अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} = y - x tan left(f | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y - x 	an \left(\frac{y}{x}ight)$ है।$x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - 	an \left(\frac

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$y = x \sin^{-1}\left(\frac{k}{x}\right)$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y - x 	an \left(\frac{y}{x}ight)$ है।$x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - 	an \left(\frac{y}{x}ight)$ प्राप्त होता है।माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ होगा।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - 	an v$।यह सरल होकर $x \frac{dv}{dx} = -	an v$ या $\frac{dv}{	an v} = -\frac{dx}{x}$ हो जाता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cot v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx$।इससे $\ln |\sin v| = -\ln |x| + \ln |k|$ प्राप्त होता है।लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर,$\ln |\sin v| = \ln \left|\frac{k}{x}ight|$,अतः $\sin v = \frac{k}{x}$।$v = \frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sin \left(\frac{y}{x}ight) = \frac{k}{x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = x \sin^{-1} \left(\frac{k}{x}ight)$।अतः,विकल्प $B$ सही है।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y - x \tan \left(\frac{y}{x}\right)$ का हल ज्ञात कीजिए (यहाँ,$k$ एक स्वेच्छ अचर है)

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