AP EAMCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\eta_1 = 0.60$, $T_1 = 600 \text{ K}$.
$0.60 = 1 - \frac{T_2}{600} \implies \frac{T_2}{600} = 0.40 \implies T_2 = 240 \text{ K}$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $\eta_2 = 0.80$, $T_2 = 240 \text{ K}$.
$0.80 = 1 - \frac{240}{T_1'} \implies \frac{240}{T_1'} = 0.20 \implies T_1' = \frac{240}{0.20} = 1200 \text{ K}$.
अतः, स्रोत का नया आवश्यक तापमान $1200 \text{ K}$ है।

(A) कार्नोट इंजन के लिए,विनिमय की गई ऊष्मा का अनुपात स्रोत और सिंक के निरपेक्ष तापमान के अनुपात के बराबर होता है: $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
दिया गया है:
स्रोत से अवशोषित ऊष्मा,$Q_1 = 600 \ J$.
सिंक को अस्वीकार की गई ऊष्मा,$Q_2 = 400 \ J$.
स्रोत का तापमान,$T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{600}{400} = \frac{400}{T_2}$.
अनुपात को सरल करने पर: $1.5 = \frac{400}{T_2}$.
$T_2$ के लिए हल करने पर: $T_2 = \frac{400}{1.5} = 266.67 \ K \approx 266.7 \ K$.

(D) रेफ्रिजरेटर के निष्पादन गुणांक $(COP)$ को ठंडे भंडार से निकाली गई ऊष्मा $(Q_L)$ और किए गए कार्य $(W)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$COP = \frac{Q_L}{W} = \frac{Q_L}{Q_H - Q_L}$.
ऊष्मागतिकी के द्वितीय नियम के अनुसार,बाह्य कार्य किए बिना ऊष्मा स्वतः ठंडी वस्तु से गर्म वस्तु की ओर प्रवाहित नहीं हो सकती है।
यह नियम ऊष्मा इंजनों की दक्षता और रेफ्रिजरेटर के $COP$ पर एक सैद्धांतिक ऊपरी सीमा (कार्नोट सीमा) निर्धारित करता है।
इसलिए,रेफ्रिजरेटर के $COP$ की मूलभूत सीमा ऊष्मागतिकी के द्वितीय नियम द्वारा निर्धारित होती है।

(B) कार्नोट इंजन के लिए, दक्षता $\eta$ को $\eta = 1 - \frac{T_{low}}{T_{high}}$ द्वारा दिया जाता है।
साथ ही, किया गया कार्य $W$ को $W = Q_{in} \cdot \eta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Q_{in}$ स्रोत से अवशोषित ऊष्मा है।
इंजन $A$ के लिए: $W_A = Q_A \left(1 - \frac{T}{600}\right)$.
इंजन $B$ के लिए: $W_B = Q_B \left(1 - \frac{400}{T}\right)$.
चूंकि इंजन श्रेणीक्रम में हैं, इंजन $A$ द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा इंजन $B$ द्वारा अवशोषित ऊष्मा है, इसलिए $Q_B = Q_A \left(\frac{T}{600}\right)$.
चूंकि $W_A = W_B$ दिया गया है, हमारे पास $Q_A \left(1 - \frac{T}{600}\right) = Q_A \left(\frac{T}{600}\right) \left(1 - \frac{400}{T}\right)$ है।
समीकरण को सरल बनाने पर: $1 - \frac{T}{600} = \frac{T}{600} - \frac{400}{600}$.
$1 + \frac{400}{600} = \frac{2T}{600}$.
$1 + \frac{2}{3} = \frac{T}{300} \implies \frac{5}{3} = \frac{T}{300}$.
$T = \frac{5 \times 300}{3} = 500 \ K$.

(C) एक कार्नोट इंजन में,समतापीय प्रसार के दौरान किया गया कार्य $(W_{exp})$ $W_{exp} = nRT_H \ln(V_2/V_1)$ द्वारा दिया जाता है और समतापीय संपीड़न के दौरान किया गया कार्य $(W_{comp})$ $W_{comp} = nRT_L \ln(V_2/V_1)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $W_{exp} = W_{comp} + 0.25 W_{comp} = 1.25 W_{comp}$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $nRT_H \ln(V_2/V_1) = 1.25 nRT_L \ln(V_2/V_1)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $T_H = 1.25 T_L$,या $T_L/T_H = 1/1.25 = 0.8$ हो जाता है।
कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - (T_L/T_H)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\eta = 1 - 0.8 = 0.2$।
अतः,दक्षता $20 \%$ है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिया गया है कि स्रोत का तापमान $T_1$,सिंक के तापमान $T_2$ से $25 \%$ अधिक है,इसलिए: $T_1 = T_2 + 0.25 T_2 = 1.25 T_2$.
दक्षता के सूत्र में $T_1$ का मान रखने पर: $\eta = 1 - \frac{T_2}{1.25 T_2} = 1 - \frac{1}{1.25}$.
चूंकि $1.25 = \frac{5}{4}$,इसलिए: $\eta = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
इसे प्रतिशत में बदलने पर: $\eta = \frac{1}{5} \times 100 \% = 20 \%$.

(C) कार्नोट ऊष्मा इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
कार्नोट रेफ्रिजरेटर का निष्पादन गुणांक $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें ऊष्मा इंजन की दक्षता और रेफ्रिजरेटर के निष्पादन गुणांक का अनुपात ज्ञात करना है:
अनुपात $= \frac{\eta}{\beta} = \frac{\frac{T_1 - T_2}{T_1}}{\frac{T_2}{T_1 - T_2}}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
अनुपात $= \frac{T_1 - T_2}{T_1} \times \frac{T_1 - T_2}{T_2} = \frac{(T_1 - T_2)^2}{T_1 T_2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) रेफ्रिजरेटर का निष्पादन गुणांक $(\beta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\beta = \frac{Q_2}{W}$, जहाँ $Q_2$ ठंडे रिज़र्वोयर (कूलिंग कम्पार्टमेंट) से निकाली गई ऊष्मा है और $W$ सिस्टम पर किया गया कार्य है।
दिया गया है: $\beta = 5$ और $Q_2 = 250 \ J$.
मान रखने पर: $5 = \frac{250}{W} \implies W = \frac{250}{5} = 50 \ J$.
कमरे में छोड़ी गई ऊष्मा $(Q_1)$ निकाली गई ऊष्मा और किए गए कार्य का योग है: $Q_1 = Q_2 + W$.
$Q_1 = 250 \ J + 50 \ J = 300 \ J$.
अतः, रेफ्रिजरेटर द्वारा कमरे में प्रति चक्र छोड़ी गई ऊष्मा $300 \ J$ है।

(D) कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
मान लीजिए $\Delta T = T_1 - T_2$ तापमान का अंतर है,जो दोनों इंजनों के लिए समान है।
अतः,$\eta = \frac{\Delta T}{T_1}$.
दक्षता का अनुपात $\frac{\eta_A}{\eta_B} = 1.25 = \frac{5}{4}$ दिया गया है।
चूंकि $\eta_A = \frac{\Delta T}{T_{1A}}$ और $\eta_B = \frac{\Delta T}{T_{1B}}$,इसलिए $\frac{\eta_A}{\eta_B} = \frac{T_{1B}}{T_{1A}} = \frac{5}{4}$.
अतः,स्रोतों के निरपेक्ष तापमान का अनुपात $T_{1A} : T_{1B} = 4 : 5$ है।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिया गया है $\eta_1 = \frac{1}{3}$,इसलिए $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{2}{3} \implies T_1 = 1.5 T_2$.
जब स्रोत का तापमान $50 \ K$ कम किया जाता है और सिंक का तापमान $25 \ K$ बढ़ाया जाता है,तो नई दक्षता $\eta_2 = \frac{3}{16}$ हो जाती है।
अतः,$1 - \frac{T_2 + 25}{T_1 - 50} = \frac{3}{16} \implies \frac{T_2 + 25}{T_1 - 50} = \frac{13}{16}$.
समीकरण में $T_1 = 1.5 T_2$ रखने पर:
$\frac{T_2 + 25}{1.5 T_2 - 50} = \frac{13}{16}$.
वज्र-गुणन करने पर: $16(T_2 + 25) = 13(1.5 T_2 - 50)$.
$16 T_2 + 400 = 19.5 T_2 - 650$.
$1050 = 3.5 T_2$.
$T_2 = \frac{1050}{3.5} = 300 \ K$.

