$I(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$,जहाँ $m, n > 0$ है,तो $I(9, 14) + I(10, 13)$ का मान क्या होगा?

यदि $f(x) = \int_0^x {t(\sin x - \sin t) dt}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

कथन $(A)$: $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^6 x + \cos^6 x) dx$ अंतराल $(\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2})$ में स्थित है।
कारण $(R)$: $\sin^6 x + \cos^6 x$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\frac{\pi}{2}$ है।

$ 6\int_{0}^{\pi}|(\sin 3x+\sin 2x+\sin x)| dx $ का मान .... है।

मान लीजिए $F: R \rightarrow R$ एक तीन बार अवकलनीय फलन है। मान लीजिए $F(1)=0, F(3)=-4$ और सभी $x \in (1/2, 3)$ के लिए $F^{\prime}(x) < 0$ है। मान लीजिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x)=x F(x)$ है।
$1.$ सही कथन है(हैं):
$(A) f^{\prime}(1) < 0$
$(B) f(2) < 0$
$(C) \text{किसी भी }x \in (1,3) \text{के लिए }f^{\prime}(x) \neq 0$
$(D)$ कुछ $x \in (1, 3)$ के लिए $f^{\prime}(x)=0$
$2.$ यदि $\int_1^3 x^2 F^{\prime}(x) dx = -12$ और $\int_1^3 x^3 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ है,तो सही व्यंजक है(हैं):
$(A) 9 f^{\prime}(3)+f^{\prime}(1)-32=0$
$(B) \int_1^3 f(x) dx = 12$
$(C) 9 f^{\prime}(3)-f^{\prime}(1)+32=0$
$(D) \int_1^3 f(x) dx = -12$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।

मान लीजिए $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$ और $v = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx$ है,तो: