AP EAMCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

$(A)$ प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{v}_i = 4 \hat{i} \,m \,s^{-1}$ है।
अंतिम वेग सदिश $\vec{v}_f = 4 \sqrt{2} (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = 4 \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}) = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ है।
विस्थापन $\vec{s}$ समय के साथ वेग का समाकलन है। एकसमान त्वरण मानते हुए, $\vec{s} = \vec{v}_{avg} \times t = \frac{\vec{v}_i + \vec{v}_f}{2} \times t$ होता है।
$\vec{v}_{avg} = \frac{(4 \hat{i}) + (4 \hat{i} + 4 \hat{j})}{2} = \frac{8 \hat{i} + 4 \hat{j}}{2} = 4 \hat{i} + 2 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ प्राप्त होता है।
औसत वेग का परिमाण $|\vec{v}_{avg}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \,m \,s^{-1}$ है।

(B) $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक की कोणीय आवृत्ति $\omega$,जो $k$ बल नियतांक वाले स्प्रिंग से जुड़ा है,का सूत्र है: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$।
दिए गए मान $m = 0.1 \ kg$ और $k = 2.5 \ Nm^{-1}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{2.5}{0.1}}$
$\omega = \sqrt{25}$
$\omega = 5 \ rad \ s^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) स्प्रिंग से जुड़ा प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = 1 \,kg$ है। टकराने वाला द्रव्यमान $m_2 = 0.5 \,kg$ है।
टक्कर के बाद, दोनों वस्तुएं $M = m_1 + m_2 = 1 + 0.5 = 1.5 \,kg$ के कुल द्रव्यमान के साथ एक निकाय के रूप में गति करती हैं।
स्प्रिंग का बल नियतांक $k = 600 \,N \,m^{-1}$ है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\omega = \sqrt{\frac{600}{1.5}} = \sqrt{400} = 20 \,rad \,s^{-1}$।
दोलन की आवृत्ति $f$ का कोणीय आवृत्ति के साथ संबंध $f = \frac{\omega}{2\pi}$ है।
अतः, $f = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi} \,Hz$।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान $m_1 = 4 \ kg$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{4}{k}} = 2\pi \cdot \frac{2}{\sqrt{k}} = \frac{4\pi}{\sqrt{k}}$ है।
द्रव्यमान $m_2 = 9 \ kg$ के लिए,आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{9}{k}} = 2\pi \cdot \frac{3}{\sqrt{k}} = \frac{6\pi}{\sqrt{k}}$ है।
यह दिया गया है कि आवर्तकाल $0.2\pi \ s$ बढ़ जाता है,इसलिए $T_2 - T_1 = 0.2\pi$ है।
$T_1$ और $T_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{6\pi}{\sqrt{k}} - \frac{4\pi}{\sqrt{k}} = 0.2\pi$।
$\frac{2\pi}{\sqrt{k}} = 0.2\pi$।
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर: $\frac{2}{\sqrt{k}} = 0.2$।
$\sqrt{k} = \frac{2}{0.2} = 10$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $k = 100 \ N \ m^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) $m$ द्रव्यमान का पिंड जो $k$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़ा है और सरल आवर्त गति कर रहा है,उसका आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 4 \ kg$
बल नियतांक $k = 64 \ N \ m^{-1}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{4}{64}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{16}}$
$T = 2\pi \times \frac{1}{4}$
$T = \frac{\pi}{2} \ s$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m_1 = 0.5 \ kg$,विस्तार $x = 0.2 \ m$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
हुक के नियम से,$mg = kx$,अतः स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{mg}{x} = \frac{0.5 \times 10}{0.2} = \frac{5}{0.2} = 25 \ N/m$.
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब द्रव्यमान को $m_2 = 0.25 \ kg$ से बदल दिया जाता है,तो नया आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{0.25}{25}} = 2\pi \sqrt{0.01} = 2\pi \times 0.1 = 0.2\pi \ s$ होगा।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$T = 0.2 \times 3.14 = 0.628 \ s$ प्राप्त होता है।

(A) जब $M$ द्रव्यमान के ब्लॉक को नत समतल पर $x$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है,तो एक स्प्रिंग $x$ तक दब जाती है और दूसरी $x$ तक खिंच जाती है।
प्रत्येक स्प्रिंग द्वारा लगाया गया प्रत्यानयन बल $F = -kx$ है।
चूंकि दोनों स्प्रिंग संतुलन स्थिति में वापस लाने के लिए एक ही दिशा में कार्य करती हैं,इसलिए कुल प्रत्यानयन बल $F_{net} = -kx - kx = -2kx$ है।
ब्लॉक के लिए गति का समीकरण $M a = -2kx$ है,जिसे $M \frac{d^2x}{dt^2} + 2kx = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ का रूप है,जहाँ $\omega^2 = \frac{2k}{M}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{2k}{M}}$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{2k}}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) सरल आवर्त गति में विस्थापन $x$ पर कण की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
यहाँ दिया गया है कि विस्थापन $x = \frac{A}{2}$ है,जहाँ $A$ आयाम है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k (\frac{A}{2})^2 = \frac{1}{8} k A^2$ होगी।
कण की कुल ऊर्जा $(E)$ $E = \frac{1}{2} k A^2$ होती है।
गतिज ऊर्जा $(K)$ का मान $K = E - U = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{1}{8} k A^2 = \frac{3}{8} k A^2$ होगा।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K}{U} = \frac{\frac{3}{8} k A^2}{\frac{1}{8} k A^2} = \frac{3}{1}$ है।
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(D) विस्थापन के लिए दिया गया समीकरण $y = 5 \sin(3 \pi t) + 5 \sqrt{3} \cos(3 \pi t)$ है।
यह $y = A_1 \sin(\omega t) + A_2 \cos(\omega t)$ के रूप में है,जहाँ $A_1 = 5$ और $A_2 = 5 \sqrt{3}$ है।
परिणामी आयाम $A$ का सूत्र $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $A = \sqrt{5^2 + (5 \sqrt{3})^2}$.
$A = \sqrt{25 + (25 \times 3)} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100}$.
$A = 10 \ cm$.

(A) सरल आवर्त गति में एक कण की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है,$A$ आयाम है और $x$ विस्थापन है।
दिया गया है: $x = 3 \ cm = 0.03 \ m$,$A = 5 \ cm = 0.05 \ m$,और $K = 4 \ mJ = 4 \times 10^{-3} \ J$.
मान रखने पर: $4 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} k((0.05)^2 - (0.03)^2)$.
$4 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} k(0.0025 - 0.0009) = \frac{1}{2} k(0.0016) = 0.0008 k$.
$k = \frac{4 \times 10^{-3}}{8 \times 10^{-4}} = 5 \ N/m$.
कण पर कार्य करने वाला अधिकतम बल $F_{max} = kA$ है।
$F_{max} = 5 \times 0.05 = 0.25 \ N$.

(A) विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \theta)$ द्वारा दिया गया है।
विस्थापन को अधिकतम होने के लिए,साइन फलन का मान $1$ होना चाहिए (मान लें कि $A > 0$)।
इसलिए,$\sin(\omega t + \theta) = 1$।
हम जानते हैं कि $\sin(\pi/2) = 1$,इसलिए $\omega t + \theta = \pi/2$।
$t$ के लिए हल करने पर:
$\omega t = \frac{\pi}{2} - \theta$
$t = \frac{\pi}{2\omega} - \frac{\theta}{\omega}$।
अतः,वह न्यूनतम समय जिस पर विस्थापन अधिकतम होता है,$\left[\frac{\pi}{2\omega} - \frac{\theta}{\omega}\right]$ है।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे एक कण के लिए, अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ द्वारा और अधिकतम त्वरण $a_{max} = A\omega^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: $v_{max} = 5 \,m \,s^{-1}$ और $a_{max} = 10 \,m \,s^{-2}$।
$a_{max}$ के व्यंजक को $v_{max}$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{a_{max}}{v_{max}} = \frac{A\omega^2}{A\omega} = \omega$।
अतः, $\omega = \frac{10}{5} = 2 \,rad \,s^{-1}$।
दोलन काल $T$ कोणीय आवृत्ति से $T = \frac{2\pi}{\omega}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$\omega$ का मान रखने पर, हमें $T = \frac{2\pi}{2} = \pi \,s$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. प्रारंभिक स्थिति: $M = 1 \ kg$ द्रव्यमान संतुलन में है। स्प्रिंग में विस्तार $x_0 = \frac{Mg}{k} = \frac{1 \times 10}{600} = \frac{1}{60} \ m$ है।
$2$. टक्कर: $m = 0.5 \ kg$ द्रव्यमान का पिंड $v = 3 \ m \ s^{-1}$ वेग से $M$ से टकराता है। संवेग संरक्षण के नियम से,$(M+m)V = mv$,जहाँ $V$ टक्कर के बाद का सामान्य वेग है।
$3$. $V = \frac{mv}{M+m} = \frac{0.5 \times 3}{1 + 0.5} = 1 \ m \ s^{-1}$।
$4$. नई संतुलन स्थिति: टक्कर के बाद कुल द्रव्यमान $M' = 1.5 \ kg$ है। नया संतुलन विस्तार $x_0' = \frac{M'g}{k} = \frac{1.5 \times 10}{600} = 0.025 \ m = 2.5 \ cm$ है।
$5$. नए संतुलन से विस्थापन: टक्कर पुरानी संतुलन स्थिति $x_0$ पर होती है। नए संतुलन से विस्थापन $x = x_0' - x_0 = 2.5 \ cm - 1.67 \ cm = 0.833 \ cm$ है।
$6$. आयाम की गणना: ऊर्जा संरक्षण के अनुसार,$\frac{1}{2}k A^2 = \frac{1}{2}(M+m)V^2 + \frac{1}{2}k x^2$।
$7$. $600 A^2 = 1.5(1)^2 + 600(0.00833)^2 \implies 600 A^2 = 1.5416$।
$8$. $A^2 = \frac{1.5416}{600} \approx 0.002569 \implies A \approx 0.0506 \ m \approx 5 \ cm$।