(A) दिए गए $P-V$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $I$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जिसका अर्थ है कि आयतन $V$ स्थिर है। यह एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है। अतः,$I-c$ है।
$2$. प्रक्रिया $IV$ एक क्षैतिज रेखा है,जिसका अर्थ है कि दाब $P$ स्थिर है। यह एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है। अतः,$IV-b$ है।
$3$. प्रक्रियाएं $II$ और $III$ ऐसे वक्र हैं जो $P$ और $V$ दोनों में परिवर्तन दर्शाते हैं। चूँकि $II$ और $III$ समतापीय रेखाओं (isotherms) को काटते हैं,वे रुद्धोष्म (adiabatic) और समतापीय (isothermal) प्रक्रियाओं को दर्शाते हैं। विकल्पों की तुलना करने पर,सही मिलान $I-c, II-a, III-d, IV-b$ है।

(B) गैस का अचानक संपीड़न एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक (विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात) है।
दिया गया है:
प्रारंभिक दाब $P_1 = P$
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 400 \ cc$
अंतिम आयतन $V_2 = 100 \ cc$
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.5 = 3/2$
रुद्धोष्म समीकरण में मान रखने पर:
$P \times (400)^{3/2} = P_2 \times (100)^{3/2}$
$P_2 = P \times (400/100)^{3/2}$
$P_2 = P \times (4)^{3/2}$
$P_2 = P \times (2^2)^{3/2}$
$P_2 = P \times 2^3$
$P_2 = 8P$
अतः,अंतिम दाब $8P$ है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $Q = \Delta U + W$ है। चूंकि प्रक्रिया रुद्धोष्म है,$Q = 0$,इसलिए $W = -\Delta U$ होगा।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{5}{2} R$ होती है।
दिया गया है: $n = 3$ मोल,$\Delta T = -50^{\circ} C$ (चूंकि तापमान घट रहा है)।
इसलिए,$\Delta U = 3 \times (\frac{5}{2} R) \times (-50) = 3 \times 2.5 R \times (-50) = -375 R$।
गैस द्वारा किया गया कार्य $W = -\Delta U = -(-375 R) = 375 R$ होगा।

(D) एक आदर्श द्विपरमाणुक गैस के लिए,नियत दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_p = \frac{7}{2}R$ है और नियत आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_v = \frac{5}{2}R$ है।
जब नियत दाब पर $dQ$ ऊष्मा दी जाती है,तो कुल दी गई ऊष्मा $dQ = n C_p dT = n (\frac{7}{2}R) dT$ होती है।
आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाने के लिए उपयोग की गई ऊष्मा $dU = n C_v dT = n (\frac{5}{2}R) dT$ है।
आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाने के लिए उपयोग की गई ऊष्मा का अंश $f = \frac{dU}{dQ} = \frac{n (\frac{5}{2}R) dT}{n (\frac{7}{2}R) dT} = \frac{5/2}{7/2} = \frac{5}{7}$ है।

(C) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए, दबाव $(P)$ और आयतन $(V)$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, हमें $\log P + \gamma \log V = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है, जिसे $\log P = -\gamma \log V + C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है, जहाँ ढाल $m = -\gamma$ है।
ग्राफ से, ढाल की गणना इस प्रकार की जाती है:
$m = \frac{\log P_2 - \log P_1}{\log V_2 - \log V_1} = \frac{2.20 - 2.48}{1.4 - 1.2} = \frac{-0.28}{0.2} = -1.4$.
चूंकि $m = -\gamma$, इसलिए $-\gamma = -1.4$, जिसका अर्थ है कि $\gamma = 1.4$।
अतः, विशिष्ट ऊष्मा क्षमताओं का अनुपात $1.4$ है।

(C) स्थिर दबाव पर एक आदर्श गैस के लिए किया गया कार्य $W$ का सूत्र $W = nR\Delta T$ है।
यहाँ,मोलों की संख्या $n = 6$ है।
सार्वत्रिक गैस नियतांक $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 20^{\circ} C = 20 \ K$ है (क्योंकि सेल्सियस और केल्विन पैमाने पर तापमान का अंतर समान होता है)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = 6 \times 8.31 \times 20$
$W = 120 \times 8.31$
$W = 997.2 \ J$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln P + \gamma \ln V = \text{स्थिरांक}$।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0$।
इसलिए,दबाव में आंशिक परिवर्तन $\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म घातांक $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ है।
आयतन में वृद्धि $\frac{dV}{V} = 0.5 \% = 0.005$ दी गई है।
मान रखने पर: $\frac{dP}{P} = -1.4 \times 0.5 \% = -0.7 \%$।
अतः,दबाव में परिवर्तन $-0.7 \%$ है।

(A) एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ है। $STP$ पर,$1$ मोल गैस $22.4$ लीटर आयतन घेरती है। अतः,मोलों की संख्या $n = 5.6 / 22.4 = 0.25$ मोल है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ होता है।
यहाँ $V_1 = 5.6$ $L$,$V_2 = 0.7$ $L$,और $T_1 = 273$ $K$ दिया गया है।
$T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = 273 \times (5.6/0.7)^{5/3-1} = 273 \times (8)^{2/3} = 273 \times 4 = 1092$ $K$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में गैस पर किया गया कार्य $W = -\Delta U = -n C_v (T_2 - T_1)$ होता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_v = 3R/2$ होता है।
$W = -0.25 \times (3R/2) \times (1092 - 273) = -0.375 R \times 819 = -307.125 R$.
गैस पर किया गया कार्य का परिमाण लगभग $307 R$ है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, किया गया कार्य $W$ का सूत्र है: $W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1}$।
चूंकि $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$, इसलिए $P_f = P_i (V_i / V_f)^\gamma$ होता है।
दिया गया है $V_f = 8 V_i$ और एकपरमाणुक गैस के लिए $\gamma = 5/3$, इसलिए $P_f = P_i (1/8)^{5/3} = P_i / 32$ प्राप्त होता है।
इन मानों को कार्य के सूत्र में रखने पर: $W = \frac{P_i V_i - (P_i / 32)(8 V_i)}{5/3 - 1} = \frac{P_i V_i - P_i V_i / 4}{2/3} = \frac{(3/4) P_i V_i}{2/3} = \frac{9}{8} P_i V_i$।
दिया गया है $W = 180 \text{ J}$ और $P_i = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$, इसलिए $180 = \frac{9}{8} \times 10^5 \times V_i$।
$V_i = \frac{180 \times 8}{9 \times 10^5} = \frac{160}{10^5} = 1.6 \times 10^{-3} \text{ m}^3$।
इसे $\text{cm}^3$ में बदलने पर: $1.6 \times 10^{-3} \times 10^6 \text{ cm}^3 = 1600 \text{ cm}^3$।

(B) ऊष्मागतिकी का शून्य कोटि का नियम बताता है कि यदि दो निकाय किसी तीसरे निकाय के साथ तापीय साम्यावस्था में हैं,तो वे एक-दूसरे के साथ भी तापीय साम्यावस्था में होते हैं।
तापीय साम्यावस्था को उस स्थिति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें एक-दूसरे के संपर्क में रहने वाले दो निकायों के बीच कोई शुद्ध ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं होता है।
यह स्थिति तब पूरी होती है जब दोनों निकायों का तापमान समान होता है।
इसलिए,तापीय साम्यावस्था में दो निकायों के लिए समान रहने वाली भौतिक राशि तापमान है।

(C) प्लांक नियतांक $(h)$ एक फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ और उसकी आवृत्ति $(
u)$ से समीकरण $E = h
u$ द्वारा संबंधित है।
इससे,हम लिख सकते हैं $h = \frac{E}{\nu}$।
ऊर्जा $(E)$ का विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ है।
आवृत्ति $(
u)$ का विमीय सूत्र $[T^{-1}]$ है।
इन मानों को $h$ के समीकरण में रखने पर:
$h = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2 T^{-2+1}] = [ML^2 T^{-1}]$।
अतः,प्लांक नियतांक का सही विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-1}]$ है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि किस युग्म का विमीय सूत्र समान नहीं है,हम प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$1$. कार्य और बल आघूर्ण: दोनों का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
$2$. कोणीय संवेग और प्लांक नियतांक: दोनों का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-1}]$ है।
$3$. प्रतिबल और रैखिक संवेग: प्रतिबल प्रति इकाई क्षेत्रफल पर बल है,जिसका सूत्र $[ML^{-1}T^{-2}]$ है। रैखिक संवेग द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है,जिसका सूत्र $[MLT^{-1}]$ है। ये समान नहीं हैं।
$4$. पृष्ठ तनाव और बल नियतांक: दोनों का विमीय सूत्र $[MT^{-2}]$ है।
अतः,वह युग्म जिसका विमीय सूत्र समान नहीं है,वह प्रतिबल और रैखिक संवेग है।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमा समान होनी चाहिए।
$1$. $(t+c)$ पद के लिए,$c$ की विमा समय $t$ की विमा के समान होनी चाहिए। अतः,$[c] = [T]$।
$2$. $at$ पद के लिए,$at$ की विमा वेग $v$ की विमा के बराबर होनी चाहिए। चूँकि $[v] = [LT^{-1}]$ और $[t] = [T]$,इसलिए $[a][T] = [LT^{-1}]$,जिससे $[a] = [LT^{-2}]$ प्राप्त होता है।
$3$. $\frac{b}{t+c}$ पद के लिए,इस पद की विमा वेग $v$ की विमा के बराबर होनी चाहिए। चूँकि $[t+c] = [T]$ और $[v] = [LT^{-1}]$,इसलिए $\frac{[b]}{[T]} = [LT^{-1}]$,जिससे $[b] = [L]$ प्राप्त होता है।
अतः,विमाएँ $[a] = [LT^{-2}]$,$[b] = [L]$,और $[c] = [T]$ हैं।

