AP EAMCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) मान लीजिए कि तीन सदिश $\vec{A}$,$\vec{B}$,और $\vec{C}$ हैं। प्रत्येक सदिश का परिमाण $A = B = C = 3 \sqrt{1.5} = 3 \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।
चूंकि किन्हीं दो सदिशों के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ $(60^\circ)$ है,हम उन्हें $3D$ निर्देशांक प्रणाली में रख सकते हैं।
मान लीजिए $\vec{A} = A \hat{i}$.
$\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $60^\circ$ है,इसलिए $\vec{B} = A(\cos 60^\circ \hat{i} + \sin 60^\circ \hat{j}) = A(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j})$.
तीसरे सदिश $\vec{C}$ के लिए,यह $\vec{A}$ और $\vec{B}$ दोनों के साथ $60^\circ$ का कोण बनाता है। परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}$ है।
परिमाण का वर्ग $R^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2(AB \cos 60^\circ + BC \cos 60^\circ + CA \cos 60^\circ)$ होगा।
$R^2 = 3A^2 + 2(3 \cdot A^2 \cdot \frac{1}{2}) = 3A^2 + 3A^2 = 6A^2$.
यहाँ $A = 3 \sqrt{1.5} = 3 \sqrt{\frac{3}{2}}$ है,इसलिए $A^2 = 9 \cdot \frac{3}{2} = 13.5$.
$R^2 = 6 \times 13.5 = 81$.
अतः,$R = \sqrt{81} = 9$ इकाई।

(A) सदिश $\overrightarrow{p}$ का परिमाण सूत्र $|\overrightarrow{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है, $|\overrightarrow{p}| = 25 \text{ units}$ और $p_y = 7 \text{ units}$।
सूत्र में मान रखने पर: $25 = \sqrt{p_x^2 + 7^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25^2 = p_x^2 + 7^2$।
$625 = p_x^2 + 49$।
$p_x^2 = 625 - 49 = 576$।
वर्गमूल लेने पर: $p_x = \sqrt{576} = 24 \text{ units}$।
अतः, $x$-घटक $24 \text{ units}$ है।

(B) किसी भी सदिश के लिए,दिक्-कोज्या (direction cosines) $\cos \alpha, \cos \beta$ और $\cos \gamma$ के रूप में परिभाषित होते हैं।
हम जानते हैं कि दिक्-कोज्या के लिए मूल सर्वसमिका $\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma = 1$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(1 - \sin ^2 \alpha) + (1 - \sin ^2 \beta) + (1 - \sin ^2 \gamma) = 1$.
$3 - (\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma) = 1$.
$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma = 2$.
अतः,$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta = 2 - \sin ^2 \gamma$.
चूंकि $\sin ^2 \gamma = 1 - \cos ^2 \gamma$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta = 2 - (1 - \cos ^2 \gamma) = 1 + \cos ^2 \gamma$.

(C) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) $0$ के बराबर हो।
माना दिया गया सदिश $\vec{A} = 4 \hat{i} - 3 \hat{j}$ है।
हम प्रत्येक विकल्प के साथ $\vec{A}$ का अदिश गुणनफल जाँचते हैं:
विकल्प $C$ के लिए: $\vec{B} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$।
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) = (4 \times 3) + (-3 \times 4) = 12 - 12 = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $(3 \hat{i} + 4 \hat{j})$,$(4 \hat{i} - 3 \hat{j})$ के लंबवत है।

(D) पास्कल के नियम के अनुसार,किसी बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक भाग और पात्र की दीवारों पर समान रूप से संचारित होता है।
हाइड्रोलिक लिफ्ट के लिए,दोनों पिस्टन पर दबाव समान होता है: $P_1 = P_2$।
इसका अर्थ है $\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$,जहाँ $F_1$ छोटे पिस्टन पर बल है,$A_1$ उसका क्षेत्रफल है,$F_2$ बड़े पिस्टन पर बल (भार) है और $A_2$ उसका क्षेत्रफल है।
वृत्ताकार पिस्टन का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\frac{F_1}{\pi r_1^2} = \frac{F_2}{\pi r_2^2}$,जो सरल होकर $F_2 = F_1 \times (\frac{r_2}{r_1})^2$ हो जाता है।
दिया गया है $F_1 = 250 \ N$,$r_1 = 5 \ cm$,और $r_2 = 50 \ cm$।
मान रखने पर: $F_2 = 250 \times (\frac{50}{5})^2 = 250 \times (10)^2 = 250 \times 100 = 25,000 \ N$।
किलोन्यूटन में बदलने पर: $F_2 = 25 \ kN$।

(D) हवाई जहाज के स्थिर ऊँचाई पर उड़ने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला उत्थापन बल (lift force) हवाई जहाज के नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल (भार) को संतुलित करना चाहिए।
मान लीजिए $m$ हवाई जहाज का द्रव्यमान है,$A$ कुल पंख क्षेत्रफल है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $\Delta P$ पंखों की निचली और ऊपरी सतहों के बीच का दाबांतर है।
उत्थापन बल $F_L$ को $F_L = \Delta P \times A$ द्वारा दिया जाता है।
हवाई जहाज का भार $W = m \times g$ है।
स्थिर ऊँचाई के लिए दोनों बलों को बराबर करने पर: $\Delta P \times A = m \times g$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta P \times 600 = (4.5 \times 10^4) \times 10$.
$\Delta P \times 600 = 4.5 \times 10^5$.
$\Delta P = \frac{4.5 \times 10^5}{600} = \frac{450000}{600} = 750 \,N \,m^{-2}$.
अतः,दाबांतर $750 \,N \,m^{-2}$ है।

(C) पानी द्वारा दीवार पर लगाया गया बल पानी के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
दिया गया है:
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 2 \times 10^{-3} \,m^2$
वेग $v = 12 \,m \,s^{-1}$
पानी का घनत्व $\rho = 1000 \,kg \,m^{-3}$
प्रति इकाई समय में दीवार से टकराने वाले पानी का द्रव्यमान $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\frac{dm}{dt} = 1000 \times (2 \times 10^{-3}) \times 12 = 24 \,kg \,s^{-1}$.
बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर है: $F = \frac{dp}{dt} = \frac{dm}{dt} \times v$.
चूंकि पानी वापस नहीं उछलता है, इसलिए अंतिम वेग $0$ है।
$F = (24 \,kg \,s^{-1}) \times (12 \,m \,s^{-1}) = 288 \,N$.
अतः, दीवार पर लगने वाला बल $288 \,N$ है।

(B) मान लीजिए $P_1$ और $V_1$ तल पर बुलबुले का दबाव और आयतन हैं,और $P_2$ और $V_2$ ऊपरी सतह पर दबाव और आयतन हैं।
चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
तल पर दबाव $P_1 = P_{atm} + h \rho g = 10 \ m + 7.28 \ m = 17.28 \ m$ पानी के बराबर है।
ऊपरी सतह पर दबाव $P_2 = P_{atm} = 10 \ m$ पानी के बराबर है।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है,इसलिए $V \propto r^3$.
इसे बॉयल के नियम में रखने पर: $P_1 r_1^3 = P_2 r_2^3$.
अतः,$\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{P_2}{P_1} = \frac{10}{17.28} = \frac{1000}{1728}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{1000}{1728}} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $5: 6$ है।

(A) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R = D/2$ है। माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन $n = 3375$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 3375 r^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $R = 3375^{1/3} r = 15r$,इसलिए $r = R/15$.
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi R^2$ है।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = n \times 4 \pi r^2 = 3375 \times 4 \pi (R/15)^2 = 3375 \times 4 \pi (R^2 / 225) = 15 \times 4 \pi R^2 = 60 \pi R^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = 60 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 56 \pi R^2$ है।
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = S \times \Delta A = S \times 56 \pi R^2$ है।
$R = D/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta U = S \times 56 \pi (D/2)^2 = S \times 56 \pi (D^2 / 4) = 14 \pi D^2 S$।

(B) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ है। छोटी बूंदों की संख्या $n = 10^6$ है। माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
$r^3 = \frac{R^3}{n} = \frac{(10^{-2})^3}{10^6} = \frac{10^{-6}}{10^6} = 10^{-12} \ m^3$.
अतः,$r = 10^{-4} \ m$.
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta A$ पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
$\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi (n r^2 - R^2)$.
$\Delta A = 4 \pi (10^6 \times (10^{-4})^2 - (10^{-2})^2) = 4 \pi (10^6 \times 10^{-8} - 10^{-4}) = 4 \pi (10^{-2} - 10^{-4}) = 4 \pi (0.01 - 0.0001) = 4 \pi (0.0099) \ m^2$.
$\Delta U = 35 \times 10^{-3} \times 4 \times 3.1416 \times 0.0099 \approx 4356 \times 10^{-6} \ J$.

(B) साबुन के बुलबुले के लिए,अंदर का अतिरिक्त दबाव $P_{ex} = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ त्रिज्या है।
बुलबुले के अंदर कुल दबाव $P = P_{atm} + P_{ex}$ है। चूंकि बुलबुले निर्वात में हैं,$P_{atm} = 0$ है।
अतः,$P = \frac{4T}{r}$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ ($m$ हवा का द्रव्यमान है,$M$ हवा का मोलर द्रव्यमान है),हमें $P = \frac{mRT}{MV}$ प्राप्त होता है।
$P = \frac{4T}{r}$ और $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{4T}{r} = \frac{mRT}{M(\frac{4}{3}\pi r^3)}$ मिलता है।
द्रव्यमान $m$ के लिए व्यवस्थित करने पर,$m = \frac{4T}{r} \cdot \frac{M \cdot 4\pi r^3}{3RT} = \frac{16\pi TM}{3RT} \cdot r^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $T$,$M$,$R$ और तापमान स्थिर हैं,इसलिए $m \propto r^2$ है।
अतः,द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ होगा।

(B) तार पानी की सतह के संपर्क में दोनों तरफ से है। इसलिए,सतह के संपर्क में तार की कुल लंबाई $L_{total} = 2 \times L = 2 \times 20 \ cm = 40 \ cm = 0.4 \ m$ है।
जब तार को ऊपर खींचा जाता है,तो पृष्ठ तनाव के कारण बल नीचे की ओर कार्य करता है,जो खिंचाव का विरोध करता है। संतुलन के लिए,लगाया गया बल $F$ पृष्ठ तनाव बल $F_s$ को संतुलित करना चाहिए।
पृष्ठ तनाव के कारण बल $F_s = T \times L_{total}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
यहाँ $F = 1.456 \times 10^{-2} \ N$ और $L_{total} = 0.4 \ m$ दिया गया है।
बलों को बराबर करने पर: $1.456 \times 10^{-2} = T \times 0.4$.
$T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{1.456 \times 10^{-2}}{0.4} = 3.64 \times 10^{-2} \ N \ m^{-1} = 0.0364 \ N \ m^{-1}$.

