MB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$U = -160 \cos 60^{\circ} = -160 \times \frac{1}{2} = -80 \ J$.

(B) સ્લિટમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ તેની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $I \propto w$.
ધારો કે પ્રથમ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ છે અને બીજી સ્લિટની પહોળાઈ $2w$ છે. તેથી $I_1 = I_0$ અને $I_2 = 2I_0$ મળે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_{\max} = (\sqrt{I_0} + \sqrt{2I_0})^2 = I_0(1 + \sqrt{2})^2 = I_0(3 + 2\sqrt{2})$.
તે જ રીતે,$I_{\min} = (\sqrt{I_0} - \sqrt{2I_0})^2 = I_0(1 - \sqrt{2})^2 = I_0(3 - 2\sqrt{2})$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_1 : I_2 = 1 : 9$ છે. ધારો કે $I_1 = I$ અને $I_2 = 9I$.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાના ગુણોત્તરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I} + \sqrt{9I})^2}{(\sqrt{I} - \sqrt{9I})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I} + 3\sqrt{I})^2}{(\sqrt{I} - 3\sqrt{I})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(4\sqrt{I})^2}{(-2\sqrt{I})^2} = \frac{16I}{4I} = \frac{4}{1}$
આમ,ગુણોત્તર $4 : 1$ છે.

(C) બોહર મોડેલ ન્યુક્લિયસની આસપાસ ફરતા એક જ ઇલેક્ટ્રોનની ધારણા પર આધારિત છે. તે ફક્ત ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેના સ્થિર વિદ્યુત આકર્ષણ બળને ધ્યાનમાં લે છે. તે બહુ-ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુઓમાં થતા ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન અપાકર્ષણને ધ્યાનમાં લેતું નથી. તેથી,આ મોડેલ સખત રીતે ફક્ત હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુઓ (એક ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા પરમાણુઓ,જેમ કે $H$,$He^+$,$Li^{2+}$) ને જ લાગુ પડે છે. કારણ કે કારણ $R$ એ યોગ્ય રીતે સમજાવે છે કે શા માટે આ મોડેલ માત્ર એક-ઇલેક્ટ્રોન સિસ્ટમ્સ સુધી મર્યાદિત છે,તેથી વિધાન $A$ અને કારણ $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) પ્રથમ કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વીજભાર,$Q = C_1 V_1 = 100 \ pF \times 60 \ V = 6000 \ pC$.
જ્યારે બીજું કેપેસિટર $C_2$ સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વીજભાર $Q$ સંરક્ષિત રહે છે અને બંને કેપેસિટરો વચ્ચે વહેંચાય છે.
અંતિમ સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V_f$ નું સૂત્ર $V_f = \frac{Q}{C_1 + C_2}$ છે.
આપેલ છે કે $V_f = 20 \ V$,તેથી $20 = \frac{6000}{100 + C_2}$.
$20(100 + C_2) = 6000$.
$2000 + 20C_2 = 6000$.
$20C_2 = 4000$.
$C_2 = 200 \ pF$.

(A) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં પ્રવેશે ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે. અહીં આવૃત્તિ $f = 5 \times 10^{14} \ Hz$ છે.
હવામાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
હવામાં તરંગલંબાઈ $\lambda_{\text{air}} = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{14}} = 0.6 \times 10^{-6} \ m = 600 \ nm$ થાય.
જ્યારે પ્રકાશ $2$ વક્રીભવનાંક $(\mu = 2)$ ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેની તરંગલંબાઈ $\lambda_{\text{medium}} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{\mu}$ મુજબ બદલાય છે.
કિંમતો મૂકતા,$\lambda_{\text{medium}} = \frac{600 \ nm}{2} = 300 \ nm$ મળે છે.