(B) सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार:
$1$. अग्रणी शून्य (पहले गैर-शून्य अंक के बाईं ओर के शून्य) सार्थक नहीं होते हैं। $0.03240$ में,$3$ से पहले के शून्य सार्थक नहीं हैं।
$2$. गैर-शून्य अंक हमेशा सार्थक होते हैं। यहाँ,$3, 2, 4$ सार्थक हैं।
$3$. दशमलव संख्या में अंत में आने वाले शून्य सार्थक होते हैं। $0.03240$ के अंत में स्थित शून्य सार्थक है।
अतः,सार्थक अंक $3, 2, 4, 0$ हैं,जो कुल $4$ सार्थक अंक प्रदान करते हैं।

(B) दिया गया समीकरण $\text{Force} = \frac{\alpha}{\text{density} + \beta^3}$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जिन भौतिक राशियों को जोड़ा जाता है,उनकी विमाएँ समान होनी चाहिए।
इसलिए,$\beta^3$ की विमा घनत्व (density) की विमा के बराबर होनी चाहिए।
घनत्व की विमा = $[M L^{-3} T^0]$।
अतः,$[\beta^3] = [M L^{-3} T^0]$।
घनमूल लेने पर,$[\beta] = [M^{1/3} L^{-1} T^0]$।
अब,बल (force) की विमा $[M L T^{-2}]$ है।
समीकरण से,$\alpha = \text{Force} \times (\text{density} + \beta^3)$।
चूंकि $(\text{density} + \beta^3)$ की विमा घनत्व के समान है,इसलिए $[\alpha] = [M L T^{-2}] \times [M L^{-3} T^0] = [M^2 L^{-2} T^{-2}]$।
अतः,विमाएँ $[M^2 L^{-2} T^{-2}]$ और $[M^{1/3} L^{-1} T^0]$ हैं।

(A) गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ की विमा $[M L^2 T^{-2}]$ है।
पृष्ठ तनाव $(S)$ की विमा $[M T^{-2}]$ है।
माना अभीष्ट भौतिक राशि $X = \sqrt{\frac{K.E.}{S}}$ है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $X = \sqrt{\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[M T^{-2}]}}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $X = \sqrt{[L^2]} = [L]$.
विमा $[L]$ लंबाई या दूरी को दर्शाती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) मान लीजिए अधिकतम तापमान $T_1 = 44^{\circ} C \pm 0.5^{\circ} C$ है और न्यूनतम तापमान $T_2 = 22^{\circ} C \pm 0.5^{\circ} C$ है।
तापमान का अंतर $\Delta T = T_1 - T_2$ द्वारा दिया जाता है।
अंतर का मान $44^{\circ} C - 22^{\circ} C = 22^{\circ} C$ है।
त्रुटि प्रसार के नियम के अनुसार,जब दो राशियों को घटाया जाता है,तो उनकी निरपेक्ष त्रुटियों को जोड़ा जाता है।
इसलिए,अंतर में त्रुटि $\Delta(\Delta T) = \Delta T_1 + \Delta T_2 = 0.5^{\circ} C + 0.5^{\circ} C = 1.0^{\circ} C$ होगी।
अतः,तापमान का अंतर $22^{\circ} C \pm 1^{\circ} C$ है।

(A) चरण $1$: कोष्ठक के अंदर घटाव करें। $0.312 - 0.03 = 0.282$। घटाव के लिए सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने सबसे कम दशमलव स्थानों वाली माप में हैं। यहाँ,$0.03$ में दो दशमलव स्थान हैं,इसलिए परिणाम $0.282$ को $0.28$ (दो दशमलव स्थान) तक राउंड ऑफ किया जाता है।
चरण $2$: भाग करें। $\frac{0.501}{0.05} = 10.02$।
चरण $3$: परिणामों का गुणा करें। $10.02 \times 0.28 = 2.8056$।
चरण $4$: गुणा के नियमों को लागू करें। परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या उतनी ही होनी चाहिए जितनी सबसे कम सार्थक अंकों वाली माप में है। $0.05$ में $1$ सार्थक अंक है और $0.28$ में $2$ सार्थक अंक हैं। इसलिए,अंतिम परिणाम को $1$ सार्थक अंक तक राउंड ऑफ किया जाना चाहिए। अतः,सार्थक अंकों की संख्या $1$ है।

(B) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$,$S = 4\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta S}{S} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\frac{\Delta S}{S} \times 100 = 1.2 \%$,इसलिए $2 \frac{\Delta r}{r} \times 100 = 1.2 \%$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.6 \%$.
गोले का आयतन $V$,$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{\Delta r}{r}$ का मान रखने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times 0.6 \% = 1.8 \%$ प्राप्त होता है।

(C) दो तरंगों के बीच का कलांतर उनके तर्कों (arguments) के अंतर द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $\phi_1 = \omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}$ और $\phi_2 = \omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \phi$ है।
पथ अंतर $(\Delta x)$ और कलांतर $(\Delta \phi)$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$।
पथ अंतर $\Delta x$ के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \Delta \phi$।
समीकरण में $\Delta \phi = \phi$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \phi$।

(D) अप्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 0.7 \sin \left(\frac{7 \pi}{4} x\right) \cos (350 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
तरंग संख्या $k = \frac{7 \pi}{4} \ m^{-1}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 350 \pi \ rad \ s^{-1}$
तरंग की चाल $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या का अनुपात होती है:
$v = \frac{\omega}{k}$
मान रखने पर:
$v = \frac{350 \pi}{7 \pi / 4}$
$v = 350 \pi \times \frac{4}{7 \pi}$
$v = 50 \times 4 = 200 \ m \ s^{-1}$
अतः,तरंग की चाल $200 \ m \ s^{-1}$ है।

(C) तने हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है, जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है。
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L}$。
दिया गया है: $m = 5 \times 10^{-3} \text{ kg}$, $L = 81 \text{ cm} = 0.81 \text{ m}$, $T = 50 \text{ N}$。
$\mu$ की गणना करें: $\mu = \frac{5 \times 10^{-3}}{0.81} \text{ kg/m}$。
अब, मानों को गति के सूत्र में रखें:
$v = \sqrt{\frac{50}{\frac{5 \times 10^{-3}}{0.81}}} = \sqrt{\frac{50 \times 0.81}{5 \times 10^{-3}}} = \sqrt{10 \times 0.81 \times 10^3} = \sqrt{8100} = 90 \text{ m s}^{-1}$。
अतः, अनुप्रस्थ तरंग की गति $90 \text{ m s}^{-1}$ है。

(C) तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx + \omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 1.5 \sin((5 \times 10^{-3} x) + 20 t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
तरंग संख्या $k = 5 \times 10^{-3} \ cm^{-1}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 20 \ rad/s$
तरंग की चाल $v = \frac{\omega}{k} = \frac{20}{5 \times 10^{-3}} = 4000 \ cm/s = 40 \ m/s$ है।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = \frac{m}{L} = \frac{3 \ g}{80 \ cm} = \frac{3 \times 10^{-3} \ kg}{0.8 \ m} = 3.75 \times 10^{-3} \ kg/m$ है।
तनी हुई डोरी में तरंग की चाल $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होती है,जहाँ $T$ तनाव है।
अतः,$T = v^2 \mu = (40)^2 \times (3.75 \times 10^{-3}) = 1600 \times 0.00375 = 6 \ N$।

(D) ध्वनि की गति $v = 330 \ m \ s^{-1}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 0.99 \ m$ और $\lambda_2 = 1.00 \ m$ हैं।
आवृत्तियाँ $f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{330}{0.99} = \frac{33000}{99} = \frac{1000}{3} \ Hz$ और $f_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{330}{1.00} = 330 \ Hz$ हैं।
विस्पंद आवृत्ति $f_b = |f_1 - f_2| = |\frac{1000}{3} - 330| = |\frac{1000 - 990}{3}| = \frac{10}{3} \ Hz$ है।
विस्पंद आवृत्ति को प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है। अतः,$f_b = \frac{\text{विस्पंदों की संख्या}}{t}$।
दिया गया है कि $t$ सेकंड में $10$ विस्पंद उत्पन्न होते हैं,इसलिए $\frac{10}{3} = \frac{10}{t}$।
अतः,$t = 3 \ s$ प्राप्त होता है।

