मान लीजिए कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ है। यदि $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3(\vec{a} \times \vec{b})$ है,तो $2|\vec{c}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं और यदि $\vec{d}$ इस प्रकार है कि $\vec{d} = \frac{1}{x}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ और $\vec{d} = \frac{1}{y}(\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$ जहाँ $x$ और $y$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{xy}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$ का मान क्या होगा?

यदि $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$,$b=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $c=3 \hat{i}-4 \hat{k}$ है,तो List-$I$ की वस्तुओं का List-$II$ के साथ मिलान करें।

$A$. $a-b$ की विपरीत दिशा में इकाई सदिश	$(i) \ 5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$
$B$. यदि $\vec{AB} = a, \vec{BC} = b$ है,तो $\vec{CA} =$	$(ii) \ 2 \hat{i} - \frac{8}{3} \hat{k}$
$C$. यदि $a, b, c$ एक त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश हैं,तो इसका केंद्रक है	$(iii) \ -3 \hat{i} + 4 \hat{k}$
$D$. यदि $d$ एक सदिश है जिसका परिमाण $2 \sqrt{14}$ है और यह सदिश $a$ के समानांतर है,तो $b + d =$	$(iv) \ -\frac{\hat{i}}{\sqrt{73}} - \frac{6 \hat{j}}{\sqrt{73}} - \frac{6 \hat{k}}{\sqrt{73}}$
	$(v) \ 3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$

निम्नलिखित दो कथनों के बीच:
कथन $-I$ : माना $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ और $\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ है। तब सदिश $\vec{r}$ जो $\vec{a} \times \vec{r}=\vec{a} \times \vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{r}=0$ को संतुष्ट करता है,का परिमाण $\sqrt{10}$ है।
कथन $-II$ : एक त्रिभुज $ABC$ में,$\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C \geq -\frac{3}{2}$ है।

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ $xyz$-अंतरिक्ष में तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} \neq 0$ है। यदि $A, B, C$ क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु हैं,तो $\triangle ABC$ के केंद्रक की संभावित स्थितियों की संख्या क्या है?