वक्र ay^2 = x^2(a - x), (a 0) के लूप द्वारा | vedclass

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Question

(D) दिया गया वक्र $ay^2 = x^2(a - x)$ है,जहाँ $a > 0$ है।चूँकि वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,कुल क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल का दोगुना

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{8}{15} a^2$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया वक्र $ay^2 = x^2(a - x)$ है,जहाँ $a > 0$ है।चूँकि वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,कुल क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।समीकरण से,$y^2 = \frac{x^2(a - x)}{a}$,इसलिए $y = \pm x \sqrt{\frac{a - x}{a}}$।लूप $x \in [0, a]$ के लिए मौजूद है।आवश्यक क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:$A = 2 \int_0^a y \, dx = 2 \int_0^a x \sqrt{\frac{a - x}{a}} \, dx$$A = \frac{2}{\sqrt{a}} \int_0^a x \sqrt{a - x} \, dx$माना $a - x = t^2$,तो $dx = -2t \, dt$। जब $x = 0, t = \sqrt{a}$ और जब $x = a, t = 0$।$A = \frac{2}{\sqrt{a}} \int_{\sqrt{a}}^0 (a - t^2) t (-2t \, dt) = \frac{4}{\sqrt{a}} \int_0^{\sqrt{a}} (at^2 - t^4) \, dt$$A = \frac{4}{\sqrt{a}} \left[ \frac{at^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_0^{\sqrt{a}}$$A = \frac{4}{\sqrt{a}} \left( \frac{a(\sqrt{a})^3}{3} - \frac{(\sqrt{a})^5}{5} \right) = \frac{4}{\sqrt{a}} \left( \frac{a^2 \sqrt{a}}{3} - \frac{a^2 \sqrt{a}}{5} \right)$$A = 4 \left( \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{5} \right) = 4 \left( \frac{5a^2 - 3a^2}{15} \right) = 4 \left( \frac{2a^2}{15} \right) = \frac{8}{15} a^2$।अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

वक्र $ay^2 = x^2(a - x), (a > 0)$ के लूप द्वारा घिरा क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा काटे गए वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के छोटे भाग का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

वक्र $y = x(1 - \ln x)$,रेखा $x = e^{-1}$,और $x = e^{-1}$ तथा $x = e$ के बीच धनात्मक $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

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$x = 0$ और $x = 2\pi$ के बीच वक्र $y = \sin x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ......... $sq. \text{ unit}$ है।

$x-$ अक्ष,रेखा $y=x,$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=32$ द्वारा प्रथम चतुर्थांश में घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi$ में)

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