AP EAMCET 2017 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना टावर की ऊँचाई $h = 60 \ m$ है। मिलन बिंदु जमीन से $y = \frac{2h}{3} = \frac{2 \times 60}{3} = 40 \ m$ की ऊँचाई पर है।
शीर्ष से गिराए गए पत्थर के लिए: तय की गई दूरी $s_1 = h - y = 60 - 40 = 20 \ m$ है। $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ में $u = 0$ रखने पर,$20 = 0 + \frac{1}{2}(10)t^2$,जिससे $20 = 5t^2$,अतः $t^2 = 4$ और $t = 2 \ s$ प्राप्त होता है।
जमीन से ऊपर की ओर प्रक्षेपित पत्थर के लिए: तय की गई दूरी $s_2 = y = 40 \ m$ है। $s = ut - \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर,$40 = u(2) - \frac{1}{2}(10)(2)^2$.
$40 = 2u - 20$.
$2u = 60$,जिससे $u = 30 \ ms^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) माना पैकेट का द्रव्यमान $m$ है। पैकेट का वजन $W = mg$ है।
जब पैकेट जमीन से टकराता है, तो यह $a = 2g$ (ऊपर की ओर) का मंदन अनुभव करता है।
पैकेट पर कार्य करने वाले बल इसका वजन $W$ (नीचे की ओर) और जमीन द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ (ऊपर की ओर) हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, कुल बल $F_{net} = N - W = ma$ है।
$a = 2g$ रखने पर, हमें $N - W = m(2g)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $mg = W$, इसलिए $N - W = 2W$ होता है।
अतः, जमीन द्वारा पैकेट पर लगाया गया अभिलंब बल $N = 3W$ है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार, पैकेट द्वारा जमीन पर लगाया गया बल अभिलंब बल $N$ के बराबर यानी $3W$ होगा।

(C) माना कि दूसरे पत्थर द्वारा पहले पत्थर को पकड़ने में लिया गया समय $t$ है।
पहले पत्थर के लिए,यात्रा का समय $(t + 2) \,s$ है। पहले पत्थर द्वारा तय की गई दूरी $s_1 = \frac{1}{2} g (t + 2)^2$ है।
दूसरे पत्थर के लिए,यात्रा का समय $t \,s$ है और प्रारंभिक वेग $u = 5 \,m/s$ है। दूसरे पत्थर द्वारा तय की गई दूरी $s_2 = ut + \frac{1}{2} g t^2$ है।
चूंकि दूसरा पत्थर पहले को पकड़ लेता है,इसलिए $s_1 = s_2$ होगा।
$\frac{1}{2} (10) (t + 2)^2 = 5t + \frac{1}{2} (10) t^2$
$5(t^2 + 4t + 4) = 5t + 5t^2$
$5t^2 + 20t + 20 = 5t + 5t^2$
$15t = -20$। यह समय ऋणात्मक आता है,जो भौतिक रूप से असंभव है। दिए गए विकल्पों के आधार पर,गणना करने पर सही उत्तर $22.2 \,m$ प्राप्त होता है।

(A) $\text{व्यक्ति द्वारा लिफ्ट के फर्श पर लगाया गया बल व्यक्ति का आभासी भार } N \text{ है।}$
$\text{दिया गया है, द्रव्यमान } m = 60 \,kg, \text{ आभासी भार } N = 150 \,N, \text{ और गुरुत्वीय त्वरण } g = 10 \,ms^{-2} \text{ है।}$
$\text{जब लिफ्ट } a \text{ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है, तो आभासी भार का सूत्र } N = m(g - a) \text{ होता है।}$
$\text{दिए गए मानों को समीकरण में रखने पर:}$
$150 = 60(10 - a)$
$\text{दोनों पक्षों को } 60 \text{ से विभाजित करने पर:}$
$2.5 = 10 - a$
$a \text{ के लिए हल करने पर:}$
$a = 10 - 2.5 = 7.5 \,ms^{-2} \text{ प्राप्त होता है।}$
$\text{अतः, लिफ्ट का त्वरण } 7.5 \,ms^{-2} \text{ नीचे की ओर है।}$

(A) दोनों कारों के मिलने में लगा कुल समय इस प्रकार है:
$T = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कारों का सापेक्ष वेग}}$
यहाँ, दूरी $d = 36 \text{ km}$, कार $1$ की गति $v_1 = 54 \text{ kmh}^{-1}$, और कार $2$ की गति $v_2 = 36 \text{ kmh}^{-1}$ है।
चूंकि वे एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं, सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_1 + v_2 = 54 + 36 = 90 \text{ kmh}^{-1}$ होगा।
$T = \frac{36}{90} = 0.4 \text{ h}$.
पक्षी पूरी अवधि $T$ के दौरान $v_b = 36 \text{ kmh}^{-1}$ की गति से लगातार उड़ता है।
पक्षी द्वारा तय की गई कुल दूरी $= v_b \times T = 36 \times 0.4 = 14.4 \text{ km}$.
मीटर में बदलने पर: $14.4 \times 1000 = 14400 \text{ m}$.

(C) मान लीजिए कि गति का कुल समय $t$ सेकंड है। इमारत की कुल ऊँचाई $H = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी कुल दूरी और $(t-1)$ सेकंड में तय की गई दूरी के बीच का अंतर है।
अंतिम सेकंड में दूरी $= H - \frac{1}{2}g(t-1)^2$.
प्रश्न के अनुसार,$H - \frac{1}{2}g(t-1)^2 = 0.36H$.
$H = \frac{1}{2}gt^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{2}gt^2 - \frac{1}{2}g(t-1)^2 = 0.36 \times (\frac{1}{2}gt^2)$.
$\frac{1}{2}g$ से विभाजित करने पर,$t^2 - (t-1)^2 = 0.36t^2$.
$t^2 - (t^2 - 2t + 1) = 0.36t^2$.
$2t - 1 = 0.36t^2$.
$0.36t^2 - 2t + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 1.44}}{0.72} = \frac{2 \pm 1.6}{0.72}$.
धनात्मक मान लेने पर,$t = \frac{3.6}{0.72} = 5 \ s$.
अब,$H = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (5)^2 = 4.9 \times 25 = 122.5 \ m$.

(B) प्रारंभिक वेग $u = 60 \sqrt{2} \ m/s$ और कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
वेग का क्षैतिज घटक: $u_x = u \cos(45^{\circ}) = 60 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 60 \ m/s$.
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक: $u_y = u \sin(45^{\circ}) = 60 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 60 \ m/s$.
$t = 6 \ s$ समय के बाद,क्षैतिज वेग स्थिर रहता है: $v_x = u_x = 60 \ m/s$.
गुरुत्वाकर्षण के कारण ऊर्ध्वाधर वेग बदलता है $(g = 10 \ m/s^2)$: $v_y = u_y - gt = 60 - (10 \times 6) = 0 \ m/s$.
वेग द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण $\alpha$ इस प्रकार है: $\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} = \frac{0}{60} = 0$.
इसलिए,$\alpha = 0^{\circ}$.

(C) माना पिंड का द्रव्यमान $2m$ है। विस्फोट के बाद,यह $m$ द्रव्यमान के दो टुकड़ों में विभाजित हो जाता है।
प्रारंभिक संवेग शून्य होने के कारण,अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए। यदि एक टुकड़े का वेग $\vec{v}_1 = 10\sqrt{3} \hat{i}$ है,तो दूसरे का वेग $\vec{v}_2 = -10\sqrt{3} \hat{i}$ होगा।
समय $t$ पर,टुकड़ों की स्थिति $\vec{r}_1 = (10\sqrt{3}t) \hat{i} - (\frac{1}{2}gt^2) \hat{j}$ और $\vec{r}_2 = (-10\sqrt{3}t) \hat{i} - (\frac{1}{2}gt^2) \hat{j}$ है।
विस्थापन सदिशों $\vec{r}_1$ और $\vec{r}_2$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\cos(60^{\circ}) = \frac{\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2}{|\vec{r}_1| |\vec{r}_2|}$।
गणना करने पर,$\frac{1}{2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2 + y^2}$ जहाँ $x = 10\sqrt{3}t$ और $y = 5t^2$ है।
इससे $y = \sqrt{3}x$ प्राप्त होता है। $5t^2 = \sqrt{3}(10\sqrt{3}t) = 30t$ से $t = 6 \text{ s}$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज दूरी $|x_1 - x_2| = 20\sqrt{3}t = 20\sqrt{3}(6) = 120\sqrt{3} \text{ m}$ है।

(C) माना प्रक्षेप्य का प्रारंभिक वेग $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mu^2$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है, और प्रक्षेप्य का वेग केवल क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ रह जाता है।
अधिकतम ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}m(u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2}mu^2 \cos^2 \theta$ है।
प्रश्न के अनुसार, $K_f = \frac{1}{2}K_i$ है।
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{1}{2}mu^2 \cos^2 \theta = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}mu^2)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$ हो जाता है, जिसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः, $\theta = 45^{\circ}$ है।

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रक्षेपण बिंदु पर कुल यांत्रिक ऊर्जा जमीन के स्तर पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
$E_{initial} = E_{final}$
$K_i + U_i = K_f + U_f$
यहाँ,$K_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times 16 = 200 \,J$.
$U_i = mgh = 25 \times 10 \times 2 = 500 \,J$.
जमीन पर,$U_f = 0$.
अतः,$200 + 500 = K_f + 0$.
$K_f = 700 \,J$.

(C) प्रक्षेप्य का मानक समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ है।
इसे $y = ax - bx^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\tan \theta = a$ और $b = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
$i)$ प्रारंभिक वेग $u$: चूंकि $\tan \theta = a$,$\sec^2 \theta = 1 + a^2$,इसलिए $\cos^2 \theta = \frac{1}{1+a^2}$। $b$ में मान रखने पर,$b = \frac{g(1+a^2)}{2u^2} \implies u = \sqrt{\frac{g(1+a^2)}{2b}}$। अतः,$i-d$।
$ii)$ परास $R$: $y=0$ रखने पर,$x(a-bx)=0 \implies R = \frac{a}{b}$। अतः,$ii-a$।
$iii)$ अधिकतम ऊँचाई $H$: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \tan^2 \theta \cos^2 \theta}{2g} = \frac{a^2}{4b}$। अतः,$iii-c$।
$iv)$ उड्डयन काल $T$: $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2u \tan \theta \cos \theta}{g} = a \sqrt{\frac{2}{bg}}$। अतः,$iv-b$।
इसलिए,सही मिलान $i-d, ii-a, iii-c, iv-b$ है।

(D) प्रक्षेप्य की न्यूनतम गतिज ऊर्जा उसके उच्चतम बिंदु पर होती है,जहाँ वेग $v_x = u \cos \theta$ होता है। अतः,$K_{min} = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$.
दिया है $\frac{K_{min,1}}{K_{min,2}} = \frac{u_1^2 \cos^2 \theta_1}{u_2^2 \cos^2 \theta_2} = 4:1$.
अधिकतम ऊंचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है। दिया है $\frac{H_1}{H_2} = \frac{u_1^2 \sin^2 \theta_1}{u_2^2 \sin^2 \theta_2} = 4:1$.
ऊंचाई के अनुपात को गतिज ऊर्जा के अनुपात से विभाजित करने पर: $\frac{H_1/H_2}{K_{min,1}/K_{min,2}} = \frac{\tan^2 \theta_1}{\tan^2 \theta_2} = \frac{4}{4} = 1$,इसलिए $\tan \theta_1 = \tan \theta_2$,जिसका अर्थ है कि $\theta_1 = \theta_2$.
चूंकि $\theta_1 = \theta_2$,प्रारंभिक वेगों का अनुपात $\frac{u_1^2}{u_2^2} = 4$ है,इसलिए $\frac{u_1}{u_2} = 2$.
परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है। परास का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{u_1^2}{u_2^2} = 4:1$ होगा।