(B) આપેલ પરિપથ આકૃતિ પરથી,$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A + B)$ છે.
આ આઉટપુટને ઇનપુટ $A$ સાથે $AND$ ગેટમાં ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $C$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $C = A \cdot (A + B)$.
બુલિયન બીજગણિતના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$C = (A \cdot A) + (A \cdot B)$.
કારણ કે $A \cdot A = A$,તેથી $C = A + (A \cdot B)$.
શોષણના નિયમ (absorption law) મુજબ,$C = A(1 + B) = A \cdot 1 = A$.
આમ,આઉટપુટ $C$ એ ઇનપુટ $A$ જેટલું જ છે.
ચાલો આને ટ્રુથ ટેબલ સાથે ચકાસીએ:

$A$	$B$	$A+B$	$C = A \cdot (A+B)$
$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$

આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ ટ્રુથ ટેબલ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) બલ્બનો પાવર રેટિંગ $P = 100 \ W$ છે અને વોલ્ટેજ રેટિંગ $V_{rms} = 220 \ V$ છે.
$ac$ સર્કિટમાં પાવર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = V_{rms} \times I_{rms}$.
તેથી,$rms$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{P}{V_{rms}} = \frac{100}{220} \approx 0.4545 \ A$ મળે છે.
પીક પ્રવાહ $I_0$ અને $rms$ પ્રવાહ વચ્ચેનો સંબંધ $I_0 = \sqrt{2} \times I_{rms}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$I_0 = 1.414 \times 0.4545 \approx 0.64 \ A$ થાય છે.

(C) ઇનપુટ પાવર $P_{\text{input}} = V \times I = 100 \ V \times 1 \ A = 100 \ W$ છે.
આપેલ કાર્યક્ષમતા $\eta = 91.6\% = 0.916$ છે.
આઉટપુટ પાવર $P_{\text{out}} = \eta \times P_{\text{input}} = 0.916 \times 100 \ W = 91.6 \ W$ છે.
પાવરનો વ્યય $P_{\text{loss}} = P_{\text{input}} - P_{\text{out}} = 100 \ W - 91.6 \ W = 8.4 \ W$ છે.
કારણ કે $1 \ W = 1 \ J/s$ અને $1 \ cal \approx 4.2 \ J$,તેથી $cal/s$ માં પાવરનો વ્યય $\frac{8.4 \ J/s}{4.2 \ J/cal} = 2 \ cal/s$ થાય.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની વક્રતા ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે અને $q$ એ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય છે.
વિધાન $A$ માટે: બંને આયનો સમાન વેગમાન $p$ ધરાવે છે. તેથી,$r \propto \frac{1}{q}$. $O^{-2}$ નો વિદ્યુતભાર $2e$ છે અને $H^{+}$ નો $1e$ છે,તેથી $O^{-2}$ માટે વક્રતા ત્રિજ્યા $r_{O} = \frac{p}{2eB}$ અને $H^{+}$ માટે $r_{H} = \frac{p}{eB}$ થાય. $r_{O} < r_{H}$ હોવાથી,$O^{-2}$ ની વક્રતા (જે $\frac{1}{r}$ છે) $H^{+}$ કરતા વધારે છે. આમ,વિધાન $A$ ખોટું છે.
કારણ $R$ માટે: સમાન વેગમાન $p$ ધરાવતા પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન માટે,વક્રતા ત્રિજ્યા $r = \frac{p}{qB}$ છે. બંને સમાન વિદ્યુતભાર $e$ ધરાવતા હોવાથી,તેમની વક્રતા ત્રિજ્યા સમાન હશે $(r_{p} = r_{e} = \frac{p}{eB})$. આમ,કારણ $R$ ખોટું છે.

(A) ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
અહીં,$\mu_1 = 1$ (હવા),$\mu_2 = 1.5$ (કાચ),$v = +200\ cm$ (પ્રતિબિંબ કાચની અંદર રચાય છે),$R = +50\ cm$ (બહિર્ગોળ સપાટી),અને $u = -x$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.5}{200} - \frac{1}{-x} = \frac{1.5 - 1}{50}$.
$\frac{0.0075} + \frac{1}{x} = \frac{0.5}{50}$.
$\frac{1}{x} = 0.01 - 0.0075 = 0.0025$.
$x = \frac{1}{0.0025} = 400\ cm$.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા,$x = 4\ m$ મળે છે.