(D) दो ध्वनि तरंगों के दिए गए समीकरण $y_1 = 3 \sin(250 \pi t)$ और $y_2 = 2 \sin(260 \pi t)$ हैं।
इन्हें मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = 250 \pi \text{ rad/s}$ और $\omega_2 = 260 \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होती हैं।
आवृत्तियाँ $f_1$ और $f_2$ को $f = \frac{\omega}{2 \pi}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
अतः,$f_1 = \frac{250 \pi}{2 \pi} = 125 \text{ Hz}$ और $f_2 = \frac{260 \pi}{2 \pi} = 130 \text{ Hz}$।
बीट आवृत्ति $f_b$ दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_b = |f_2 - f_1| = |130 - 125| = 5 \text{ Hz}$।
दो क्रमिक अधिकतम तीव्रताओं के बीच का समयांतराल बीट्स का आवर्तकाल है,जो $T_b = \frac{1}{f_b}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$T_b = \frac{1}{5} = 0.2 \text{ s}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) मान लीजिए ध्वनि की गति $v$ है। स्रोत की गति $v_s = 0.1v$ और प्रेक्षक की गति $v_o = 0.1v$ है।
चूंकि दोनों एक-दूसरे के करीब आ रहे हैं,इसलिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार प्रेक्षित आवृत्ति $f'$ होगी:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
मान रखने पर:
$f' = f \left( \frac{v + 0.1v}{v - 0.1v} \right) = f \left( \frac{1.1v}{0.9v} \right) = f \left( \frac{11}{9} \right)$
$f' \approx 1.222f$
आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f' - f = 1.222f - f = 0.222f$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta f}{f} \times 100 = 0.222 \times 100 = 22.2 \%$ है।

(B) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए, $n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \cdot f_1$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक होना चाहिए $(n = 1, 3, 5, 7, 9, ...)$।
$L$ लंबाई के एक बंद ऑर्गन पाइप में, $n^{th}$ हार्मोनिक के लिए बनने वाले नोड्स की संख्या $N$ सूत्र $N = \frac{n+1}{2}$ द्वारा दी जाती है।
पांचवें हार्मोनिक $(n = 5)$ के लिए:
$N_5 = \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3$।
नौवें हार्मोनिक $(n = 9)$ के लिए:
$N_9 = \frac{9+1}{2} = \frac{10}{2} = 5$।
अतः, बनने वाले नोड्स की संख्या क्रमशः $3$ और $5$ है।

(D) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y(x, t) = A \sin (kx - \omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y(x, t) = 0.5 \sin (70.1 x - 10 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 10 \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच का संबंध $\omega = 2 \pi f$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,$10 \pi = 2 \pi f$ प्राप्त होता है।
$f$ के लिए हल करने पर,$f = \frac{10 \pi}{2 \pi} = 5 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
अतः,तरंग की आवृत्ति $5 \text{ Hz}$ है।

(A) ध्वनि तरंग की आवृत्ति $f = 500 \text{ Hz}$ है।
तरंग को $X$ से $Y$ तक यात्रा करने में लगा समय $t = 2 \text{ s}$ है।
समय $t$ में स्रोत द्वारा उत्पन्न तरंगों की संख्या $N$ को सूत्र $N = f \times t$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $N = 500 \text{ Hz} \times 2 \text{ s} = 1000$।
अतः,बिंदुओं $X$ और $Y$ के बीच $1000$ तरंगें हैं।

(C) एक खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि $T$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{L}$ होता है,जिसका अर्थ है $fL = \text{स्थिरांक} = k$.
इसलिए,$L = \frac{k}{f}$.
जब $L$ लंबाई के तार को $L_1, L_2, L_3$ लंबाई के तीन खंडों में विभाजित किया जाता है,तो $L = L_1 + L_2 + L_3$ होता है।
समीकरण में $L = \frac{k}{f}$,$L_1 = \frac{k}{f_1}$,$L_2 = \frac{k}{f_2}$,और $L_3 = \frac{k}{f_3}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{k}{f} = \frac{k}{f_1} + \frac{k}{f_2} + \frac{k}{f_3}$.
दोनों पक्षों को $k$ से विभाजित करने पर,हमें संबंध प्राप्त होता है: $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3}$.

(B) दिया गया है: गेंद का द्रव्यमान $m = 0.25 \ kg$,अंतिम वेग $v = 12 \ m \ s^{-1}$,प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m \ s^{-1}$,और दूरी $s = 0.9 \ m$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2as$.
मान रखने पर: $(12)^2 = (0)^2 + 2 \times a \times 0.9$.
$144 = 1.8 \times a$.
$a = 144 / 1.8 = 80 \ m \ s^{-2}$.
अब,न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए: $F = ma$.
$F = 0.25 \ kg \times 80 \ m \ s^{-2} = 20 \ N$.
अतः,गेंद पर कार्य करने वाला कुल बल $20 \ N$ है।

(B) कण की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} m v^2$ होता है।
चूंकि कण अचर चाल $v$ से गति कर रहा है,इसलिए गति के दौरान उसके वेग का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
द्रव्यमान $m$ और चाल $v$ के अचर होने के कारण,वृत्ताकार पथ के प्रत्येक बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K$ स्थिर रहती है।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta K)$ को अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_f)$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $K_f = K_i = \frac{1}{2} m v^2$,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = 0$ है।

(A) क्षैतिज स्थिति में गोलक की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $PE_i = mgh$ है,जहाँ $h = L = 200 \ cm = 2 \ m$ है।
अतः,$PE_i = m \times 10 \times 2 = 20m$.
जब गोलक माध्य स्थिति पर पहुँचता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
दिया गया है कि प्रारंभिक ऊर्जा का $10 \%$ नष्ट हो जाता है,इसलिए शेष ऊर्जा प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा का $90 \%$ है।
$KE_f = 0.9 \times PE_i = 0.9 \times mgL = 0.9 \times m \times 10 \times 2 = 18m$.
माध्य स्थिति पर,$KE_f = \frac{1}{2}mv^2$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = 18m$.
$v^2 = 36$.
$v = 6 \ m \ s^{-1}$.

(B) दिया गया है: पिंड $A$ का द्रव्यमान $(m_A = 20 \ kg)$,पिंड $B$ का द्रव्यमान $(m_B = 5 \ kg)$,बल $(F = 40 \ N)$।
चूंकि दोनों पिंड विराम अवस्था से शुरू होते हैं,उनकी गतिज ऊर्जा $K_A = K_B = K$ है।
गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{p^2}{2m}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
चूंकि $K_A = K_B$,इसलिए $\frac{p_A^2}{2m_A} = \frac{p_B^2}{2m_B} \implies \frac{p_A}{p_B} = \sqrt{\frac{m_A}{m_B}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$.
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,$F \cdot t = \Delta p$। प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए $p = F \cdot t$।
अतः,$\frac{p_A}{p_B} = \frac{F \cdot t_A}{F \cdot t_B} = \frac{t_A}{t_B}$।
इसलिए,$\frac{t_A}{t_B} = 2$,जिसका अर्थ है $t_A: t_B = 2: 1$।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2000 \ kg$,शक्ति $P = 10 \ kW = 10000 \ W$,समय $t = 10 \ s$.
हम जानते हैं कि शक्ति $P = F \cdot v = (m \cdot a) \cdot v = m \cdot \frac{dv}{dt} \cdot v$.
अतः,$P \cdot dt = m \cdot v \cdot dv$.
दोनों पक्षों का $t = 0$ से $t = 10 \ s$ और $v = 0$ से $v = v$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{10} P \, dt = \int_{0}^{v} m \cdot v \, dv$.
$P \cdot t = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.
$10000 \times 10 = \frac{1}{2} \times 2000 \times v^2$.
$100000 = 1000 \times v^2$.
$v^2 = 100$.
$v = 10 \ m \ s^{-1}$.

(B) कुएं की त्रिज्या $r = 1 \ m$ और गहराई $h = 14 \ m$ है।
पानी का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi \times (1)^2 \times 14 = 14\pi \ m^3$.
पानी का द्रव्यमान $m = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = 1000 \ kg/m^3 \times 14\pi \ m^3 = 14000\pi \ kg$.
कुएं को खाली करने के लिए किया गया कार्य पानी की स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है,जहाँ द्रव्यमान केंद्र $h/2 = 7 \ m$ की गहराई पर है।
$W = mgh_{cm} = (14000\pi) \times 10 \times 7 = 980000\pi \ J$.
शक्ति $P = 1.4 \ kW = 1400 \ W$.
समय $t = W / P = (980000\pi) / 1400 = 700\pi \ s$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$t = 700 \times 3.14 = 2198 \ s \approx 2200 \ s$.

