int frac{dx}{(x + 1)^2 (x^2 + 1)} = | vedclass

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Question

(B) समाकलन $I = \int \frac{dx}{(x + 1)^2 (x^2 + 1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(x + 1)^2 (x^2 + 1)} = \frac{A}{(x + 1)^2} + \frac{B

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$\log_e \sqrt{x + 1} - \frac{1}{2} \log_e \sqrt{x^2 + 1} - \frac{1}{2(x + 1)} + C$

Vedclass · Answer

(B) समाकलन $I = \int \frac{dx}{(x + 1)^2 (x^2 + 1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(x + 1)^2 (x^2 + 1)} = \frac{A}{(x + 1)^2} + \frac{B}{x + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1}$ लिखें।$(x + 1)^2 (x^2 + 1)$ से गुणा करने पर,$1 = A(x^2 + 1) + B(x + 1)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x + 1)^2$ प्राप्त होता है।$x = -1$ रखने पर,$A = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।गुणांकों की तुलना करने पर,$A = \frac{1}{2}$,$B = \frac{1}{2}$,$C = -\frac{1}{2}$,$D = 0$ प्राप्त होते हैं।अतः,$I = \int [\frac{1}{2(x + 1)^2} + \frac{1}{2(x + 1)} - \frac{x}{2(x^2 + 1)}] dx$।प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,$I = \frac{1}{2} [-\frac{1}{x + 1} + \log_e|x + 1| - \frac{1}{2} \log_e(x^2 + 1)] + C$।$I = \frac{1}{2} \log_e(x + 1) - \frac{1}{4} \log_e(x^2 + 1) - \frac{1}{2(x + 1)} + C$।$\frac{1}{2} \log_e(x + 1) = \log_e \sqrt{x + 1}$ और $\frac{1}{4} \log_e(x^2 + 1) = \frac{1}{2} \log_e \sqrt{x^2 + 1}$ का उपयोग करने पर,$I = \log_e \sqrt{x + 1} - \frac{1}{2} \log_e \sqrt{x^2 + 1} - \frac{1}{2(x + 1)} + C$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{dx}{(x + 1)^2 (x^2 + 1)} =$

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मान लीजिए $I(x) = \int \frac{(x+1)}{x(1+x e^x)^2} dx, x > 0$. यदि $\lim_{x \rightarrow \infty} I(x) = 0$ है,तो $I(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{x+1}{x^3-1} \, dx =$

$\int \frac{dx}{1 - x^2} = $

समाकलन $\int \frac{1}{(x+2)(x^2+1)} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)} = $

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