(D) सरल आवर्त गति में,$x$ विस्थापन पर वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
प्रारंभ में,वेग $v_1 = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ है।
झटका लगने के बाद,वेग $v_2 = 2v_1 = 2\omega \sqrt{A^2 - x^2}$ हो जाता है।
मान लीजिए कि नया आयाम $A'$ है। चूंकि आवृत्ति $\omega$ स्थिर रहती है,समान स्थिति $x$ पर नया वेग $v_2 = \omega \sqrt{A'^2 - x^2}$ होगा।
$v_2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\omega \sqrt{A'^2 - x^2} = 2\omega \sqrt{A^2 - x^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $A'^2 - x^2 = 4(A^2 - x^2)$।
$A'^2 - x^2 = 4A^2 - 4x^2$।
$A'^2 = 4A^2 - 3x^2$।
अतः,नया आयाम $A' = \sqrt{4A^2 - 3x^2}$ है।

(C) प्रथम कण का विस्थापन $y_1 = 0.1 \sin(100 \pi t + \frac{\pi}{3})$ है। वेग $v_1 = \frac{dy_1}{dt} = 0.1 \times 100 \pi \cos(100 \pi t + \frac{\pi}{3}) = 10 \pi \sin(100 \pi t + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2})$ है।
$t=0$ पर,$v_1$ की कला $\phi_1 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$ है।
दूसरे कण का विस्थापन $y_2 = 0.1 \cos(\pi t) = 0.1 \sin(\pi t + \frac{\pi}{2})$ है। वेग $v_2 = \frac{dy_2}{dt} = 0.1 \times \pi \cos(\pi t + \frac{\pi}{2}) = 0.1 \pi \sin(\pi t + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = 0.1 \pi \sin(\pi t + \pi)$ है।
$t=0$ पर,$v_2$ की कला $\phi_2 = \pi$ है।
कलांतर $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |\pi - \frac{5\pi}{6}| = \frac{\pi}{6}$ है।

(C) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति में कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कण का वेग $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ है।
गतिज ऊर्जा $(K)$ $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ है।
कुल ऊर्जा $(E)$ $E = \frac{1}{2}m A^2 \omega^2$ है।
गतिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा का अनुपात $\frac{K}{E} = \cos^2(\omega t)$ है।
दिया गया है कि $\frac{K}{E} = \frac{3}{4}$,इसलिए $\cos^2(\omega t) = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है $\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
इसका मतलब है $\omega t = \frac{\pi}{6}$।
आवर्तकाल $T = 1.5 \ s$ दिया गया है,इसलिए $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1.5} = \frac{4\pi}{3} \ rad/s$ होगा।
समीकरण में $\omega$ का मान रखने पर: $(\frac{4\pi}{3}) t = \frac{\pi}{6}$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{3}{4\pi} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \ s$।

(B) दिया गया फलन $f(t) = \sin^2 \omega t$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(2\omega t)$.
पद $\cos(2\omega t)$ कोणीय आवृत्ति $\omega' = 2\omega$ वाले एक आवर्ती फलन को दर्शाता है।
किसी आवर्ती फलन $\cos(\omega' t)$ का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega'}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega' = 2\omega$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ प्राप्त होता है।
अतः,गति का आवर्तकाल $\frac{\pi}{\omega} \ s$ है।

(C) सरल आवर्त गति करने वाले कण की $x$ विस्थापन पर गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
$x_1 = \frac{A}{4}$ विस्थापन पर,गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{1}{2} k (A^2 - (\frac{A}{4})^2) = \frac{1}{2} k (A^2 - \frac{A^2}{16}) = \frac{1}{2} k (\frac{15A^2}{16})$ है।
$x_2 = \frac{A}{2}$ विस्थापन पर,गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{2} k (A^2 - (\frac{A}{2})^2) = \frac{1}{2} k (A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} k (\frac{3A^2}{4}) = \frac{1}{2} k (\frac{12A^2}{16})$ है।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{\frac{15A^2}{16}}{\frac{12A^2}{16}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ है।

(D) सरल आवर्त गति के लिए सामान्य समीकरण $x = A \cos (\omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 0.5 \cos (125.6 t)$ की तुलना सामान्य समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 125.6 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
दोलन काल $T$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ के बीच का संबंध $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
मान रखने पर,हमें $T = \frac{2 \times 3.14}{125.6}$ प्राप्त होता है।
$T = \frac{6.28}{125.6} = 0.05 \ s$।
अतः,दोलन काल $0.05 \ s$ है।

(B) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर का $t$ समय पर आयाम $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक आयाम है।
दिया गया है कि $t_1 = 12 \ s$ पर,$A(t_1) = 0.5 A_0$ है।
अतः,$0.5 A_0 = A_0 e^{-b(12)/2m}$,जिसका अर्थ है $e^{-6b/m} = 0.5$ है।
हमें $t_2 = 36 \ s$ पर $A_0$ के प्रतिशत के रूप में आयाम ज्ञात करना है।
$A(36) = A_0 e^{-b(36)/2m} = A_0 (e^{-6b/m})^3$ है।
$e^{-6b/m} = 0.5$ का मान रखने पर,हमें $A(36) = A_0 (0.5)^3 = A_0 (0.125) = 12.5 \% A_0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$x = 12.5$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पतली वृत्ताकार वलय की उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = MR^2$ होता है। घूर्णन त्रिज्या $k_z$ को $I_z = Mk_z^2$ द्वारा दिया जाता है, इसलिए $k_z = R = 10 \sqrt{2} \,cm$ है।
वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{2} MR^2$ होता है। व्यास के परितः घूर्णन त्रिज्या $k_d$ को $I_d = Mk_d^2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $Mk_d^2 = \frac{1}{2} MR^2$, जिसका अर्थ है कि $k_d = \frac{R}{\sqrt{2}}$।
$R = 10 \sqrt{2} \,cm$ का मान रखने पर, हमें $k_d = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10 \,cm$ प्राप्त होता है।

(B) यह निकाय $x$,$y$ और $z$ अक्षों पर रखी गई तीन छड़ों से बना है।
मान लीजिए $I_x$,$I_y$ और $I_z$ व्यक्तिगत छड़ों के $z$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हैं।
$1$. $z$-अक्ष के अनुदिश छड़ के लिए: छड़ घूर्णन अक्ष पर स्थित है,इसलिए $z$-अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण $I_1 = 0$ है।
$2$. $x$-अक्ष के अनुदिश छड़ के लिए: छड़ एक सिरे पर $z$-अक्ष के लंबवत है। $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ होता है।
$3$. $y$-अक्ष के अनुदिश छड़ के लिए: इसी प्रकार,छड़ एक सिरे पर $z$-अक्ष के लंबवत है। इसका जड़त्व आघूर्ण $I_3 = \frac{ML^2}{3}$ है।
$z$-अक्ष के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = 0 + \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$ होगा।

(A) '$M$' द्रव्यमान और '$L$' लंबाई की एक पतली एकसमान छड़ की उसके केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र है: $I = \frac{ML^2}{12}$।
घूर्णन त्रिज्या $(k)$ को $I = Mk^2$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$Mk^2 = \frac{ML^2}{12}$
दोनों पक्षों को '$M$' से विभाजित करने पर:
$k^2 = \frac{L^2}{12}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$k = \sqrt{\frac{L^2}{12}} = \frac{L}{\sqrt{12}}$
अतः,घूर्णन त्रिज्या $\frac{L}{\sqrt{12}}$ है।

(D) निकाय का जड़त्व आघूर्ण दी गई अक्ष के परितः दोनों डिस्क के जड़त्व आघूर्ण का योग है।
मान लीजिए $I_B$ डिस्क $B$ का उसके तल के लंबवत और उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है। $I_B = \frac{1}{2} Mr^2$ है।
मान लीजिए $I_A$ डिस्क $A$ का उसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है। चूंकि यह अक्ष डिस्क $A$ के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के समानांतर है और उनके बीच की दूरी $d = 2r$ है,इसलिए हम समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करेंगे: $I_A = I_{cm} + Md^2$।
यहाँ,$I_{cm} = \frac{1}{2} Mr^2$ और $d = 2r$ है।
अतः,$I_A = \frac{1}{2} Mr^2 + M(2r)^2 = \frac{1}{2} Mr^2 + 4Mr^2 = 4.5 Mr^2$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_B + I_A = 0.5 Mr^2 + 4.5 Mr^2 = 5 Mr^2$ होगा।

(C) एक ठोस बेलन का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $M = 2.5 \ kg$
त्रिज्या $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$
सूत्र में मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times 2.5 \times (0.1)^2$
$I = 1.25 \times 0.01$
$I = 0.0125 \ kg \ m^2$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{sphere} = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस बेलन का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cylinder} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
ठोस गोले के जड़त्व आघूर्ण और ठोस बेलन के जड़त्व आघूर्ण का अनुपात:
$\frac{I_{sphere}}{I_{cylinder}} = \frac{\frac{2}{5}MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{1} = \frac{4}{5}$.
अतः,अनुपात $4: 5$ है।

(D) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाले ठोस गोले के लिए त्वरण $a_{roll} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ है,इसलिए $a_{roll} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
दिया गया है कि $a_{roll} = 3.5 \ m \ s^{-2}$,इसलिए $3.5 = \frac{5}{7} g \sin \theta$,जिसका अर्थ है कि $g \sin \theta = 3.5 \times \frac{7}{5} = 4.9 \ m \ s^{-2}$.
जब गोला बिना लुढ़के फिसलता है,तो कोई घूर्णन गति नहीं होती है,इसलिए त्वरण $a_{slide} = g \sin \theta$ होता है।
अतः,$a_{slide} = 4.9 \ m \ s^{-2}$.