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,मंदक बल द्वारा किया गया कार्य पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K$
$F \cdot d = \frac{1}{2} m v^2$
चूंकि दोनों पिंडों के लिए मंदक बल $F$ समान है,इसलिए विराम अवस्था में आने से पहले तय की गई दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{m v^2}{2F}$
पिंड $A$ के लिए:
$d_A = \frac{m_A v_A^2}{2F} = \frac{1.5 \times (20)^2}{2F} = \frac{1.5 \times 400}{2F} = \frac{600}{2F}$
पिंड $B$ के लिए:
$d_B = \frac{m_B v_B^2}{2F} = \frac{3 \times (15)^2}{2F} = \frac{3 \times 225}{2F} = \frac{675}{2F}$
दूरियों का अनुपात है:
$\frac{d_A}{d_B} = \frac{600}{675} = \frac{24}{27} = \frac{8}{9}$
अतः,अनुपात $8: 9$ है।

(A) कण की स्थितिज ऊर्जा $U(x) = 5x(x-4) = 5x^2 - 20x \ J$ द्वारा दी गई है।
एक संरक्षी क्षेत्र में गति कर रहे कण पर कार्य करने वाला बल $F = -\frac{dU}{dx}$ होता है।
$F = -\frac{d}{dx}(5x^2 - 20x) = -(10x - 20) = 20 - 10x$।
कण की चाल तब अधिकतम होती है जब उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य हो (साम्यावस्था स्थिति)।
$F = 0$ रखने पर,हमें $20 - 10x = 0$ प्राप्त होता है।
$10x = 20$,जिसका अर्थ है $x = 2 \ m$।
इस स्थिति पर,स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है,और ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है,जिसका अर्थ है कि चाल अधिकतम है।

(A) पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
जमीन पर $(h=0)$ प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (20)^2 = 200m \,J$ है।
जमीन पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = 0 \,J$ है।
कुल ऊर्जा $E = K_i + U_i = 200m \,J$ है।
$5 \,m$ की ऊँचाई पर, स्थितिज ऊर्जा $U_5 = mgh = m(10)(5) = 50m \,J$ है।
दिया गया है कि $U_5 = 100 \,J$, इसलिए $50m = 100$, जिससे $m = 2 \,kg$ प्राप्त होता है।
कुल ऊर्जा $E = 200(2) = 400 \,J$ है।
$10 \,m$ की ऊँचाई पर, स्थितिज ऊर्जा $U_{10} = mgh = 2(10)(10) = 200 \,J$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, $E = K_{10} + U_{10}$।
$400 = K_{10} + 200$।
$K_{10} = 200 \,J$।

(B) दिया गया है: ट्रेन का द्रव्यमान $m = 10^6 \ kg$,गति $v = 108 \ km/h$।
सबसे पहले,गति को $SI$ इकाइयों में बदलें: $v = 108 \times \frac{5}{18} \ m/s = 30 \ m/s$।
प्रति $100 \ kg$ घर्षण बल $0.5 \ N$ है।
कुल घर्षण बल $F = \frac{10^6 \ kg}{100 \ kg} \times 0.5 \ N = 10^4 \times 0.5 \ N = 5000 \ N$।
चूंकि ट्रेन स्थिर गति से चल रही है,इसलिए ड्राइविंग बल घर्षण बल के बराबर होना चाहिए: $F_{drive} = F = 5000 \ N$।
शक्ति $P = F_{drive} \times v = 5000 \ N \times 30 \ m/s = 150,000 \ W = 150 \ kW$।

(A) माना कांच के स्लैब का अपवर्तनांक $\mu$ है। बिंदु $A$ पर आपतन कोण $i = 45^\circ$ है। माना $A$ पर अपवर्तन कोण $r$ है। स्नेल के नियम के अनुसार,$1 \cdot \sin(45^\circ) = \mu \cdot \sin(r)$,इसलिए $\sin(r) = \frac{1}{\mu\sqrt{2}}$.
बिंदु $B$ पर,आपतन कोण $r' = 90^\circ - r$ है। पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए,जहाँ $\sin(C) = \frac{1}{\mu}$.
अतः,$\sin(90^\circ - r) \ge \frac{1}{\mu}$,जिसका अर्थ है $\cos(r) \ge \frac{1}{\mu}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\cos^2(r) \ge \frac{1}{\mu^2}$,इसलिए $1 - \sin^2(r) \ge \frac{1}{\mu^2}$.
$\sin^2(r) = \frac{1}{2\mu^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 - \frac{1}{2\mu^2} \ge \frac{1}{\mu^2}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $1 \ge \frac{3}{2\mu^2}$ हो जाता है।
इस प्रकार,$\mu^2 \ge \frac{3}{2}$,या $\mu \ge \sqrt{\frac{3}{2}}$. न्यूनतम अपवर्तनांक $\sqrt{\frac{3}{2}}$ है।

(C) स्पष्ट दृष्टि की सामान्य न्यूनतम दूरी $(D)$ $25 \ cm$ होती है। चूंकि लड़के की न्यूनतम दूरी $35 \ cm$ है,इसलिए वह दूरदृष्टि दोष (hypermetropia) से पीड़ित है।
इसे ठीक करने के लिए,हमें एक उत्तल लेंस का उपयोग करना होगा जो $25 \ cm$ पर रखी वस्तु का आभासी प्रतिबिंब लड़के के वास्तविक निकट बिंदु $35 \ cm$ पर बनाए।
यहाँ,वस्तु की दूरी $u = -25 \ cm$ और प्रतिबिंब की दूरी $v = -35 \ cm$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-35} - \frac{1}{-25} = \frac{1}{25} - \frac{1}{35}$.
$\frac{1}{f} = \frac{7 - 5}{175} = \frac{2}{175}$.
$f = \frac{175}{2} = 87.5 \ cm$.
चूंकि फोकस दूरी धनात्मक है,इसलिए यह एक उत्तल लेंस है।

(D) निकट-दृष्टि दोष (मायोपिया) वाला व्यक्ति दूर की वस्तुओं को स्पष्ट रूप से नहीं देख सकता क्योंकि प्रतिबिंब रेटिना के सामने बनता है। इसे ठीक करने के लिए अवतल लेंस का उपयोग किया जाता है।
व्यक्ति अनंत पर स्थित वस्तुओं $(u = \infty)$ को देख सके, इसके लिए लेंस को व्यक्ति के दूर बिंदु $(v = -400 \ cm = -4 \ m)$ पर आभासी प्रतिबिंब बनाना चाहिए।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-4} - \frac{1}{\infty} = -0.25 \ m^{-1}$.
चूंकि शक्ति $P = \frac{1}{f(\text{meters में})}$ होती है, इसलिए हमें $P = -0.25 \ D$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि दो लेंसों की फोकस दूरियाँ $f_1$ और $f_2$ हैं।
जब लेंस संपर्क में होते हैं,तो तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ होता है।
यहाँ $F = 4 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{4}$।
इसे सरल करने पर $\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
हमें $f_1 + f_2 = 18 \ cm$ दिया गया है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{18}{f_1 f_2} = \frac{1}{4}$,जिससे $f_1 f_2 = 72 \ cm^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,हमारे पास योग $f_1 + f_2 = 18$ और गुणनफल $f_1 f_2 = 72$ है।
ये मान द्विघात समीकरण $x^2 - 18x + 72 = 0$ के मूल हैं।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 6)(x - 12) = 0$।
अतः,लेंसों की फोकस दूरियाँ $6 \ cm$ और $12 \ cm$ हैं।
शक्ति $P$ फोकस दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(P = \frac{1}{f})$।
जिस लेंस की शक्ति कम होगी,उसकी फोकस दूरी अधिक होगी।
इसलिए,कम शक्ति वाले लेंस की फोकस दूरी $12 \ cm$ है।

(D) मान लीजिए उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f$ है। लेंस द्वारा उत्पन्न आवर्धन $m = \frac{f}{f+u}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u$ वस्तु की दूरी है।
उत्तल लेंस के लिए,यदि प्रतिबिंब का आकार समान है,तो आवर्धन $m = 1$ (आभासी प्रतिबिंब) या $m = -1$ (वास्तविक प्रतिबिंब) होना चाहिए।
स्थिति $1$: वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$m = -1$। सूत्र $m = \frac{f}{f+u}$ का उपयोग करने पर,$-1 = \frac{f}{f+u_1}$,जिसका अर्थ है $f+u_1 = -f$,इसलिए $u_1 = -2f$। दिया गया है $u_1 = -20 \ cm$,इसलिए $2f = 20 \ cm$,यानी $f = 10 \ cm$।
स्थिति $2$: यदि दो अलग-अलग स्थितियों के लिए प्रतिबिंब का आकार समान है,तो एक प्रतिबिंब वास्तविक और एक आभासी होना चाहिए। उत्तल लेंस के लिए,आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ है। प्रतिबिंब का आकार समान होने के कारण,$|m_1| = |m_2|$।
वस्तु की दूरियाँ $u_1 = -20 \ cm$ और $u_2 = -10 \ cm$ हैं। आवर्धन $m = \frac{f}{f+u}$ है।
$u_1 = -20$ के लिए,$m_1 = \frac{f}{f-20}$। $u_2 = -10$ के लिए,$m_2 = \frac{f}{f-10}$।
प्रतिबिंब का आकार समान होने के कारण,$|m_1| = |m_2|$। इसलिए,$\left| \frac{f}{f-20} \right| = \left| \frac{f}{f-10} \right|$।
यह दर्शाता है कि $\frac{f}{20-f} = \frac{f}{f-10}$ (चूंकि एक प्रतिबिंब वास्तविक और एक आभासी है,एक आवर्धन ऋणात्मक है)।
$20-f = f-10 \implies 2f = 30 \implies f = 15 \ cm$।

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में लेंस के लिए $(\mu_a = 1)$: $\frac{1}{f_a} = (\mu_l - 1) K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
द्रव में लेंस के लिए $(\mu_{liq})$: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_l}{\mu_{liq}} - 1) K$.
दिया गया है कि $\frac{f_a}{f_l} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{f_l}{f_a} = 2$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{f_a}{f_l} = \frac{(\frac{\mu_l}{\mu_{liq}} - 1)}{(\mu_l - 1)} = \frac{1}{2}$.
$\mu_l = 1.5$ रखने पर: $\frac{(\frac{1.5}{\mu_{liq}} - 1)}{(1.5 - 1)} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1.5}{\mu_{liq}} - 1 = 0.5 \times 0.5 = 0.25$.
$\frac{1.5}{\mu_{liq}} = 1.25$.
$\mu_{liq} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2$.