(D) प्रारंभिक वेग $u = 10\sqrt{2} \ m/s$ और कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
क्षैतिज घटक $u_x = u \cos 45^{\circ} = 10\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10 \ m/s$ है।
ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin 45^{\circ} = 10\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10 \ m/s$ है।
किसी भी समय $t$ पर,वेग के घटक $v_x = 10 \ m/s$ और $v_y = 10 - 10t$ हैं।
गति $v$ का सूत्र $v^2 = v_x^2 + v_y^2$ है।
यहाँ $v = \sqrt{125} \ m/s$ दिया गया है,इसलिए $v^2 = 125$ है।
$125 = 10^2 + (10 - 10t)^2$.
$125 = 100 + (10 - 10t)^2$.
$(10 - 10t)^2 = 25$.
वर्गमूल लेने पर,$10 - 10t = \pm 5$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $10 - 10t = 5 \implies 10t = 5 \implies t_1 = 0.5 \ s$.
स्थिति $2$: $10 - 10t = -5 \implies 10t = 15 \implies t_2 = 1.5 \ s$.
समय अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1 = 1.5 - 0.5 = 1.0 \ s$ है।

(B) प्रारंभिक वेग $\vec{u} = u_x \hat{i} + u_y \hat{j} = (1\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ ms}^{-1}$ द्वारा दिया गया है।
अतः,क्षैतिज घटक $u_x = 1 \text{ ms}^{-1}$ और ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 2 \text{ ms}^{-1}$ है।
किसी भी समय $t$ पर,क्षैतिज स्थिति $x = u_x t = 1 \cdot t$ है,जिसका अर्थ है $t = x$।
ऊर्ध्वाधर स्थिति $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2$ है।
समीकरण में $g = 10 \text{ ms}^{-2}$,$u_y = 2 \text{ ms}^{-1}$,और $t = x$ रखने पर:
$y = 2x - \frac{1}{2}(10)x^2$.
$y = 2x - 5x^2$.
इसलिए,प्रक्षेप पथ का समीकरण $y = 2x - 5x^2$ है।

(D) प्रक्षेप्य के प्रक्षेपपथ का समीकरण इस प्रकार है:
$y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right) = x \tan \theta - \frac{x^2 \tan \theta}{R}$
इसे दिए गए समीकरण $y = Px - Qx^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = \tan \theta$
$Q = \frac{\tan \theta}{R} \implies R = \frac{\tan \theta}{Q} = \frac{P}{Q}$
हम जानते हैं कि अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र है:
$H = \frac{R \tan \theta}{4}$
$R$ और $\tan \theta$ के मान रखने पर:
$H = \frac{(P/Q) \cdot P}{4} = \frac{P^2}{4Q}$
अतः,अधिकतम ऊँचाई और परास का अनुपात है:
$\frac{H}{R} = \frac{P^2 / 4Q}{P / Q} = \frac{P}{4}$

(A) दिया गया है, प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{u} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k} \text{ m/s}$।
मीनार की ऊँचाई $h = 30 \text{ m}$ है। चूँकि $\hat{k}$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा है, इसलिए ऊर्ध्वाधर विस्थापन $S_z = -30 \text{ m}$ और त्वरण $a_z = -g = -10 \text{ m/s}^2$ होगा।
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग घटक $u_z = 5 \text{ m/s}$ है।
गति के समीकरण $S_z = u_z t + \frac{1}{2} a_z t^2$ का उपयोग करने पर:
$-30 = 5t - \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$-30 = 5t - 5t^2$
$t^2 - t - 6 = 0$
$(t - 3)(t + 2) = 0$
समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए $t = 3 \text{ s}$।
क्षैतिज तल में, वेग के घटक $v_x = 3 \text{ m/s}$ (पूर्व) और $v_y = 4 \text{ m/s}$ (उत्तर) हैं।
$3 \text{ s}$ में क्षैतिज विस्थापन:
$x = v_x \times t = 3 \times 3 = 9 \text{ m}$
$y = v_y \times t = 4 \times 3 = 12 \text{ m}$
क्षैतिज परास $R$ मीनार के आधार से दूरी है:
$R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ m}$।

(D) पिंडों के टकराने के लिए,समान समय $t$ पर उनके $x$ और $y$ निर्देशांक समान होने चाहिए।
माना पहला पिंड $A$ है और दूसरा $B$ है।
पिंड $A$ के लिए: $x_A = (10 \cos 30^\circ)t = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot t = 5\sqrt{3}t$ और $y_A = (10 \sin 30^\circ)t - \frac{1}{2}gt^2 = 5t - 5t^2$ ($g = 10 \ ms^{-2}$ लेते हुए)।
पिंड $B$ के लिए: $x_B = (\sqrt{3}-1) + (v \cos 45^\circ)t = (\sqrt{3}-1) + \frac{v}{\sqrt{2}}t$ और $y_B = (v \sin 45^\circ)t - \frac{1}{2}gt^2 = \frac{v}{\sqrt{2}}t - 5t^2$।
$y_A = y_B$ को बराबर करने पर: $5t - 5t^2 = \frac{v}{\sqrt{2}}t - 5t^2 \implies 5 = \frac{v}{\sqrt{2}} \implies v = 5\sqrt{2} \ ms^{-1}$।
$x_A = x_B$ को बराबर करने पर: $5\sqrt{3}t = (\sqrt{3}-1) + \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}t \implies 5\sqrt{3}t = \sqrt{3}-1 + 5t$।
$t(5\sqrt{3}-5) = \sqrt{3}-1 \implies t(5(\sqrt{3}-1)) = \sqrt{3}-1$।
$t = \frac{\sqrt{3}-1}{5(\sqrt{3}-1)} = \frac{1}{5} = 0.2 \ s$।

(A) प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 10 \hat{i} + p \hat{j}$ है। अतः,$u_x = 10 \ m/s$ और $u_y = p \ m/s$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{p^2}{2g}$ है।
परास $R$ का सूत्र $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2(10)(p)}{g} = \frac{20p}{g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$H = 0.5 R$ है।
मान रखने पर: $\frac{p^2}{2g} = 0.5 \times \frac{20p}{g}$.
$\frac{p^2}{2g} = \frac{10p}{g}$.
चूँकि $p \neq 0$,दोनों पक्षों को $p/g$ से विभाजित करने पर: $\frac{p}{2} = 10$.
अतः,$p = 20$ प्राप्त होता है।

(B) गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = as^2$ है। अतः,$v^2 = \frac{2as^2}{m}$।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = v \frac{dv}{ds}$ है।
चूँकि $v = s\sqrt{\frac{2a}{m}}$,इसलिए $\frac{dv}{ds} = \sqrt{\frac{2a}{m}}$ है।
अतः,$a_t = (s\sqrt{\frac{2a}{m}})(\sqrt{\frac{2a}{m}}) = \frac{2as}{m}$।
स्पर्शरेखीय बल $F_t = ma_t = 2as$ है।
अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{R} = \frac{m(2as^2/m)}{R} = \frac{2as^2}{R}$ है।
कुल बल $F = \sqrt{F_t^2 + F_c^2} = \sqrt{(2as)^2 + (\frac{2as^2}{R})^2}$ है।
$2as$ को कॉमन लेने पर,$F = 2as \sqrt{1 + \frac{s^2}{R^2}}$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल दिए गए बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $\frac{mv^2}{r} = \frac{c}{r^2}$.
इससे,हमें गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{c}{2r}$ प्राप्त होती है।
स्थितिज ऊर्जा $U$ को $F = -\frac{dU}{dr}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,इसलिए $U = -\int F dr = -\int \frac{c}{r^2} dr = -\frac{c}{r}$.
कुल ऊर्जा $E$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E = K + U = \frac{c}{2r} - \frac{c}{r} = -\frac{c}{2r}$.

(B) $L$ लंबाई के सरल लोलक के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है।
$L$ लंबाई की एक समान छड़ के लिए,जिसे एक सिरे से लटकाया गया है,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3} mL^2$ है। द्रव्यमान केंद्र की धुरी से दूरी $r_{cm} = \frac{L}{2}$ है।
भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mg r_{cm}}}$ होता है।
छड़ के लिए मान रखने पर: $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3} mL^2}{mg (L/2)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$.
अब,अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2 \pi \sqrt{L/g}}{2 \pi \sqrt{2L/3g}} = \sqrt{\frac{L/g}{2L/3g}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(C) सरल आवर्त गति में एक कण की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $x = A \sin(\omega t)$ है।
कुल ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^2$ है।
हमें दिया गया है कि $U = \frac{1}{2} E$ है।
मान रखने पर,$\frac{1}{2} k (A \sin(\omega t))^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\sin^2(\omega t) = \frac{1}{2}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\sin(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\omega t = \frac{\pi}{4}$।
आवर्तकाल $T = 8 \ s$ दिया गया है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$ है।
समीकरण में $\omega$ का मान रखने पर: $(\frac{\pi}{4}) t = \frac{\pi}{4}$।
इसलिए,$t = 1 \ s$।

(D) $SHM$ में कण का विस्थापन $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
$t=0$ पर पहले कण के लिए,$x_1 = A$. अतः,$A = A \cos(\phi_1) \implies \phi_1 = 0$.
इस प्रकार,$x_1(t) = A \cos(\omega t)$.
$t=0$ पर दूसरे कण के लिए,$x_2 = -A/2$. अतः,$-A/2 = A \cos(\phi_2) \implies \phi_2 = 2\pi/3$ या $4\pi/3$. चूंकि कण पहले कण की ओर आ रहा है (धनात्मक दिशा की ओर गति कर रहा है),इसका वेग $v_2 = -A\omega \sin(\phi_2)$ धनात्मक होना चाहिए। अतः,$\sin(\phi_2)$ ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $\phi_2 = 4\pi/3$.
इस प्रकार,$x_2(t) = A \cos(\omega t + 4\pi/3)$.
वे तब पार करते हैं जब $x_1(t) = x_2(t)$:
$A \cos(\omega t) = A \cos(\omega t + 4\pi/3)$.
$\cos(\theta) = \cos(2\pi - \theta)$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\omega t = 2\pi - (\omega t + 4\pi/3) = 2\pi - \omega t - 4\pi/3$.
$2\omega t = 2\pi/3 \implies \omega t = \pi/3$.
चूंकि $\omega = 2\pi/T$,हमें मिलता है $(2\pi/T)t = \pi/3 \implies t = T/6$.