(B) जब $r$ त्रिज्या के दो साबुन के बुलबुले निर्वात में मिलकर $R$ त्रिज्या का एक बुलबुला बनाते हैं,तो बुलबुलों के अंदर हवा के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है। चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,तापमान $T$ स्थिर है। $r$ त्रिज्या के साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P = P_0 + \frac{4S}{r}$ होता है,जहां $P_0$ बाहरी दबाव है (जो निर्वात में $0$ है) और $S$ पृष्ठ तनाव है। अतः,$P = \frac{4S}{r}$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,साबुन के बुलबुले के लिए,$n = \frac{PV}{RT} = \frac{(4S/r) \cdot (4/3 \pi r^3)}{RT} = \frac{16 \pi S r^2}{3RT}$।
चूंकि मोलों की कुल संख्या संरक्षित रहती है,$n_{total} = n_1 + n_2$। दिया गया है कि $r_1 = r_2 = r = 2 \ cm$,इसलिए $n_{total} = 2n = \frac{32 \pi S r^2}{3RT}$।
$R$ त्रिज्या के नए बुलबुले के लिए,$n_{total} = \frac{16 \pi S R^2}{3RT}$।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $R^2 = 2r^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $R = r\sqrt{2}$।
$r = 2 \ cm$ रखने पर,हमें $R = 2\sqrt{2} \ cm$ प्राप्त होता है।

(A) प्रवाह की प्रकृति निर्धारित करने के लिए, हम रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ की गणना करते हैं।
रेनॉल्ड्स संख्या का सूत्र $R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$ है, जहाँ $\rho$ घनत्व है, $v$ वेग है, $D$ पाइप का व्यास है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
दिया गया है:
घनत्व $\rho = 10^3 \,kg \,m^{-3}$
वेग $v = 20 \,cm \,s^{-1} = 0.2 \,m \,s^{-1}$
त्रिज्या $r = 2 \,cm = 0.02 \,m$, इसलिए व्यास $D = 2r = 0.04 \,m$
श्यानता $\eta = 10^{-3} \,kg \,m^{-1} \,s^{-1}$
इन मानों को रखने पर:
$R_e = \frac{10^3 \times 0.2 \times 0.04}{10^{-3}}$
$R_e = \frac{10^3 \times 0.008}{10^{-3}} = 8 \times 10^3 = 8000$
चूंकि रेनॉल्ड्स संख्या $R_e > 2000$ है, इसलिए प्रवाह अशांत (turbulent) है।

(B) किसी तरल की श्यानता उसके प्रवाह के प्रतिरोध का माप है।
द्रवों के लिए,श्यानता मुख्य रूप से अणुओं के बीच के ससंजक बलों (cohesive forces) के कारण होती है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ती है,जो इन ससंजक बलों को कम कर देती है,जिससे द्रवों की श्यानता घट जाती है।
गैसों के लिए,श्यानता मुख्य रूप से यादृच्छिक तापीय गति के कारण गैस के अणुओं की परतों के बीच संवेग (momentum) के स्थानांतरण के कारण होती है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,गैस के अणुओं की यादृच्छिक गति बढ़ जाती है,जिससे टक्करें अधिक बार होती हैं और संवेग स्थानांतरण की दर बढ़ जाती है,जिसके कारण गैसों की श्यानता बढ़ जाती है।
अतः,जब तापमान बढ़ता है,तो गैसों की श्यानता बढ़ती है और द्रवों की श्यानता घटती है।

(C) $h$ गहराई पर दबाव $P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $h = 1 \ km = 10^3 \ m$,$\rho = 10^3 \ kg \ m^{-3}$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
$P = 10^3 \times 10 \times 10^3 = 10^7 \ N \ m^{-2}$.
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.01 \% = \frac{0.01}{100} = 10^{-4}$.
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = \frac{P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$B = \frac{10^7}{10^{-4}} = 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
अतः,$10^{11} \ N \ m^{-2}$ का मान $10 \times 10^{10} \ N \ m^{-2}$ के बराबर है,इसलिए विकल्प $C$ सही है।

(C) दबाव में परिवर्तन $\Delta P = 250 \text{ kPa} - 200 \text{ kPa} = 50 \text{ kPa} = 50 \times 10^3 \text{ Pa} = 5 \times 10^4 \text{ Pa}$ है।
आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.25 \% = \frac{0.25}{100} = 2.5 \times 10^{-3}$ है।
बल्क मापांक $B$ का सूत्र $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ है।
संपीड्यता $K$,बल्क मापांक का व्युत्क्रम है,$K = \frac{1}{B} = \frac{\Delta V / V}{\Delta P}$।
मान रखने पर: $K = \frac{2.5 \times 10^{-3}}{5 \times 10^4} = 0.5 \times 10^{-7} \text{ m}^2 \text{ N}^{-1} = 5 \times 10^{-8} \text{ m}^2 \text{ N}^{-1}$।

(B) अनुदैर्ध्य विकृति $\epsilon_L = 0.2 \% = 0.002$ दी गई है।
प्वासों अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति (lateral strain) $\epsilon_d$ और अनुदैर्ध्य विकृति $\epsilon_L$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $\epsilon_d = -\sigma \cdot \epsilon_L$।
यहाँ,$\sigma = 0.3$ है,इसलिए पार्श्व विकृति $\epsilon_d = -0.3 \times 0.002 = -0.0006$ है।
एक तार के लिए आयतन विकृति $\frac{\Delta V}{V}$ अनुदैर्ध्य विकृति और दो पार्श्व विकृतियों के योग के बराबर होती है: $\frac{\Delta V}{V} = \epsilon_L + 2\epsilon_d$।
मान रखने पर: $\frac{\Delta V}{V} = 0.002 + 2(-0.0006) = 0.002 - 0.0012 = 0.0008$।
प्रतिशत में बदलने पर: $0.0008 \times 100 \% = 0.08 \%$।

(C) एक खींचे गए तार में प्रति इकाई आयतन संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(u)$ प्रति इकाई आयतन किए गए कार्य द्वारा दी जाती है।
$u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$
हुक के नियम से,हम जानते हैं कि यंग मापांक $Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}}$,जिसका अर्थ है कि $\text{विकृति} = \frac{\text{प्रतिबल}}{Y}$।
ऊर्जा घनत्व के सूत्र में विकृति का मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2 Y}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$.
वैकल्पिक रूप से,$U = \frac{1}{2} \times Y \times A \times \frac{(\Delta L)^2}{L}$,जहाँ $Y$ यंग मापांक है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta L$ लंबाई में वृद्धि है,और $L$ मूल लंबाई है।
दिया गया है:
$Y = 1.2 \times 10^{11} \,N/m^2$
$A = 1 \,mm^2 = 1 \times 10^{-6} \,m^2$
$L = 1 \,m$
$\Delta L = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (1.2 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times \frac{(10^{-3})^2}{1}$
$U = 0.6 \times 10^5 \times 10^{-6} \times 10^{-6} = 0.6 \times 10^{-1} = 0.06 \,J = 6 \times 10^{-2} \,J$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) यंग मापांक $(Y)$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि विकृति एक विमाहीन राशि है,इसलिए यंग मापांक की विमाएँ प्रतिबल की विमाओं के समान होती हैं।
प्रतिबल = $\frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
अब,ऊर्जा घनत्व की विमाओं की जाँच करते हैं:
ऊर्जा घनत्व = $\frac{\text{ऊर्जा}}{\text{आयतन}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
चूंकि यंग मापांक और ऊर्जा घनत्व दोनों की विमाएँ $[ML^{-1}T^{-2}]$ हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए $r_A, r_B$ तार $A$ और $B$ की त्रिज्याएँ हैं और $Y_A, Y_B$ उनके यंग मापांक हैं।
दिया गया है: $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{3}$ और $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{3}{2}$.
मान लीजिए $L$ तारों की लंबाई है (समान मानी गई है) और $\Delta L$ दोनों तारों में समान विस्तार है।
विस्तार के सूत्र के अनुसार,$\Delta L = \frac{F L}{A Y}$,जहाँ $F$ तार में तनाव है और $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि दोनों तारों के लिए $\Delta L$ समान है,इसलिए $\frac{F_A L}{\pi r_A^2 Y_A} = \frac{F_B L}{\pi r_B^2 Y_B}$.
अतः,$\frac{F_A}{F_B} = \frac{r_A^2 Y_A}{r_B^2 Y_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2 \left(\frac{Y_A}{Y_B}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{2}{3}$.
मान लीजिए वजन $P$ से $x$ दूरी पर लटकाया गया है। निलंबन बिंदु के परितः आघूर्ण लेने पर,$F_A x = F_B (150 - x)$.
$\frac{F_A}{F_B} = \frac{150 - x}{x} = \frac{2}{3}$.
$3(150 - x) = 2x \implies 450 - 3x = 2x \implies 5x = 450 \implies x = 90 \ cm$ ($P$ से)।