(C) કિસ્સો $1$: શ્રેણી જોડાણ.
સમતુલ્ય emf,$\varepsilon_{eq} = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = 1 \ V + 2 \ V = 3 \ V$.
સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ,$r_{eq} = r_1 + r_2 = 2 \ \Omega + 1 \ \Omega = 3 \ \Omega$.
કુલ અવરોધ,$R_{total} = R + r_{eq} = 6 \ \Omega + 3 \ \Omega = 9 \ \Omega$.
પ્રવાહ $I_1 = \frac{\varepsilon_{eq}}{R_{total}} = \frac{3 \ V}{9 \ \Omega} = \frac{1}{3} \ A$.
કિસ્સો $2$: સમાંતર જોડાણ.
સમતુલ્ય emf,$\varepsilon_{eq} = \frac{\frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{1}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{1}} = \frac{2.5}{1.5} = \frac{5}{3} \ V$.
સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ,$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3} \ \Omega$.
કુલ અવરોધ,$R_{total} = R + r_{eq} = 6 \ \Omega + \frac{2}{3} \ \Omega = \frac{20}{3} \ \Omega$.
પ્રવાહ $I_2 = \frac{\varepsilon_{eq}}{R_{total}} = \frac{5/3}{20/3} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \ A$.
ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1/3}{1/4} = \frac{4}{3}$.
આપેલ છે કે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{x}{3}$,તેથી $x = 4$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોથી ઉત્તેજિત અવસ્થા એટલે $n_1 = 5$ (કારણ કે ધરા અવસ્થા $n=1$ છે,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$ છે,...,ચોથી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=5$ છે).
$n_1$ થી $n$ માં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ઊર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n_1^2} \right) \ eV$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\Delta E = 2.86 \ eV$ અને $n_1 = 5$ આપેલ છે,તેથી:
$2.86 = 13.6 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{5^2} \right)$
$\frac{2.86}{13.6} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{25}$
$0.2103 \approx \frac{1}{n^2} - 0.04$
$\frac{1}{n^2} = 0.2103 + 0.04 = 0.2503 \approx \frac{1}{4}$
$n^2 = 4 \implies n = 2$.

(D) પૂર્ણ પરાવર્તન ધારીએ તો,લેસર પલ્સ દ્વારા અરીસા પર લાગતું બળ $F = \frac{2P}{c} = \frac{2}{c} \frac{dE}{dt}$ છે,જ્યાં $P$ એ પાવર છે.
પલ્સના સમયગાળા દરમિયાન આનું સંકલન કરતા,અરીસાના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર:
$mv = \int F dt = \frac{2}{c} \int dE = \frac{2E}{c} \implies v = \frac{2E}{mc}$.
હવે,લોલક માટે કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$W_g = \Delta K$
$-mg l(1 - \cos \theta) = 0 - \frac{1}{2}mv^2$
$mg l(2 \sin^2 \frac{\theta}{2}) = \frac{1}{2}mv^2$
જ્યારે $\theta$ નાનો હોય,ત્યારે $\sin \theta \approx \theta$,તેથી $2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \approx 2(\frac{\theta}{2})^2 = \frac{\theta^2}{2}$.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$mg l \frac{\theta^2}{2} = \frac{1}{2} m \left(\frac{2E}{mc}\right)^2$
$mg l \theta^2 = \frac{4E^2}{m c^2}$
$\theta^2 = \frac{4E^2}{m^2 c^2 g l}$
$\theta = \frac{2E}{mc \sqrt{gl}}$

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ પડદા અને સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\beta \propto \frac{1}{d}$.
શરૂઆતમાં,$d_1 = 0.2 \ mm$. અંતે,$d_2 = 0.4 \ mm$.
કારણ કે $d$ બમણું થાય છે $(d_2 = 2d_1)$,નવી ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_2$ એ $\frac{\beta_1}{2}$ થાય છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta = \beta_1 - \beta_2 = \beta_1 - \frac{\beta_1}{2} = \frac{\beta_1}{2}$ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta \beta}{\beta_1} \times 100\% = \frac{\beta_1/2}{\beta_1} \times 100\% = 50\%$ છે.