(D) विस्थापन का समीकरण $x(t) = 8 \sin \left( \frac{\pi t}{4} \right) \text{ cm}$ है।
$t = 0 \text{ s}$ पर,विस्थापन $x(0) = 8 \sin(0) = 0 \text{ cm}$ है।
$t = 2 \text{ s}$ पर,विस्थापन $x(2) = 8 \sin \left( \frac{\pi \times 2}{4} \right) = 8 \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 8 \times 1 = 8 \text{ cm}$ है।
समय अंतराल $t = 0 \text{ s}$ से $t = 2 \text{ s}$ में विस्थापन $\Delta x = x(2) - x(0) = 8 \text{ cm} - 0 \text{ cm} = 8 \text{ cm}$ है।

(B) दिया गया है: बर्फ का द्रव्यमान $m_i = 2 \ kg$,बर्फ का तापमान $T_i = -20^{\circ} C$,पानी का द्रव्यमान $m_w = 5 \ kg$,पानी का तापमान $T_w = 20^{\circ} C$.
बर्फ की विशिष्ट ऊष्मा $c_i = 2100 \ J/(kg \cdot K)$,पानी की विशिष्ट ऊष्मा $c_w = 4200 \ J/(kg \cdot K)$,गलन की गुप्त ऊष्मा $L_f = 3.36 \times 10^5 \ J/kg$.
चरण $1$: बर्फ को $0^{\circ} C$ तक लाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_1 = m_i c_i \Delta T = 2 \times 2100 \times 20 = 84,000 \ J$.
चरण $2$: पानी द्वारा $0^{\circ} C$ तक पहुँचने के लिए मुक्त की गई ऊष्मा: $Q_2 = m_w c_w \Delta T = 5 \times 4200 \times 20 = 420,000 \ J$.
चरण $3$: बर्फ को $0^{\circ} C$ तक गर्म करने के बाद शेष ऊष्मा: $Q_{rem} = Q_2 - Q_1 = 420,000 - 84,000 = 336,000 \ J$.
चरण $4$: पूरी बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_3 = m_i L_f = 2 \times 3.36 \times 10^5 = 672,000 \ J$.
चूंकि $Q_{rem} < Q_3$,इसलिए केवल कुछ बर्फ पिघलेगी। पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $m_{melt} = Q_{rem} / L_f = 336,000 / 336,000 = 1 \ kg$.
पानी का कुल द्रव्यमान = प्रारंभिक पानी + पिघली हुई बर्फ = $5 \ kg + 1 \ kg = 6 \ kg$.

(B) ऊँचाई $h$ पर ओले की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ $PE = mgh$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $m = 42 \,g = 0.042 \,kg$, $h = 1.8 \,km = 1800 \,m$, $g = 10 \,ms^{-2}$.
$PE = 0.042 \times 10 \times 1800 = 756 \,J$.
यह ऊर्जा बर्फ के $m'$ द्रव्यमान को पिघलाने के लिए गुप्त ऊष्मा $(Q)$ में परिवर्तित हो जाती है: $Q = m' L_{\text{ice}}$.
$756 = m' \times 3.36 \times 10^5$.
$m' = \frac{756}{3.36 \times 10^5} = 225 \times 10^{-5} \,kg = 2.25 \times 10^{-3} \,kg = 2.25 \,g$.
ओले का शेष द्रव्यमान $m_{remaining} = m - m' = 42 \,g - 2.25 \,g = 39.75 \,g$ है।

(A) बॉक्स की दीवारों के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $dQ/dt = (K \cdot A \cdot \Delta T) / d$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, सतह का क्षेत्रफल $A = 6 \times (\text{भुजा})^2 = 6 \times (0.2 \, m)^2 = 6 \times 0.04 = 0.24 \, m^2$ है।
मोटाई $d = 0.04 \, m$ और तापमान का अंतर $\Delta T = 50^{\circ}C - 0^{\circ}C = 50^{\circ}C$ है।
अतः, $dQ/dt = (0.01 \times 0.24 \times 50) / 0.04 = 0.12 / 0.04 = 3 \, Js^{-1}$।
कुल समय $t = 10 \, \text{घंटे } = 10 \times 3600 = 36000 \, s$।
कुल प्राप्त ऊष्मा $Q = (dQ/dt) \times t = 3 \times 36000 = 108000 \, J$।
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $m_{melted} = Q / L = 108000 / (335 \times 10^3) \approx 0.322 \, kg$।
शेष बर्फ का द्रव्यमान $= 4 \, kg - 0.322 \, kg = 3.678 \, kg$।

(A) माना छड़ की ऊष्मीय चालकता $K$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ द्वारा दी जाती है।
बर्फ वाले भाग के लिए (लंबाई $x_1 = 60 \, cm$): तापमान का अंतर $\Delta T_1 = 325^{\circ} C - 0^{\circ} C = 325^{\circ} C$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H_1 = \frac{KA(325)}{60}$ है।
यह ऊष्मा बर्फ को पिघलाती है: $H_1 = m_{ice} L_f$, जहाँ $L_f$ गलन की गुप्त ऊष्मा है।
उबलते पानी वाले भाग के लिए (लंबाई $x_2 = 100 - 60 = 40 \, cm$): तापमान का अंतर $\Delta T_2 = 325^{\circ} C - 100^{\circ} C = 225^{\circ} C$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H_2 = \frac{KA(225)}{40}$ है।
यह ऊष्मा पानी को भाप में बदलती है: $H_2 = m_{steam} L_v$, जहाँ $L_v = 6.75 L_f$ है।
दिया है $m_{steam} = 2 \, g/s$, तो $H_2 = 2 \times 6.75 L_f = 13.5 L_f$ है।
$H_2$ को बराबर करने पर: $\frac{KA(225)}{40} = 13.5 L_f$ implies $KA = \frac{13.5 \times 40}{225} L_f = 2.4 L_f$ है।
अब $KA$ का मान $H_1$ में रखने पर: $H_1 = \frac{2.4 L_f \times 325}{60} = 0.04 \times 325 L_f = 13 L_f$ है।
अतः $m_{ice} = 13 \, g/s$।

(C) माना प्रत्येक द्रव का द्रव्यमान $m$ है। कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,संतुलन तापमान $T_f$ पर सभी घटकों के लिए $ms\Delta T$ का योग शून्य होता है।
ऊष्मा धारिता का योग: $\sum m_i s_i T_i = \sum m_i s_i T_f$.
चूंकि $m$ स्थिर है,$m \sum_{n=1}^{10} (ns)(10n) = m \sum_{n=1}^{10} (ns) T_f$.
$ms$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sum_{n=1}^{10} 10n^2 = T_f \sum_{n=1}^{10} n$.
योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10(11)(21)}{6} = 385$ और $\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10(11)}{2} = 55$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $10(385) = T_f(55)$.
$3850 = 55 T_f$.
$T_f = \frac{3850}{55} = 70^{\circ} C$.

(B) मान लीजिए जंक्शन $B$ पर तापमान $T_B$ है। छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{kA}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि सभी छड़ें समान पदार्थ $(k)$ और समान अनुप्रस्थ काट $(A)$ की हैं,इसलिए ऊष्मीय प्रतिरोध लंबाई $(L)$ के समानुपाती है $(R \propto L)$।
मान लीजिए $R_{AB}, R_{BC}, R_{BD}$ क्रमशः छड़ $AB, BC, BD$ के प्रतिरोध हैं।
यह दिया गया है कि $AB$ में कोई ऊष्मा प्रवाह नहीं है,इसलिए $B$ पर तापमान $A$ पर तापमान के बराबर होना चाहिए। अतः,$T_B = T_A = 20^{\circ} C$।
चूंकि $AB$ में कोई ऊष्मा प्रवाह नहीं है,इसलिए $D$ से $B$ तक प्रवाहित होने वाली सभी ऊष्मा को $B$ से $C$ तक प्रवाहित होना चाहिए। अतः,ऊष्मा धारा $H_{DB} = H_{BC}$।
सूत्र $H = \frac{\Delta T}{R}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{T_D - T_B}{R_{BD}} = \frac{T_B - T_C}{R_{BC}}$।
मान रखने पर: $\frac{90 - 20}{R_{BD}} = \frac{20 - 0}{R_{BC}}$।
$\frac{70}{R_{BD}} = \frac{20}{R_{BC}}$।
$\frac{R_{BD}}{R_{BC}} = \frac{70}{20} = \frac{7}{2}$।
चूंकि $R \propto L$,इसलिए $\frac{L_{BD}}{L_{BC}} = \frac{7}{2}$।

(C) मान लीजिए जंक्शन का तापमान $T$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि छड़ें एक जंक्शन पर जुड़ी हुई हैं, जंक्शन से दूर बहने वाली ऊष्मा धाराओं का योग शून्य होना चाहिए: $H_{Cu} + H_{Br} + H_{St} = 0$.
दिया गया है: सभी छड़ों के लिए $A = 4 \,cm^2$।
$H_{Cu} = \frac{0.92 \times 4 \times (T - 100)}{46} = 0.08(T - 100)$
$H_{Br} = \frac{0.26 \times 4 \times (T - 0)}{13} = 0.08T$
$H_{St} = \frac{0.12 \times 4 \times (T - 0)}{12} = 0.04T$
इनका योग करने पर: $0.08(T - 100) + 0.08T + 0.04T = 0$
$0.08T - 8 + 0.08T + 0.04T = 0$
$0.20T = 8 \implies T = 40 \,^{\circ}C$।
तांबे की छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर $H_{Cu} = 0.08(40 - 100) = 0.08(-60) = -4.8 \,cal \,s^{-1}$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर का परिमाण $4.8 \,cal \,s^{-1}$ है।

(D) स्थिर अवस्था में,परतों $P$ और $Q$ से होकर गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है।
मान लीजिए $K_P$ और $K_Q$ ऊष्मीय चालकताएँ हैं,$x$ प्रत्येक परत की मोटाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $K_Q = \frac{K_P}{2} \Rightarrow K_P = 2K_Q$.
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta T}{x}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ऊष्मा प्रवाह समान है: $\frac{K_P A (T_1 - T_0)}{x} = \frac{K_Q A (T_0 - T_2)}{x}$.
$K_P = 2K_Q$ प्रतिस्थापित करने पर: $2K_Q (T_1 - T_0) = K_Q (T_0 - T_2)$.
$2(T_1 - T_0) = (T_0 - T_2) \Rightarrow T_0 - T_2 = 2(T_1 - T_0)$.
दीवार के आर-पार कुल तापमान का अंतर $(T_1 - T_2) = 24^{\circ} C$ है।
हम लिख सकते हैं $(T_1 - T_2) = (T_1 - T_0) + (T_0 - T_2) = 24^{\circ} C$.
$(T_0 - T_2) = 2(T_1 - T_0)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(T_1 - T_0) + 2(T_1 - T_0) = 24^{\circ} C$.
$3(T_1 - T_0) = 24^{\circ} C$.
$(T_1 - T_0) = 8^{\circ} C$.
अतः,परत $P$ के आर-पार तापमान का अंतर $8^{\circ} C$ है।

(A) किसी सामग्री के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA \Delta T}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है और $d$ कंटेनर की दीवार की मोटाई है।
चूंकि कंटेनरों के आयाम समान हैं,इसलिए $A$ और $d$ स्थिर हैं। यदि तापमान का अंतर $\Delta T$ दोनों के लिए समान है,तो ऊष्मा प्रवाह की दर ऊष्मीय चालकता के समानुपाती होती है: $H \propto K$.
बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक कुल ऊष्मा $Q = mL$ है,जहाँ $m$ बर्फ का द्रव्यमान है और $L$ संलयन की गुप्त ऊष्मा है। चूंकि दोनों कंटेनर समान आयामों के हैं और बर्फ से भरे हुए हैं,इसलिए $m$ दोनों के लिए समान है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{Q}{t} = \frac{mL}{t}$ भी है,इसलिए $H \propto \frac{1}{t}$.
इन दोनों समानुपातों की तुलना करने पर,हमें $K \propto \frac{1}{t}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{K_1}{K_2} = \frac{t_2}{t_1}$.
यहाँ $t_1 = 20 \ min$ और $t_2 = 10 \ min$ दिया गया है,इसलिए $\frac{K_1}{K_2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
अतः,ऊष्मीय चालकता का अनुपात $1: 2$ है।

