गुणनफल xyz का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके ल | vedclass

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Question

(D) सारणिक का मान $\Delta = x(yz - 1) - 1(z - 1) + 1(1 - y) = xyz - x - z + 1 - 1 + 1 - y = xyz - (x + y + z) + 2$ है। दिया गया है कि $\Delta \ge 0$,इ

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$-8$

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(D) सारणिक का मान $\Delta = x(yz - 1) - 1(z - 1) + 1(1 - y) = xyz - x - z + 1 - 1 + 1 - y = xyz - (x + y + z) + 2$ है। दिया गया है कि $\Delta \ge 0$,इसलिए $xyz - (x + y + z) + 2 \ge 0$,जिसका अर्थ है $xyz + 2 \ge x + y + z$। $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$x + y + z \ge 3(xyz)^{1/3}$। माना $t = (xyz)^{1/3}$,तो असमिका $t^3 + 2 \ge x + y + z$ बन जाती है। न्यूनतम मान के लिए,$x=y=z=t$ लेने पर,$t^3 - 3t + 2 \ge 0$ प्राप्त होता है। गुणनखंड करने पर,$(t - 1)^2(t + 2) \ge 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $(t - 1)^2 \ge 0$,इसलिए $t + 2 \ge 0$ होना चाहिए,अर्थात $t \ge -2$। अतः,$xyz = t^3 \ge (-2)^3 = -8$। इस प्रकार,न्यूनतम मान $-8$ है।

गुणनफल $xyz$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} x & 1 & 1 \\ 1 & y & 1 \\ 1 & 1 & z \end{array} \right|$ अ-ऋणात्मक (non-negative) है।

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