(B) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot l}$ है,जहाँ $A$ तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
चूंकि $A = \pi r^2$,हम लिख सकते हैं $l = \frac{F \cdot L}{Y \cdot \pi r^2}$।
इसका अर्थ है $l \propto \frac{F}{r^2}$।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई में वृद्धि $l_1 = k \cdot \frac{F}{r^2}$ है।
जब बल $F' = \frac{F}{2}$ और त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ हो,तो लंबाई में नई वृद्धि $l_2$ होगी:
$l_2 = k \cdot \frac{F'}{(r')^2} = k \cdot \frac{F/2}{(r/2)^2} = k \cdot \frac{F/2}{r^2/4} = 2 \cdot k \cdot \frac{F}{r^2} = 2l_1$।
अतः,लंबाई में नई वृद्धि $2l$ होगी।

(B) यंग मापांक $(Y)$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 1 \,mm^2 = 1 \times 10^{-6} \,m^2$
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \,N \,m^{-2}$
लंबाई को दोगुना करने के लिए,लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ मूल लंबाई $L$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\Delta L = L$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\Delta L}{L} = 1$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$2 \times 10^{11} = \frac{F / (1 \times 10^{-6})}{1}$
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-6} \,N$
$F = 2 \times 10^5 \,N$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ विस्तार है।
चूंकि $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$,हम लिख सकते हैं $\Delta L = \frac{F \cdot L}{Y \cdot A} = \frac{4 \cdot F \cdot L}{Y \cdot \pi d^2}$।
चूंकि $F$,$L$ और $Y$ दोनों तारों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $\Delta L \propto \frac{1}{d^2}$ होगा।
मान लीजिए $\Delta L_1 = 1 \ mm$ और $d_1 = d$ है। दूसरे तार के लिए,$d_2 = 4d$ है।
इसलिए,$\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 = \left( \frac{d}{4d} \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$।
अतः,$\Delta L_2 = \frac{1}{16} \cdot \Delta L_1 = \frac{1}{16} \cdot 1 \ mm = \frac{1}{16} \ mm$।

(D) यदि तार स्वतंत्र रूप से सिकुड़ सकता तो उत्पन्न तापीय विकृति $\Delta L / L = \alpha \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\alpha = 10^{-5} \ K^{-1}$ और $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100 \ K$.
अतः,$\Delta L / L = 10^{-5} \times 100 = 10^{-3}$.
चूंकि तार को सिकुड़ने से रोका जाता है,इसलिए उत्पन्न प्रतिबल यंग मापांक और विकृति के गुणनफल के बराबर होता है: $\text{प्रतिबल} = Y \times (\Delta L / L)$.
$\text{प्रतिबल} = 10^{11} \times 10^{-3} = 10^8 \ N \ m^{-2}$.
प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में भी परिभाषित किया जाता है,इसलिए $\text{प्रतिबल} = F / A = (mg) / A$.
प्रतिबल के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $mg / A = 10^8$.
$m = (10^8 \times A) / g = (10^8 \times 4 \times 10^{-6}) / 10$.
$m = 400 / 10 = 40 \ kg$.

(B) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र इस प्रकार है: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta l}$.
ग्राफ से, हम कोई भी बिंदु ले सकते हैं, उदाहरण के लिए, $W = 100 \,N$ और $\Delta l = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$.
दिया गया है: $L = 1 \,m$, $A = 1 \,mm^2 = 1 \times 10^{-6} \,m^2$.
मान रखने पर:
$Y = \frac{100 \,N \times 1 \,m}{1 \times 10^{-6} \,m^2 \times 5 \times 10^{-3} \,m} = \frac{100}{5 \times 10^{-9}} = 20 \times 10^9 \,N \,m^{-2} = 2 \times 10^{10} \,N \,m^{-2}$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(C) यंग मापांक $Y$ को प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, जो प्रतिबल-विकृति ग्राफ के ढलान (slope) के बराबर होता है।
$Y = \text{slope} = \tan(\theta)$, जहाँ $\theta$ वह कोण है जो रेखा विकृति अक्ष के साथ बनाती है।
तार $A$ के लिए, विकृति अक्ष के साथ कोण $\theta_A = 30^{\circ}$ है।
इसलिए, $Y_A = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
तार $B$ के लिए, विकृति अक्ष के साथ कोण $\theta_B = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
इसलिए, $Y_B = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$.
अब, अनुपात $\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3$ की गणना करने पर।
अतः, $Y_B = 3 Y_A$.

(B) माना प्रारंभिक वेग $u$ है। गति का समीकरण $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ है।
$h = 25 \ m$ और $g = 10 \ m \ s^{-2}$ रखने पर,हमें $25 = ut - 5t^2$ प्राप्त होता है,जिसे $5t^2 - ut + 25 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $t_1$ और $t_2$ वे दो समय हैं जब गेंद $25 \ m$ की ऊँचाई पर होती है।
मूलों का योग $t_1 + t_2 = \frac{u}{5}$ और मूलों का गुणनफल $t_1 t_2 = \frac{25}{5} = 5$ है।
समयांतराल $|t_2 - t_1| = 4 \ s$ है।
सर्वसमिका $(t_2 - t_1)^2 = (t_1 + t_2)^2 - 4t_1 t_2$ का उपयोग करने पर,$4^2 = (\frac{u}{5})^2 - 4(5)$ प्राप्त होता है।
$16 = \frac{u^2}{25} - 20$,इसलिए $\frac{u^2}{25} = 36$।
$u^2 = 36 \times 25 = 900$,जिससे $u = 30 \ m \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।

(D) $n^{th}$ सेकंड में वस्तु का विस्थापन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$।
मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g$ होता है।
अतः,$n^{th}$ सेकंड में विस्थापन $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ है।
दूसरे सेकंड के लिए $(n = 2)$: $S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{g}{2}(3) = 1.5g$।
पांचवें सेकंड के लिए $(n = 5)$: $S_5 = \frac{g}{2}(2(5) - 1) = \frac{g}{2}(9) = 4.5g$।
विस्थापन का अनुपात $\frac{S_2}{S_5} = \frac{1.5g}{4.5g} = \frac{1.5}{4.5} = \frac{1}{3}$ है।

(B) माना गति का कुल समय $n$ सेकंड है। $n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
स्वतंत्र रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g = 10 \ m \ s^{-2}$ है।
अंतिम सेकंड ($n^{th}$ सेकंड) में तय की गई दूरी $S_n = 0 + \frac{10}{2}(2n - 1) = 5(2n - 1)$ है।
अंतिम सेकंड से एक सेकंड पहले ($(n-1)^{th}$ सेकंड) तय की गई दूरी $S_{n-1} = 0 + \frac{10}{2}(2(n-1) - 1) = 5(2n - 3)$ है।
दिया गया है कि अंतिम सेकंड से एक सेकंड पहले तय की गई दूरी $5 \ m$ है,इसलिए $5(2n - 3) = 5$ है।
$2n - 3 = 1 \implies 2n = 4 \implies n = 2 \ s$.

(D) मान लीजिए कि बिंदु $P$ जमीन से $h$ ऊंचाई पर है। गति का समीकरण $h = vt - \frac{1}{2}gt^2$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{2}gt^2 - vt + h = 0$ प्राप्त होता है।
यह $t$ में एक द्विघात समीकरण है,जिसके दो मूल $t_1$ और $t_2$ हैं,जो उस समय को दर्शाते हैं जब गेंद $h$ ऊंचाई पर होती है।
दिया गया है कि $t_1 = x$,मूलों का योग $t_1 + t_2 = \frac{-(-v)}{\frac{1}{2}g} = \frac{2v}{g}$ है।
इसलिए,$t_2 = \frac{2v}{g} - x$ है।
पहली बार $P$ से गुजरने के बाद फिर से बिंदु $P$ तक पहुँचने में लगा समय $t_2 - t_1 = (\frac{2v}{g} - x) - x = \frac{2v}{g} - 2x = 2(\frac{v}{g} - x)$ है।

(C) कण का विस्थापन $s = t^3 - 6t^2 + 18t + 9$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 12t + 18$.
न्यूनतम वेग ज्ञात करने के लिए,हम समय के सापेक्ष वेग का अवकलज निकालते हैं और उसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dv}{dt} = 6t - 12$.
$\frac{dv}{dt} = 0$ रखने पर,हमें $6t - 12 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t = 2 \ s$.
अब,न्यूनतम वेग ज्ञात करने के लिए $t = 2 \ s$ को वेग के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$v_{min} = 3(2)^2 - 12(2) + 18 = 3(4) - 24 + 18 = 12 - 24 + 18 = 6 \ m \ s^{-1}$.

(D) माना कुल दूरी $D$ है।
$v_1$ चाल से तय की गई दूरी $d_1 = 0.4D$ है।
$v_2$ चाल से तय की गई दूरी $d_2 = 0.6D$ है।
पहले भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{0.4D}{v_1}$ है।
दूसरे भाग के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{0.6D}{v_2}$ है।
औसत चाल $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{D}{t_1 + t_2}$ है।
$v_{avg} = \frac{D}{\frac{0.4D}{v_1} + \frac{0.6D}{v_2}} = \frac{1}{\frac{0.4}{v_1} + \frac{0.6}{v_2}}$।
$v_{avg} = \frac{1}{\frac{0.4v_2 + 0.6v_1}{v_1 v_2}} = \frac{v_1 v_2}{0.4v_2 + 0.6v_1}$।
अंश और हर को $5$ से गुणा करने पर: $v_{avg} = \frac{5 v_1 v_2}{2v_2 + 3v_1} = \frac{5 v_1 v_2}{3v_1 + 2v_2}$।

(A) माना कुल दूरी $2d$ है।
पहली आधी दूरी $d$ के लिए, चाल $v_1 = 3 \, m \, s^{-1}$ है। लिया गया समय $t_1 = d / v_1 = d / 3$ है।
दूसरी आधी दूरी $d$ के लिए, इसे दो समान समयांतरालों $t_2$ और $t_2$ (कुल समय $2t_2$) में $v_2 = 4.5 \, m \, s^{-1}$ और $v_3 = 7.5 \, m \, s^{-1}$ की चाल से तय किया जाता है।
इस आधे भाग में तय की गई दूरी $d = v_2 t_2 + v_3 t_2 = (4.5 + 7.5) t_2 = 12 t_2$ है।
अतः, $t_2 = d / 12$।
दूसरे आधे भाग के लिए लिया गया कुल समय $T_2 = 2 t_2 = 2(d / 12) = d / 6$ है।
पूरी यात्रा के लिए कुल समय $T = t_1 + T_2 = d / 3 + d / 6 = (2d + d) / 6 = 3d / 6 = d / 2$ है।
औसत चाल $v_{avg} = \text{कुल दूरी} / \text{कुल समय} = 2d / (d / 2) = 4 \, m \, s^{-1}$ है।