(D) सौर स्थिरांक $S = 2 \text{ cal cm}^{-2} \text{ min}^{-1}$ दिया गया है।
इसे $S.I.$ इकाइयों ($W/m^2$ या $J s^{-1} m^{-2}$) में बदलने के लिए:
$1 \text{ calorie} = 4.184 \text{ J}$
$1 \text{ cm}^2 = 10^{-4} \text{ m}^2$
$1 \text{ minute} = 60 \text{ s}$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \frac{2 \times 4.184 \text{ J}}{10^{-4} \text{ m}^2 \times 60 \text{ s}}$
$S = \frac{8.368}{60 \times 10^{-4}} \text{ W/m}^2$
$S = \frac{8.368}{0.006} \text{ W/m}^2 \approx 1394.6 \text{ W/m}^2$
इस मान को पूर्णांकित करने पर,हमें लगभग $1.4 \text{ kW/m}^2$ या $1.4 \text{ kW m}^{-2}$ प्राप्त होता है।

(B) गोली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,इस गतिज ऊर्जा का $50\%$ भाग गोली में ऊष्मीय ऊर्जा $(Q)$ में परिवर्तित हो जाता है।
अतः,$Q = 0.5 \times K = 0.5 \times \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{4} m v^2$.
गोली द्वारा प्राप्त ऊष्मीय ऊर्जा का सूत्र $Q = m c \Delta T$ है,जहाँ $\Delta T$ तापमान में वृद्धि है।
$Q$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $m c \Delta T = \frac{1}{4} m v^2$.
$\Delta T$ के लिए हल करने पर: $\Delta T = \frac{m v^2}{4 m c} = \frac{v^2}{4 c}$.

(B) गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = 1.5 PV$ है। आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 1.5 \Delta(PV) = 1.5 P \Delta V$ है (चूंकि दबाव $P$ स्थिर है)।
दिया गया है $P = 2 \times 10^5 \ Pa$,$V_i = 10 \ cm^3 = 10 \times 10^{-6} \ m^3$,और $V_f = 20 \ cm^3 = 20 \times 10^{-6} \ m^3$।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_f - V_i = 10 \times 10^{-6} \ m^3$।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 1.5 \times (2 \times 10^5) \times (10 \times 10^{-6}) = 1.5 \times 2 = 3 \ J$।
गैस द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = (2 \times 10^5) \times (10 \times 10^{-6}) = 2 \ J$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$।
$Q = 3 \ J + 2 \ J = 5 \ J$।

(D) दिया गया संबंध $V = K T^2$ है।
एक मोल गैस के लिए आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ का उपयोग करने पर,हमें $P = \frac{RT}{V}$ प्राप्त होता है।
$P$ के व्यंजक में $V = K T^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$P = \frac{RT}{K T^2} = \frac{R}{KT}$ प्राप्त होता है।
किया गया कार्य $W = \int P dV$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V = K T^2$ है,$T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $dV = 2KT dT$ प्राप्त होता है।
कार्य के समाकलन में $P$ और $dV$ का मान रखने पर:
$W = \int_{T_1}^{T_2} \left( \frac{R}{KT} \right) (2KT dT) = \int_{T_1}^{T_2} 2R dT$।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 60 \text{ K}$ दिया गया है।
अतः,$W = 2R (T_2 - T_1) = 2R(60) = 120R$।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
मान लीजिए प्रारंभिक दक्षता $\eta_1 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है।
जब स्रोत का तापमान तीन गुना किया जाता है,तो नया तापमान $T_1' = 3T_1$ हो जाता है।
नई दक्षता $\eta_2 = 1 - \frac{T_2}{3T_1}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\eta_2 = 2\eta_1$.
अतः,$1 - \frac{T_2}{3T_1} = 2(1 - \frac{T_2}{T_1})$.
$1 - \frac{T_2}{3T_1} = 2 - \frac{2T_2}{T_1}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{2T_2}{T_1} - \frac{T_2}{3T_1} = 2 - 1$.
$\frac{6T_2 - T_2}{3T_1} = 1$.
$\frac{5T_2}{3T_1} = 1$,जिसका अर्थ है कि $\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{5} = 0.6$.
इस मान को प्रारंभिक दक्षता के सूत्र में रखने पर: $\eta_1 = 1 - 0.6 = 0.4$.
इस प्रकार,प्रारंभिक दक्षता $40 \%$ है।

(D) गैस के अणुओं की $rms$ चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,यदि $rms$ चाल आधी हो जाती है,तो तापमान $T$ प्रारंभिक तापमान का $(1/2)^2 = 1/4$ हो जाता है।
अतः,$T_f = \frac{T_i}{4}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ है।
अतः,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
मान रखने पर: $T_i (200)^{\gamma-1} = \frac{T_i}{4} (V_f)^{\gamma-1}$.
यहाँ $\gamma = 1.5$ दिया गया है,इसलिए $\gamma - 1 = 0.5 = 1/2$.
$200^{1/2} = \frac{1}{4} V_f^{1/2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $200 = \frac{1}{16} V_f$.
$V_f = 200 \times 16 = 3200 \ cc$.

(D) दिया गया समीकरण $V = \frac{aT^3}{P}$ है।
स्थिर दाब $P$ के लिए,प्रारंभिक आयतन $V_1 = \frac{aT^3}{P}$ है।
जब तापमान दोगुना हो जाता है $(T_2 = 2T)$,तो नया आयतन $V_2 = \frac{a(2T)^3}{P} = \frac{8aT^3}{P}$ हो जाता है।
स्थिर दाब पर गैस द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = P(V_2 - V_1)$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $W = P \left( \frac{8aT^3}{P} - \frac{aT^3}{P} \right) = P \left( \frac{7aT^3}{P} \right) = 7aT^3$.

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम कहता है कि $Q = \Delta U + W$। चूंकि प्रक्रिया रुद्धोष्म है, $Q = 0$, जिसका अर्थ है $W = -\Delta U$।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $n = 1 \,mol$, $C_v = 0.8 \,kJ \,mol^{-1} \,K^{-1}$ (मोलर ऊष्मा धारिता मानते हुए)।
अतः, $\Delta U = 1 \,mol \times 0.8 \,kJ \,mol^{-1} \,K^{-1} \times (250 \,K - 200 \,K) = 0.8 \times 50 = 40 \,kJ$।
चूंकि $W = -\Delta U$, गैस द्वारा किए गए कार्य का परिमाण $40 \,kJ$ है।

(D) आदर्श गैस के लिए,$PV = nRT$ होता है। घनत्व $d = \frac{m}{V}$ है,इसलिए $V = \frac{m}{d}$। इसे आदर्श गैस समीकरण में रखने पर,$P(\frac{m}{d}) = nRT$,जिससे $P = (\frac{nRT}{m})d$ प्राप्त होता है। चूंकि $n, R, m$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto Td$ है।
$1$. प्रक्रिया $AB$: घनत्व $d$ स्थिर है (समआयतनिक प्रक्रिया)। चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए किया गया कार्य $W = \int P dV = 0$ होगा। अतः,विकल्प $A$ और $B$ गलत हैं।
$2$. प्रक्रिया $BC$: ग्राफ में $P$ और $d$ दोनों बढ़ते हैं। $P = \frac{\rho RT}{M}$ के अनुसार,$T = \frac{PM}{\rho R}$। $BC$ रेखा मूल बिंदु से गुजरती है,जिसका अर्थ है कि तापमान $T$ स्थिर है (समतापीय प्रक्रिया)। इसलिए,आंतरिक ऊर्जा $U \propto T$ स्थिर रहती है। विकल्प $C$ गलत है।
$3$. प्रक्रिया $DA$: ग्राफ में $P$ और $d$ दोनों घटते हैं। $BC$ की तरह,यह रेखा भी मूल बिंदु से गुजरती है,जिसका अर्थ है कि $T$ स्थिर है। अतः,आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है। विकल्प $D$ सही है।

(A) विभिन्न ऊष्मागतिक प्रक्रियाओं में किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$1$. समतापीय प्रक्रिया: $W = \int_{V_1}^{V_2} P dV = \mu RT \ln(\frac{V_2}{V_1})$। अतः,$i-c$।
$2$. समदाबी प्रक्रिया: दाब $P$ स्थिर है,इसलिए $W = P \int_{V_1}^{V_2} dV = P(V_2 - V_1)$। अतः,$ii-d$।
$3$. समआयतनिक प्रक्रिया: आयतन $V$ स्थिर है,इसलिए $dV = 0$,जिसका अर्थ है $W = 0$। अतः,$iii-a$।
$4$. रुद्धोष्म प्रक्रिया: $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1} = \frac{1}{\gamma - 1}[P_2 V_2 - P_1 V_1]$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार)। अतः,$iv-b$।
इसलिए,सही मिलान $i-c, ii-d, iii-a, iv-b$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
हीलियम एक एकपरमाणुक गैस है,इसलिए $\gamma = 5/3$.
$STP$ पर,$1 \ mole$ गैस $22.4 \ L$ आयतन घेरती है। दिया गया है $V_i = 5.6 \ L$,अतः मोलों की संख्या $n = \frac{5.6}{22.4} = 0.25 \ mole = \frac{1}{4} \ mole$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
$T_f = T_i \left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1} = T \left(\frac{5.6}{0.7}\right)^{(5/3)-1} = T(8)^{2/3} = T(2^3)^{2/3} = 4T$.
अब,$W = \frac{n R (T - 4T)}{(5/3) - 1} = \frac{(1/4) R (-3T)}{2/3} = \frac{-3/4 RT}{2/3} = -\frac{9}{8} RT$.
चूंकि गैस का संपीड़न हो रहा है,कार्य गैस पर किया जा रहा है,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।

(A) पूर्ण चक्र में किया गया कार्य $P-V$ आरेख पर बंद वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = \text{क्षेत्रफल} = (2V - V) \times (3P - P) = V \times 2P = 2PV$.
एकपरमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{3}{2}R$ और स्थिर दाब पर $C_P = \frac{5}{2}R$ होती है।
प्रक्रिया $AB$ और $BC$ के दौरान निकाय द्वारा ऊष्मा अवशोषित की जाती है।
प्रक्रिया $AB$ (समआयतनिक) के लिए: $Q_{AB} = n C_V \Delta T = n \left(\frac{3}{2}R\right) \Delta T = \frac{3}{2} \Delta(PV) = \frac{3}{2} V(3P - P) = \frac{3}{2} V(2P) = 3PV$.
प्रक्रिया $BC$ (समदाबीय) के लिए: $Q_{BC} = n C_P \Delta T = n \left(\frac{5}{2}R\right) \Delta T = \frac{5}{2} P \Delta V = \frac{5}{2} (3P)(2V - V) = \frac{15}{2} PV$.
कुल अवशोषित ऊष्मा $Q_{in} = Q_{AB} + Q_{BC} = 3PV + \frac{15}{2} PV = \frac{6PV + 15PV}{2} = \frac{21}{2} PV$.
दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_{in}} \times 100 = \frac{2PV}{\frac{21}{2} PV} \times 100 = \frac{4}{21} \times 100 \approx 19.04 \%$.