(B) दिया गया है: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0 \ rad/s$,कोणीय त्वरण $\alpha = \pi \ rad/s^2$,और समय $t = 6 \ s$.
कोणीय विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
मान रखने पर: $\theta = 0 \times 6 + \frac{1}{2} \times \pi \times (6)^2$.
$\theta = \frac{1}{2} \times \pi \times 36 = 18\pi \ rad$.
चक्करों की संख्या $n$ का मान $n = \frac{\theta}{2\pi}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$n = \frac{18\pi}{2\pi} = 9$ चक्कर।

(B) कोणीय वेग $\omega$ को $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
घड़ी की घंटे वाली सुई के लिए,आवर्तकाल $T_h = 12 \text{ घंटे}$ है।
अतः,$\omega_h = \frac{2\pi}{12} \text{ rad/घंटा}$।
पृथ्वी के घूर्णन के लिए,आवर्तकाल $T_e = 24 \text{ घंटे}$ है।
अतः,$\omega_e = \frac{2\pi}{24} \text{ rad/घंटा}$।
घंटे वाली सुई के कोणीय वेग और पृथ्वी के कोणीय वेग का अनुपात $\frac{\omega_h}{\omega_e} = \frac{2\pi/12}{2\pi/24} = \frac{24}{12} = 2:1$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क के लिए,जो $v$ वेग और $\omega = v/R$ कोणीय वेग से लुढ़क रही है,स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2} Mv^2$ है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
डिस्क के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ है।
$I$ और $\omega = v/R$ का मान रखने पर,$K_r = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (v/R)^2 = \frac{1}{4} Mv^2$ प्राप्त होता है।
कुल गतिज ऊर्जा $K = K_t + K_r = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$ है।
$K$ की तुलना $K_r$ से करने पर: $K = \frac{3/4 Mv^2}{1/4 Mv^2} K_r = 3 K_r$।
अतः,कुल गतिज ऊर्जा इसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा की $3$ गुनी है।

(C) बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
वृत्ताकार डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ है,इसलिए $k^2 = \frac{1}{2}R^2$। गतिज ऊर्जा $K_{disc} = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}mv^2 = 6 \ J$ है।
इससे,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{6 \times 2}{3} = 4 \ J$ प्राप्त होता है।
पतली वृत्ताकार रिंग के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ है,इसलिए $k^2 = R^2$। गतिज ऊर्जा $K_{ring} = \frac{1}{2}mv^2(1 + 1) = mv^2$ है।
चूंकि $\frac{1}{2}mv^2 = 4 \ J$,इसलिए $mv^2 = 8 \ J$ होगा।
अतः,रिंग की कुल गतिज ऊर्जा $8 \ J$ है।

(D) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाले और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $M = 20 \ kg$,त्रिज्या $R = 1 \ m$,कोणीय वेग $\omega = 2 \ rad \ s^{-1}$।
जड़त्व आघूर्ण की गणना: $I = \frac{1}{2} \times 20 \times (1)^2 = 10 \ kg \ m^2$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $K_{rot} = \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 5 \times 4 = 20 \ J$।

(B) एक ठोस गोले के लिए,उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,द्रव्यमान केंद्र का वेग $v = R\omega$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5}MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5}M(R\omega)^2 = \frac{1}{5}Mv^2$ है।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{5}Mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2 = \frac{2+5}{10}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{7}{10}Mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ है।
अतः,अनुपात $2: 7$ है।

(A) दिया गया है: व्यास $D = 0.8 \ m$,इसलिए त्रिज्या $R = 0.4 \ m$ है। द्रव्यमान $M = 4 \ kg$ है। टॉर्क $\tau = 2.56 \ N \ m$ है।
एक वृत्ताकार डिस्क के लिए,उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
$I = \frac{1}{2} \times 4 \times (0.4)^2 = 2 \times 0.16 = 0.32 \ kg \ m^2$ है।
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{2.56}{0.32}$ है।
$\alpha = 8 \ rad \ s^{-2}$।

(C) कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर लगाए गए बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) के बराबर होती है,जिसे $\tau = \frac{dL}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि $L = I\omega$,इसलिए $\frac{dL}{dt} = I \frac{d\omega}{dt} = I \alpha$ होता है।
दिया गया है:
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 6 \ rad \ s^{-1}$
अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 21 \ rad \ s^{-1}$
समय अंतराल $\Delta t = 1.5 \ s$
जड़त्व आघूर्ण $I = 100 \ g \ m^2 = 0.1 \ kg \ m^2$.
सबसे पहले,कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{\Delta t} = \frac{21 - 6}{1.5} = \frac{15}{1.5} = 10 \ rad \ s^{-2}$ की गणना करें।
अब,कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर: $\frac{dL}{dt} = I \alpha = 0.1 \ kg \ m^2 \times 10 \ rad \ s^{-2} = 1 \ N \ m$ (या $kg \ m^2 \ s^{-2}$)।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) जब किसी पदार्थ को गर्म किया जाता है, तो उसकी आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $(\Delta U)$ उसके द्वारा अवशोषित ऊष्मा ऊर्जा $(Q)$ के बराबर होती है, बशर्ते अवस्था में कोई परिवर्तन न हो और कोई बाहरी कार्य न किया जाए。
अवशोषित ऊष्मा के लिए सूत्र: $Q = m \cdot c \cdot \Delta T$
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $5 \ kg$
विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(c)$ = $4200 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$
तापमान में परिवर्तन $(\Delta T)$ = $30^{\circ} C - 20^{\circ} C = 10^{\circ} C = 10 \ K$
मान रखने पर:
$Q = 5 \ kg \times 4200 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1} \times 10 \ K$
$Q = 210000 \ J$
$Q = 210 \ kJ$
अतः, आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $210 \ kJ$ है।

(A) माना कि $m$ संघनित भाप का द्रव्यमान है।
भाप द्वारा खोई गई ऊष्मा = पानी द्वारा प्राप्त ऊष्मा।
भाप द्वारा खोई गई ऊष्मा = (संघनन के दौरान मुक्त ऊष्मा) + (संघनित पानी के $100^{\circ} C$ से $70^{\circ} C$ तक ठंडा होने पर मुक्त ऊष्मा)
$Q_{lost} = m \times L + m \times c \times \Delta T$
$Q_{lost} = m \times 540 + m \times 1 \times (100 - 70) = 540m + 30m = 570m$
पानी द्वारा प्राप्त ऊष्मा = $m_{water} \times c \times \Delta T$
$Q_{gained} = 114 \times 1 \times (70 - 30) = 114 \times 40 = 4560 \ cal$
खोई गई और प्राप्त ऊष्मा को बराबर करने पर: $570m = 4560$
$m = 4560 / 570 = 8 \ g$
मिश्रण में पानी का कुल द्रव्यमान = (पानी का प्रारंभिक द्रव्यमान) + (संघनित भाप का द्रव्यमान)
कुल द्रव्यमान = $114 \ g + 8 \ g = 122 \ g$.

(D) कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,पानी द्वारा खोई गई ऊष्मा,बर्फ द्वारा पिघलने के लिए प्राप्त की गई ऊष्मा के बराबर होती है।
पानी द्वारा खोई गई ऊष्मा $(Q_{lost})$ = $m \cdot s \cdot \Delta T = m \cdot s \cdot \theta$.
बर्फ द्वारा पिघलने के लिए प्राप्त ऊष्मा $(Q_{gained})$ = $m_{melted} \cdot L$.
दोनों को बराबर करने पर: $m \cdot s \cdot \theta = m_{melted} \cdot L$.
अतः,पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $(m_{melted})$ = $\frac{ms \theta}{L}$.

(B) माना कि मिलाई गई भाप का द्रव्यमान $m_s$ है।
कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,भाप द्वारा खोई गई ऊष्मा = पानी द्वारा प्राप्त ऊष्मा।
भाप द्वारा खोई गई ऊष्मा दो भागों में होती है:
$1$. $100^{\circ} C$ पर भाप का $100^{\circ} C$ पर पानी में संघनन के दौरान मुक्त ऊष्मा: $Q_1 = m_s \times L = m_s \times 540$.
$2$. संघनित पानी का $100^{\circ} C$ से $90^{\circ} C$ तक ठंडा होने पर मुक्त ऊष्मा: $Q_2 = m_s \times c \times \Delta T = m_s \times 1 \times (100 - 90) = 10 m_s$.
कुल खोई गई ऊष्मा = $540 m_s + 10 m_s = 550 m_s$.
$100 \ g$ पानी द्वारा $24^{\circ} C$ से $90^{\circ} C$ तक तापमान बढ़ाने के लिए प्राप्त ऊष्मा:
$Q_{gain} = m_w \times c \times \Delta T = 100 \times 1 \times (90 - 24) = 100 \times 66 = 6600 \ cal$.
खोई गई और प्राप्त ऊष्मा को बराबर करने पर: $550 m_s = 6600$.
$m_s = 6600 / 550 = 12 \ g$.