(A) औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय अंतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
ग्राफ से,$t = 0 \ s$ पर,प्रारंभिक स्थिति $x_i = 80 \ m$ है।
$t = 10 \ s$ पर,अंतिम स्थिति $x_f = 60 \ m$ है।
कुल विस्थापन $\Delta x = x_f - x_i = 60 \ m - 80 \ m = -20 \ m$ है।
कुल समय अंतराल $\Delta t = 10 \ s - 0 \ s = 10 \ s$ है।
औसत वेग $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{-20 \ m}{10 \ s} = -2 \ m \ s^{-1}$ है।
औसत वेग का परिमाण $2 \ m \ s^{-1}$ है।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 5 \,m \,s^{-1}$, समय $t = 3 \,s$, त्वरण $a = -g = -10 \,m \,s^{-2}$।
विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$।
यहाँ, $s$ प्रक्षेपण बिंदु से पानी की सतह तक के ऊर्ध्वाधर विस्थापन को दर्शाता है। चूँकि पत्थर पुल के नीचे पानी में गिरता है, इसलिए विस्थापन $-h$ होगा (जहाँ $h$ पुल की ऊँचाई है)।
मान रखने पर: $-h = (5)(3) + \frac{1}{2}(-10)(3)^2$।
$-h = 15 - 5(9)$।
$-h = 15 - 45$।
$-h = -30$।
$h = 30 \,m$।
अतः, पानी की सतह से पुल की ऊँचाई $30 \,m$ है।

(C) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। मान लीजिए एकसमान त्वरण $a$ है।
समय $t = n$ पर,वेग $v = u + at = 0 + an$,इसलिए $a = \frac{v}{n}$ है।
$k^{\text{वें}}$ सेकंड में विस्थापन $S_k = u + \frac{a}{2}(2k - 1)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $u = 0$,इसलिए $S_k = \frac{a}{2}(2k - 1)$ है।
$n^{\text{वें}}$ सेकंड में विस्थापन $S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
$(n-1)^{\text{वें}}$ सेकंड में विस्थापन $S_{n-1} = \frac{a}{2}(2(n-1) - 1) = \frac{a}{2}(2n - 3)$ है।
इन दो सेकंड में कुल विस्थापन $S_{total} = S_n + S_{n-1} = \frac{a}{2}(2n - 1 + 2n - 3) = \frac{a}{2}(4n - 4) = 2a(n - 1)$ है।
$a = \frac{v}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S_{total} = 2(\frac{v}{n})(n - 1) = \frac{2v(n - 1)}{n}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास (Horizontal range) $R$ का सूत्र है: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$।
दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 10 \,m \,s^{-1}$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m \,s^{-2}$।
मान रखने पर: $R = \frac{10^2 \sin(2 \times 45^{\circ})}{10} = \frac{100 \times \sin(90^{\circ})}{10} = \frac{100 \times 1}{10} = 10 \,m$।
चूंकि गोलियां सभी दिशाओं में दागी जाती हैं,वे जमीन पर $R = 10 \,m$ त्रिज्या वाले एक वृत्त में गिरेंगी।
गोलियों द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल $A$ इस वृत्त का क्षेत्रफल है: $A = \pi R^2$।
$A = \pi \times (10)^2 = 100\pi$।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$A = 100 \times 3.14 = 314 \,m^2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया गति का समीकरण: $y = bx^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dt} = 2bx \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $v_y = 2bx v_x$।
पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv_y}{dt} = 2b \left( \frac{dx}{dt} \cdot v_x + x \cdot \frac{dv_x}{dt} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$-दिशा में त्वरण शून्य है $(a_x = 0)$,इसलिए $\frac{dv_x}{dt} = 0$ है।
अतः,$a_y = 2b(v_x^2)$।
दिया गया है कि $a_y = a$,इसलिए $a = 2bv_x^2$ है।
$v_x$ के लिए हल करने पर: $v_x^2 = \frac{a}{2b}$,जिससे $v_x = \sqrt{\frac{a}{2b}}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए पिंड का प्रारंभिक वेग $u$ है और उसका द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $X = \frac{1}{2}mu^2$ द्वारा दी जाती है।
प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta$ बना रहता है।
प्रक्षेपण कोण $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है, इसलिए उच्चतम बिंदु पर क्षैतिज वेग $u_x = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$ होगा।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K_h = \frac{1}{2}m(u_x)^2$ द्वारा दी जाती है।
$u_x$ का मान रखने पर, $K_h = \frac{1}{2}m(\frac{u}{2})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{u^2}{4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}mu^2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $X = \frac{1}{2}mu^2$, इसलिए $K_h = \frac{X}{4}$ होगा।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u = 30 \ m \ s^{-1}$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta$ है। प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = 30 \ m$ है।
मान रखने पर: $\frac{(30)^2 \sin^2 \theta}{2 \times 10} = 30 \implies \frac{900 \sin^2 \theta}{20} = 30 \implies 45 \sin^2 \theta = 30 \implies \sin^2 \theta = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$ और $\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
प्रक्षेप्य की परास (Range) $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g}$ है।
$R = \frac{30^2 \times 2 \times \sqrt{\frac{2}{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{10} = \frac{900 \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{3}}{10} = 90 \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{3} = 60 \sqrt{2} \ m$.

(B) प्रक्षेप्य के पथ का समीकरण $y = x \tan \theta (1 - \frac{x}{R})$ होता है।
यहाँ प्रक्षेपण बिंदु $(0, 0)$ है। अधिकतम ऊँचाई $H = 20 \text{ m}$,$x = 30 \text{ m}$ की दूरी पर प्राप्त होती है।
कुल परास $R = 30 \text{ m} + 10 \text{ m} = 40 \text{ m}$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $20 = 30 \tan \theta (1 - \frac{30}{40})$.
$20 = 30 \tan \theta (1 - 0.75) = 30 \tan \theta (0.25) = 7.5 \tan \theta$.
अतः,$\tan \theta = \frac{20}{7.5} = \frac{8}{3}$.
इसलिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = \tan^{-1}(\frac{8}{3})$ है।

(A) प्रक्षेप्य के पथ का समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = Ax - Bx^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = \tan \theta$ और $B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$।
अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ होती है।
परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ होती है।
$A = \tan \theta$ से,$\sin \theta = A \cos \theta$ प्राप्त होता है।
इस मान को $B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$ में रखने पर,$u^2 = \frac{g}{2B \cos^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
अब,$H = \frac{(\frac{g}{2B \cos^2 \theta}) (A^2 \cos^2 \theta)}{2g} = \frac{A^2}{4B}$।
इसी प्रकार,$R = \frac{2 (\frac{g}{2B \cos^2 \theta}) (A \cos^2 \theta)}{g} = \frac{A}{B}$।
अधिकतम ऊँचाई और परास का अनुपात $\frac{H}{R} = \frac{A^2 / 4B}{A / B} = \frac{A}{4}$ होगा।

(A) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
दिया गया है: $u = 60 \,m \,s^{-1}$, $R = 180 \sqrt{3} \,m$, और $g = 10 \,m \,s^{-2}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$180 \sqrt{3} = \frac{(60)^2 \sin(2\theta)}{10}$
$180 \sqrt{3} = \frac{3600 \sin(2\theta)}{10}$
$180 \sqrt{3} = 360 \sin(2\theta)$
$\sin(2\theta) = \frac{180 \sqrt{3}}{360} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूंकि $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, इसलिए $2\theta = 60^{\circ}$ या $2\theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
अतः, $\theta = 30^{\circ}$ या $\theta = 60^{\circ}$।

(D) माना प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m \ s^{-2}$ है।
समय $t$ पर ऊँचाई $h$ गति के समीकरण द्वारा दी जाती है: $h = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$.
$t = 2 \ s$ पर $h = 60 \ m$ दिया गया है,इसलिए: $60 = u_y(2) - \frac{1}{2}(10)(2)^2$.
$60 = 2u_y - 20 \implies 2u_y = 80 \implies u_y = 40 \ m \ s^{-1}$.
उड्डयन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2u_y}{g}$ है।
मान रखने पर: $T = \frac{2 \times 40}{10} = 8 \ s$.

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2 u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$R = 3H$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2 u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = 3 \left( \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $2 \cos\theta = \frac{3}{2} \sin\theta$,जिससे $\tan\theta = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
$\tan\theta = \frac{4}{3}$ से,$\sin\theta = \frac{4}{5}$ और $\cos\theta = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों को परास के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{2 u^2 (4/5)(3/5)}{g} = \frac{2 u^2 (12/25)}{g} = \frac{24 u^2}{25 g}$.

(B) माना प्रक्षेप्य का प्रारंभिक वेग $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $0$ होता है, इसलिए प्रक्षेप्य का वेग उसके क्षैतिज घटक के बराबर होता है: $v_{max} = u \cos \theta$.
दिया गया है $v_{max} = 20 \,m \,s^{-1}$ और $\theta = 45^{\circ}$, अतः $20 = u \cos 45^{\circ} = u / \sqrt{2}$.
इस प्रकार, $u = 20\sqrt{2} \,m \,s^{-1}$.
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
मान रखने पर: $H = \frac{(20\sqrt{2})^2 \sin^2 45^{\circ}}{2 \times 10}$.
$H = \frac{800 \times (1/\sqrt{2})^2}{20} = \frac{800 \times 0.5}{20} = \frac{400}{20} = 20 \,m$.

