अवकल समीकरण y y^{prime} = x left[ frac{y^2}{x | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y y^{\prime} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)

Vedclass · Accepted Answer

$\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right) = c x^2$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y y^{\prime} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)} \right]$.दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}$.माना $v = \frac{y^2}{x^2}$. तब $v x^2 = y^2$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2v x + x^2 \frac{dv}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$.अतः,$y \frac{dy}{dx} = v x + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx}$.समीकरण में मान रखने पर: $\frac{1}{x} (v x + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx}) = v + \frac{\phi(v)}{\phi^{\prime}(v)}$.$v + \frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi^{\prime}(v)}$.$\frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi^{\prime}(v)}$.चरों को पृथक करने पर: $\frac{\phi^{\prime}(v)}{\phi(v)} dv = \frac{2}{x} dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|\phi(v)| = 2 \ln|x| + \ln|c| = \ln|c x^2|$.इसलिए,$\phi(v) = c x^2$.$v = \frac{y^2}{x^2}$ रखने पर,हमें $\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right) = c x^2$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $y y^{\prime} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)} \right]$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $\phi$ एक स्वेच्छ फलन है।

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