(B) उत्तल दर्पण के लिए,आवर्धन $m$ को $m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार का $1/n$ गुना है,इसलिए $m = 1/n$ है।
अतः,$1/n = -v/u$,जिसका अर्थ है $v = -u/n$।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f$ उत्तल दर्पण की फोकस दूरी (धनात्मक) है।
दर्पण सूत्र में $v = -u/n$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{-u/n} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$-\frac{n}{u} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{1-n}{u} = \frac{1}{f}$
$u = f(1-n)$।
चूंकि वस्तु की दूरी $u$ पारंपरिक रूप से ऋणात्मक होती है,इसलिए इसका परिमाण $|u| = f(n-1)$ है।

(D) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
जब प्रिज्म के अंदर प्रकाश किरण आधार के समानांतर चलती है,तो किरण न्यूनतम विचलन की स्थिति में होती है,जिसका अर्थ है कि आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर होता है,और अपवर्तन कोण $r_1$,$r_2$ के बराबर होता है।
चूंकि $r_1 + r_2 = A$,इसलिए $2r = 60^{\circ}$,जिससे $r = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
दिया गया है $\mu = \sqrt{3}$ और $r = 30^{\circ}$,इसलिए $\sqrt{3} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $\sin i = \sqrt{3} \times 0.5 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$i = 60^{\circ}$.

(D) रजतित दूसरे फलक से परावर्तन के बाद प्रकाश किरण के अपने पथ को पुनः अनुरेखित करने के लिए, इसे दूसरे फलक पर लंबवत (सतह के साथ $90^{\circ}$ के कोण पर) आपतित होना चाहिए。
मान लीजिए $i = 60^{\circ}$ पहले फलक पर आपतन कोण है, $r_1$ पहले फलक पर अपवर्तन कोण है और $A = 30^{\circ}$ प्रिज्म का कोण है。
चूंकि किरण दूसरे फलक पर लंबवत आपतित होती है, इसलिए दूसरे फलक पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0^{\circ}$ होगा。
प्रिज्म की ज्यामिति से, हम जानते हैं कि $A = r_1 + r_2$.
मान रखने पर, $30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$, इसलिए $r_1 = 30^{\circ}$.
पहले फलक पर स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\mu = \frac{\sin(i)}{\sin(r_1)}$.
मान रखने पर: $\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$.
$\mu = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
अतः, प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $\sqrt{3}$ है।

(C) परिपथ में $40 \ V$ का $DC$ स्रोत,श्रेणी प्रतिरोध $R_s = 2 \ k\Omega$,$20 \ V$ के ब्रेकडाउन वोल्टेज वाला ज़ेनर डायोड और लोड प्रतिरोध $R_L = 5 \ k\Omega$ जुड़े हुए हैं।
सबसे पहले,श्रेणी प्रतिरोध $R_s$ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ की गणना करें:
$I = \frac{V_{source} - V_z}{R_s} = \frac{40 \ V - 20 \ V}{2 \ k\Omega} = \frac{20 \ V}{2 \times 10^3 \ \Omega} = 10 \ mA$.
इसके बाद,लोड प्रतिरोध $R_L$ से प्रवाहित होने वाली लोड धारा $I_L$ की गणना करें:
$I_L = \frac{V_z}{R_L} = \frac{20 \ V}{5 \ k\Omega} = \frac{20 \ V}{5 \times 10^3 \ \Omega} = 4 \ mA$.
ज़ेनर डायोड से प्रवाहित होने वाली धारा $I_z$,कुल धारा और लोड धारा का अंतर है:
$I_z = I - I_L = 10 \ mA - 4 \ mA = 6 \ mA$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $Zener$ $diode$ एक विशेष प्रकार का $PN$ जंक्शन डायोड है जिसे रिवर्स ब्रेकडाउन क्षेत्र में काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
जब $Zener$ $diode$ के आर-पार रिवर्स वोल्टेज $Zener$ ब्रेकडाउन वोल्टेज तक पहुँच जाता है,तो इसके माध्यम से बहने वाली धारा में महत्वपूर्ण परिवर्तन होने पर भी इसके आर-पार वोल्टेज स्थिर रहता है।
यह गुण इसे इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में स्थिर आउटपुट वोल्टेज बनाए रखने के लिए वोल्टेज रेगुलेटर के रूप में उपयोग करने के लिए आदर्श बनाता है।

(B) एक डायोड फॉरवर्ड बायस में तब होता है जब $P$-टर्मिनल का विभव $(V_P)$,$N$-टर्मिनल के विभव $(V_N)$ से अधिक होता है।
विकल्प $A$ में: $V_P = +2 \ V$,$V_N = +3 \ V$। चूंकि $V_P < V_N$,यह रिवर्स बायस है।
विकल्प $B$ में: $V_P = +2 \ V$,$V_N = -2 \ V$। चूंकि $V_P > V_N$,यह फॉरवर्ड बायस है।
विकल्प $C$ में: $V_P = -2 \ V$,$V_N = +2 \ V$। चूंकि $V_P < V_N$,यह रिवर्स बायस है।
विकल्प $D$ में: $V_P = +2 \ V$,$V_N = +2 \ V$। चूंकि $V_P = V_N$,इसमें कोई बायस नहीं है (शून्य बायस)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ बैंड गैप ऊर्जा $E_g = 3 \ eV$ दी गई है।
हम जानते हैं कि $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ होता है।
मान रखने पर,$\lambda = \frac{hc}{E_g} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{3 \ eV}$ प्राप्त होता है।
$\lambda \approx 413.33 \ nm$।
अतः,यह जिस प्रकाश की तरंगदैर्ध्य का पता लगा सकता है,वह लगभग $413 \ nm$ है।

(C) जब एम्पलीफायर श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं, तो कुल वोल्टेज गेन $(A_v)$ व्यक्तिगत एम्पलीफायरों के वोल्टेज गेन का गुणनफल होता है।
दिया गया है: $A_1 = 8$, $A_2 = 12.5$.
कुल वोल्टेज गेन $A_v = A_1 \times A_2 = 8 \times 12.5 = 100$.
इनपुट सिग्नल वोल्टेज $V_{in} = 200 \mu V = 200 \times 10^{-6} \text{ V}$.
आउटपुट वोल्टेज $V_{out}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है: $V_{out} = A_v \times V_{in}$.
$V_{out} = 100 \times 200 \times 10^{-6} \text{ V} = 20000 \times 10^{-6} \text{ V} = 20 \times 10^{-3} \text{ V}$.
चूंकि $10^{-3} \text{ V} = 1 \text{ mV}$, इसलिए आउटपुट वोल्टेज $20 \text{ mV}$ है।

(A) एम्पलीफिकेशन के लिए आवश्यक सक्रिय क्षेत्र (active region) में ट्रांजिस्टर को कार्य करने के लिए,उत्सर्जक-आधार जंक्शन का फॉरवर्ड बायस्ड होना और आधार-संग्राहक जंक्शन का रिवर्स बायस्ड होना आवश्यक है।
फॉरवर्ड बायस्ड उत्सर्जक-आधार जंक्शन में,आवेश वाहक (charge carriers) उत्सर्जक से आधार में प्रवेश करते हैं।
रिवर्स बायस्ड आधार-संग्राहक जंक्शन में,ये वाहक संग्राहक द्वारा एकत्र किए जाते हैं,जिससे धारा नियंत्रण और सिग्नल एम्पलीफिकेशन संभव हो पाता है।

(D) दिया गया है:
वोल्टेज गेन $(A_v)$ = $300$
करंट एम्प्लीफिकेशन फैक्टर $(\beta)$ = $60$
कलेक्टर प्रतिरोध $(R_C)$ = $5 \, k\Omega$
हम जानते हैं कि कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में वोल्टेज गेन $(A_v)$ का सूत्र है:
$A_v = \beta \times \frac{R_C}{R_B}$
बेस प्रतिरोध $(R_B)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$R_B = \beta \times \frac{R_C}{A_v}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$R_B = 60 \times \frac{5 \, k\Omega}{300}$
$R_B = 60 \times \frac{5}{300} \, k\Omega$
$R_B = \frac{300}{300} \, k\Omega$
$R_B = 1 \, k\Omega$
अतः, बेस प्रतिरोध $1 \, k\Omega$ है।

(D) कॉमन एमिटर एम्पलीफायर के लिए,वोल्टेज गेन $(A_v)$ का सूत्र है: $A_v = \beta \times \frac{R_C}{R_B}$,जहाँ $\beta$ करंट एम्पलीफिकेशन फैक्टर है,$R_C$ कलेक्टर प्रतिरोध है और $R_B$ बेस प्रतिरोध है।
दिया गया है कि वोल्टेज गेन $(A_v)$ और करंट एम्पलीफिकेशन फैक्टर $(\beta)$ का अनुपात $4$ है,इसलिए: $\frac{A_v}{\beta} = 4$.
$A_v$ का मान सूत्र में रखने पर: $\frac{\beta \times (R_C / R_B)}{\beta} = 4$.
इसे सरल करने पर: $\frac{R_C}{R_B} = 4$.
अतः,कलेक्टर प्रतिरोध और बेस प्रतिरोध का अनुपात $4 : 1$ है।