(B) किसी पदार्थ को दी गई ऊष्मा का सूत्र $Q = mc\Delta T$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
धातु के लिए: $Q = m_m c_m \Delta T_m = 100 \times c_m \times 20 = 2000 c_m$.
पानी के लिए: $Q = m_w c_w \Delta T_w = 20 \times c_w \times \Delta T_w$.
चूंकि दी गई ऊष्मा समान है,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं: $2000 c_m = 20 c_w \Delta T_w$.
विशिष्ट ऊष्मा धारिता का अनुपात $\frac{c_m}{c_w} = \frac{1}{10}$ दिया गया है,इसलिए $c_w = 10 c_m$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2000 c_m = 20 \times (10 c_m) \times \Delta T_w$.
$2000 c_m = 200 c_m \times \Delta T_w$.
दोनों पक्षों को $200 c_m$ से विभाजित करने पर: $\Delta T_w = \frac{2000}{200} = 10^{\circ} C$.

(A) स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़े तांबे और पीतल के स्लैब से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होनी चाहिए।
$H = \frac{K_1 A (T_1 - T)}{L} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{L}$
यह दिया गया है कि भुजाएं समान हैं,इसलिए दोनों घनों का क्षेत्रफल $(A)$ और लंबाई $(L)$ समान है।
मान लीजिए $K_c$ तांबे की ऊष्मीय चालकता है और $K_b$ पीतल की ऊष्मीय चालकता है।
दिया गया है $K_c : K_b = 4 : 1$,इसलिए $K_c = 4K_b$.
मान लीजिए $T$ इंटरफ़ेस का तापमान है।
$4K_b (100 - T) = K_b (T - 0)$
$4(100 - T) = T$
$400 - 4T = T$
$5T = 400$
$T = 80^{\circ} C$.

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,कृष्णिका की अधिकतम तीव्रता की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल नियत रहता है: $\lambda_m T = b$ (जहाँ $b$ वीन नियतांक है)।
अतः,$T \propto \frac{1}{\lambda_m}$।
दिया गया है: $\lambda_A = 0.5 \mu m = 0.5 \times 10^{-6} \ m$ और $\lambda_B = 0.1 \ mm = 0.1 \times 10^{-3} \ m = 10^{-4} \ m$।
तापमान का अनुपात $\frac{T_A}{T_B} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{T_A}{T_B} = \frac{10^{-4}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{10^{-4}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{1000}{5} = 200$।
इस प्रकार,पिंडों $A$ और $B$ के तापमान का अनुपात $200$ है।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ है, जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है, $T_s$ परिवेश का तापमान है और $k$ एक स्थिरांक है।
पहले अंतराल के लिए: $\frac{62 - 50}{10} = k \left( \frac{62 + 50}{2} - T_s \right) \implies 1.2 = k(56 - T_s) \quad (1)$
दूसरे अंतराल के लिए: $\frac{50 - 42}{10} = k \left( \frac{50 + 42}{2} - T_s \right) \implies 0.8 = k(46 - T_s) \quad (2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से भाग देने पर:
$\frac{1.2}{0.8} = \frac{56 - T_s}{46 - T_s} \implies 1.5 = \frac{56 - T_s}{46 - T_s}$
$1.5(46 - T_s) = 56 - T_s \implies 69 - 1.5T_s = 56 - T_s$
$69 - 56 = 1.5T_s - T_s \implies 13 = 0.5T_s$
$T_s = 26^{\circ} C$.

(C) फारेनहाइट $(F)$ और सेल्सियस $(C)$ में तापमान के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{F - 32}{9} = \frac{C}{5}$.
यह दिया गया है कि तापमान के मानों का अनुपात $F:C = 13:5$ है,इसलिए हम $F = 13x$ और $C = 5x$ लिख सकते हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{13x - 32}{9} = \frac{5x}{5}$.
इसे सरल करने पर: $\frac{13x - 32}{9} = x$.
दोनों पक्षों को $9$ से गुणा करने पर: $13x - 32 = 9x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $13x - 9x = 32$,जिससे $4x = 32$ प्राप्त होता है,अतः $x = 8$.
इसलिए,फारेनहाइट में तापमान $F = 13 \times 8 = 104^{\circ} F$ और सेल्सियस में तापमान $C = 5 \times 8 = 40^{\circ} C$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = n C_v T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $C_v = \frac{3}{2} R$ है।
चूँकि गैसें एक विलगित निकाय में मिश्रित होती हैं,इसलिए कुल आंतरिक ऊर्जा संरक्षित रहती है: $U_{mix} = U_1 + U_2$.
$(n_1 + n_2) C_v T_{mix} = n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2$.
चूँकि दोनों एकपरमाणुक गैसों के लिए $C_v$ समान है,यह कट जाएगा:
$(n_1 + n_2) T_{mix} = n_1 T_1 + n_2 T_2$.
दिया गया है: $n_1 = 2 \text{ mol}$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$,$n_2 = 4 \text{ mol}$,$T_2 = 327 + 273 = 600 \text{ K}$.
$(2 + 4) T_{mix} = (2 \times 300) + (4 \times 600)$.
$6 T_{mix} = 600 + 2400 = 3000$.
$T_{mix} = \frac{3000}{6} = 500 \text{ K}$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_{mix} = 500 - 273 = 227^{\circ} C$.

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,एक आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = nRT \ln(V_f / V_i)$ द्वारा दिया जाता है।
पहले मामले में,आयतन $V$ से $2V$ तक बदलता है। अतः,$W = nRT \ln(2V / V) = nRT \ln(2)$ है।
दूसरे मामले में,आयतन $2V$ से $4V$ तक बदलता है। मान लीजिए किया गया कार्य $W'$ है।
अतः,$W' = nRT \ln(4V / 2V) = nRT \ln(2)$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $W' = W$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा,$Q_p = 80 \ J$। गैस द्वारा किया गया कार्य,$W = 20 \ J$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q_p = \Delta U + W$,जहाँ $\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है।
$\Delta U = Q_p - W = 80 \ J - 20 \ J = 60 \ J$।
हम जानते हैं कि $Q_p = n C_p \Delta T$ और $\Delta U = n C_v \Delta T$।
अतः,अनुपात $\frac{Q_p}{\Delta U} = \frac{n C_p \Delta T}{n C_v \Delta T} = \frac{C_p}{C_v} = \gamma$।
मान रखने पर,$\gamma = \frac{80}{60} = \frac{4}{3}$।
इस प्रकार,विशिष्ट ऊष्मा धारिताओं का अनुपात $4/3$ है।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$,जहाँ $Q$ दी गई ऊष्मा है,$\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है,और $W$ गैस द्वारा किया गया कार्य है।
दिया गया है: दी गई ऊष्मा $Q = 1000 \ kJ = 10^6 \ J$.
दाब $P = 5 \times 10^5 \ Pa$.
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 1 \ m^3$,अंतिम आयतन $V_2 = 2.5 \ m^3$.
स्थिर दाब पर किया गया कार्य $W = P(V_2 - V_1)$ द्वारा दिया जाता है।
$W = 5 \times 10^5 \times (2.5 - 1) = 5 \times 10^5 \times 1.5 = 7.5 \times 10^5 \ J = 750 \ kJ$.
अब,प्रथम नियम के समीकरण में मान रखने पर:
$1000 \ kJ = \Delta U + 750 \ kJ$.
$\Delta U = 1000 \ kJ - 750 \ kJ = 250 \ kJ$.
अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $250 \ kJ$ है।

(B) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को सूत्र $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $C_v = \frac{R}{\gamma-1}$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma-1} \right) \Delta T = \frac{n R \Delta T}{\gamma-1}$।
स्थिर दाब पर आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$,इसलिए $n R \Delta T = P \Delta V$ होता है।
यहाँ,आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 3V - V = 2V$ है।
इसलिए,$n R \Delta T = P(2V) = 2PV$।
इस मान को आंतरिक ऊर्जा के समीकरण में रखने पर: $\Delta U = \frac{2PV}{\gamma-1}$।

(C) रेफ्रिजरेटर के निष्पादन गुणांक $(COP)$ का सूत्र है: $COP = \frac{T_L}{T_H - T_L}$,जहाँ $T_L$ फ्रीजर का तापमान है और $T_H$ केल्विन में कमरे का तापमान है।
दिया गया है: $COP = 5$,$T_L = -13^{\circ} C = (-13 + 273) K = 260 K$.
सूत्र में मान रखने पर: $5 = \frac{260}{T_H - 260}$.
दोनों पक्षों को $(T_H - 260)$ से गुणा करने पर: $5(T_H - 260) = 260$.
$T_H - 260 = \frac{260}{5} = 52$.
$T_H = 260 + 52 = 312 K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_H = (312 - 273)^{\circ} C = 39^{\circ} C$.