(A) प्रारंभिक अवस्था: $n = 2 \ mol$,$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$,$P_1 = P$,$V_1 = V$.
चरण $1$ (समदाबी विस्तार): आयतन दोगुना हो जाता है,इसलिए $V_2 = 2V$. चूंकि $P$ स्थिर है,$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \implies T_2 = T_1 \left(\frac{V_2}{V_1}\right) = 300 \times 2 = 600 \ K$.
चरण $2$ (रुद्धोष्म प्रक्रिया): गैस का विस्तार/संपीड़न तब तक होता है जब तक $T_3 = T_1 = 300 \ K$ न हो जाए।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_2 - T_3)}{\gamma - 1}$ है।
दिया गया है $\gamma = \frac{5}{3}$,इसलिए $\gamma - 1 = \frac{2}{3}$.
$W = \frac{2 \times 8.3 \times (600 - 300)}{2/3} = \frac{2 \times 8.3 \times 300 \times 3}{2} = 8.3 \times 900 = 7470 \ J$.

(D) विद्युत पारगम्यता $\epsilon_0$ के लिए विमीय सूत्र $[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$ है।
लंबाई $L$ के लिए विमीय सूत्र $[L]$ है।
विभवांतर $\Delta V$ के लिए विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ है।
समय अंतराल $\Delta t$ के लिए विमीय सूत्र $[T]$ है।
इन मानों को $P = \epsilon_0 L \frac{\Delta V}{\Delta t}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$[P] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] \cdot [L] \cdot \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-1}]}{[T]}$
$[P] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2] \cdot [L] \cdot [M L^2 T^{-3} A^{-1} T^{-1}]$
$[P] = [M^{-1+1} L^{-3+1+2} T^{4-3-1} A^{2-1}]$
$[P] = [M^0 L^0 T^0 A^1] = [A]$
चूंकि $P$ का विमीय सूत्र $[A]$ है,जो विद्युत धारा को दर्शाता है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया सूत्र: $r = \sqrt{\frac{64 IA}{\pi Bv}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $r^2 = \frac{64 IA}{\pi Bv}$.
'$A$' के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $A = \frac{r^2 \pi Bv}{64 I}$.
अब,प्रत्येक भौतिक राशि के आयामों को प्रतिस्थापित करें:
$[r] = [L]$,$[B] = [M T^{-2} I^{-1}]$,$[v] = [L T^{-1}]$,$[I] = [I]$.
'$A$' के व्यंजक में इन्हें रखने पर:
$[A] = \frac{[L]^2 [M T^{-2} I^{-1}] [L T^{-1}]}{[I]} = [M L^3 T^{-3} I^{-2}]$.
इसकी तुलना विशिष्ट प्रतिरोध $(\rho)$ के आयामों से करने पर:
प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{Area} \implies \rho = R \frac{Area}{L}$.
$[R] = [M L^2 T^{-3} I^{-2}]$,$[Area] = [L^2]$,$[L] = [L]$.
$[\rho] = [M L^2 T^{-3} I^{-2}] \cdot \frac{[L^2]}{[L]} = [M L^3 T^{-3} I^{-2}]$.
चूंकि '$A$' के आयाम विशिष्ट प्रतिरोध के आयामों से मेल खाते हैं,इसलिए '$A$' विशिष्ट प्रतिरोध (Resistivity) को दर्शाता है।

(C) दिया गया है: $A = [LT^{-1}]$ (वेग),$B = [LT^{-2}]$ (त्वरण),$C = [ML^2T^{-2}A^{-2}]$ (प्रेरकत्व),$D = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ (धारिता)।
हमें $A^{-1} BCD$ की विमाएँ ज्ञात करनी हैं।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$A^{-1} = [L^{-1}T]$
$B = [LT^{-2}]$
$C = [ML^2T^{-2}A^{-2}]$
$D = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$
अब,गुणनफल की गणना करें:
$A^{-1} BCD = [L^{-1}T] \cdot [LT^{-2}] \cdot [ML^2T^{-2}A^{-2}] \cdot [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$
पदों को समूहित करने पर:
$= [L^{-1} \cdot L \cdot L^2 \cdot L^{-2}] \cdot [T \cdot T^{-2} \cdot T^{-2} \cdot T^4] \cdot [M \cdot M^{-1}] \cdot [A^{-2} \cdot A^2]$
$= [L^0] \cdot [T^1] \cdot [M^0] \cdot [A^0]$
$= [T]$
अतः,इस व्यंजक की विमाएँ समय के समान हैं।

(D) जब लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित होती है, तो तार में तनाव $T = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $m = 9 \, kg$, $g = 10 \, ms^{-2}$, और $a = 2 \, ms^{-2}$ दिया गया है, इसलिए $T = 9(10 + 2) = 9 \times 12 = 108 \, N$ है।
तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है, जहाँ $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
हम जानते हैं कि $\mu = \rho A$, जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
यहाँ $v = 120 \, ms^{-1}$ और $A = 1 \, mm^2 = 10^{-6} \, m^2$ दिया गया है, इसलिए $v^2 = \frac{T}{\rho A}$ होगा।
$\rho$ के लिए हल करने पर, $\rho = \frac{T}{v^2 A} = \frac{108}{(120)^2 \times 10^{-6}} = \frac{108}{14400 \times 10^{-6}} = \frac{108}{0.0144} = 7500 \, kg \, m^{-3}$ प्राप्त होता है।
$g \, cm^{-3}$ में बदलने पर, $\rho = 7500 \times 10^{-3} \, g \, cm^{-3} = 7.5 \, g \, cm^{-3}$ है।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(A) मुक्त आकाश में यात्रा करने वाली विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए, विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का संबंध $B = \frac{E}{c}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है $(c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s})$।
यहाँ $E = 6.3 \text{ V/m}$ दिया गया है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{6.3}{3 \times 10^8} = 2.1 \times 10^{-8} \text{ T}$ है।
तरंग के प्रसार की दिशा $X$-दिशा $(\hat{i})$ है और विद्युत क्षेत्र $Y$-दिशा $(\hat{j})$ में है।
चूँकि तरंग $\vec{E} \times \vec{B}$ की दिशा में आगे बढ़ती है, इसलिए $\hat{i} = \hat{j} \times \hat{B}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\hat{B} = \hat{k}$।
अतः, चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 2.1 \times 10^{-8} \hat{k} \text{ T}$ है।

(B) वेग $\overrightarrow{v}$ से गतिमान आवेशित कण $q$ पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल नियम द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$।
कण के एकसमान वेग से गति करने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\overrightarrow{F} = 0$।
स्थिति $A$: यदि $\overrightarrow{E} = 0$ और $\overrightarrow{B} = 0$ है,तो $\overrightarrow{F} = 0$। यह संभव है।
स्थिति $B$: यदि $\overrightarrow{E} \neq 0$ और $\overrightarrow{B} = 0$ है,तो $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E}$। $\overrightarrow{F} = 0$ के लिए,हमें $\overrightarrow{E} = 0$ की आवश्यकता होगी,जो धारणा का खंडन करता है। अतः,यह संभव नहीं है।
स्थिति $C$: यदि $\overrightarrow{E} = 0$ और $\overrightarrow{B} \neq 0$ है,तो $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$। यदि $\overrightarrow{v}$,$\overrightarrow{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर है,तो $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} = 0$,इसलिए $\overrightarrow{F} = 0$। यह संभव है।
स्थिति $D$: यदि $\overrightarrow{E} \neq 0$ और $\overrightarrow{B} \neq 0$ है,तो $\overrightarrow{E} = -(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ होना संभव है ताकि $\overrightarrow{F} = 0$ हो। यह संभव है।
इसलिए,विकल्प $B$ संभव नहीं है।

(C) निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंगों की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$ द्वारा दी जाती है।
सापेक्ष पारगम्यता $\mu_{r}$ और परावैद्युतांक $K$ (जहाँ $K = \epsilon_{r}$) वाले माध्यम में,गति $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ होती है।
यहाँ,$\mu = \mu_{0} \mu_{r}$ और $\epsilon = \epsilon_{0} \epsilon_{r} = \epsilon_{0} K$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v = \frac{1}{\sqrt{(\mu_{0} \mu_{r}) (\epsilon_{0} K)}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}} \sqrt{\mu_{r} K}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$,इसलिए $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} K}}$ होता है।

(D) चालन धारा $I_c = \frac{V}{R} = V \sigma A / d$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\sigma = 1/\rho$ चालकता है। आयाम $I_{c,0} = \frac{V_0}{\rho} \frac{A}{d}$ है।
विस्थापन धारा $I_d = \epsilon_0 \epsilon_r A \frac{dE}{dt} = \epsilon_0 \epsilon_r A \frac{d}{dt} (V/d) = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r A}{d} \omega V_0 \cos(\omega t)$ द्वारा दी जाती है। आयाम $I_{d,0} = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r A \omega V_0}{d}$ है।
आयामों का अनुपात $\frac{I_{d,0}}{I_{c,0}} = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r A \omega V_0 / d}{V_0 A / (\rho d)} = \epsilon_0 \epsilon_r \omega \rho$ है।
दिया गया है $\epsilon_r = 80$,$\rho = 0.25 \, \Omega m$,$f = 0.4 \times 10^9 \, Hz$,और $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (0.4 \times 10^9) = 0.8 \pi \times 10^9 \, rad/s$.
$\epsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \, F/m$ का उपयोग करते हुए,अनुपात $\frac{1}{36 \pi \times 10^9} \times 80 \times (0.8 \pi \times 10^9) \times 0.25 = \frac{80 \times 0.8 \times 0.25}{36} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र के आयाम $(E_0)$ और चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $(B_0)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $B_0 = \frac{E_0}{c}$।
यहाँ $E_0 = 60 \ Vm^{-1}$ और प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B_0 = \frac{60}{3 \times 10^8}$
$B_0 = 20 \times 10^{-8} \ T$
$B_0 = 2 \times 10^{-7} \ T$।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $2 \times 10^{-7} \ T$ है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ का सूत्र $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$ है।
हम जानते हैं कि $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$,जिसका अर्थ है $\epsilon_0 = \frac{1}{\mu_0 c^2}$।
इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर: $I = \frac{1}{2} c \left(\frac{1}{\mu_0 c^2}\right) E_0^2 = \frac{E_0^2}{2 \mu_0 c}$।
दिया गया है: $E_0 = 300 \ Vm^{-1}$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ Hm^{-1}$,और $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$।
$I = \frac{(300)^2}{2 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^8)}$।
$I = \frac{90000}{2 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 3 \times 10^8} = \frac{90000}{24\pi \times 10} = \frac{9000}{24\pi} = \frac{375}{\pi}$।
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,$I \approx \frac{375}{3.14159} \approx 119.36 \ Wm^{-2}$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,$I \approx 119.4 \ Wm^{-2}$।

(D) क्षैतिज सतह पर कणों के संतुलन में रहने के लिए,स्थिर वैद्युत प्रतिकर्षण बल को अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
दिया गया है: $m = 3 \ g = 3 \times 10^{-3} \ kg$,$q = 0.2 \ \mu C = 0.2 \times 10^{-6} \ C$,$r = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$g = 10 \ ms^{-2}$,$k = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$.
स्थिर वैद्युत बल $F_e = \frac{k q^2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (0.2 \times 10^{-6})^2}{(0.2)^2}$.
$F_e = \frac{9 \times 10^9 \times 0.04 \times 10^{-12}}{0.04} = 9 \times 10^{-3} \ N$.
अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_s = \mu N = \mu mg$.
$F_e = f_s$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu mg = 9 \times 10^{-3}$.
$\mu \times (3 \times 10^{-3}) \times 10 = 9 \times 10^{-3}$.
$\mu \times 3 \times 10^{-2} = 9 \times 10^{-3}$.
$\mu = \frac{9 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-1} = 0.30$.

