y=e^x(a cos x+b sin x) समीकरण से a और b को वि | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $y=e^x(a \cos x+b \sin x)$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d y}{d x} = e^x(a \cos x + b \sin x) + e^x(-a \sin x + b \cos x)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{d^2 y}{d x^2}-2 \frac{d y}{d x}+2 y=0$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समीकरण $y=e^x(a \cos x+b \sin x)$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d y}{d x} = e^x(a \cos x + b \sin x) + e^x(-a \sin x + b \cos x)$$\frac{d y}{d x} = y + e^x(-a \sin x + b \cos x) \quad \dots(I)$पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + \frac{d}{d x}[e^x(-a \sin x + b \cos x)]$$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + e^x(-a \sin x + b \cos x) + e^x(-a \cos x - b \sin x)$समीकरण $(I)$ से,$e^x(-a \sin x + b \cos x) = \frac{d y}{d x} - y$ है।इस मान को द्वितीय अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + (\frac{d y}{d x} - y) - e^x(a \cos x + b \sin x)$चूंकि $e^x(a \cos x + b \sin x) = y$,इसलिए:$\frac{d^2 y}{d x^2} = 2 \frac{d y}{d x} - y - y$$\frac{d^2 y}{d x^2} - 2 \frac{d y}{d x} + 2 y = 0$.

$y=e^x(a \cos x+b \sin x)$ समीकरण से $a$ और $b$ को विलुप्त करके प्राप्त अवकल समीकरण है

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