lim _{n rightarrow infty} frac{2^2+4^2+6^2+ld | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2 n)^2}{n^3}$ है।अंश से $2^2 = 4$ को बाहर निकालने पर:$= \lim _{n \rightar

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$\frac{4}{3}$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n ightarrow \infty} \frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2 n)^2}{n^3}$ है।अंश से $2^2 = 4$ को बाहर निकालने पर:$= \lim _{n ightarrow \infty} \frac{4(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)}{n^3}$.प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:$= 4 \lim _{n ightarrow \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$.$= \frac{4}{6} \lim _{n ightarrow \infty} \frac{n \cdot n(1+\frac{1}{n}) \cdot n(2+\frac{1}{n})}{n^3}$.$= \frac{2}{3} \lim _{n ightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})$.जैसे $n ightarrow \infty$,वैसे $\frac{1}{n} ightarrow 0$,इसलिए सीमा $\frac{2}{3} 	imes (1)(2) = \frac{4}{3}$ है।अतः,सही विकल्प $B$ है।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2 n)^2}{n^3} = $

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin[x]}{[x]}, & [x] \neq 0 \\ 0, & [x] = 0 \end{cases}$ जहाँ $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है,तो $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ है:

$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3^x+3^{3-x}-12}{3^{3-x}-3^{\frac{x}{2}}} = $

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