फलन f: (-infty, infty) rightarrow (-infty, in | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$.अंश और हर को $2^x$ से गुणा करने पर,हमें $f(x) = \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1}$ प्राप्त होता

Vedclass · Accepted Answer

एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$.अंश और हर को $2^x$ से गुणा करने पर,हमें $f(x) = \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1}$ प्राप्त होता है।इसे हम $f(x) = \frac{(2^{2x} + 1) - 2}{2^{2x} + 1} = 1 - \frac{2}{2^{2x} + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।एकैकी (one-one) की जाँच के लिए,हम अवकलन ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{d}{dx} (1 - 2(2^{2x} + 1)^{-1}) = 0 - 2(-1)(2^{2x} + 1)^{-2} \cdot (2^{2x} \cdot \ln 2 \cdot 2) = \frac{4 \cdot 2^{2x} \cdot \ln 2}{(2^{2x} + 1)^2}$.चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,फलन निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह एकैकी है।आच्छादक (onto) की जाँच के लिए,हम परिसर ज्ञात करते हैं: जैसे $x \rightarrow -\infty$,$2^{2x} \rightarrow 0$,इसलिए $f(x) \rightarrow 1 - \frac{2}{0+1} = -1$। जैसे $x \rightarrow \infty$,$2^{2x} \rightarrow \infty$,इसलिए $f(x) \rightarrow 1 - 0 = 1$।$f(x)$ का परिसर $(-1, 1)$ है।चूँकि परिसर $(-1, 1)$ सह-प्रांत $(-\infty, \infty)$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।अतः,फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

$A$. $f: R \rightarrow R$,$f(x) = \cos(112x - 37)$ द्वारा परिभाषित	$I$. एकैकी (Injection) लेकिन आच्छादक (Surjection) नहीं
$B$. $f: A \rightarrow B$,$f(x) = x\|x\|$ द्वारा परिभाषित,जहाँ $A = [-2, 2]$ और $B = [-4, 4]$	$II$. आच्छादक लेकिन एकैकी नहीं
$C$. $f: R \rightarrow R$,$f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$ द्वारा परिभाषित	$III$. एकैकी और आच्छादक (Bijection)
$D$. $f: N \rightarrow N$,$f(n) = n+1$ द्वारा परिभाषित	$IV$. न तो एकैकी और न ही आच्छादक
	$V$. संयुक्त फलन

फलन $f: (-\infty, \infty) \rightarrow (-\infty, \infty)$ जो $f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$ द्वारा परिभाषित है,वह है :

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मान लीजिए $A = \{(x, y) : 2x + 3y = 23, x, y \in N\}$ और $B = \{x : (x, y) \in A\}$ है। तो $A$ से $B$ तक एकैकी (one-one) फलनों की संख्या ................ है।

यदि $f:[0, \infty) \to [0, \infty)$ और $f(x) = \frac{x}{1+x}$ है,तो $f$ है

फलन $f(x) = x^3 - 8x^2 + 20x - 13$ पर विचार करें। फलन $f: R \rightarrow R$ के लिए निम्नलिखित में से क्या सत्य है?

दर्शाइए कि एक एकैकी फलन $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ अनिवार्य रूप से आच्छादक (onto) होगा।

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