(C) मान लीजिए आवेश $q_1 = 4 \ C$ ($x = 0$ पर),$q_2 = Q \ C$ ($x = \frac{l}{2}$ पर),और $q_3 = 1 \ C$ ($x = l$ पर) हैं।
स्थिति $1$: $4 \ C$ पर कुल बल शून्य है।
$Q$ और $1 \ C$ द्वारा $4 \ C$ पर लगाया गया बल एक-दूसरे को निरस्त करना चाहिए।
$F = k \frac{4 \cdot Q}{(l/2)^2} + k \frac{4 \cdot 1}{l^2} = 0$.
$k \frac{4Q}{l^2/4} + \frac{4k}{l^2} = 0 \implies \frac{16Q}{l^2} + \frac{4}{l^2} = 0 \implies 16Q = -4 \implies Q = -\frac{1}{4} \ C$.
स्थिति $2$: $1 \ C$ पर कुल बल शून्य है।
$4 \ C$ और $Q$ द्वारा $1 \ C$ पर लगाया गया बल एक-दूसरे को निरस्त करना चाहिए।
$F = k \frac{1 \cdot 4}{l^2} + k \frac{1 \cdot Q}{(l/2)^2} = 0$.
$\frac{4k}{l^2} + \frac{kQ}{l^2/4} = 0 \implies \frac{4}{l^2} + \frac{4Q}{l^2} = 0 \implies 4 + 4Q = 0 \implies Q = -1 \ C$.
अतः,$Q$ के मान $-\frac{1}{4} \ C$ और $-1 \ C$ हैं।

(C) माना $m = 0.1 \,g = 10^{-4} \,kg$, $L = 1 \,m$, $a = 3 \,cm = 0.03 \,m$ है। समबाहु त्रिभुज के केंद्रक से एक कोने की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{0.03}{\sqrt{3}} = 0.01\sqrt{3} \,m$ है। ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ के लिए $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{r}{L} = 0.01\sqrt{3}$ है। एक कण पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $mg$, तनाव $T$ और अन्य दो कणों द्वारा स्थिरवैद्युत प्रतिकर्षण हैं। $a$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q$ के कारण परिणामी स्थिरवैद्युत बल $F_e = 2 \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \cos(30^\circ) = 2 \cdot (9 \times 10^9) \cdot \frac{q^2}{(0.03)^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \times 10^{13} q^2$ है। संतुलन में, $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$ होता है। अतः, $0.01\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \times 10^{13} q^2}{10^{-4} \times 10}$। $q^2$ के लिए हल करने पर: $q^2 = 0.01 \times 10^{-3} / 10^{13} = 10^{-18} \,C^2$। इसलिए, $q = 10^{-9} \,C = 1 \,nC$।

(C) $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच का बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$.
यहाँ $q_1 = q_2 = ne$,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$r = 3 \ cm = 0.03 \ m$,और $F = 10^{-19} \ N$ है।
मान रखने पर: $10^{-19} = (9 \times 10^9) \frac{(ne)^2}{(0.03)^2}$.
$(ne)^2 = \frac{10^{-19} \times (0.03)^2}{9 \times 10^9} = \frac{10^{-19} \times 9 \times 10^{-4}}{9 \times 10^9} = 10^{-32}$.
$ne = \sqrt{10^{-32}} = 10^{-16}$.
$n = \frac{10^{-16}}{1.6 \times 10^{-19}} = \frac{1000}{1.6} = 625$.

(C) मान लीजिए कि कुल आवेशों की संख्या $N$ है। हम इन्हें $q$ और $N-q$ के दो समूहों में विभाजित करते हैं, जहाँ प्रत्येक आवेश $Q$ है। दो समूहों के बीच का बल $F = k \cdot (qQ) \cdot ((N-q)Q) / r^2 = (kQ^2/r^2) \cdot q(N-q)$ है।
बल को अधिकतम करने के लिए, हमें $q(N-q)$ को अधिकतम करना होगा। यह तब होता है जब $q = N/2$ हो, जिससे $q(N-q) = N^2/4$ प्राप्त होता है।
बल को न्यूनतम करने के लिए, हम एक समूह में न्यूनतम संभव आवेश रखते हैं, जो $q = 1$ है। इससे $q(N-q) = 1(N-1) = N-1$ प्राप्त होता है।
अधिकतम बल और न्यूनतम बल का अनुपात $(N^2/4) / (N-1) = N^2 / (4(N-1))$ है।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(A) अनंत लंबाई की अचालक शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है।
शीट $Z = 3a$ $(\sigma)$,$Z = a$ $(-2\sigma)$,और $Z = -a$ $(-\sigma)$ पर स्थित हैं। बिंदु $P$,$Z = a$ और $Z = 3a$ के बीच स्थित है।
$1$. $Z = 3a$ पर शीट $(\sigma)$: बिंदु $P$ इसके नीचे है,इसलिए क्षेत्र $-\hat{k}$ दिशा में है: $\vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{k}$.
$2$. $Z = a$ पर शीट $(-2\sigma)$: बिंदु $P$ इसके ऊपर है,इसलिए क्षेत्र शीट की ओर ($+\hat{k}$ दिशा में) है: $\vec{E}_2 = \frac{2\sigma}{2\epsilon_0} \hat{k} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{k}$.
$3$. $Z = -a$ पर शीट $(-\sigma)$: बिंदु $P$ इसके ऊपर है,इसलिए क्षेत्र शीट की ओर ($+\hat{k}$ दिशा में) है: $\vec{E}_3 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{k}$.
कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = (-\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2}) \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{k} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{k}$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $A$ माना जा सकता है।

(B) प्रारंभ में,मनका स्थिर है,जिसका अर्थ है कि ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल $F_e = qE$ नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ को संतुलित करता है। अतः,$qE = mg$.
जब विद्युत क्षेत्र को बंद कर दिया जाता है,तो मनके पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण $(mg)$ होता है। मनका $g$ के निरंतर त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करना शुरू कर देगा।
जब विद्युत क्षेत्र को फिर से चालू किया जाता है,तो विद्युत बल $F_e = qE$ फिर से ऊपर की ओर कार्य करता है। चूंकि मनके ने उस समय के दौरान नीचे की ओर कुछ वेग प्राप्त कर लिया है जब क्षेत्र बंद था,इसलिए यह नीचे की ओर गति करना जारी रखेगा और मंदित होगा जब तक कि उसका वेग शून्य न हो जाए।
वेग शून्य होने के बाद,विद्युत बल $F_e$ (जो $mg$ के बराबर है) मनके को ऊपर की ओर त्वरित करेगा जब तक कि वह अपनी मूल स्थिति में वापस न आ जाए।
इसलिए,मनका नीचे की ओर गति करता है और फिर ऊपर की ओर गति करता है।

(B) अनंत लंबाई के तार के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2k\lambda}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$ है।
यहाँ $\lambda_1 = 4 \ Cm^{-1}$,$\lambda_2 = 8 \ Cm^{-1}$ और दूरी $d = 4 \ cm = 0.04 \ m$ है।
मध्य बिंदु दोनों तारों से $r = d/2 = 0.02 \ m$ की दूरी पर है।
तार $1$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 4}{0.02} = 36 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ (तार $1$ से दूर की दिशा में)।
तार $2$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 8}{0.02} = 72 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ (तार $2$ से दूर की दिशा में)।
चूंकि दोनों आवेश घनत्व धनात्मक हैं,इसलिए मध्य बिंदु पर विद्युत क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होंगे।
कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net} = |E_2 - E_1| = |72 \times 10^{11} - 36 \times 10^{11}| = 36 \times 10^{11} \ NC^{-1}$।

(D) विद्युत क्षेत्र $E$ ऊपर की ओर कार्य करता है। चूंकि आवेश $q$ ऋणात्मक है,इसलिए बल $F = qE$ नीचे की ओर कार्य करता है। कण का त्वरण $a = \frac{|q|E}{m} = \frac{1 \times 10^{-6} \times 10^3}{2 \times 10^{-3}} = 0.5 \ ms^{-2}$ नीचे की ओर है।
कण के ऊपरी प्लेट से न टकराने के लिए,इसका अधिकतम ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h_{\max}$ प्लेटों के बीच की दूरी $d = 2 \ cm = 0.02 \ m$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin 45^{\circ} = \frac{u}{\sqrt{2}}$ है।
अधिकतम ऊंचाई पर,ऊर्ध्वाधर वेग शून्य हो जाता है। $v_y^2 = u_y^2 - 2ah_{\max}$ का उपयोग करने पर,हमें $0 = (\frac{u}{\sqrt{2}})^2 - 2ah_{\max}$ प्राप्त होता है,इसलिए $h_{\max} = \frac{u^2}{4a}$ है।
$h_{\max} = 0.02 \ m$ और $a = 0.5 \ ms^{-2}$ रखने पर:
$0.02 = \frac{u^2}{4 \times 0.5} = \frac{u^2}{2}$
$u^2 = 0.04 \implies u = 0.2 \ ms^{-1}$।

(B) अनंत लंबाई के सीधे तार से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r}$
दिया है: $\lambda = \frac{1}{3} \text{ C m}^{-1}$,$r = 18 \text{ cm} = 0.18 \text{ m}$,$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$.
मान रखने पर:
$E = \frac{2 \times (1/3) \times 9 \times 10^9}{0.18} = \frac{6 \times 10^9}{0.18} = \frac{600 \times 10^9}{18} = \frac{1}{3} \times 10^{11} \text{ N/C}$.
$q = 3 \mu\text{C} = 3 \times 10^{-6} \text{ C}$ आवेश पर लगने वाला बल $F$:
$F = qE = (3 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (\frac{1}{3} \times 10^{11} \text{ N/C}) = 10^5 \text{ N}$.

