$\sum\limits_{r = 16}^{30} {(r + 2)(r - 3)}$ का मान किसके बराबर है?

श्रेणी $1 \times 3^{2} + 2 \times 5^{2} + 3 \times 7^{2} + \dots$ के $10$ पदों का योग क्या है?

उस अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए जिसका $n^{th}$ पद $a_{n} = n \frac{n^{2}+5}{4}$ है।

$1 + \frac{1^3 + 2^3}{1 + 2} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1 + 2 + 3} + \dots + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 15^3}{1 + 2 + 3 + \dots + 15} - \frac{1}{2}(1 + 2 + 3 + \dots + 15)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि श्रेणी ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {1\frac{1}{2}} \right)^3} + {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^3} + {3^3} + {\left( {3\frac{3}{4}} \right)^3} + \dots$ के प्रथम $15$ पदों का योग $225\,k$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $n$ सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए $n+2n+3n+\ldots+99n$ एक पूर्ण वर्ग है,तो $n^2$ के अंकों की संख्या क्या है?