(C) ઓલ્ટરનેટિંગ કરંટ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $i = i_0 \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $i = 100 \sqrt{2} \sin(100 \pi t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = 100 \sqrt{2} \ A$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \pi \ rad/s$ મળે છે.
પ્રવાહનું $\text{RMS}$ મૂલ્ય $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{100 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 100 \ A$ થાય છે.
આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{100 \pi}{2 \pi} = 50 \ Hz$ છે.
આમ,$\text{RMS}$ મૂલ્ય $100 \ A$ અને આવૃત્તિ $50 \ Hz$ છે.

(A) ગોલીય અરીસા માટે મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f}{f-u}$ છે.
આપેલ છે કે $m = \frac{1}{2}$ અને $u = -40\ cm$,તેથી $\frac{1}{2} = \frac{f}{f - (-40)}$.
$f + 40 = 2f$,જે આપણને $f = 40\ cm$ આપે છે.
હવે,$m = \frac{1}{3}$ મોટવણી મેળવવા માટે,આપણે તે જ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{1}{3} = \frac{40}{40 - u'}$.
$40 - u' = 120$,તેથી $u' = -80\ cm$.
વસ્તુ શરૂઆતમાં $40\ cm$ પર હતી અને હવે અરીસાથી $80\ cm$ પર છે.
તેથી,વસ્તુને અરીસાથી $80 - 40 = 40\ cm$ દૂર ખસેડવી પડશે.

(B) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_S$ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_S = \frac{h\nu - \phi}{e}$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,$\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને સપાટીના દ્રવ્ય (વર્ક ફંક્શન) પર આધાર રાખે છે. તે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
પ્રકાશની તીવ્રતા એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ આપાત થતી ઉર્જા,જે એકમ સમય દીઠ આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે. તીવ્રતા વધારવાથી ફોટોનની સંખ્યા વધે છે,જે બદલામાં પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યામાં વધારો કરે છે,જો આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય. આમ,કારણ $R$ સાચું છે.

(D) વાયરમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $q$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં પ્રવાહ $I$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે: $q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) \, dt$.
અહીં $I(t) = 0.02t + 0.01$ આપેલ છે,તેથી $t = 1 \ s$ થી $t = 2 \ s$ માટે સંકલન કરતા:
$q = \int_{1}^{2} (0.02t + 0.01) \, dt$
$q = \left[ 0.02 \frac{t^2}{2} + 0.01t \right]_{1}^{2}$
$q = \left[ 0.01t^2 + 0.01t \right]_{1}^{2}$
સીમાઓ મૂકતા:
$q = (0.01(2)^2 + 0.01(2)) - (0.01(1)^2 + 0.01(1))$
$q = (0.04 + 0.02) - (0.01 + 0.01)$
$q = 0.06 - 0.02 = 0.04 \ C$.

(B) આપેલ બુલિયન પદાવલિ $Y = A \bar{B} C + \bar{A} \bar{C}$ છે.
કન્ફિગરેશન $A$ નું વિશ્લેષણ:
$3$-ઇનપુટ $\text{AND}$ ગેટનું આઉટપુટ $A \bar{B} C$ છે. $2$-ઇનપુટ $\text{AND}$ ગેટના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{C}$ છે,જેનું પરિણામ $\bar{A} \bar{C}$ મળે છે. આ બંને આઉટપુટ $2$-ઇનપુટ $\text{OR}$ ગેટમાં જાય છે,જેથી $Y = A \bar{B} C + \bar{A} \bar{C}$ મળે છે. આમ,કન્ફિગરેશન $A$ સાચું છે.

