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Question

(C) दी गई सीमा: $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{4n} \frac{n^2}{(n+r)^3}$ हम सामान्य पद को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{n^2}{(n+r)^3} =

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$\frac{12}{25}$

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(C) दी गई सीमा: $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{4n} \frac{n^2}{(n+r)^3}$ हम सामान्य पद को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{n^2}{(n+r)^3} = \frac{n^2}{n^3(1+\frac{r}{n})^3} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{(1+\frac{r}{n})^3}$ अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{4n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{(1+\frac{r}{n})^3}$ योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,जहाँ $\frac{r}{n} = x$ और $\frac{1}{n} = dx$,जैसे ही $n \rightarrow \infty$,$x$ की सीमा $0$ से $4$ तक है: $L = \int_{0}^{4} \frac{1}{(1+x)^3} dx$ $L = \left[ \frac{(1+x)^{-2}}{-2} \right]_{0}^{4} = -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{(1+x)^2} \right]_{0}^{4}$ $L = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{25} - 1 \right) = -\frac{1}{2} \left( -\frac{24}{25} \right) = \frac{12}{25}$ अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n^2}{(n+1)^3}+\frac{n^2}{(n+2)^3}+\frac{n^2}{(n+3)^3}+\ldots+\frac{n^2}{(n+4n)^3}\right]=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}}\left[2^k+4^k+6^k+\ldots+(2 n)^k\right]=$

निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{77}+2^{77}+\ldots+n^{77}}{n^{78}} = $

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2} \sec ^2 \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2} \sec ^2 \frac{4}{n^2}+\frac{3}{n^2} \sec ^2 \frac{9}{n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2} \sec ^2 \frac{n^2}{n^2}\right]=$

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