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Question

(B) वृत्तों $S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1-S_2=0$ द्वारा दिया जाता है।$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+

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$2x^2+2y^2+2x+6y+1=0$

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(B) वृत्तों $S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1-S_2=0$ द्वारा दिया जाता है।$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$$-2x-1=0 \Rightarrow 2x+1=0$.$S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।$(x^2+y^2+2x+3y+1) + \lambda(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (2+4\lambda)x + (3+3\lambda)y + (1+2\lambda) = 0$$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर:$x^2+y^2 + \left(\frac{2+4\lambda}{1+\lambda}\right)x + \left(\frac{3+3\lambda}{1+\lambda}\right)y + \frac{1+2\lambda}{1+\lambda} = 0$.इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{1+2\lambda}{1+\lambda}, -\frac{3}{2}\right)$ है।चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $2x+1=0$ एक व्यास है,केंद्र इस पर स्थित होना चाहिए।$2\left(-\frac{1+2\lambda}{1+\lambda}\right) + 1 = 0$$-2-4\lambda+1+\lambda = 0$ $\Rightarrow -3\lambda-1=0$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.$\lambda = -\frac{1}{3}$ रखने पर:$(x^2+y^2+2x+3y+1) - \frac{1}{3}(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$$3x^2+3y^2+6x+9y+3 - x^2-y^2-4x-3y-2 = 0$$2x^2+2y^2+2x+6y+1 = 0$.

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $S_\alpha=0$ के बिंदु वृत्त	$(i)$ अस्तित्व में नहीं हैं
$(B)$ $S_\beta=0$ के बिंदु वृत्त	(ii) प्रतिच्छेदी
$(C)$ $S_\alpha=0$ में वृत्त हैं	(iii) गैर-प्रतिच्छेदी
$(D)$ $S_\beta=0$ में वृत्त हैं	(iv) $(\pm \sqrt{k}, 0)$
	$(v)$ $(0, \pm \sqrt{k})$

उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका व्यास वृत्तों $x^2+y^2+2x+3y+1=0$ और $x^2+y^2+4x+3y+2=0$ की उभयनिष्ठ जीवा है।

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