(D) प्रक्षेप्य की परास $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि परास समान हैं,इसलिए $\sin(2\theta_1) = \sin(2\theta_2)$।
इसका अर्थ है $2\theta_1 = 180^\circ - 2\theta_2$,जो सरल होकर $\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$ या $\theta_2 = 90^\circ - \theta_1$ हो जाता है।
उड्डयन काल $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
उड्डयन काल का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{2u \sin \theta_1}{g}}{\frac{2u \sin \theta_2}{g}} = \frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}$ है।
चूंकि $\theta_2 = 90^\circ - \theta_1$,इसलिए $\sin \theta_2 = \sin(90^\circ - \theta_1) = \cos \theta_1$।
अतः,$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin \theta_1}{\cos \theta_1} = \tan \theta_1$।

(A) मान लीजिए कि गेंद को $V_0$ गति से क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित किया गया है। गेंद के वेग का क्षैतिज घटक $V_x = V_0 \cos \theta$ है।
व्यक्ति गेंद को पकड़ने के लिए उसी क्षैतिज दिशा में $V_p = 0.5 V_0$ की निरंतर गति से दौड़ता है।
व्यक्ति द्वारा गेंद को पकड़ने के लिए,व्यक्ति द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी उड़ान के समय $T$ पर गेंद की क्षैतिज परास (Range) के बराबर होनी चाहिए।
गेंद की क्षैतिज परास $R = (V_0 \cos \theta) T$ है,जहाँ $T = \frac{2 V_0 \sin \theta}{g}$ है।
समय $T$ में व्यक्ति द्वारा तय की गई दूरी $d = V_p T = (0.5 V_0) T$ है।
व्यक्ति द्वारा तय की गई दूरी को गेंद की क्षैतिज परास के बराबर रखने पर: $0.5 V_0 T = V_0 \cos \theta T$।
दोनों पक्षों को $V_0 T$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $T \neq 0$),हमें प्राप्त होता है: $0.5 = \cos \theta$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^{\circ}$।

(A) पोटेंशियोमीटर में,संतुलन लंबाई $l$ सेल के emf $\varepsilon$ के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $\varepsilon = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता है।
जब सेल श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल emf $E_1 + E_2$ होता है। अतः,$E_1 + E_2 = k(160)$।
जब एक सेल को उल्टा किया जाता है,तो कुल emf $E_2 - E_1$ हो जाता है (क्योंकि $E_2 > E_1$)।
नई संतुलन लंबाई $l'$ में $75 \%$ की कमी होती है,इसलिए $l' = 160 - (0.75 \times 160) = 160 - 120 = 40 \ cm$।
अतः,$E_2 - E_1 = k(40)$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_1 + E_2}{E_2 - E_1} = \frac{160}{40} = 4$।
$E_1 + E_2 = 4(E_2 - E_1) \implies E_1 + E_2 = 4E_2 - 4E_1$।
$5E_1 = 3E_2 \implies E_2 = \frac{5}{3}E_1$।
चूँकि $E_1 = 1.2 \ V$ दिया गया है,$E_2 = \frac{5}{3} \times 1.2 = 5 \times 0.4 = 2.0 \ V$।

(D) गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम (series) में एक उच्च प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाना चाहिए।
दिया गया है:
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध,$G = 15 \ \Omega$
पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा,$I_g = 0.5 \ mA = 0.5 \times 10^{-3} \ A = 5 \times 10^{-4} \ A$
वांछित वोल्टेज रेंज,$V = 10 \ V$
श्रेणी प्रतिरोध $R$ का सूत्र है:
$V = I_g(R + G)$
$R + G = \frac{V}{I_g}$
$R = \frac{V}{I_g} - G$
मान रखने पर:
$R = \frac{10}{5 \times 10^{-4}} - 15$
$R = 2 \times 10^4 - 15$
$R = 20000 - 15 = 19985 \ \Omega$
अतः,आवश्यक प्रतिरोध $19985 \ \Omega$ है।

(B) $1$. सबसे पहले,गैल्वेनोमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $(I_g)$ की गणना करें।
$I_g = \frac{\text{कुल विभाजन}}{\text{धारा सुग्राहिता}} = \frac{30 \text{ div}}{0.0625 \text{ div}/\mu A} = 480 \mu A = 480 \times 10^{-6} \text{ A} = 4.8 \times 10^{-4} \text{ A}$.
$2$. वोल्टमीटर बनाने के लिए गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध $(R)$ जोड़ा जाता है।
$3$. वोल्टमीटर का कुल प्रतिरोध $(R_v)$ सूत्र $V = I_g \times R_v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ अधिकतम मापा जाने वाला वोल्टेज है।
$4$. $R_v$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $R_v = \frac{V}{I_g} = \frac{6 \text{ V}}{4.8 \times 10^{-4} \text{ A}}$.
$5$. $R_v = \frac{6}{4.8} \times 10^4 \Omega = 1.25 \times 10^4 \Omega = 12.5 \text{ k}\Omega$.

(C) दिया गया है: धारा $I = 4 \ A$, वोल्टेज $V = 220 \ V$, पानी का द्रव्यमान $m = 1 \ kg$, प्रारंभिक तापमान $T_1 = 34^{\circ} C$, अंतिम तापमान $T_2 = 100^{\circ} C$.
पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c = 4200 \ J/(kg \cdot ^{\circ} C)$.
विद्युत शक्ति $P = V \times I = 220 \times 4 = 880 \ W$.
आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा $Q = mc\Delta T = 1 \times 4200 \times (100 - 34) = 4200 \times 66 = 277200 \ J$.
चूंकि विद्युत ऊर्जा ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तित होती है, इसलिए $P \times t = Q$.
$880 \times t = 277200$.
$t = 277200 / 880 = 315 \ \text{सेकंड}$.
समय को मिनटों में बदलने के लिए: $t = 315 / 60 = 5.25 \ \text{मिनट}$.

(B) एक प्रतिरोधक में व्यय होने वाली शक्ति $P$ का सूत्र $P = \frac{V^2}{R}$ है,जहाँ $V$ विभवांतर है और $R$ प्रतिरोध है।
दिया गया है:
विभवांतर $V = 120 \text{ V}$
प्रतिरोध $R = 100 \Omega$
सूत्र में मान रखने पर:
$P = \frac{(120)^2}{100}$
$P = \frac{14400}{100}$
$P = 144 \text{ W}$
अतः,व्यय होने वाली शक्ति $144 \text{ W}$ है।

(B) तार का कुल प्रतिरोध $R$ है। जब तार को एक वृत्ताकार लूप में मोड़ा जाता है,तो प्रतिरोध परिधि पर समान रूप से वितरित हो जाता है।
परिधि के एक चौथाई भाग से अलग दो बिंदु लूप को दो चापों में विभाजित करते हैं: एक का प्रतिरोध $R_1 = \frac{1}{4}R$ है और दूसरे का प्रतिरोध $R_2 = \frac{3}{4}R$ है।
इन दो खंडों को $E$ emf वाली बैटरी के समानांतर जोड़ा जाता है।
समानांतर संयोजन का समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R/4} + \frac{1}{3R/4} = \frac{4}{R} + \frac{4}{3R} = \frac{12+4}{3R} = \frac{16}{3R}$।
अतः,$R_{eq} = \frac{3R}{16}$।
प्रति सेकंड उत्पन्न ऊष्मा वह शक्ति है,जो $P = \frac{E^2}{R_{eq}}$ द्वारा दी जाती है।
$R_{eq}$ का मान रखने पर,हमें $P = \frac{E^2}{3R/16} = \frac{16 E^2}{3 R}$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिर अवस्था में, संधारित्र $C$ एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है, इसलिए संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
मान लीजिए कि $9 \text{ V}$ की बैटरी के ऋणात्मक टर्मिनल पर विभव $0 \text{ V}$ है। तो धनात्मक टर्मिनल पर विभव $9 \text{ V}$ होगा।
परिपथ $6 \text{ }\Omega$ और $4 \text{ }\Omega$ के प्रतिरोधों के श्रेणी संयोजन के रूप में सरल हो जाता है, जिसमें $1 \text{ }\Omega$ का प्रतिरोध बैटरी के साथ श्रेणी में है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 6 \text{ }\Omega + 4 \text{ }\Omega + 1 \text{ }\Omega = 11 \text{ }\Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9 \text{ V}}{11 \text{ }\Omega} = \frac{9}{11} \text{ A}$ है।
$6 \text{ }\Omega$ और $4 \text{ }\Omega$ प्रतिरोधों के बीच के जंक्शन पर विभव $V_x = 9 \text{ V} - I \times 6 \text{ }\Omega = 9 - (\frac{9}{11} \times 6) = 9 - \frac{54}{11} = \frac{45}{11} \text{ V}$ है।
संधारित्र $6 \text{ }\Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है। इसलिए, संधारित्र की प्लेटों के बीच विभवांतर $6 \text{ V}$ है।

(D) दिए गए परिपथ में, दो सेल श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं। कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E_{eq} = 12 \, V - 6 \, V = 6 \, V$ है (क्योंकि वे विपरीत दिशा में जुड़े हैं)।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 4 \, \Omega + 1 \, \Omega + 0.6 \, \Omega + 0.4 \, \Omega = 6 \, \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{6 \, V}{6 \, \Omega} = 1 \, A$ है।
अतः, एमीटर का पाठ्यांक $1 \, A$ है।
वोल्टमीटर $6 \, V$ वाले सेल के सिरों पर जुड़ा है। चूंकि धारा $6 \, V$ सेल के धनात्मक टर्मिनल में प्रवेश कर रही है, इसलिए सेल चार्ज हो रहा है।
$6 \, V$ सेल का टर्मिनल वोल्टेज $V = E + Ir = 6 \, V + (1 \, A)(1 \, \Omega) = 7 \, V$ है।
इसलिए, वोल्टमीटर का पाठ्यांक $7 \, V$ और एमीटर का पाठ्यांक $1 \, A$ है।