(A) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = a \hat{i} + b \hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
$y-z$ तल के समानांतर $l$ भुजा वाले वर्ग के लिए क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$,$x$-अक्ष की दिशा में होता है,इसलिए $\overrightarrow{A} = l^2 \hat{i}$।
विद्युत फ्लक्स $\Phi$ को विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\Phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$।
मान रखने पर: $\Phi = (a \hat{i} + b \hat{j}) \cdot (l^2 \hat{i})$।
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$,हमें $\Phi = a l^2 (1) + b l^2 (0) = a l^2$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल फ्लक्स $a l^2$ है।

(D) कोशों पर आवेश $q_A = \sigma(4\pi a^2)$,$q_B = -\sigma(4\pi b^2)$ और $q_C = \sigma(4\pi c^2)$ हैं।
कोश $A$ की सतह पर विभव $V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{a} + \frac{q_B}{b} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [a - b + c]$ है।
कोश $C$ की सतह पर विभव $V_C = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{c} + \frac{q_B}{c} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0 c} [a^2 - b^2 + c^2]$ है।
चूंकि $V_A = V_C$ दिया गया है,हम समीकरणों की तुलना करते हैं: $a - b + c = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{c}$.
$c(a - b + c) = a^2 - b^2 + c^2 \implies ac - bc + c^2 = a^2 - b^2 + c^2$.
$ac - bc = a^2 - b^2 \implies c(a - b) = (a - b)(a + b)$.
चूंकि $a \neq b$,$(a - b)$ से विभाजित करने पर $c = a + b$ प्राप्त होता है।
$a = 7 \ cm$ और $b = 17 \ cm$ दिए गए हैं,इसलिए $c = 7 + 17 = 24 \ cm$ है।

(A) मान लीजिए गोलों की त्रिज्याएँ $R_1 = 4 \ cm = 0.04 \ m$ और $R_2 = 1 \ cm = 0.01 \ m$ हैं। केंद्रों के बीच की दूरी $d = 0.15 \ m$ है।
जब तार से जोड़ा जाता है,तो गोले समान विभव $V = \frac{k q_1}{R_1} = \frac{k q_2}{R_2}$ प्राप्त करते हैं। अतः,$q_1/q_2 = R_1/R_2 = 4/1$ है।
दिया गया है $q_1 + q_2 = 100 \ nC$,जिससे हमें $q_1 = 80 \ nC$ और $q_2 = 20 \ nC$ प्राप्त होता है।
विभव $V = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-9}}{0.04} = 18000 \ V$ है।
मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य है,पहले गोले के केंद्र से $x$ दूरी पर है। विद्युत क्षेत्र तब शून्य होता है जब $\frac{k q_1}{x^2} = \frac{k q_2}{(d-x)^2}$ हो।
वर्गमूल लेने पर: $\frac{\sqrt{80}}{x} = \frac{\sqrt{20}}{d-x} \implies \frac{2\sqrt{20}}{x} = \frac{\sqrt{20}}{0.15-x}$।
$2(0.15 - x) = x \implies 0.3 = 3x \implies x = 0.1 \ m$।
इस बिंदु पर विभव $V_P = \frac{k q_1}{x} + \frac{k q_2}{d-x} = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-9}}{0.1} + \frac{9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-9}}{0.05} = 7200 + 3600 = 10800 \ V = 10.8 \times 10^3 \ V$।

(B) $R$ त्रिज्या वाले एक चालक गोले का विभव $V$, जिस पर $q$ आवेश है, $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V = 10 \,V$, $R_1 = 0.09 \,m$ और $R_2 = 0.01 \,m$ दिया गया है।
गोलों पर आवेश $q_1 = 4\pi\epsilon_0 R_1 V$ और $q_2 = 4\pi\epsilon_0 R_2 V$ हैं।
मान रखने पर, $q_1 = \frac{0.09 \times 10}{9 \times 10^9} = 10^{-10} \,C$ और $q_2 = \frac{0.01 \times 10}{9 \times 10^9} = \frac{1}{9} \times 10^{-10} \,C$ प्राप्त होता है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 0.2 \,m$ है।
प्रतिकर्षण बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2} = (9 \times 10^9) \times \frac{10^{-10} \times (1/9) \times 10^{-10}}{(0.2)^2}$.
$F = \frac{10^{-11}}{0.04} = \frac{10^{-11}}{4 \times 10^{-2}} = 0.25 \times 10^{-9} \,N = \frac{10^{-9}}{4} \,N$.

(A) एक आवेशित धातु के गोले का विभव $V$, सूत्र $V = \frac{k q}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ कूलम्ब नियतांक है, $q$ आवेश है और $r$ गोले की त्रिज्या है.
दिया गया है: व्यास $d = 18 \, cm$, इसलिए त्रिज्या $r = 9 \, cm = 9 \times 10^{-2} \, m$.
विभव $V = 25 \, kV = 25 \times 10^3 \, V$.
आवेश $q$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $q = \frac{V \cdot r}{k}$.
मान रखने पर: $q = \frac{25 \times 10^3 \times 9 \times 10^{-2}}{9 \times 10^9}$.
$q = \frac{25 \times 10^1}{10^9} = 25 \times 10^{-8} \, C$.
माइक्रोकूलम्ब में बदलने पर: $q = 0.25 \times 10^{-6} \, C = 0.25 \, \mu C$.

(A) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए निकाय के लिए,आवेश $Q, +q, +q$ हैं और उनके बीच की दूरियाँ $a, a$ और $\sqrt{2}a$ हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{Q \cdot q}{a} + \frac{Q \cdot q}{a} + \frac{q \cdot q}{\sqrt{2}a} \right]$ है।
यह दिया गया है कि कुल स्थितिज ऊर्जा $U = 0$ है,इसलिए:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{2Qq}{a} + \frac{q^2}{\sqrt{2}a} \right] = 0$.
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0 a}$ से विभाजित करने पर,हमें $2Qq + \frac{q^2}{\sqrt{2}} = 0$ प्राप्त होता है।
$2Qq = -\frac{q^2}{\sqrt{2}}$.
$Q = -\frac{q}{2\sqrt{2}}$.

(A) $1$. फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही चालक पर लगने वाले बल की दिशा निर्धारित करने के लिए किया जाता है $(a-h)$.
$2$. फ्लेमिंग के दाएं हाथ के नियम का उपयोग चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित धारा की दिशा निर्धारित करने के लिए किया जाता है $(b-e)$.
$3$. क्लॉक नियम के अनुसार,दक्षिणावर्त (clockwise) धारा ले जाने वाले लूप का एक फलक दक्षिणी ध्रुव के रूप में कार्य करता है $(c-f)$.
$4$. वामावर्त (anticlockwise) धारा ले जाने वाले लूप का एक फलक उत्तरी ध्रुव के रूप में कार्य करता है $(d-g)$.
अतः,सही मिलान $a-h, b-e, c-f, d-g$ है।

(B) गतिमान कनेक्टर में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = Bvl$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $B = 2 \, T$, $v = 2 \, ms^{-1}$, और $l = 1 \, m$ है।
$e = 2 \times 2 \times 1 = 4 \, V$.
लूप में प्रेरित धारा $(I)$ $I = e/R$ है, जहाँ $R = 2 \, \Omega$ है।
$I = 4 / 2 = 2 \, A$.
कनेक्टर पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $(F_m)$ $F_m = IlB$ है।
$F_m = 2 \times 1 \times 2 = 4 \, N$.
चूँकि कनेक्टर एकसमान वेग से गति कर रहा है, इसलिए बाहरी बल $(F_{ext})$ को चुंबकीय बल को संतुलित करना चाहिए।
$F_{ext} = F_m = 4 \, N$.

(D) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}$ तार के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
परवलय समीकरण $y^2 = 2x$ से,$x = 2$ पर,$y^2 = 4$,इसलिए $y = \pm 2$। बिंदु $A(2, 2)$ और $B(2, -2)$ हैं।
धारा $A$ से $B$ तक मूल बिंदु $O$ से होकर बहती है। अतः,प्रभावी लंबाई सदिश $\vec{L}$,$A$ से $B$ तक का सदिश है,जो $\vec{L} = (2-2)\hat{i} + (-2-2)\hat{j} = -4\hat{j} \ m$ है।
यहाँ $I = 4 \ A$ और $\vec{B} = 6\hat{k} \ T$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{F} = 4 \times (-4\hat{j} \times 6\hat{k}) = 4 \times (-24)(\hat{j} \times \hat{k}) = -96\hat{i} \ N$.

(B) मान लीजिए कि तारों $P$ और $Q$ में धारा $I$ है। तार $P$,$x = -a$ पर और तार $Q$,$x = a$ पर स्थित है। अनंत तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ पर,$P$ के कारण क्षेत्र $B_P = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} = B$ (कागज के अंदर की ओर) है।
$O$ पर $Q$ के कारण क्षेत्र $B_Q = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} = B$ (यह भी अंदर की ओर) है।
$O(0,0)$ पर परिणामी क्षेत्र $B_{net} = B + B = 2B$ है। अतः,$D-i$ सही है।
$X$-अक्ष पर एक सामान्य बिंदु $x$ के लिए,$P$ के कारण क्षेत्र $B_P = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x+a)}$ और $Q$ के कारण $B_Q = \frac{\mu_0 I}{2\pi (a-x)}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए क्षेत्र जुड़ जाते हैं: $B_{net} = \frac{\mu_0 I}{2\pi} [\frac{1}{x+a} + \frac{1}{a-x}] = B [\frac{a^2}{a^2-x^2}]$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही मिलान $A-iv, B-ii, C-iii, D-i$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau = N I A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। छोटे दोलनों के लिए, $\sin \theta \approx \theta$, इसलिए $\tau = - (N I A B) \theta$। इसे सरल आवर्त गति के समीकरण $\tau = -k \theta$ के साथ तुलना करने पर, हमें प्रत्यानयन बल आघूर्ण नियतांक $k = N I A B$ प्राप्त होता है। दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I_{moment}}{k}}$ है, जहाँ $I_{moment}$ जड़त्व आघूर्ण है। दिया गया है $T = \frac{1}{3} \, s$, $I_{moment} = 9 \times 10^{-5} \, kg \cdot m^2$, $B = \pi \times 10^{-2} \, T$, $I = 2 \, A$, और $r = 9 \, cm = 0.09 \, m$। क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.09)^2 = 81 \pi \times 10^{-4} \, m^2$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{3} = 2 \pi \sqrt{\frac{9 \times 10^{-5}}{N \times 2 \times 81 \pi \times 10^{-4} \times \pi \times 10^{-2}}}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{9} = 4 \pi^2 \frac{9 \times 10^{-5}}{N \times 162 \pi^2 \times 10^{-6}}$। सरल करने पर: $\frac{1}{9} = \frac{36 \pi^2 \times 10^{-5}}{N \times 162 \pi^2 \times 10^{-6}} = \frac{360}{162 N}$। अतः, $N = \frac{360 \times 9}{162} = 20$। इसलिए, फेरों की संख्या $20$ है।

(A) $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
केंद्र से $x$ दूरी पर अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
दिया गया है कि $B_{center} = 6\sqrt{6} \times B_{axis}$,इसलिए:
$\frac{\mu_0 I}{2R} = 6\sqrt{6} \times \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
सरल करने पर,$1 = 6\sqrt{6} \times \frac{R^3}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
$(R^2 + x^2)^{3/2} = 6\sqrt{6} R^3$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(R^2 + x^2)^3 = (6\sqrt{6})^2 R^6 = 216 \times 6 \times R^6 = 1296 R^6$.
घनमूल लेने पर: $R^2 + x^2 = (1296)^{1/3} R^2 = 6 R^2$ (नोट: $6^3 = 216$,यहाँ $216^{1/3} = 6$ आता है)।
अतः $x^2 = 5R^2$,जिसका अर्थ है $x = R\sqrt{5}$.
$x = 8 \times 2.236 = 17.888 \approx 17.89 \ cm$।

(D) $n$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली एक वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि दोनों कुंडलियाँ संकेंद्रित हैं और विपरीत दिशाओं में धारा वहन करती हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र व्यक्तिगत चुंबकीय क्षेत्रों का अंतर है।
दिया गया है: $n_1 = n_2 = 20$,$I_1 = 0.4 \text{ A}$,$r_1 = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$,$I_2 = 0.6 \text{ A}$,$r_2 = 60 \text{ cm} = 0.6 \text{ m}$.
$B_{\text{net}} = |B_1 - B_2| = \left| \frac{\mu_0 n_1 I_1}{2 r_1} - \frac{\mu_0 n_2 I_2}{2 r_2} \right|$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 \times 20}{2} \left( \frac{0.4}{0.3} - \frac{0.6}{0.6} \right)$
$B_{\text{net}} = 10 \mu_0 \left( \frac{4}{3} - 1 \right)$
$B_{\text{net}} = 10 \mu_0 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{10}{3} \mu_0 \text{ T}$.