(C) $1$. અનંત વીજભારિત શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન હોય છે અને તે તેનાથી દૂરની દિશામાં હોય છે (ધન વીજભાર માટે). ધારો કે દરેક શીટનું ક્ષેત્ર $E_s = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ છે.
$2$. ગોળાની બહારના બિંદુ પર વીજભારિત ગોળાને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{sphere} = \frac{kQ}{r^2}$ છે,જ્યાં $r$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે.
$3$. $C$ અને $D$ બિંદુઓ પર,બે શીટ્સને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં છે). આમ,$C$ અને $D$ પરનું કુલ ક્ષેત્ર માત્ર વીજભારિત ગોળાને કારણે છે. $C$ એ $D$ કરતા ગોળાથી વધુ દૂર હોવાથી,$E_C < E_D$,તેથી $\overrightarrow{E}_C \neq \overrightarrow{E}_D$.
$4$. $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર,બે શીટ્સને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં (ડાબી તરફ) હોય છે. $A$ પર ગોળાનું ક્ષેત્ર ડાબી તરફ છે,જ્યારે $B$ પર તે જમણી તરફ છે. તેથી,$A$ પરનું કુલ ક્ષેત્ર એ શીટના ક્ષેત્રો અને ગોળાના ક્ષેત્રનો સરવાળો છે,જ્યારે $B$ પર તે તફાવત છે. આમ,$\overrightarrow{E}_A > \overrightarrow{E}_B$.

(B) અનંત અવાહક શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\sigma = 100 \ \mu C/m^2 = 100 \times 10^{-6} \ C/m^2$.
$E = \frac{100 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{10^{-4}}{17.7 \times 10^{-12}} = \frac{10^8}{17.7} \ N/C \approx 5.65 \times 10^6 \ N/C$.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q \times d = (2 \times 10^{-6} \ C) \times (0.2 \ m) = 0.4 \times 10^{-6} \ Cm = 4 \times 10^{-7} \ Cm$.
ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta = 30^{\circ}$.
$\tau = (4 \times 10^{-7}) \times (5.65 \times 10^6) \times \sin(30^{\circ})$
$\tau = (4 \times 10^{-7}) \times (5.65 \times 10^6) \times 0.5 = 2 \times 10^{-7} \times 5.65 \times 10^6 = 1.13 \ Nm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1.12 \ Nm$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = a_0 \cdot \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$Li^{2+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z_1 = 3$ અને કક્ષા $n = 5$ છે. તેથી,$r_{Li^{2+}} = a_0 \cdot \frac{5^2}{3} = a_0 \cdot \frac{25}{3}$.
$He^{+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z_2 = 2$ અને કક્ષા $n = 5$ છે. તેથી,$r_{He^{+}} = a_0 \cdot \frac{5^2}{2} = a_0 \cdot \frac{25}{2}$.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર: $\frac{r_{Li^{2+}}}{r_{He^{+}}} = \frac{a_0 \cdot \frac{25}{3}}{a_0 \cdot \frac{25}{2}} = \frac{25}{3} \cdot \frac{2}{25} = \frac{2}{3}$.

(A) આપેલ મોટવણી $M = -\frac{1}{3}$ છે.
$M = -\frac{v}{u}$ હોવાથી,$-\frac{v}{u} = -\frac{1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{u}{3}$.
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $|u - v| = 30 \ cm$ આપેલ છે. પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું હોવાથી (મોટવણી ઋણ છે),વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ બંને અરીસાની એક જ બાજુએ છે. તેથી,$|u| - |v| = 30 \ cm$. ધારો કે $u = -u_0$ અને $v = -v_0$,તો $u_0 - v_0 = 30$.
$v_0 = \frac{u_0}{3}$ મૂકતા,$u_0 - \frac{u_0}{3} = 30 \Rightarrow \frac{2u_0}{3} = 30 \Rightarrow u_0 = 45 \ cm$.
તેથી,$u = -45 \ cm$ અને $v = -15 \ cm$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-15} + \frac{1}{-45} = \frac{-3 - 1}{45} = -\frac{4}{45}$.
તેથી,$f = -\frac{45}{4} \ cm$.
કેન્દ્રલંબાઈનું માન $\frac{45}{4} \ cm$ છે. આને $\frac{x}{4} \ cm$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 45$ મળે છે.