(C) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है:
प्रतिरोधकता $\rho = 1.7 \times 10^{-8} \ \Omega \ m$
लंबाई $L = 30 \ m$
क्षेत्रफल $A = 6 \times 10^{-7} \ m^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = (1.7 \times 10^{-8} \ \Omega \ m) \times \frac{30 \ m}{6 \times 10^{-7} \ m^2}$
$R = 1.7 \times 10^{-8} \times 5 \times 10^7 \ \Omega$
$R = 8.5 \times 10^{-1} \ \Omega$
$R = 0.85 \ \Omega$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) मान लीजिए तार का प्रतिरोध $R$ है। मीटर ब्रिज में संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $S$ दाएं अंतराल में प्रतिरोध है और $l$ बाएं सिरे से संतुलन लंबाई है।
प्रारंभ में,$l_1 = 40 \ cm$,इसलिए $\frac{R}{S} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है $S = 1.5R$।
जब तार को खींचकर उसकी लंबाई दोगुनी की जाती है,तो उसकी नई लंबाई $l' = 2l$ और नया अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A' = \frac{A}{2}$ हो जाता है (क्योंकि आयतन $V = Al$ स्थिर रहता है)।
नया प्रतिरोध $R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \rho \frac{l}{A} = 4R$ होगा।
अब,मान लीजिए नई संतुलन लंबाई $l_2$ है। नई संतुलन स्थिति $\frac{R'}{S} = \frac{l_2}{100-l_2}$ है।
$R' = 4R$ और $S = 1.5R$ रखने पर,हमें $\frac{4R}{1.5R} = \frac{l_2}{100-l_2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{4}{1.5} = \frac{8}{3} = \frac{l_2}{100-l_2}$।
$8(100 - l_2) = 3l_2 \implies 800 - 8l_2 = 3l_2 \implies 11l_2 = 800$।
$l_2 = \frac{800}{11} \ cm$।

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $l = 20 \ cm$,इसलिए $\frac{R}{S} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $S = 4R$।
जब $S$ को $60 \ \Omega$ के साथ शंट किया जाता है,तो नया प्रतिरोध $S'$ का मान $\frac{S \times 60}{S + 60}$ होता है।
शून्य बिंदु $5 \ cm$ विस्थापित होता है। संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S'} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$ लेने पर,$3R = S' = \frac{60S}{S+60}$ प्राप्त होता है।
$S = 4R$ रखने पर: $3R = \frac{60(4R)}{4R+60} \Rightarrow 3 = \frac{240}{4R+60} \Rightarrow 12R + 180 = 240 \Rightarrow 12R = 60 \Rightarrow R = 5 \ \Omega$।
अतः $S = 4 \times 5 = 20 \ \Omega$।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और रैखिक संवेग $p$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
अवकलन करने पर,हमें $d\lambda = -\frac{h}{p^2} dp$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें भिन्नात्मक परिवर्तन मिलता है: $\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dp}{p}$.
यह दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन का परिमाण $0.25 \%$ है,इसलिए $\left| \frac{d\lambda}{\lambda} \right| = \frac{0.25}{100} = \frac{1}{400}$.
चूंकि $\left| \frac{d\lambda}{\lambda} \right| = \frac{dp}{p}$,इसलिए $\frac{p_0}{p} = \frac{1}{400}$.
अतः,प्रारंभिक रैखिक संवेग $p = 400 p_0$ है।

(D) माना पहले कण का द्रव्यमान $m_1 = 8 \mu g$ और दूसरे कण का द्रव्यमान $m_2 = 4 \mu g$ है। माना $m_1$ का प्रारंभिक वेग $u_1$ है और $m_2$ का वेग $u_2 = 0$ है। पूर्णतः प्रत्यास्थ एकविमीय टक्कर के बाद, अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ इस प्रकार हैं:
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1 = \frac{8 - 4}{8 + 4} u_1 = \frac{4}{12} u_1 = \frac{1}{3} u_1$
$v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} u_1 = \frac{2(8)}{8 + 4} u_1 = \frac{16}{12} u_1 = \frac{4}{3} u_1$
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h/m_1v_1}{h/m_2v_2} = \frac{m_2v_2}{m_1v_1}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{4 \times (4/3)u_1}{8 \times (1/3)u_1} = \frac{16/3}{8/3} = \frac{16}{8} = 2 : 1$.

(C) $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले कण को $V$ विभवांतर से त्वरित करने पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ होती है।
चूंकि $h$ और $V$ दोनों कणों के लिए नियत हैं, इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mq}}$।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: द्रव्यमान $m_p = m$, आवेश $q_p = e$।
अल्फा कण $(\alpha)$ के लिए: द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m$, आवेश $q_{\alpha} = 2e$।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{4m \cdot 2e}{m \cdot e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
अतः, अनुपात $\lambda_p : \lambda_{\alpha} = 2\sqrt{2} : 1$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$।
$K$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$।
दिए गए मान: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,और $\lambda = 2 \ nm = 2 \times 10^{-9} \ m$।
$K = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times (9 \times 10^{-31}) \times (2 \times 10^{-9})^2}$।
$K = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{18 \times 10^{-31} \times 4 \times 10^{-18}} = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{72 \times 10^{-49}} \approx 0.605 \times 10^{-19} \ J$।
जूल को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ से विभाजित करें:
$K = \frac{0.605 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.378 \ eV$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $0.38 \ eV$ प्राप्त होता है।

(D) $T$ तापमान पर तापीय न्यूट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ न्यूट्रॉन का द्रव्यमान है और $k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
दिए गए तापमान $T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$ और $T_2 = 352^{\circ} C = 352 + 273 = 625 \ K$ हैं।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ है।
मान रखने पर,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{625}{400}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
अतः,अनुपात $5: 4$ है।

(D) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} Å$।
यहाँ,$V = \frac{200}{3} \,V \approx 66.67 \,V$ दिया गया है।
सूत्र में $V$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{66.67}} Å$।
चूंकि $\sqrt{66.67} \approx 8.16$ होता है,इसलिए:
$\lambda \approx \frac{12.27}{8.16} Å \approx 1.503 Å$।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य लगभग $1.5 Å$ है।

(D) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
यहाँ,$E = 5 \ eV$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $1 \ eV = 1.6 \times 10^{-19} \ J$ है।
वैकल्पिक रूप से,शॉर्टकट सूत्र $E \ (eV) = \frac{1240}{\lambda \ (nm)}$ का उपयोग करते हुए।
मान रखने पर: $5 = \frac{1240}{\lambda}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{1240}{5} = 248 \ nm$।
अतः,उत्सर्जित फोटॉन की तरंग दैर्ध्य $248 \ nm$ है।

(B) कार्य फलन $\Phi$ का सूत्र $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $c$ प्रकाश की गति है और $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ \text{Js}$, $c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s}$, और $\lambda_0 = 6250 \ \text{Å} = 6250 \times 10^{-10} \ \text{m}$.
मान रखने पर:
$\Phi = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6250 \times 10^{-10}} \ \text{J}$.
$\Phi = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{6250 \times 10^{-10}} = \frac{19.8}{6250} \times 10^{-16} \ \text{J} = 3.168 \times 10^{-20} \ \text{J}$.
इसे इलेक्ट्रॉन-वोल्ट (eV) में बदलने के लिए, इलेक्ट्रॉन के आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C}$ से विभाजित करने पर:
$\Phi = \frac{3.168 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ \text{eV} = 1.98 \ \text{eV}$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) लेजर की शक्ति $P = nE$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है और $E$ एक फोटॉन की ऊर्जा है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ है,जहाँ $h = 6.6 \times 10^{-34} \,J \,s$ और $\nu = 5 \times 10^{14} \,Hz$ है।
$E = (6.6 \times 10^{-34}) \times (5 \times 10^{14}) = 33 \times 10^{-20} \,J$।
शक्ति $P = 33 \,mW = 33 \times 10^{-3} \,W$ है।
प्रति सेकंड फोटॉनों की संख्या $n = P / E$ है।
$n = (33 \times 10^{-3}) / (33 \times 10^{-20}) = 10^{17} = 10 \times 10^{16}$ फोटॉन प्रति सेकंड।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = 8 \times 10^{-19} \ J$ है।
इसे इलेक्ट्रॉन-वोल्ट में बदलने पर,$E = \frac{8 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 5 \ eV$।
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = 10 \ Å = 10^{-9} \ m$ है।
फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $K_{max} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (10^{-9})^2} \approx 2.41 \times 10^{-19} \ J$।
इसे $eV$ में बदलने पर: $K_{max} = \frac{2.41 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 1.5 \ eV$।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करने पर: $E = \phi + K_{max}$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
$\phi = E - K_{max} = 5 \ eV - 1.5 \ eV = 3.5 \ eV$।

(A) दिया गया है:
धारा $I = 4 \ mA = 4 \times 10^{-3} \ A$
चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 32 \times 10^{-6} \ Wb$ (या $T \ m^2$)
सबसे पहले,$\phi = L \cdot I$ सूत्र का उपयोग करके स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) $L$ की गणना करें:
$L = \frac{\phi}{I} = \frac{32 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-3}} = 8 \times 10^{-3} \ H$
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I^2$ द्वारा दी जाती है:
$U = \frac{1}{2} \times (8 \times 10^{-3}) \times (4 \times 10^{-3})^2$
$U = 4 \times 10^{-3} \times 16 \times 10^{-6}$
$U = 64 \times 10^{-9} \ J$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $1$. तार $h = 20 \ m$ की ऊंचाई से मुक्त रूप से गिरता है। जमीन पर पहुंचने से ठीक पहले तार का वेग $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \ m \ s^{-1}$ होगा।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\epsilon = Bvl$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र का घटक है,$v$ वेग है और $l$ तार की लंबाई है।
$3$. यहाँ,$B = 2 \times 10^{-5} \ T$,$v = 20 \ m \ s^{-1}$,और $l = 30 \ m$ है।
$4$. प्रेरित $EMF$ $\epsilon = (2 \times 10^{-5}) \times 20 \times 30 = 1200 \times 10^{-5} = 1.2 \times 10^{-2} \ V$ है।
$5$. प्रेरित धारा $I = \frac{\epsilon}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R = 40 \ \Omega$ है।
$6$. $I = \frac{1.2 \times 10^{-2}}{40} = 0.03 \times 10^{-2} \ A = 3 \times 10^{-4} \ A = 0.3 \ mA$।