(C) एक मानक बाइपोलर जंक्शन ट्रांजिस्टर $(BJT)$ में,तीनों क्षेत्रों को प्रदर्शन को अनुकूलित करने के लिए विशिष्ट भौतिक आयामों के साथ डिज़ाइन किया जाता है।
$1$. $Base$ $(Y)$ को बहुत पतला और हल्का डोप किया जाता है ताकि अधिकांश आवेश वाहक (charge carriers) संग्राहक तक पहुँच सकें।
$2$. $Collector$ $(Z)$ को आकार में सबसे बड़ा बनाया जाता है ताकि उत्सर्जक से एकत्रित शक्ति द्वारा उत्पन्न ऊष्मा का निपटान किया जा सके।
$3$. $Emitter$ $(X)$ मध्यम आकार का होता है,जो आधार से बड़ा लेकिन संग्राहक से छोटा होता है,और बड़ी संख्या में आवेश वाहक प्रदान करने के लिए इसे भारी डोप किया जाता है।
इसलिए,आकारों का क्रम $Collector > Emitter > Base$ है,जो $Z > X > Y$ के अनुरूप है।

(D) ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर का पावर गेन $(A_p)$,करंट गेन $(\beta)$ और वोल्टेज गेन $(A_v)$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$A_p = \beta \times A_v$
वोल्टेज गेन $(A_v)$ को करंट गेन $(\beta)$ और आउटपुट प्रतिरोध $(R_c)$ तथा इनपुट प्रतिरोध $(R_b)$ के अनुपात के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$A_v = \beta \times \frac{R_c}{R_b}$
दिया गया है:
$\beta = 100$
$R_c = 3 \ k\Omega$
$R_b = 2 \ k\Omega$
$A_v$ की गणना करने पर:
$A_v = 100 \times \frac{3 \ k\Omega}{2 \ k\Omega} = 100 \times 1.5 = 150$
अब,पावर गेन $(A_p)$ की गणना करने पर:
$A_p = \beta \times A_v = 100 \times 150 = 15000$
अतः,पावर गेन $15000$ है।

(C) दिया गया है कि संग्राहक धारा $I_C = 0.98 I_E$ है।
हम जानते हैं कि उत्सर्जक धारा,आधार धारा और संग्राहक धारा का योग होती है: $I_E = I_B + I_C$।
$I_C$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I_E = I_B + 0.98 I_E$।
$I_B$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $I_B = I_E - 0.98 I_E = 0.02 I_E$।
अब,हमें आधार धारा और संग्राहक धारा का अनुपात ज्ञात करना है: $\frac{I_B}{I_C} = \frac{0.02 I_E}{0.98 I_E}$।
अनुपात को सरल करने पर: $\frac{I_B}{I_C} = \frac{2}{98} = \frac{1}{49}$।
अतः,अनुपात $1: 49$ है।

(A) मान लीजिए कि इनपुट $A=0, B=1, C=0$ हैं।
$1$. ऊपरी $NAND$ गेट में इनपुट $A=0$ और $B=1$ हैं। इसका आउटपुट $\overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ है।
$2$. दूसरे $NAND$ गेट में इनपुट $A=0$ और पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $(1)$ है। इसका आउटपुट $y_1 = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ है।
$3$. निचले $NOR$ गेट में इनपुट $B=1$ और $C=0$ हैं। इसका आउटपुट $\overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ है।
$4$. दूसरे $NOR$ गेट में इनपुट $C=0$ और पहले $NOR$ गेट का आउटपुट $(0)$ है। इसका आउटपुट $y_2 = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ है।
$5$. अंतिम $OR$ गेट में इनपुट $y_1=1$ और $y_2=1$ हैं। इसका आउटपुट $y_3 = 1 + 1 = 1$ है।
अतः,मान $y_1=1, y_2=1, y_3=1$ हैं।

(C) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले दो $NAND$ गेट्स में से प्रत्येक के इनपुट शॉर्ट किए गए हैं,जिससे वे $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं।
इसलिए,पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{A}$ है और दूसरे $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{B}$ है।
ये आउटपुट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ तीसरे $NAND$ गेट के इनपुट के रूप में दिए जाते हैं।
तीसरे $NAND$ गेट का आउटपुट $Y$,$Y = \overline{(\overline{A} \cdot \overline{B})}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$ होता है।
अतः,$Y = \overline{(\overline{A})} + \overline{(\overline{B})} = A + B$।
चूंकि आउटपुट $Y = A + B$ एक $OR$ गेट को दर्शाता है,इसलिए समतुल्य लॉजिक गेट $OR$ है।

(B) इस परिपथ में एक $AND$ गेट,एक $OR$ गेट और एक $NAND$ गेट शामिल है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
ऊपरी $AND$ गेट को $A$ और $B$ इनपुट मिलते हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y_1 = A \cdot B$ है।
निचले $OR$ गेट को $B$ और $A$ इनपुट मिलते हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y_2 = B + A$ है।
अंतिम $NAND$ गेट को $Y_1$ और $Y_2$ इनपुट के रूप में मिलते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(A \cdot B) \cdot (A + B)}$ है।
बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए: $Y = \overline{(A \cdot B) \cdot A + (A \cdot B) \cdot B} = \overline{(A \cdot B) + (A \cdot B)} = \overline{A \cdot B}$।
यह एक $NAND$ गेट के लिए सत्यता सारणी है:
यदि $A=0, B=0$ है,तो $Y = \overline{0 \cdot 0} = 1$।
यदि $A=0, B=1$ है,तो $Y = \overline{0 \cdot 1} = 1$।
यदि $A=1, B=0$ है,तो $Y = \overline{1 \cdot 0} = 1$।
यदि $A=1, B=1$ है,तो $Y = \overline{1 \cdot 1} = 0$।
इन परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(A) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
प्रत्येक इनपुट एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है,इसलिए पहले चरण के $NAND$ गेट के लिए इनपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हो जाते हैं।
चूंकि पहले चरण के $NAND$ गेट के दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं,इसलिए वे $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं। इस प्रकार,पहले चरण के आउटपुट $\overline{\bar{A}} = A$ और $\overline{\bar{B}} = B$ प्राप्त होते हैं।
इन आउटपुट $A$ और $B$ को अंतिम $NAND$ गेट में भेजा जाता है।
अंतिम $NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ है।
यह $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
इसलिए,यह परिपथ एक $NAND$ गेट के समतुल्य है।

(A) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट और उसके बाद एक $NOR$ गेट है।
मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
दो $NOT$ गेट के आउटपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
ये $NOR$ गेट के लिए इनपुट के रूप में कार्य करते हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$ होता है।
व्यंजक $y = A \cdot B$ एक $AND$ गेट को दर्शाता है।
अतः,यह संयोजन एक $AND$ गेट के समतुल्य है।

(C) यह परिपथ एक $NOR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट से बना है।
$1$. $NOR$ गेट का आउटपुट $y_1 = \overline{A+B}$ है।
यहाँ $A=0$ और $B=1$ दिया गया है,इसलिए $y_1 = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$ होगा।
$2$. $AND$ गेट का आउटपुट $y_2 = y_1 \cdot C$ है।
यहाँ $y_1 = 0$ और $C=1$ है,इसलिए $y_2 = 0 \cdot 1 = 0$ होगा।
अतः,$y_1$ और $y_2$ के मान क्रमशः $0$ और $0$ हैं।

(D) एक ट्रांजिस्टर में तीन क्षेत्र होते हैं: उत्सर्जक (Emitter),आधार (Base),और संग्राहक (Collector)।
$1$. $Base$ बहुत पतला और कम डोपिंग वाला होता है ताकि अधिकांश आवेश वाहक संग्राहक तक पहुँच सकें।
$2$. $Collector$ मध्यम डोपिंग वाला और आकार में बड़ा होता है ताकि गर्मी का निपटान हो सके।
$3$. $Emitter$ भारी डोपिंग वाला होता है ताकि बड़ी संख्या में आवेश वाहक प्रदान किए जा सकें।
अतः,डोपिंग स्तर के बढ़ते क्रम में सही व्यवस्था $Base < Collector < Emitter$ है।

(C) परम शून्य तापमान $(T = 0 \ K)$ पर,सभी संयोजी इलेक्ट्रॉन क्रिस्टल जालक में अपने संबंधित परमाणुओं के साथ मजबूती से बंधे होते हैं।
इलेक्ट्रॉनों को संयोजी बैंड से चालन बैंड में उत्तेजित करने के लिए कोई तापीय ऊर्जा उपलब्ध नहीं होती है।
चूंकि चालन के लिए कोई मुक्त आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन या होल) उपलब्ध नहीं होते हैं,इसलिए नैज अर्धचालक एक पूर्ण अचालक (कुचालक) के रूप में व्यवहार करता है।

(B) एकल-स्लिट विवर्तन में $n$-वें निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $n$ निम्निष्ठ का क्रम है।
प्रथम निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$,इसलिए $a \sin \theta = \lambda$.
चूँकि कोण $\theta$ बहुत छोटा है,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,जहाँ $y$ केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूरी है और $D$ पर्दे तक की दूरी है।
अतः,$y = \frac{n \lambda D}{a}$.
प्रथम निम्निष्ठ $(n = 1)$ के लिए,$y_1 = \frac{\lambda D}{a}$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर प्रथम निम्निष्ठ के बीच की दूरी $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
दिया गया है: $a = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$,$D = 1 \ m$.
मान रखने पर: $2y_1 = \frac{2 \times 500 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \times 10^{-6} \ m = 0.5 \times 10^{-3} \ m = 0.5 \ mm$.