(D) આપેલ પરિપથ આકૃતિનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે નોડ્સને નામ આપી શકીએ છીએ. ધારો કે બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A$ છે અને બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે.
જોડાણોને ટ્રેસ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ચારેય કેપેસીટર બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા કેપેસીટર માટે,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધા કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ સમાન $C = 16 \mu F$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$C_{eq} = 16 \mu F + 16 \mu F + 16 \mu F + 16 \mu F = 64 \mu F$.
તેથી,બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $64 \mu F$ છે.

(A) ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત emf નું સૂત્ર $\varepsilon = B v L_{eff}$ છે,જ્યાં $L_{eff}$ એ વેગ સદિશને લંબ અસરકારક લંબાઈ છે.
આપેલ વાહક $ABCDE$ માટે,બિંદુઓ $A$ અને $E$ વચ્ચેની અસરકારક લંબાઈ તેમની વચ્ચેનું શિરોલંબ અંતર છે.
તારમાં $BC$ અને $CD$ વિભાગો છે જે સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલા છે,અને $AB$ તથા $DE$ વિભાગો સમક્ષિતિજ છે.
$BC$ અને $CD$ વિભાગોનો શિરોલંબ પ્રક્ષેપ $10 \sin 45^{\circ} = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \ cm$ છે.
આમ,કુલ અસરકારક લંબાઈ $L_{eff} = 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \ cm = 0.1\sqrt{2} \ m$ થાય.
આપેલ છે કે $B = \frac{1}{\sqrt{2}} \ T$ અને $v = 10 \ cm/s = 0.1 \ m/s$.
$\varepsilon = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times (0.1) \times (0.1\sqrt{2}) = 0.01 \ V$.
મિલીવોલ્ટમાં રૂપાંતર કરતા: $\varepsilon = 0.01 \times 1000 \ mV = 10 \ mV$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રક્રિયા $P \rightarrow Q \rightarrow R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. પિતૃ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ $P$ નું દળ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ સમય સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે: $N_P(t) = N_0 e^{-\lambda_1 t}$.
$2$. મધ્યવર્તી પદાર્થ $Q$ એ $P$ ના ક્ષય દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે અને તે જ સમયે $R$ માં ક્ષય પામે છે. શરૂઆતમાં,$Q$ ની માત્રા શૂન્ય હોય છે,પછી જેમ $P$ નો ક્ષય થાય છે તેમ તે વધે છે,મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે અને અંતે જેમ તે $R$ માં ક્ષય પામે છે તેમ ઘટે છે.
$3$. બિન-રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ $R$ એ અંતિમ ઉત્પાદન છે. તેની માત્રા શૂન્યથી શરૂ થાય છે અને જેમ $Q$ નો ક્ષય થાય છે તેમ સમય સાથે વધે છે,અને અંતે તે અચળ મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે કારણ કે $P$ અને $Q$ સંપૂર્ણપણે $R$ માં રૂપાંતરિત થઈ જાય છે.
આ લાક્ષણિકતાઓની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,આકૃતિ $B$ એ $P \rightarrow Q \rightarrow R$ ક્ષય સાંકળનું યોગ્ય રીતે નિરૂપણ કરે છે,જેમાં $P$ ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે,$Q$ એક શિખર દર્શાવે છે,અને $R$ સ્થિર મૂલ્ય સુધી વધે છે.