(C) दिया गया है:
फेरों की संख्या $N = 45$
त्रिज्या $r = 4 \ cm = 0.04 \ m$
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (0.04)^2 = 16\pi \times 10^{-4} \ m^2$
प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = 0 \ T$
अंतिम चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = 0.70 \ T$
समयांतराल $\Delta t = 220 \ s$
चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$ है। चूंकि कुंडली का तल क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए कोण $\theta = 0^\circ$ होगा,अतः $\cos(0^\circ) = 1$।
फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = A(B_2 - B_1) = 16\pi \times 10^{-4} \times (0.70 - 0) = 11.2\pi \times 10^{-4} \ Wb$।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $\varepsilon = -N \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ है।
emf का परिमाण $|\varepsilon| = \frac{45 \times 11.2\pi \times 10^{-4}}{220}$।
$|\varepsilon| = \frac{504\pi \times 10^{-4}}{220} \approx \frac{1583.36 \times 10^{-4}}{220} \approx 7.2 \times 10^{-4} \ V = 0.72 \ mV$।

(B) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 50t^2 + 4$ दिया गया है।
समय $t$ के सापेक्ष $\phi$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(50t^2 + 4) = 100t$.
प्रेरित $EMF$ का परिमाण $|\varepsilon| = |-\frac{d\phi}{dt}| = 100t$ है।
समय $t = 2 \ s$ पर,प्रेरित $EMF$ $|\varepsilon| = 100(2) = 200 \ V$ होगा।
ओम के नियम के अनुसार प्रेरित धारा $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$ है।
प्रतिरोध $R = 200 \ \Omega$ दिया गया है।
अतः,$I = \frac{200 \ V}{200 \ \Omega} = 1 \ A$.

(C) एक लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है,अतः $\cos(0^\circ) = 1$ होगा।
इस प्रकार,$\phi = B \cdot A$.
$N$ फेरों वाली कुंडली में प्रेरित emf $\epsilon$ फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $\epsilon = -N \frac{d\phi}{dt}$.
यहाँ,$N = 100$,क्षेत्रफल $A = (10 \ cm)^2 = (0.1 \ m)^2 = 0.01 \ m^2$,और चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\frac{dB}{dt} = 0.7 \ T \ s^{-1}$ है।
इन मानों को रखने पर: $\epsilon = N \cdot A \cdot \frac{dB}{dt} = 100 \times 0.01 \times 0.7$.
$\epsilon = 1 \times 0.7 = 0.7 \ V$.

(D) घूमती हुई धात्विक डिस्क में प्रेरित emf $(e)$ का सूत्र है: $e = \frac{1}{2} B \omega r^2$।
दिया गया है:
चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ = $5 \times 10^{-2} \ T$
कोणीय गति $(\omega)$ = $60 \ rad \ s^{-1}$
त्रिज्या $(r)$ = $0.3 \ m$
सूत्र में मान रखने पर:
$e = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-2}) \times 60 \times (0.3)^2$
$e = \frac{1}{2} \times 0.05 \times 60 \times 0.09$
$e = 0.025 \times 60 \times 0.09$
$e = 1.5 \times 0.09$
$e = 0.135 \ V$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ में कोणीय वेग $(\omega)$ के साथ घूमने वाले $l$ लंबाई के धात्विक स्पोक में प्रेरित emf $(e)$ का सूत्र है: $e = \frac{1}{2} B \omega l^2$.
यहाँ, emf स्पोक्स की संख्या पर निर्भर नहीं करता है, क्योंकि प्रत्येक स्पोक धुरी और रिम के बीच समानांतर में जुड़े emf के एक व्यक्तिगत स्रोत के रूप में कार्य करता है।
प्रारंभिक स्थिति: $\omega_1 = 180 \ rev/min$, $e_1 = E = \frac{1}{2} B \omega_1 l^2$.
अंतिम स्थिति: $\omega_2 = 90 \ rev/min$, $e_2 = \frac{1}{2} B \omega_2 l^2$.
अनुपात लेने पर: $\frac{e_2}{E} = \frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{90}{180} = \frac{1}{2}$.
अतः, $e_2 = 0.5 E$.

(A) परिनालिका का स्व-प्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ निर्वात की पारगम्यता है,$N = 200$ फेरों की संख्या है,$l = 0.4 \ m$ लंबाई है,और $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है। व्यास $d = 7 \ cm = 0.07 \ m$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 0.035 \ m$ होगी। अतः,$A = \pi (0.035)^2 \approx 3.848 \times 10^{-3} \ m^2$। इन मानों को सूत्र में रखने पर: $L = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (200)^2 \times (3.848 \times 10^{-3})}{0.4}$। गणना करने पर $L \approx 482.5 \ \mu H$ प्राप्त होता है,जो लगभग $484 \ \mu H$ के बराबर है।

(B) स्व-प्रेरकत्व के कारण कुंडली में प्रेरित emf का सूत्र $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$ है।
परिमाण लेने पर,हमें प्राप्त होता है $|\varepsilon| = L \frac{|\Delta i|}{\Delta t}$.
दिया गया है:
प्रारंभिक धारा $i_1 = 2 \ A$
अंतिम धारा $i_2 = 5 \ A$
धारा में परिवर्तन $\Delta i = i_2 - i_1 = 5 \ A - 2 \ A = 3 \ A$.
समय अंतराल $\Delta t = 0.3 \ s$.
प्रेरित emf $\varepsilon = 40 \ mV = 40 \times 10^{-3} \ V$.
सूत्र में मान रखने पर:
$40 \times 10^{-3} = L \times \frac{3}{0.3}$.
$40 \times 10^{-3} = L \times 10$.
$L = \frac{40 \times 10^{-3}}{10} = 4 \times 10^{-3} \ H$.
$L = 4 \ mH$.

(B) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम को बढ़ती आवृत्ति और घटती तरंगदैर्ध्य के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य से सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य तक का क्रम इस प्रकार है:
$1$. रेडियो तरंगें
$2$. सूक्ष्म तरंगें (Microwaves)
$3$. अवरक्त किरणें (Infrared rays)
$4$. दृश्य प्रकाश
$5$. पराबैंगनी किरणें (Ultraviolet rays)
$6$. $X$-किरणें
$7$. गामा किरणें
चूंकि रेडियो तरंगें इस अनुक्रम की शुरुआत में आती हैं,इसलिए दिए गए विकल्पों में इनकी तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है।

(A) समतल विद्युतचुंबकीय तरंग का सामान्य समीकरण $\vec{B} = B_0 \sin (kx + \omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $\vec{B} = 3 \times 10^{-7} \sin (100 \pi x + 10^{12} t)$ के साथ तुलना करने पर,हम तरंग संख्या $k = 100 \pi \ m^{-1}$ प्राप्त करते हैं।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ है।
$k$ का मान रखने पर: $100 \pi = \frac{2 \pi}{\lambda}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{2 \pi}{100 \pi} = \frac{2}{100} = 0.02 \ m$।
अतः,तरंग की तरंगदैर्ध्य $0.02 \ m$ है।

(A) निर्वात में संचरित होने वाली विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ के परिमाण के बीच का संबंध $E = cB$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है $(c \approx 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1})$।
यहाँ विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = 6.3 \text{ Vm}^{-1}$ दिया गया है।
हमें चुंबकीय क्षेत्र $B$ का परिमाण ज्ञात करना है।
सूत्र $B = \frac{E}{c}$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$B = \frac{6.3}{3 \times 10^8} \text{ T}$.
$B = 2.1 \times 10^{-8} \text{ T}$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $2.1 \times 10^{-8} \text{ T}$ है।

(C) मुक्त आकाश में यात्रा कर रही एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के परिमाण के बीच का संबंध $E = cB$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ मुक्त आकाश में प्रकाश की गति है।
मुक्त आकाश में प्रकाश की गति $c$,पारगम्यता $\mu_0$ और विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ से $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$c$ के इस व्यंजक को $E = cB$ संबंध में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \left( \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \right) B$
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के परिमाण के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$B = E \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$।

(D) एक बिंदु स्रोत से $r$ दूरी पर विद्युत चुम्बकीय तरंग की तीव्रता $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ स्रोत की शक्ति है।
साथ ही,तीव्रता और rms विद्युत क्षेत्र $E_{rms}$ के बीच संबंध $I = \epsilon_0 c E_{rms}^2$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{P}{4 \pi r^2} = \epsilon_0 c E_{rms}^2$.
$P$ के लिए सूत्र बनाने पर: $P = 4 \pi r^2 \epsilon_0 c E_{rms}^2$.
दिया गया है: $r = 3 \ m$,$E_{rms} = 3 \ N C^{-1}$,$\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$,और $c = 3 \times 10^8 \ m s^{-1}$.
मान रखने पर: $P = 4 \times 3.14 \times (3)^2 \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (3 \times 10^8) \times (3)^2$.
$P = 4 \times 3.14 \times 9 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8 \times 9$.
$P \approx 113.04 \times 8.854 \times 10^{-4} \times 27 \approx 270.2 \times 10^{-2} \approx 2.7 \ W$.
अतः,स्रोत की शक्ति $2.7 \ W$ है।

(B) निर्वात में यात्रा करने वाली एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के परिमाण के बीच संबंध $E = cB$ है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
यहाँ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ है।
हमें विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के $10^8$ गुना परिमाण का अनुपात ज्ञात करना है।
अनुपात $= E / (10^8 \times B) = (cB) / (10^8 \times B) = c / 10^8$.
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$ का मान रखने पर:
अनुपात $= (3 \times 10^8) / 10^8 = 3$.
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(C) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में,दोलनशील विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
इसके अलावा,ये दोनों सदिश तरंग के संचरण की दिशा के भी लंबवत होते हैं।
ये क्षेत्र समान कला में दोलन करते हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक ही समय और एक ही स्थान पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करते हैं।
इसलिए,सही कथन यह है कि वे परस्पर लंबवत दिशाओं में होते हैं और समान कला में होते हैं।