(C) मान लीजिए कि आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
प्रथम ध्रुवक (polariser) से गुजरने के बाद, तीव्रता $I_1 = I_0 / 2$ हो जाती है।
मेलस के नियम के अनुसार, ध्रुवक से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_{in} \cos^2 \theta$ होती है, जहाँ $\theta$ आपतित प्रकाश के ध्रुवण अक्ष और ध्रुवक के अक्ष के बीच का कोण है।
दूसरी शीट के लिए, पहली और दूसरी शीट के बीच का कोण $\theta = 30^{\circ}$ है। अतः, $I_2 = I_1 \cos^2(30^{\circ}) = (I_0 / 2) \times (\sqrt{3} / 2)^2 = (I_0 / 2) \times (3 / 4) = 3I_0 / 8$।
तीसरी शीट के लिए, दूसरी और तीसरी शीट के बीच का कोण भी $\theta = 30^{\circ}$ है। अतः, $I_3 = I_2 \cos^2(30^{\circ}) = (3I_0 / 8) \times (3 / 4) = 9I_0 / 32$।
दूसरी और तीसरी शीट से निकलने वाली तीव्रताओं का अनुपात $I_2 / I_3 = (3I_0 / 8) / (9I_0 / 32) = (3 / 8) \times (32 / 9) = 4 / 3$ है।
अतः, अनुपात $4: 3$ है।

(B) रेले के प्रकीर्णन नियम के अनुसार, जब कणों का आकार प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ से बहुत छोटा होता है, तो प्रकीर्णित प्रकाश की तीव्रता $(I)$ उसकी तरंगदैर्ध्य की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से, इसे $I \propto \frac{1}{\lambda^4}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
इसे $I \propto \lambda^{-4}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।
दिए गए समीकरण $I \propto \lambda^n$ के साथ तुलना करने पर, हमें $n = -4$ प्राप्त होता है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) माना कि पहले पोलरॉइड पर आपतित अध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
जब अध्रुवीकृत प्रकाश पहले पोलरॉइड से गुजरता है,तो संचरित ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ होती है।
मेलस के नियम के अनुसार,जब यह ध्रुवीकृत प्रकाश दूसरे पोलरॉइड से गुजरता है,तो उससे निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ होती है,जहाँ $\theta$ दोनों पोलरॉइड के अक्षों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $I_2 = 37.5 \% \text{ of } I_0 = 0.375 I_0$.
समीकरण में $I_1 = \frac{I_0}{2}$ रखने पर: $0.375 I_0 = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta$.
$0.375 = 0.5 \cos^2 \theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{0.375}{0.5} = 0.75 = \frac{3}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\theta = 30^{\circ}$.

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति के लिए शर्त $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
लाल प्रकाश $(\lambda_r = 7.5 \times 10^{-5} \text{ cm})$ की $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज के लिए,स्थिति $y_r = \frac{n \lambda_r D}{d}$ है।
नीले प्रकाश $(\lambda_b = 5 \times 10^{-5} \text{ cm})$ की $(n+1)^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज के लिए,स्थिति $y_b = \frac{(n+1) \lambda_b D}{d}$ है।
चूंकि फ्रिंज संपाती होती हैं,$y_r = y_b$,जिसका अर्थ है $n \lambda_r = (n+1) \lambda_b$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $n(7.5 \times 10^{-5}) = (n+1)(5 \times 10^{-5})$.
दोनों पक्षों को $10^{-5}$ से विभाजित करने पर,हमें $7.5n = 5(n+1)$ प्राप्त होता है।
$7.5n = 5n + 5$.
$2.5n = 5$.
$n = \frac{5}{2.5} = 2$.
अतः,$n$ का मान $2$ है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
दिया गया है कि $\lambda' = \lambda + 0.20\lambda = 1.20\lambda$ और $d' = d - 0.25d = 0.75d$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\lambda' D}{d'} = \frac{1.20\lambda D}{0.75d}$ है।
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\beta' = \frac{1.20}{0.75} \beta = 1.6 \beta$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta = 0.3 \ mm$ दी गई है,इसलिए अंतिम फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = 1.6 \times 0.3 \ mm = 0.48 \ mm$ होगी।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
यहाँ,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \ Å = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$.
पर्दे और स्लिट्स के बीच की दूरी $D = 1 \ m$.
स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 0.2 \ cm = 0.2 \times 10^{-2} \ m = 2 \times 10^{-3} \ m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{2 \times 10^{-3}}$
$\beta = 2.5 \times 10^{-4} \ m$
इसे मिलीमीटर में बदलने पर:
$\beta = 2.5 \times 10^{-4} \times 10^3 \ mm = 0.25 \ mm$.
अतः,दो क्रमागत अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी $0.25 \ mm$ है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दोनों स्लिट्स के बीच की दूरी है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि फ्रिंज चौड़ाई स्लिट पृथक्करण के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\beta \propto \frac{1}{d}$।
मान लीजिए कि प्रारंभिक स्लिट पृथक्करण $d_1 = d$ है और प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1 = \beta$ है।
दिया गया है कि अंतिम स्लिट पृथक्करण $d_2 = 3d$ है।
इसलिए,अंतिम फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2 = \frac{\lambda D}{3d} = \frac{\beta}{3}$ होगी।
प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई और अंतिम फ्रिंज चौड़ाई का अनुपात $\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{\beta}{\beta/3} = 3:1$ है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स से पर्दे की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
प्रारंभ में,$d_1 = 2 \ mm$,$D_1 = 100 \ cm = 1000 \ mm$,और $\beta_1 = 0.36 \ mm$ है।
अतः,$0.36 = \frac{\lambda \times 1000}{2} \implies \lambda = \frac{0.36 \times 2}{1000} = 0.00072 \ mm$ है।
अब,स्लिट्स के बीच की नई दूरी $d_2 = 2 \ mm - 0.5 \ mm = 1.5 \ mm$ है।
पर्दे की नई दूरी $D_2 = 100 \ cm + 50 \ cm = 150 \ cm = 1500 \ mm$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2$ को $\beta_2 = \frac{\lambda D_2}{d_2}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर: $\beta_2 = \frac{0.00072 \times 1500}{1.5} = \frac{0.00072 \times 1000}{1} = 0.72 \ mm$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: बल्ब की शक्ति $P = 200 \ W$,दूरी $r = 100 \ cm = 1 \ m$,और दक्षता $\eta = 11 \% = 0.11$ है।
दृश्य विकिरण में परिवर्तित शक्ति $P_{vis} = \eta \times P = 0.11 \times 200 \ W = 22 \ W$ है।
यह मानते हुए कि बल्ब एक बिंदु स्रोत के रूप में कार्य करता है,प्रकाश $r$ त्रिज्या के गोले पर समान रूप से फैलता है।
$r$ दूरी पर तीव्रता $I = \frac{P_{vis}}{4 \pi r^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I = \frac{22}{4 \times 3.14 \times (1)^2} = \frac{22}{12.56} \approx 1.75 \ W \ m^{-2}$।

(B) प्रकाश के लिए डॉप्लर प्रभाव के अनुसार तरंगदैर्ध्य में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $v$ स्रोत का सापेक्ष वेग है और $c$ प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \, \text{m} \, \text{s}^{-1})$ है।
दिया गया है: $\lambda = 6600 \, \text{Å}$, $\Delta \lambda = 22 \, \text{Å}$।
चूंकि प्रकाश रेड-शिफ्टेड है, तरंगदैर्ध्य बढ़ जाती है, जिसका अर्थ है कि तारा पृथ्वी से दूर जा रहा है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $v = c \times \frac{\Delta \lambda}{\lambda}$।
मान रखने पर: $v = (3 \times 10^8 \, \text{m} \, \text{s}^{-1}) \times \frac{22 \, \text{Å}}{6600 \, \text{Å}}$।
$v = (3 \times 10^8) \times \frac{1}{300} = 10^6 \, \text{m} \, \text{s}^{-1} = 10 \times 10^5 \, \text{m} \, \text{s}^{-1}$।
अतः, तारा $10 \times 10^5 \, \text{m} \, \text{s}^{-1}$ की गति से पृथ्वी से दूर जा रहा है।