(C) निकाय की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(q)(-q)}{a} + \frac{(-q)(-q)}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-\frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} + \frac{q^2}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-\frac{3q^2}{2a}] = -\frac{3q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a}$ द्वारा दी जाती है।
केंद्रीय $+q$ आवेश को एक $-q$ आवेश के साथ बदलने के बाद,नई व्यवस्था $-q, -q, +q$ है,जिसमें निकटवर्ती आवेशों के बीच की दूरी $a$ और बाहरी आवेशों के बीच की दूरी $2a$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{(-q)(-q)}{a} + \frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(-q)(q)}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-\frac{q^2}{2a}] = -\frac{q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a}$ है।
आवश्यक ऊर्जा $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a} - (-\frac{3q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a}) = \frac{2q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a} = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a}$ है।

(C) $r$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित $q$ आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = 3 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$L$ भुजा के साथ प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L}$ है।
$\frac{L}{2}$ भुजा के साथ अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L/2} = \frac{6}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L}$ है।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i$.
$W = \frac{6}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L} - \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L} = \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L}$.

(D) माना $n = 27$ छोटी बूंदों की संख्या है।
प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r = 10^{-3} \,m$ है।
प्रत्येक छोटी बूंद पर आवेश $q = 10^{-12} \,C$ है।
बड़ी बूंद का आयतन $27$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
अतः, $R^3 = 27 r^3$, जिसका अर्थ है $R = 3r = 3 \times 10^{-3} \,m$.
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = n \times q = 27 \times 10^{-12} \,C$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V = \frac{kQ}{R}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $k = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{9 \times 10^9 \times 27 \times 10^{-12}}{3 \times 10^{-3}}$.
$V = \frac{9 \times 27 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}} = 3 \times 27 = 81 \,V$.

(D) $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K.E. = eV$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ के बराबर होती है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = eV$.
वेग $v$ के लिए हल करने पर: $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$.
दिया गया है: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$V = 180 \ V$,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 180}{9 \times 10^{-31}}}$.
$v = \sqrt{\frac{576 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-31}}} = \sqrt{64 \times 10^{12}} = 8 \times 10^6 \ m/s$.
$km/s$ में बदलने पर: $v = 8000 \ km/s$.

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र में, विद्युत क्षेत्र रेखाओं की दिशा में विद्युत विभव घटता है।
मान लीजिए कि विद्युत क्षेत्र धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर विभव $V = -E \cdot x + \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
चित्र से बिंदुओं $A, B$ और $C$ के $x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
बिंदु $A$ सबसे दाईं ओर है, इसलिए इसका $x$-निर्देशांक सबसे बड़ा है।
बिंदु $B$ और $C$ का $x$-निर्देशांक समान है, इसलिए $V_B = V_C$ है।
चूंकि $A$ विद्युत क्षेत्र की दिशा में $B$ और $C$ से आगे है, इसलिए $A$ पर विभव सबसे कम है।
अतः, $V_B = V_C > V_A$ है।
दिए गए विकल्पों में से, $V_C > V_B > V_A$ विभव प्रवणता का सबसे तार्किक निरूपण है।

(C) स्थिर वैद्युत क्षेत्र में एक आवेश $Q$ को बिंदु $C$ से बिंदु $D$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = Q(V_D - V_C)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_C$ और $V_D$ क्रमशः बिंदु $C$ और $D$ पर विद्युत विभव हैं।
किसी भी बिंदु पर विभव $A$ $(+q)$ और $B$ $(-q)$ पर स्थित आवेशों के कारण होता है।
दूरी $AB = 2d$,$BC = d$,$BD = d$ है। अतः,$AC = AB - BC = 2d - d = d$ है।
$C$ पर विभव $(V_C)$:
$V_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AC} + \frac{-q}{BC} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{d} - \frac{q}{d} \right) = 0$.
$D$ पर विभव $(V_D)$:
$V_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AD} + \frac{-q}{BD} \right)$ है।
चूँकि $AD = AB + BD = 2d + d = 3d$ और $BD = d$ है,
$V_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{3d} - \frac{q}{d} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q - 3q}{3d} \right) = \frac{-2q}{12 \pi \varepsilon_0 d} = \frac{-q}{6 \pi \varepsilon_0 d}$ है।
किया गया कार्य $W = Q(V_D - V_C) = Q \left( \frac{-q}{6 \pi \varepsilon_0 d} - 0 \right) = \frac{-qQ}{6 \pi \varepsilon_0 d}$ है।

(C) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$ है।
दिया गया आवेश $q = 10^{-3} \mu C = 10^{-9} \ C$ है।
बिंदु $A$ $(\sqrt{2} m, \sqrt{2} m)$ के लिए,दूरी $r_A = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = 2 \ m$ है।
$A$ पर विभव $V_A = \frac{kq}{r_A} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-9}}{2} = 4.5 \ V$ है।
बिंदु $B$ $(2 m, 0 m)$ के लिए,दूरी $r_B = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2 \ m$ है।
$B$ पर विभव $V_B = \frac{kq}{r_B} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-9}}{2} = 4.5 \ V$ है।
$A$ और $B$ के बीच विभवांतर $V_A - V_B = 4.5 \ V - 4.5 \ V = 0 \ V$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विद्युत विभव $V$ के बीच का संबंध $\vec{E} = -\nabla V$ है।
दिया गया है $V = 20|\vec{r}| = 20\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
ग्रेडिएंट $\nabla V = \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k}$ की गणना करने पर.
$\frac{\partial V}{\partial x} = 20 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \cdot 2x = \frac{20x}{|\vec{r}|}$.
इसी प्रकार,$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{20y}{|\vec{r}|}$ और $\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{20z}{|\vec{r}|}$.
अतः,$\vec{E} = -\frac{20}{|\vec{r}|} (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) = -\frac{20}{|\vec{r}|} \vec{r} = -20 \hat{r}$.
बिंदु $(4, 3, -5)$ पर,परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
मान रखने पर: $\vec{E} = -\frac{20}{5\sqrt{2}} (4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}) = -\frac{4}{\sqrt{2}} (4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}) = -2\sqrt{2} (4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k})$.
इसे सरल करने पर यह $-\sqrt{2} (8 \hat{i} + 6 \hat{j} - 10 \hat{k})$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) वर्ग की भुजा $a = \sqrt{2} \text{ m}$ है। वर्ग का विकर्ण $d = a\sqrt{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \text{ m}$ है।
वर्ग के केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $r = d/2 = 2/2 = 1 \text{ m}$ है।
बिंदु आवेश $q$ के कारण केंद्र पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ है।
केंद्र पर कुल विभव व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है: $V_{net} = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $V_{net} = \frac{9 \times 10^9}{1} \times (12 - 20 + 32 - 15) \times 10^{-9} \text{ V}$.
$V_{net} = 9 \times (9) \text{ V} = 81 \text{ V}$.

(A) $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले एक गोलीय चालक में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{Q^2}{2C}$।
गोलीय चालक के लिए,धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 R$ होती है।
ऊर्जा के सूत्र में $C$ का मान रखने पर: $U = \frac{Q^2}{2(4 \pi \epsilon_0 R)} = \frac{Q^2}{8 \pi \epsilon_0 R}$।
यहाँ $Q = 12 \times 10^{-6} \ C$ और $U = 6 \ J$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$।
$R$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $R = \frac{Q^2}{8 \pi \epsilon_0 U} = \frac{Q^2}{2U} \times \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$।
$R = \frac{(12 \times 10^{-6})^2}{2 \times 6} \times 9 \times 10^9$।
$R = \frac{144 \times 10^{-12}}{12} \times 9 \times 10^9 = 12 \times 10^{-12} \times 9 \times 10^9$।
$R = 108 \times 10^{-3} \ m = 0.108 \ m = 10.8 \ cm$।

(D) वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $R = 2 \pi \times 10^{-2} \,m$, $I_A = 3 \,A$, और $I_B = 4 \,A$ दिया गया है।
लूप $A$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_A = \frac{\mu_0 I_A}{2R} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3}{2 \times 2 \pi \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-5} \,T$ है।
लूप $B$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_B = \frac{\mu_0 I_B}{2R} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 4}{2 \times 2 \pi \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \,T$ है।
चूंकि लूप एक-दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_A^2 + B_B^2} = \sqrt{(3 \times 10^{-5})^2 + (4 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{9 + 16} \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-5} \,T$ होगा।

(A) $R$ त्रिज्या वाले तार में समान रूप से प्रवाहित धारा $I$ के लिए,केंद्र से $r$ दूरी $(r < R)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$।
दिए गए मान: $I = 2 \ A$,$R = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,$r = 0.25 \ mm = 0.25 \times 10^{-3} \ m$।
सूत्र में मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 2 \times (0.25 \times 10^{-3})}{2 \pi \times (10^{-3})^2}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 0.25 \times 10^{-3}}{10^{-6}}$
$B = \frac{10^{-10}}{10^{-6}} = 10^{-4} \ T$
चूंकि $1 \ T = 10^6 \ \mu T$,इसलिए $B = 10^{-4} \times 10^6 \ \mu T = 100 \ \mu T$ प्राप्त होता है।