(A) समतल प्रगामी तरंग के लिए मानक समीकरण $B = B_0 \sin(kx + \omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $B_y = 2 \times 10^{-7} \sin(0.5 \times 10^3 x + 1.5 \pi \times 10^{11} t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 1.5 \pi \times 10^{11} \ rad/s$ प्राप्त होती है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच संबंध $\omega = 2 \pi f$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,$1.5 \pi \times 10^{11} = 2 \pi f$ प्राप्त होता है।
$f$ के लिए हल करने पर,$f = \frac{1.5 \pi \times 10^{11}}{2 \pi} = 0.75 \times 10^{11} \ Hz$ प्राप्त होता है।
इसे $f = 75 \times 10^9 \ Hz$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) सभी दिशाओं में समान रूप से शक्ति $P$ उत्सर्जित करने वाले बिंदु स्रोत की $r$ दूरी पर तीव्रता $I$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = \frac{P}{4 \pi r^2}$
दिया गया है:
शक्ति $P = 10 \ W$
दूरी $r = 0.5 \ m$
मान रखने पर:
$I = \frac{10}{4 \times 3.14 \times (0.5)^2}$
$I = \frac{10}{4 \times 3.14 \times 0.25}$
$I = \frac{10}{3.14}$
$I \approx 3.18 \ W \ m^{-2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉनों द्वारा उत्पन्न $X$-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{min})$ डुआन-हंट नियम द्वारा दी जाती है: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$.
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $V = 20 \times 10^3 \ V$.
$\lambda_{min} = \frac{(6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (20 \times 10^3)} \ m$.
$\lambda_{min} = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{3.2 \times 10^{-15}} \ m = 6.215 \times 10^{-11} \ m$.
चूंकि $1 \ Å = 10^{-10} \ m$,इसलिए $\lambda_{min} = 0.6215 \times 10^{-10} \ m = 0.62 \ Å$ है।

(A) विद्युत विस्थापन सदिश $D$ को $D = \epsilon E$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\epsilon$ माध्यम की विद्युतशीलता है और $E$ विद्युत क्षेत्र है।
दिया गया है कि परावैद्युतांक $K = 3$ है,इसलिए माध्यम की विद्युतशीलता $\epsilon = K \epsilon_0$ है,जहाँ $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ F m^{-1}$ है।
विद्युत क्षेत्र $E = 1.5 \times 10^{-9} \pi \ N C^{-1}$ है।
सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$D = K \epsilon_0 E$
$D = 3 \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (1.5 \times 10^{-9} \pi)$
गणना की सुविधा के लिए $\epsilon_0 \approx \frac{1}{36\pi} \times 10^{-9} \ F m^{-1}$ का उपयोग करने पर:
$D = 3 \times (\frac{1}{36\pi} \times 10^{-9}) \times (1.5 \times 10^{-9} \pi)$
$D = 3 \times \frac{1}{36} \times 1.5 \times 10^{-18}$
$D = \frac{4.5}{36} \times 10^{-18} = 0.125 \times 10^{-18} \ C m^{-2} = 125 \times 10^{-21} \ C m^{-2}$.

(A) हवा में $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच प्रारंभिक बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = 98 \ N$ है।
जब परावैद्युत स्लैब पेश की जाती हैं,तो आवेशों के बीच प्रभावी दूरी $r_{eff}$ बदल जाती है। प्रभावी दूरी $r_{eff} = (r - t_1 - t_2) + t_1\sqrt{K_1} + t_2\sqrt{K_2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$r = 9 \ cm$,$t_1 = 6 \ cm$,$K_1 = 4$,$t_2 = 3 \ cm$,$K_2 = 9$ है।
$r_{eff} = (9 - 6 - 3) + 6\sqrt{4} + 3\sqrt{9} = 0 + 6(2) + 3(3) = 12 + 9 = 21 \ cm$ है।
नया बल $F'$ सूत्र $F' = F \left( \frac{r}{r_{eff}} \right)^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
$F' = 98 \times \left( \frac{9}{21} \right)^2 = 98 \times \left( \frac{3}{7} \right)^2 = 98 \times \frac{9}{49} = 2 \times 9 = 18 \ N$ है।

(B) परमाणुओं की कुल संख्या $N = 6 \times 10^{24}$ है।
जिन परमाणुओं से एक इलेक्ट्रॉन हटाया जाता है,उनकी संख्या $n = 0.005 \% \text{ of } N$ है।
$n = \frac{0.005}{100} \times 6 \times 10^{24} = 5 \times 10^{-5} \times 6 \times 10^{24} = 30 \times 10^{19} = 3 \times 10^{20}$ है।
चूंकि प्रत्येक परमाणु से एक इलेक्ट्रॉन हटाया जाता है,इसलिए हटाए गए इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $3 \times 10^{20}$ है।
ठोस द्वारा प्राप्त आवेश $q = n \times e$ है,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
$q = (3 \times 10^{20}) \times (1.6 \times 10^{-19}) = 4.8 \times 10 = 48 \ C$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन हटाए जाते हैं,इसलिए ठोस $+48 \ C$ का धनात्मक आवेश प्राप्त करता है।

(A) माना कि दो आवेश $q_1$ और $q_2$ हैं। दिया गया है कि $q_1 + q_2 = 25 \times 10^{-6} \ C$ और दूरी $r = 1.5 \ m$ है। स्थिर-वैद्युत बल का सूत्र $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ है। मान रखने पर: $0.6 = \frac{9 \times 10^9 \times q_1 q_2}{(1.5)^2}$। $q_1 q_2$ के लिए हल करने पर: $q_1 q_2 = \frac{0.6 \times 2.25}{9 \times 10^9} = 0.15 \times 10^{-9} = 150 \times 10^{-12} \ C^2$। हम जानते हैं कि $(q_1 - q_2)^2 = (q_1 + q_2)^2 - 4 q_1 q_2$। मान रखने पर: $(q_1 - q_2)^2 = (25 \times 10^{-6})^2 - 4(150 \times 10^{-12}) = 625 \times 10^{-12} - 600 \times 10^{-12} = 25 \times 10^{-12} \ C^2$। वर्गमूल लेने पर,$q_1 - q_2 = 5 \times 10^{-6} \ C = 5 \mu C$।

(C) प्रारंभ में,दो गोलों के बीच बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \frac{|(+8 \mu C)(-4 \mu C)|}{r^2} = k \frac{32 \mu C^2}{r^2}$.
जब दो समान चालक गोलों को एक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश समान रूप से पुनर्वितरित हो जाते हैं क्योंकि उनकी त्रिज्या समान है।
प्रत्येक गोले पर नया आवेश $q' = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{+8 \mu C - 4 \mu C}{2} = +2 \mu C$ होगा।
गोलों के बीच नया बल $F' = k \frac{|q' q'|}{r^2} = k \frac{|(+2 \mu C)(+2 \mu C)|}{r^2} = k \frac{4 \mu C^2}{r^2}$ है।
दोनों बलों की तुलना करने पर: $\frac{F'}{F} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.
अतः,$F' = \frac{F}{8}$.

(C) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच स्थिरवैद्युत बल $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ होता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ है।
दिया गया है:
$q_1 = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$q_2 = 3.2 \times 10^{-19} \ C$
$r = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$
मान रखने पर:
$F = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (3.2 \times 10^{-19})}{(3 \times 10^{-2})^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 5.12 \times 10^{-38}}{9 \times 10^{-4}}$
$F = 5.12 \times 10^{9-38+4} \ N$
$F = 5.12 \times 10^{-25} \ N$.

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र में रखे विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाले बल आघूर्ण $\tau$ का सूत्र है: $\tau = pE \sin \theta$।
दिया गया है:
द्विध्रुव आघूर्ण $p = 2 \times 10^{-10} \text{ C m}$।
विद्युत क्षेत्र $E = 10^4 \text{ N C}^{-1}$।
कोण $\theta = 30^{\circ}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\tau = (2 \times 10^{-10}) \times (10^4) \times \sin(30^{\circ})$।
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$ है:
$\tau = 2 \times 10^{-6} \times 0.5 = 1 \times 10^{-6} \text{ N m}$।
अतः,बल आघूर्ण का परिमाण $10^{-6} \text{ N m}$ है।

(D) एक आवेशित चालक गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है और $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।
चूँकि दोनों गोलों का पृष्ठीय आवेश घनत्व समान $(\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma)$ है,इसलिए दोनों गोलों की सतह पर विद्युत क्षेत्र केवल पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ और स्थिरांक $\epsilon_0$ पर निर्भर करता है।
अतः,बड़े गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र भी $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ होगा।
इस प्रकार,बड़े गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र छोटे गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र के बराबर,यानी $E$ होगा।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.2 \ g = 0.2 \times 10^{-3} \ kg$,आवेश $q = 2 \ C$,विद्युत क्षेत्र $E = 20 \ N \ C^{-1}$,दूरी $d = 20 \ cm = 0.2 \ m$,प्रारंभिक वेग $u = 0$.
कण पर कार्य करने वाला बल $F = qE = 2 \times 20 = 40 \ N$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = F \times d = 40 \ N \times 0.2 \ m = 8 \ J$.
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
अतः,अंतिम गतिज ऊर्जा $K.E. = W = 8 \ J$ होगी।

(D) सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi$,विद्युत क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है।
$\Phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$
दिया गया है,$\overrightarrow{E} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 7 \hat{k}) \text{ NC}^{-1}$.
सतह $yz$-तल में है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$,$x$-अक्ष की दिशा में होगा।
अतः,$\overrightarrow{A} = 3 \hat{i} \text{ m}^2$.
अब,अदिश गुणनफल की गणना करें:
$\Phi = (3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 7 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i})$
$\Phi = (3 \times 3) (\hat{i} \cdot \hat{i}) + (5 \times 0) + (7 \times 0)$
$\Phi = 9 \text{ Nm}^2\text{C}^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।