मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण (xy-5x^2sqrt{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^2)dy = (5x^2\sqrt{1+x^2} - xy)dx$ है।इसे व्यवस्थित करने पर,$(1+x^2)\frac{dy}{dx} + xy = 5x^2\sqrt{1+x^2}$ प्राप्त होता

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$\frac{5\sqrt{3}}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^2)dy = (5x^2\sqrt{1+x^2} - xy)dx$ है।इसे व्यवस्थित करने पर,$(1+x^2)\frac{dy}{dx} + xy = 5x^2\sqrt{1+x^2}$ प्राप्त होता है।$(1+x^2)$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{1+x^2}y = \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{x}{1+x^2}$ और $Q(x) = \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}}$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x)dx} = e^{\int \frac{x}{1+x^2}dx} = e^{\frac{1}{2}\ln(1+x^2)} = \sqrt{1+x^2}$ है।हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।$y\sqrt{1+x^2} = \int \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \sqrt{1+x^2} dx = \int 5x^2 dx = \frac{5x^3}{3} + C$.$y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0\sqrt{1+0} = \frac{5(0)^3}{3} + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।अतः,$y = \frac{5x^3}{3\sqrt{1+x^2}}$.$x=\sqrt{3}$ के लिए,$y(\sqrt{3}) = \frac{5(\sqrt{3})^3}{3\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}} = \frac{5(3\sqrt{3})}{3\sqrt{4}} = \frac{15\sqrt{3}}{3(2)} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(xy-5x^2\sqrt{1+x^2})dx+(1+x^2)dy=0$ का हल है,जहाँ $y(0)=0$ है। तो $y(\sqrt{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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