एक बीकर में $\rho \, kg/m^3$ घनत्व,$S \, J/kg \, ^\circ C$ विशिष्ट ऊष्मा और $\eta$ श्यानता वाला एक तरल है। बीकर को $h$ ऊँचाई तक भरा जाता है। जब बीकर को हॉट प्लेट पर रखा जाता है,तो संवहन द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊष्मा स्थानांतरण की दर $(Q/A)$ का अनुमान लगाने के लिए,एक छात्र का प्रस्ताव है कि यह $\eta$,$\left( \frac{S\Delta \theta}{h} \right)$ और $\left( \frac{1}{\rho g} \right)$ पर निर्भर करना चाहिए,जहाँ $\Delta \theta$ ($^\circ C$ में) तरल के निचले और ऊपरी हिस्से के बीच तापमान का अंतर है। उस स्थिति में $(Q/A)$ के लिए सही विकल्प है:

इकाइयों की एक नई प्रणाली प्रस्तावित है जिसमें द्रव्यमान की इकाई $\alpha \ kg$,लंबाई की इकाई $\beta \ m$ और समय की इकाई $\gamma \ s$ है। इस नई प्रणाली में $5 \ J$ का मान कितना होगा?

एक विलगित निकाय (isolated system) में गैस के एक अणु द्वारा किया गया कार्य $W = \alpha \beta^{2} e^{-\frac{x^{2}}{\alpha kT}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ विस्थापन है,$k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है,$T$ तापमान है,और $\alpha$ तथा $\beta$ नियतांक हैं। तो $\beta$ की विमा क्या होगी?

यदि संवेग $(P)$,क्षेत्रफल $(A)$ और समय $(T)$ को मूल राशियाँ माना जाए,तो ऊर्जा का विमीय सूत्र क्या होगा?

कथन $(A)$: प्रति इकाई आयतन ऊर्जा और कोणीय संवेग को विमीय रूप से जोड़ा जा सकता है।
कारण $(R)$: समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को जोड़ा या घटाया जा सकता है।

समान संख्या में इलेक्ट्रॉनों और धनात्मक आयनों के घने संग्रह को उदासीन प्लाज्मा कहा जाता है। मुक्त इलेक्ट्रॉनों से घिरे निश्चित धनात्मक आयनों वाले कुछ ठोस पदार्थों को उदासीन प्लाज्मा के रूप में माना जा सकता है। मान लीजिए $N$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है, प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ है। जब इलेक्ट्रॉनों पर एक विद्युत क्षेत्र लगाया जाता है, तो वे भारी धनात्मक आयनों से अपेक्षाकृत दूर विस्थापित हो जाते हैं। यदि विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है, तो इलेक्ट्रॉन धनात्मक आयनों के चारों ओर एक प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति $\omega_p$ के साथ दोलन करना शुरू कर देते हैं, जिसे प्लाज्मा आवृत्ति कहा जाता है। दोलनों को बनाए रखने के लिए, एक समय-परिवर्ती विद्युत क्षेत्र को लागू करने की आवश्यकता होती है जिसकी कोणीय आवृत्ति $\omega$ हो, जहाँ ऊर्जा का एक हिस्सा अवशोषित हो जाता है और एक हिस्सा परावर्तित हो जाता है। जैसे ही $\omega$, $\omega_p$ के करीब पहुंचता है, सभी मुक्त इलेक्ट्रॉन एक साथ अनुनाद में आ जाते हैं और सारी ऊर्जा परावर्तित हो जाती है। यह धातुओं की उच्च परावर्तकता की व्याख्या है।
$1.$ इलेक्ट्रॉनिक आवेश को $e$ और पारगम्यता (permittivity) को $\varepsilon_0$ मानते हुए, $\omega_p$ के लिए सही व्यंजक निर्धारित करने के लिए आयामी विश्लेषण का उपयोग करें।
$(A) \sqrt{\frac{N e}{m \varepsilon_0}}$ $(B) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e}}$ $(C) \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ $(D) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e^2}}$
$2.$ उस तरंगदैर्ध्य का अनुमान लगाएं जिस पर $N \approx 4 \times 10^{27} \ m^{-3}$ इलेक्ट्रॉन घनत्व वाली धातु के लिए प्लाज्मा परावर्तन होगा। $\varepsilon_0 \approx 10^{-11}$ और $m \approx 10^{-30}$ लें, जहाँ ये राशियाँ उचित $SI$ इकाइयों में हैं।
$(A) 800 \ nm$ $(B) 600 \ nm$ $(C) 300 \ nm$ $(D) 200 \ nm$
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।