श्रेणी frac{1^3}{1} + frac{1^3 + 2^3}{1 + 3} | vedclass

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Question

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n (2k-1)}$ द्वारा दिया जाता है।हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\frac{n(n+

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$96$

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(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n (2k-1)}$ द्वारा दिया जाता है।हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ और प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$ है।अतः,$T_n = \frac{\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2}{n^2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^2} = \frac{(n+1)^2}{4}$.हमें प्रथम $9$ पदों का योग ज्ञात करना है,$S_9 = \sum_{n=1}^9 T_n = \sum_{n=1}^9 \frac{(n+1)^2}{4}$.$S_9 = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^9 (n+1)^2 = \frac{1}{4} (2^2 + 3^2 + \dots + 10^2)$.$1^2$ जोड़ने और घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $S_9 = \frac{1}{4} \left[ \sum_{k=1}^{10} k^2 - 1^2 \right]$.सूत्र $\sum_{k=1}^m k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,$m=10$ के लिए:$S_9 = \frac{1}{4} \left[ \frac{10(11)(21)}{6} - 1 \right] = \frac{1}{4} [385 - 1] = \frac{384}{4} = 96$.

श्रेणी $\frac{1^3}{1} + \frac{1^3 + 2^3}{1 + 3} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1 + 3 + 5} + \dots$ के प्रथम $9$ पदों का योग क्या है?

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यदि $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 2009^2 = (2009)(335)(4019)$ और $(1)(2009) + 2(2008) + 3(2007) + \dots + 2009(1) = (2009)(335)(x)$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

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