(D) त्रिज्या वाले और $I$ समान धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार के लिए:
$1$. तार के अंदर $(r < a)$, चुंबकीय क्षेत्र $B_{in} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. तार के बाहर $(r > a)$, चुंबकीय क्षेत्र $B_{out} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. $r_1 = 0.5a$ (अंदर) पर, $B_1 = \frac{\mu_0 I (0.5a)}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$।
$4$. $r_2 = 1.5a$ (बाहर) पर, $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (1.5a)} = \frac{\mu_0 I}{3 \pi a}$।
$5$. अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 4 \pi a}{\mu_0 I / 3 \pi a} = \frac{3}{4}$ है।

(B) एम्पीयर के नियम से,$I$ धारा ले जाने वाले तार की सतह पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,धारा $I = 12 \ A$ है।
तार का व्यास $d = 1.2 \ mm = 1.2 \times 10^{-3} \ m$ है।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 0.6 \times 10^{-3} \ m$ है।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ है।
मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 12}{2 \pi \times 0.6 \times 10^{-3}}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 12}{0.6 \times 10^{-3}}$
$B = \frac{24 \times 10^{-7}}{0.6 \times 10^{-3}} = 40 \times 10^{-4} \ T = 4 \times 10^{-3} \ T = 4 \ mT$.
अतः,अधिकतम चुंबकीय क्षेत्र $4 \ mT$ है।

(A) तार के हवा में लटके रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल उसके भार को संतुलित करना चाहिए।
मान लीजिए $l$ तार की लंबाई है,$m$ उसका द्रव्यमान है,$I$ धारा है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
तार का भार $W = mg$ है।
दिया गया रैखिक घनत्व $\lambda = \frac{m}{l} = 0.12 \ kg \ m^{-1}$ है,हम $m = \lambda l$ लिख सकते हैं।
अतः,$W = \lambda l g$।
धारावाही तार पर चुंबकीय बल $F_m = IlB \sin(\theta)$ होता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र तार के लंबवत है,$\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $F_m = IlB$।
संतुलन के लिए,$F_m = W$,जिसका अर्थ है $IlB = \lambda l g$।
दोनों पक्षों से $l$ को हटाने पर,हमें $IB = \lambda g$ प्राप्त होता है।
$I$ के लिए हल करने पर: $I = \frac{\lambda g}{B}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{0.12 \times 10}{0.5} = \frac{1.2}{0.5} = 2.4 \ A$।
अतः,तार से प्रवाहित धारा $2.4 \ A$ है।

(D) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखे चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = M B \sin \theta$,जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
दिए गए मान हैं: $\tau = 0.36 \sqrt{2} \ Nm$,$B = 2 \ T$,और $\theta = 45^{\circ}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $0.36 \sqrt{2} = M \times 2 \times \sin(45^{\circ})$।
चूँकि $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए: $0.36 \sqrt{2} = M \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$।
समीकरण को सरल करने पर: $0.36 \sqrt{2} = M \times \sqrt{2}$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $M = 0.36 \ J \ T^{-1}$।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $L$ लंबाई के धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$ का सूत्र $F = I L B \sin(\theta)$ है।
हमें प्रति इकाई लंबाई बल ज्ञात करना है,जो $f = F/L$ है।
अतः,$f = I B \sin(\theta)$.
दिए गए मान हैं:
धारा $I = 8 \ A$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.15 \ T$
कोण $\theta = 30^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f = 8 \times 0.15 \times \sin(30^{\circ})$
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,हमें प्राप्त होता है:
$f = 8 \times 0.15 \times 0.5$
$f = 8 \times 0.075 = 0.6 \ N \ m^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) तार की लंबाई $L = 10 \ m$ है। जब इसे $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप में मोड़ा जाता है,तो परिधि $2 \pi r = L = 10 \ m$ होती है।
अतः,$r = \frac{10}{2 \pi} \ m$।
लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{10}{2 \pi} \right)^2 = \pi \left( \frac{100}{4 \pi^2} \right) = \frac{25}{\pi} \ m^2$ है।
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times A = 1 \times \frac{25}{\pi} = \frac{25}{\pi} \ A \ m^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में लूप पर कार्य करने वाला अधिकतम टॉर्क $\tau_{max} = M \times B$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tau_{max} = \left( \frac{25}{\pi} \right) \times (2 \pi \times 10^{-4}) = 50 \times 10^{-4} \ N \ m$ प्राप्त होता है।

(A) $\text{चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य } W \text{ सूत्र द्वारा दिया जाता है: } W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
यहाँ,$\text{चुंबकीय आघूर्ण } M = 10^4 \,J \,T^{-1}$,$\text{चुंबकीय क्षेत्र } B = 4 \times 10^{-5} \,T$,$\text{प्रारंभिक कोण } \theta_1 = 0^{\circ} \text{ और अंतिम कोण } \theta_2 = 60^{\circ} \text{ है।}$
$\text{सूत्र में मान रखने पर:}$
$W = (10^4) \times (4 \times 10^{-5}) \times (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$
$W = 0.4 \times (1 - 0.5)$
$W = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \,J$.
$\text{अतः,किया गया कार्य } 0.2 \,J \text{ है।}$

(A) मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर की धारा सुग्राहिता $(I_s)$ का सूत्र: $I_s = \frac{NBA}{k}$ है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$A$ कुंडली का क्षेत्रफल है,और $k$ स्प्रिंग का मरोड़ी नियतांक है।
चूंकि स्प्रिंग समान हैं,इसलिए $k_A = k_B = k$ होगा।
धारा सुग्राहिता का अनुपात $\frac{I_{sA}}{I_{sB}} = \frac{N_A B_A A_A}{N_B B_B A_B}$ है।
दी गई मान:
$N_A = 36, B_A = 0.25 \ T, A_A = 2.4 \times 10^{-3} \ m^2$
$N_B = 48, B_B = 0.5 \ T, A_B = 4.8 \times 10^{-3} \ m^2$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_{sA}}{I_{sB}} = \frac{36 \times 0.25 \times 2.4 \times 10^{-3}}{48 \times 0.5 \times 4.8 \times 10^{-3}}$
$\frac{I_{sA}}{I_{sB}} = \left(\frac{36}{48}\right) \times \left(\frac{0.25}{0.5}\right) \times \left(\frac{2.4}{4.8}\right)$
$\frac{I_{sA}}{I_{sB}} = \left(\frac{3}{4}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{16}$.
अतः,अनुपात $3: 16$ है।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,चुंबक क्षेत्र की दिशा में है,इसलिए $\theta_1 = 0^{\circ}$ और $\theta_2 = 45^{\circ}$ है।
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 45^{\circ}) = MB(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = MB(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}})$.
अतः,$MB = \frac{W\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$.
अब,इसे और $15^{\circ}$ घुमाने के लिए किया जाने वाला अतिरिक्त कार्य $W'$ का अर्थ है $\theta_1 = 45^{\circ}$ से $\theta_2 = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ तक घुमाना।
$W' = MB(\cos 45^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}) = MB(\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}})$.
$MB$ का मान रखने पर:
$W' = (\frac{W\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}) \times (\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}) = \frac{W}{2}$.

(C) $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
दिया गया है:
$I = 4 \ A$
$r = 10 \ cm = 0.1 \ m$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 4}{2 \pi \times 0.1}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4}{0.1}$
$B = \frac{8 \times 10^{-7}}{0.1} = 80 \times 10^{-7} \ T = 8 \times 10^{-6} \ T$
चूंकि $1 \mu T = 10^{-6} \ T$, हमें प्राप्त होता है:
$B = 8 \mu T$
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में संचित चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $(u_B)$ का सूत्र है: $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$।
हम जानते हैं कि निर्वात में प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ होती है,जिसका अर्थ है $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$।
इससे,हम निर्वात की पारगम्यता (permeability) को $\mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$\mu_0$ के इस मान को ऊर्जा घनत्व के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$u_B = \frac{B^2}{2(1 / \varepsilon_0 c^2)}$
$u_B = \frac{\varepsilon_0 c^2 B^2}{2}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $I$ धारा वाली $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_c = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र से $x$ दूरी पर कुंडली की अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $x = R$ दिया गया है,इसलिए $B_a$ के सूत्र में मान रखने पर:
$B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2^{3/2} R^3)} = \frac{\mu_0 I}{2 \cdot 2 \sqrt{2} R} = \frac{\mu_0 I}{4 \sqrt{2} R}$.
अब,अनुपात $\frac{B_c}{B_a}$ ज्ञात करने पर:
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2R}}{\frac{\mu_0 I}{4 \sqrt{2} R}} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है:
लंबाई $L = 1 \ m$
धारा $I = 5 \ A$
परतों की संख्या $= 5$
प्रति परत फेरे $= 700$
कुल फेरों की संख्या $N = 5 \times 700 = 3500$
चूंकि लंबाई $1 \ m$ है,इसलिए प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = N / L = 3500 / 1 = 3500 \ m^{-1}$ है।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ है।
मान रखने पर:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 3500 \times 5$
$B = 20\pi \times 3500 \times 10^{-7}$
$B = 70000\pi \times 10^{-7}$
$B = 7\pi \times 10^{-3} \ T$
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$B \approx 7 \times 3.14 \times 10^{-3} \ T = 21.98 \times 10^{-3} \ T \approx 22 \ mT$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

