x^2+y^2-4x-6y-12=0 और x^2+y^2+6x+4y-12=0 वृत् | vedclass

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Question

(A) दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda 
eq -1$ है। $(x^2

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$x^2+y^2-2x-12=0$

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(A) दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda 
eq -1$ है। $(x^2+y^2-4x-6y-12) + \lambda(x^2+y^2+6x+4y-12) = 0$ $(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (6\lambda-4)x + (4\lambda-6)y - 12(1+\lambda) = 0$ $(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,$x^2+y^2 + \frac{6\lambda-4}{1+\lambda}x + \frac{4\lambda-6}{1+\lambda}y - 12 = 0$ प्राप्त होता है। $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,$g = \frac{3\lambda-2}{1+\lambda}$,$f = \frac{2\lambda-3}{1+\lambda}$,और $c = -12$ है। त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{13}$ है। $g^2+f^2-c = 13 \implies \frac{(3\lambda-2)^2 + (2\lambda-3)^2}{(1+\lambda)^2} + 12 = 13$. $(3\lambda-2)^2 + (2\lambda-3)^2 = (1+\lambda)^2$. $9\lambda^2 - 12\lambda + 4 + 4\lambda^2 - 12\lambda + 9 = 1 + 2\lambda + \lambda^2$. $12\lambda^2 - 26\lambda + 12 = 0 \implies 6\lambda^2 - 13\lambda + 6 = 0$. $(2\lambda-3)(3\lambda-2) = 0$,अतः $\lambda = \frac{3}{2}$ या $\lambda = \frac{2}{3}$ है। $\lambda = \frac{2}{3}$ के लिए,समीकरण $x^2+y^2-2x-12=0$ प्राप्त होता है। $\lambda = \frac{3}{2}$ के लिए,समीकरण $x^2+y^2+2x-12=0$ प्राप्त होता है।

$x^2+y^2-4x-6y-12=0$ और $x^2+y^2+6x+4y-12=0$ वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर गुजरने वाले और $\sqrt{13}$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण है

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$(1,1)$ से गुजरने वाले और $x^2+y^2+13x-3y=0$ तथा $2x^2+2y^2+4x-7y-25=0$ वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण है

वृत्तों $x^2+y^2+2x=0$ और $x^2+y^2-2y-3=0$ की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का संयुक्त समीकरण है

उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका व्यास वृत्तों $x^2+y^2+2x+3y+1=0$ और $x^2+y^2+4x+3y+2=0$ की उभयनिष्ठ जीवा है।

यदि वृत्तों $x^2+y^2-8x-8y+28=0$ और $x^2+y^2-8x-6y+25-\alpha^2=0$ की केवल एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है,तो $\alpha=$

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