शीर्षों $(0,0)$,$(0,41)$ और $(41,0)$ वाले त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित,दोनों निर्देशांकों के पूर्णांक होने वाले बिंदुओं की संख्या क्या है?

मान लीजिए $PQR$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है,जो $P(2, 1)$ पर समकोण है। यदि भुजा $QR$ का समीकरण $2x + y = 3$ है,तो $QR$ के अलावा अन्य भुजाओं में से एक का समीकरण क्या है?

यदि एक समबाहु त्रिभुज के आधार का समीकरण $x+y=6$ है और सम्मुख शीर्ष $(-1, -1)$ है,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल $k$ वर्ग इकाई है। $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(1,3)$ और $(5,1)$ एक आयत के विकर्ण के विपरीत शीर्ष हैं। यदि अन्य दो शीर्ष रेखा $y=2x+c$ पर स्थित हैं,तो दूसरे विकर्ण पर स्थित एक शीर्ष है

एक रेखा $4x+y=1$ बिंदु $A(2,-7)$ से होकर गुजरती है और रेखा $BC$,जिसका समीकरण $3x-4y+1=0$ है,को बिंदु $B$ पर मिलती है। रेखा $AC$ का समीकरण ज्ञात कीजिए ताकि $AB=AC$ हो।

एक $\triangle ABC$ की भुजाओं $AB$,$BC$ और $CA$ के समीकरण क्रमशः $2x+y=0$,$x+py=q$ और $x-y=3$ हैं। यदि $P(2,3)$ इसका लंबकेंद्र (orthocenter) है,तो $p+q$ का मान ज्ञात कीजिए।