$(A)$ एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n i$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है और $i$ धारा है।
पहली परिनालिका के लिए: $B_1 = \mu_0 n_1 i_1 = 6.24 \times 10^{-2} \,T$,जहाँ $n_1 = 400$ और $i_1 = i$ है।
अतः,$\mu_0 (400) i = 6.24 \times 10^{-2} \,T$ है।
दूसरी परिनालिका के लिए: $n_2 = 200$ और $i_2 = \frac{i}{2}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \mu_0 n_2 i_2 = \mu_0 (200) \left( \frac{i}{2} \right) = \mu_0 (100) i$ है।
$B_2$ की $B_1$ से तुलना करने पर: $B_2 = \frac{\mu_0 (100) i}{\mu_0 (400) i} \times B_1 = \frac{1}{4} \times 6.24 \times 10^{-2} \,T$ है।
$B_2 = 1.56 \times 10^{-2} \,T$।

(A) तार की लंबाई $L$ है। जब इसे $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप में मोड़ा जाता है,तो चाप की लंबाई $L = \pi R$ होती है।
इसलिए,चाप की त्रिज्या $R = \frac{L}{\pi}$ है।
$i$ धारा ले जाने वाले अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_{o} i}{4 R}$.
इस सूत्र में $R$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_{o} i}{4 (L / \pi)} = \frac{\pi \mu_{o} i}{4 L}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) परिनालिका का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $M = N I A$, जहाँ $N$ फेरों की संख्या है, $I$ धारा है, और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है:
$N = 1200$
$A = 5 \,cm^2 = 5 \times 10^{-4} \,m^2$
$M = 1.2 \,J \,T^{-1}$
सूत्र में मान रखने पर:
$1.2 = 1200 \times I \times (5 \times 10^{-4})$
$1.2 = 1200 \times 5 \times 10^{-4} \times I$
$1.2 = 6000 \times 10^{-4} \times I$
$1.2 = 0.6 \times I$
$I = \frac{1.2}{0.6} = 2 \,A$
अतः, परिनालिका से प्रवाहित धारा $2 \,A$ है।

(C) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $T$ आवर्तकाल के साथ गति कर रहे इलेक्ट्रॉन के लिए,समतुल्य धारा $I$ प्रति इकाई समय $T$ में प्रवाहित आवेश $e$ है,इसलिए $I = \frac{e}{T}$।
वृत्ताकार कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है।
इन मानों को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $M = I A = \left( \frac{e}{T} \right) (\pi R^2) = \frac{\pi e R^2}{T}$।

(C) परिनालिका का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = N \cdot I \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ परिनालिका का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है:
फेरों की संख्या $N = 500$
धारा $I = 15 \,A$
त्रिज्या $r = 2 \,cm = 0.02 \,m$
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 = 0.0004 \pi \,m^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = 500 \times 15 \times 0.0004 \pi$
$M = 7500 \times 0.0004 \pi$
$M = 3 \pi \,J \,T^{-1}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक वेग चयनकर्ता में, कण के बिना विक्षेपित हुए गुजरने के लिए विद्युत बल $(F_E = qE)$ और चुंबकीय बल $(F_B = qvB)$ को एक-दूसरे को संतुलित करना चाहिए。
इसलिए, $qE = qvB$, जो सरल होकर $v = \frac{E}{B}$ हो जाता है。
दिए गए मान $v = 6 \,km \,s^{-1} = 6000 \,m \,s^{-1}$ और $E = 400 \,V \,m^{-1}$ हैं。
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $B = \frac{E}{v}$ प्राप्त होता है。
मान रखने पर: $B = \frac{400}{6000} \,T$.
$B = \frac{4}{60} \,T = \frac{1}{15} \,T$.
अतः, आवश्यक चुंबकीय क्षेत्र $\frac{1}{15} \,T$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है,$q$ आवेश है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
इससे,संवेग $p = mv = qBr$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{qBr}$ द्वारा दी जाती है।
अल्फा कण के लिए,आवेश $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 3.2 \times 10^{-19} \ C$ है।
दिया गया है: $r = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$,$B = 2 \times 10^{-2} \ T$,और $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(3.2 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^{-2}) \times (0.5 \times 10^{-3})}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.2 \times 10^{-24}} \approx 2.07 \times 10^{-10} \ m$ है।
चूंकि $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$ होता है,इसलिए $\lambda \approx 2.1 \ \mathring{A}$ है।

(D) जब $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाला एक कण $v$ वेग से $B$ चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r}$।
इससे,कक्षा की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T$ एक चक्कर पूरा करने में लगा समय है: $T = \frac{2\pi r}{v}$।
$r$ का मान रखने पर,हमें $T = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $T = \frac{2\pi m}{qB}$,इसलिए आवर्तकाल वेग $v$ और कक्षा की त्रिज्या $r$ से स्वतंत्र है।
हालाँकि,$T$ विशिष्ट आवेश $(q/m)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इसलिए,जैसे-जैसे विशिष्ट आवेश $(q/m)$ बढ़ता है,आवर्तकाल $T$ घटता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mK}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2K}{q^2/m}}$ प्राप्त होता है।
विशिष्ट आवेश $\alpha = \frac{q}{m}$ होने के कारण,हम $r = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2K}{m \alpha^2}}$ लिख सकते हैं।
यहाँ विशिष्ट आवेशों का अनुपात $\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{2}{1}$ और द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{4}$ दिया गया है।
चूंकि दोनों के लिए गतिज ऊर्जा $K$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} \cdot \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $1:4$ है।

(C) प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $K = 8.35 \text{ MeV} = 8.35 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 1.336 \times 10^{-12} \text{ J}$ है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करके,हम वेग $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.336 \times 10^{-12}}{1.67 \times 10^{-27}}} = \sqrt{1.6 \times 10^{15}} = \sqrt{16 \times 10^{14}} = 4 \times 10^7 \text{ m/s}$ प्राप्त करते हैं।
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = qvB \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रोटॉन लंबवत प्रवेश करता है,$\theta = 90^\circ$,इसलिए $\sin(90^\circ) = 1$ है।
मान रखने पर: $F = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (4 \times 10^7 \text{ m/s}) \times (10 \text{ T}) = 6.4 \times 10^{-11} \text{ N} = 64 \times 10^{-12} \text{ N}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) हिस्टैरिसीस लूप एक फेरोमैग्नेटिक पदार्थ के लिए चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ और चुंबकीय तीव्रता $(H)$ के बीच के संबंध को दर्शाता है।
निग्राहिता (coercivity) को अवशिष्ट चुंबकत्व $(B)$ को शून्य करने के लिए आवश्यक विपरीत चुंबकीय तीव्रता $(H)$ के मान के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए हिस्टैरिसीस लूप में,बिंदु $R$ ऋणात्मक $H$-अक्ष पर स्थित है जहाँ चुंबकीय क्षेत्र $B$ शून्य है।
इसलिए,बिंदु $R$ पदार्थ की निग्राहिता को दर्शाता है।

(B) घन का आयतन $V = (\text{भुजा})^3 = (1.0 \times 10^{-6} m)^3 = 1.0 \times 10^{-18} m^3$ है।
नमूने में परमाणुओं की कुल संख्या $N = n \times V$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ परमाणुओं का संख्या घनत्व है।
$N = (8.7 \times 10^{28} m^{-3}) \times (1.0 \times 10^{-18} m^3) = 8.7 \times 10^{10}$ परमाणु।
अधिकतम चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M_{max}$ परमाणुओं की कुल संख्या और एक परमाणु के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_{atom}$ का गुणनफल है।
$M_{max} = N \times \mu_{atom} = (8.7 \times 10^{10}) \times (9.3 \times 10^{-24} A m^2)$.
$M_{max} = 80.91 \times 10^{-14} A m^2 = 8.1 \times 10^{-13} A m^2$.

(A) एक छोटे छड़ चुंबक की अक्ष पर उसके केंद्र से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $M = 0.48 \, J \, T^{-1}$
दूरी $d = 10 \, cm = 0.1 \, m$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \, m \, A^{-1}$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \cdot \frac{2 \times 0.48}{(0.1)^3}$
$B = 10^{-7} \cdot \frac{0.96}{0.001}$
$B = 10^{-7} \cdot 960 = 9.6 \times 10^{-5} \, T$
चूंकि $1 \, T = 10^4 \, gauss$:
$B = 9.6 \times 10^{-5} \times 10^4 \, gauss = 0.96 \, gauss$
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(D) स्थायी चुंबक के लिए उपयुक्त होने के लिए,पदार्थ को बाहरी चुंबकीय क्षेत्र हटाए जाने के बाद भी अपना चुंबकत्व बनाए रखना चाहिए।
$1$. उच्च रिटेंटिविटी (Retentivity): यह सुनिश्चित करता है कि चुंबकीकरण क्षेत्र को हटाने के बाद भी पदार्थ दृढ़ता से चुंबकीय बना रहे।
$2$. उच्च कोर्सिविटी (Coercivity): यह सुनिश्चित करता है कि बाहरी चुंबकीय क्षेत्रों,तापमान में उतार-चढ़ाव या मामूली यांत्रिक झटकों से चुंबकत्व आसानी से नष्ट न हो।
इसलिए,स्थायी चुंबकों के लिए पदार्थों में उच्च रिटेंटिविटी और उच्च कोर्सिविटी दोनों होनी चाहिए।

(B) संतृप्ति पर नमूने का कुल द्विध्रुव आघूर्ण $M_{\text{sat}} = N \mu = (2 \times 10^{24}) \times (1.5 \times 10^{-23} \text{ J T}^{-1}) = 30 \text{ J T}^{-1}$ है।
पैरामैग्नेटिज्म के लिए क्यूरी के नियम के अनुसार, चुम्बकन $M$, $B/T$ के समानुपाती होता है, अर्थात $M \propto B/T$।
पहले मामले में, संतृप्ति की डिग्री $20 \%$ है, इसलिए चुंबकीय आघूर्ण $M_1 = 0.20 \times M_{\text{sat}} = 0.20 \times 30 = 6 \text{ J T}^{-1}$ है।
चुंबकीय आघूर्णों का अनुपात $\frac{M_2}{M_1} = \frac{B_2 / T_2}{B_1 / T_1}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{M_2}{6} = \frac{0.9 / 2.8}{0.6 / 4.2} = \frac{0.9}{2.8} \times \frac{4.2}{0.6} = \frac{0.9}{0.6} \times \frac{4.2}{2.8} = 1.5 \times 1.5 = 2.25$।
अतः, $M_2 = 6 \times 2.25 = 13.5 \text{ J T}^{-1}$।

(A) प्रति विखंडन मुक्त ऊर्जा $E = 200 \text{ MeV}$ है।
इसे जूल में बदलने पर: $E = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$।
रिएक्टर द्वारा उत्पन्न शक्ति $P = 1 \text{ MW} = 10^6 \text{ W} = 10^6 \text{ J/s}$ है।
विखंडन की दर $R$ सूत्र $R = P / E$ द्वारा दी जाती है।
$R = 10^6 / (3.2 \times 10^{-11}) = (1 / 3.2) \times 10^{17} = 0.3125 \times 10^{17} = 3.125 \times 10^{16} \text{ fissions/s}$।

(C) अभिक्रिया ${ }_1 H^2 + { }_1 H^2 \rightarrow { }_2 He^4 + Q$ है।
अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा: प्रत्येक ड्यूटेरॉन में $2$ न्यूक्लियॉन होते हैं और $2$ ड्यूटेरॉन हैं। कुल न्यूक्लियॉन = $4$। प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा = $1.15 \text{ MeV}$। कुल बंधन ऊर्जा = $4 \times 1.15 \text{ MeV} = 4.6 \text{ MeV}$।
उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा: $\alpha$-कण $({ }_2 He^4)$ में $4$ न्यूक्लियॉन होते हैं। प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा = $7.1 \text{ MeV}$। कुल बंधन ऊर्जा = $4 \times 7.1 \text{ MeV} = 28.4 \text{ MeV}$।
मुक्त ऊर्जा $(Q)$ = (उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा) - (अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा) = $28.4 \text{ MeV} - 4.6 \text{ MeV} = 23.8 \text{ MeV}$।
प्रति न्यूक्लियॉन मुक्त ऊर्जा की गणना करने के लिए,कुल मुक्त ऊर्जा को उत्पाद नाभिक $({ }_2 He^4)$ में न्यूक्लियॉन की कुल संख्या $(4)$ से विभाजित किया जाता है।
प्रति न्यूक्लियॉन मुक्त ऊर्जा = $23.8 \text{ MeV} / 4 = 5.95 \text{ MeV}$।

(B) परमाणु (Atomic) ऊर्जा स्तर आमतौर पर $eV$ (इलेक्ट्रॉन-वोल्ट) की सीमा में होते हैं,जो $10^0 \ eV$ से $10^1 \ eV$ तक होते हैं।
नाभिकीय (Nuclear) ऊर्जा स्तर आमतौर पर $MeV$ (मेगा इलेक्ट्रॉन-वोल्ट) की सीमा में होते हैं,जो $10^6 \ eV$ होते हैं।
परमाणु ऊर्जा स्तर का अंतराल $1 \ eV$ के क्रम का होता है।
नाभिकीय ऊर्जा स्तर का अंतराल $1 \ MeV = 10^6 \ eV$ के क्रम का होता है।
अतः,नाभिकीय ऊर्जा स्तरों और परमाणु ऊर्जा स्तरों के अंतरालों का अनुपात $10^6 / 1 = 10^6$ है।

(B) द्रव्यमान संख्या $A$ वाले नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $R_0 \approx 1.2 fm = 1.2 \times 10^{-15} m$ है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ है।
नाभिक का द्रव्यमान लगभग $M = A \times m_p$ है, जहाँ $m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} kg$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है।
घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\rho = \frac{1.67 \times 10^{-27}}{\frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.2 \times 10^{-15})^3} \approx 2.3 \times 10^{17} kg m^{-3}$।
अतः, घनत्व की कोटि $10^{17} kg m^{-3}$ है।

(A) नाभिक का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ सूत्र $S = 4\pi R^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ नाभिक की त्रिज्या है।
यह ज्ञात है कि त्रिज्या $R$, द्रव्यमान संख्या $A$ के घनमूल के समानुपाती होती है, अर्थात $R = R_0 A^{1/3}$।
इसलिए, पृष्ठीय क्षेत्रफल $S \propto R^2 \propto (A^{1/3})^2 = A^{2/3}$।
पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $S_1/S_2 = 9/49$ दिया गया है।
चूँकि $S_1/S_2 = (A_1/A_2)^{2/3}$, इसलिए $(A_1/A_2)^{2/3} = 9/49$।
दोनों पक्षों की घात $3/2$ लेने पर: $A_1/A_2 = (9/49)^{3/2} = ( (3/7)^2 )^{3/2} = (3/7)^3$।
मान की गणना करने पर: $A_1/A_2 = 27/343$।
अतः, उनकी द्रव्यमान संख्याओं का अनुपात $27 : 343$ है।

(A) मान लीजिए कि समय $t$ पर चट्टान में तत्व $X$ की मात्रा $N_X$ है और तत्व $Y$ की मात्रा $N_Y$ है।
दिया गया अनुपात $N_X : N_Y = 1 : 7$ है,इसलिए $N_Y = 7N_X$ है।
प्रारंभ में ($t=0$ पर) तत्व $X$ की कुल मात्रा $N_0 = N_X + N_Y = N_X + 7N_X = 8N_X$ थी।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$N_X = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$,जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
मान रखने पर,$N_X = 8N_X \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$।
अतः,$n = 3$ है।
चूंकि $n = \frac{t}{T_{1/2}}$,इसलिए $t = 3 \times T_{1/2}$ है।
$T_{1/2} = 1.4 \times 10^9$ वर्ष दिया गया है,इसलिए चट्टान की आयु $t = 3 \times 1.4 \times 10^9 = 4.2 \times 10^9$ वर्ष है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N = N_0 (1/2)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यहाँ $N_0 = 256 \ g$ और $N = 1 \ g$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $1 = 256 \times (1/2)^n$।
$(1/2)^n = 1/256$।
चूँकि $256 = 2^8$,इसलिए $(1/2)^n = (1/2)^8$।
अतः,$n = 8$।
कुल समय $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $T_{1/2} = 12.5 \ h$।
$t = 8 \times 12.5 \ h = 100 \ h$।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
यहाँ $N_1 = 0.88 N_0$ और $N_2 = 0.77 N_0$ है।
समय $t = 12 \text{ मिनट}$ के लिए,$\frac{N_2}{N_1} = e^{-\lambda t}$।
$\frac{0.77}{0.88} = \frac{7}{8} = e^{-12\lambda}$।
अतः,$\lambda = \frac{\ln(8/7)}{12}$।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{12 \ln 2}{\ln(8/7)}$।
गणना करने पर,$T_{1/2} \approx 62.5 \text{ मिनट}$ प्राप्त होता है। यदि प्रश्न में क्षय $100 \%$ से $50 \%$ के लिए $12 \text{ मिनट}$ दिया गया होता,तो उत्तर $12$ होता।

(C) माना प्रारंभिक परमाणुओं की संख्या $N_0$ है।
समय $t$ के बाद शेष परमाणुओं की संख्या $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T_{1/2} = 10 \, \text{मिनट}$ है।
$t_1 = 20 \, \text{मिनट}$ के लिए, शेष परमाणुओं की संख्या $N_1 = N_0 (1/2)^{20/10} = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$ है।
क्षयित परमाणुओं की संख्या $n_1 = N_0 - N_1 = N_0 - N_0 / 4 = 3N_0 / 4$ है।
$t_2 = 30 \, \text{मिनट}$ के लिए, शेष परमाणुओं की संख्या $N_2 = N_0 (1/2)^{30/10} = N_0 (1/2)^3 = N_0 / 8$ है।
क्षयित परमाणुओं की संख्या $n_2 = N_0 - N_2 = N_0 - N_0 / 8 = 7N_0 / 8$ है।
अतः, अनुपात $n_1 : n_2 = (3N_0 / 4) : (7N_0 / 8) = (3/4) : (7/8) = 6 : 7$ है।

(A) रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ $10 \ years$ है।
कुल बीता हुआ समय $t = 30 \ years$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ $n = t / T_{1/2} = 30 / 10 = 3$ है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे पदार्थ का अंश $N/N_0 = (1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n$ का मान रखने पर,हमें $N/N_0 = (1/2)^3 = 1/8 = 0.125$ प्राप्त होता है।
क्षय हुए पदार्थ का अंश $1 - N/N_0 = 1 - 0.125 = 0.875$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं: $0.875 \times 100 = 87.5\%$.
अतः,$30 \ years$ में क्षय हुए पदार्थ का प्रतिशत $87.5\%$ है।