रेखा $(2x - 3y + 4) + k(x - 2y + 3) = 0, k \in R$ में बिंदु $(2, 3)$ के प्रतिबिंब का बिंदुपथ क्या है?

उस त्रिभुज के केंद्रक के बिंदु पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(a \cos k, a \sin k)$,$(b \sin k, -b \cos k)$ और $(1, 0)$ हैं,जहाँ $k$ एक प्राचल है।

एक चर वृत्त के केंद्र का बिंदु पथ जो हमेशा दो दिए गए वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,वह है

$(a \cos \theta, a \sin \theta)$,$(b \sin \theta, -b \cos \theta)$ और $(1, 0)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के केंद्रक का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए (जहाँ $\theta$ एक प्राचल है)।

वृत्त $C_1: (x-4)^2 + (y-5)^2 = 4$ की जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ,जो वृत्त $C_1$ के केंद्र पर $\theta_i$ कोण अंतरित करती हैं,$r_i$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। यदि $\theta_1 = \frac{\pi}{3}$,$\theta_3 = \frac{2\pi}{3}$ और $r_1^2 = r_2^2 + r_3^2$ है,तो $\theta_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $PQ$ और $MN$ दो सीधी रेखाएँ हैं जो वृत्त $x^{2}+y^{2}-4x-6y-3=0$ को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं। मान लीजिए $O$ वृत्त का केंद्र है और $\angle AOB=\pi/3$ है। तो रेखाओं $PQ$ और $MN$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए: