मान लीजिए f :(0, infty) rightarrow R एक फलन ह | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 f^{\prime}(x) - 2 x f(x) = 3$.दोनों पक्षों को $x^4$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x 
eq 0$):$\frac{x^2 f^{\prime}(x) - 2 x

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$39$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 f^{\prime}(x) - 2 x f(x) = 3$.दोनों पक्षों को $x^4$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x 
eq 0$):$\frac{x^2 f^{\prime}(x) - 2 x f(x)}{x^4} = \frac{3}{x^4}$इसे भागफल के अवकलज के रूप में लिखा जा सकता है:$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{x^2} ight) = 3 x^{-4}$दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\frac{f(x)}{x^2} = \int 3 x^{-4} dx = 3 \left( \frac{x^{-3}}{-3} ight) + C = -\frac{1}{x^3} + C$$x^2$ से गुणा करने पर:$f(x) = -\frac{1}{x} + C x^2$चूँकि $f(1) = 4$ दिया गया है,$x=1$ रखने पर:$4 = -\frac{1}{1} + C(1)^2 \Rightarrow 4 = -1 + C \Rightarrow C = 5$.अतः,$f(x) = 5x^2 - \frac{1}{x}$.अब,$2f(2)$ की गणना करने पर:$f(2) = 5(2)^2 - \frac{1}{2} = 20 - 0.5 = 19.5$.$2f(2) = 2 	imes 19.5 = 39$.

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