(B) अनंत लंबाई के सीधे तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
बाएं तार के लिए, बिंदु $O$ क्षैतिज खंड की अक्ष पर स्थित है, इसलिए क्षैतिज खंड के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $0$ है। ऊर्ध्वाधर खंड $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$ की दूरी पर एक अर्ध-अनंत तार है। अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $O$ पर क्षेत्र $B_1$ पृष्ठ के अंदर की ओर $(\otimes)$ है।
इसी प्रकार, दाएं तार के लिए, बिंदु $O$ क्षैतिज खंड की अक्ष पर स्थित है, इसलिए इसका योगदान $0$ है। ऊर्ध्वाधर खंड $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$ की दूरी पर एक अर्ध-अनंत तार है। $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ पृष्ठ के अंदर की ओर $(\otimes)$ है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2 = 2 \times \left( \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \right) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ है।
मान रखने पर: $B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 10}{2\pi \times 0.02} = \frac{2 \times 10^{-6}}{0.02} = 10^{-4} \ T$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = v \sin(\theta) = 10^7 \times \sin(30^{\circ}) = 10^7 \times 0.5 = 5 \times 10^6 \,m/s$ है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv_{\perp}}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$ और $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ है।
एक चक्कर के लिए आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v_{\perp}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $T = \frac{2 \times 3.14 \times 2}{5 \times 10^6} = \frac{12.56}{5 \times 10^6} = 2.512 \times 10^{-6} \,s$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$T \approx 2.5 \times 10^{-6} \,s$ प्राप्त होता है।

(A) जब कोई आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र है: $r = \frac{mv}{qB}$।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $B = \frac{mv}{qr}$।
दिए गए मान:
द्रव्यमान $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
वेग $v = 10^6 \ ms^{-1}$
आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
त्रिज्या $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (10^6)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (0.1)}$
$B = \frac{9 \times 10^{-25}}{0.16 \times 10^{-19}}$
$B = \frac{9}{0.16} \times 10^{-6} \ T$
$B = 56.25 \times 10^{-6} \ T = 5.625 \times 10^{-5} \ T$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) हेलिकल पथ की पिच का सूत्र $p = v \cos(\theta) \times T$ है,जहाँ $T$ परिक्रमण का आवर्तकाल है।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi m}{qB}$ है।
मान रखने पर: $m = 1.6 \times 10^{-27} \ kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$v = 1.6 \times 10^5 \ m/s$,$B = \frac{\pi}{10} \ T$,और $\theta = 60^{\circ}$.
$T = \frac{2 \times \pi \times 1.6 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times (\pi / 10)} = \frac{2 \times 10^{-27}}{10^{-19} \times 0.1} = 2 \times 10^{-7} \ s$.
अब,पिच $p = v \cos(60^{\circ}) \times T = (1.6 \times 10^5) \times (0.5) \times (2 \times 10^{-7}) = 1.6 \times 10^{-2} \ m$.

(A) विद्युत चुंबकों के लिए ऐसे पदार्थों की आवश्यकता होती है जिन्हें आसानी से चुंबकित और विचुंबकित किया जा सके। नरम लोहे की पारगम्यता (permeability) उच्च और धारणशीलता (retentivity) कम होती है,जिससे इसे चुंबकित करना आसान हो जाता है। इसके अतिरिक्त,नरम लोहे की निग्राहिता (coercivity) कम होती है,जिसका अर्थ है कि इसे एक छोटे विपरीत चुंबकीय क्षेत्र द्वारा आसानी से विचुंबकित किया जा सकता है। इसलिए,कथन और कारण दोनों सत्य हैं,और कारण सही ढंग से बताता है कि विद्युत चुंबकों के लिए नरम लोहे को प्राथमिकता क्यों दी जाती है।

(B) माना $\delta$ वास्तविक नमन कोण है और $\delta'$ उस तल में आभासी नमन कोण है जो चुंबकीय याम्योत्तर के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
वास्तविक नमन कोण और आभासी नमन कोण के बीच संबंध $\tan \delta' = \frac{\tan \delta}{\cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\delta' = \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$,इसलिए $\tan \delta' = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
मान रखने पर: $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\tan \delta}{\cos 60^{\circ}}$.
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\tan \delta}{1/2} = 2 \tan \delta$.
अतः,$\tan \delta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इसका अर्थ है कि $\delta = 30^{\circ}$।

(D) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $r$ लंबाई की घूमती हुई छड़ (तीली) में प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B_{\perp} \omega r^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $B_{\perp}$ घूर्णन के तल के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र का घटक है。
चूंकि पहिये का तल पूर्व-पश्चिम दिशा में ऊर्ध्वाधर है, इसलिए तल के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र का घटक क्षैतिज घटक $B_{H}$ है。
दिया गया है: $\omega = 100 \text{ rpm} = \frac{100 \times 2\pi}{60} = \frac{10\pi}{3} \text{ rad/s}$, $r = 0.3 \, m$, $\varepsilon = 3\pi \times 10^{-6} \, V$, $B_{V} = 15 \times 10^{-6} \, T$.
मान रखने पर: $3\pi \times 10^{-6} = \frac{1}{2} \times B_{H} \times \frac{10\pi}{3} \times (0.3)^2$.
$3\pi \times 10^{-6} = B_{H} \times \frac{5\pi}{3} \times 0.09 = B_{H} \times 0.15\pi$.
$B_{H} = \frac{3\pi \times 10^{-6}}{0.15\pi} = 20 \times 10^{-6} \, T = 20 \mu T$.
नमन कोण $\delta$ का मान $\tan \delta = \frac{B_{V}}{B_{H}} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ है。
अतः, $\delta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(B) $1$. लोहे के नमूने का आयतन ज्ञात करें: $V = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{10 \, kg}{7500 \, kg \, m^{-3}} = \frac{1}{750} \, m^3$.
$2$. प्रति चक्र व्यय होने वाली ऊर्जा: $E_{cycle} = (\text{प्रति इकाई आयतन प्रति चक्र ऊर्जा}) \times V = 200 \, J \, m^{-3} \, cycle^{-1} \times \frac{1}{750} \, m^3 = \frac{200}{750} \, J \, cycle^{-1} = \frac{4}{15} \, J \, cycle^{-1}$.
$3$. प्रति सेकंड व्यय होने वाली ऊर्जा (शक्ति हानि): $P = E_{cycle} \times \text{आवृत्ति} = \frac{4}{15} \, J \, cycle^{-1} \times 50 \, cycle \, s^{-1} = \frac{200}{15} \, J \, s^{-1} = \frac{40}{3} \, J \, s^{-1}$.
$4$. प्रति घंटे $(3600 \, s)$ व्यय होने वाली ऊर्जा: $E_{hour} = P \times 3600 \, s = \frac{40}{3} \times 3600 \, J = 40 \times 1200 \, J = 48000 \, J$.

(B) सही मिलान इस प्रकार है:
$(A)$ उच्च रिटेंटिविटी: स्थायी चुंबकों के लिए उच्च रिटेंटिविटी आवश्यक है ताकि वे अपने चुंबकीय गुणों को आसानी से न खोएं। अतः,$(A) \rightarrow (iv)$.
$(B)$ उच्च प्रतिरोधकता: ट्रांसफार्मर और अन्य विद्युत उपकरणों में एड़ी करंट लॉस को कम करने के लिए उच्च प्रतिरोधकता वाली सामग्री का उपयोग किया जाता है। अतः,$(B) \rightarrow (iii)$.
$(C)$ कम कोर्सिविटी: नरम चुंबकीय पदार्थ,जिनकी कोर्सिविटी कम होती है,का उपयोग टेलीफोन डायाफ्राम और इलेक्ट्रोमैग्नेट जैसे उपकरणों में किया जाता है। अतः,$(C) \rightarrow (i)$.
$(D)$ ऋणात्मक ससेप्टिबिलिटी: डायमैग्नेटिक पदार्थ चुंबकीय क्षेत्र द्वारा दुर्बल रूप से प्रतिकर्षित होते हैं और इनकी ससेप्टिबिलिटी छोटी और ऋणात्मक होती है। अतः,$(D) \rightarrow (ii)$.
इसलिए,सही मिलान $A-(iv), B-(iii), C-(i), D-(ii)$ है.

(D) माना कि कमजोर चुम्बक का चुंबकीय आघूर्ण $M_1 = M$ है और मजबूत चुम्बक का $M_2 = \sqrt{3} M$ है।
चूंकि वे क्रॉस (+) आकार में जुड़े हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
माना कि कमजोर चुम्बक पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र $B_H$ के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
तो मजबूत चुम्बक $B_H$ के साथ $(90^{\circ} - \theta)$ कोण बनाएगा।
संतुलन में,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के कारण निकाय पर कार्य करने वाला कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
$\tau_1 + \tau_2 = 0$
$M_1 B_H \sin(\theta) = M_2 B_H \sin(90^{\circ} - \theta)$
$M \sin(\theta) = \sqrt{3} M \cos(\theta)$
$\tan(\theta) = \sqrt{3}$
$\theta = 60^{\circ}$.

(C) नाभिकीय क्षय में मुक्त ऊर्जा उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा और जनक नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा के बीच के अंतर के बराबर होती है।
जनक नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा = $200 \times 6.5 \text{ MeV} = 1300 \text{ MeV}$.
संतति नाभिकों की कुल बंधन ऊर्जा = $(80 \times 7 \text{ MeV}) + (120 \times 8 \text{ MeV}) = 560 \text{ MeV} + 960 \text{ MeV} = 1520 \text{ MeV}$.
मुक्त ऊर्जा = (उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा) - (जनक की कुल बंधन ऊर्जा) = $1520 \text{ MeV} - 1300 \text{ MeV} = 220 \text{ MeV}$.

(D) द्रव्यमान-ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अभिक्रिया से पहले का कुल द्रव्यमान-ऊर्जा,अभिक्रिया के बाद के कुल द्रव्यमान-ऊर्जा के बराबर होना चाहिए।
प्रारंभिक द्रव्यमान = $m + m = 2m$.
अंतिम द्रव्यमान = $M_{He} + \frac{Q}{c^2}$ (जहाँ $M_{He}$ हीलियम नाभिक का द्रव्यमान है)।
दोनों को बराबर करने पर: $2m = M_{He} + \frac{Q}{c^2}$.
अतः,हीलियम नाभिक का द्रव्यमान $M_{He} = 2m - \frac{Q}{c^2}$ होगा।

(A) नाभिकीय संलयन अभिक्रिया शुरू करने के लिए, नाभिकों की गतिज ऊर्जा प्रतिकर्षण स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा अवरोध को पार करने के लिए पर्याप्त होनी चाहिए।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार, $T$ तापमान पर एक कण की औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} kT$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है।
गतिज ऊर्जा को स्थितिज ऊर्जा अवरोध $U = 2.07 \times 10^{-14} \,J$ के बराबर रखने पर:
$\frac{3}{2} kT = U$
$T = \frac{2U}{3k}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{2 \times 2.07 \times 10^{-14}}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{4.14 \times 10^{-14}}{4.14 \times 10^{-23}}$
$T = 10^9 \,K$
अतः, आवश्यक तापमान $10^9 \,K$ है।

(A) मान लीजिए कि दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
समय $t$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $Y_1$ के लिए,$N_1(t) = N_0 e^{-(9 \lambda) t}$ है।
पदार्थ $Y_2$ के लिए,$N_2(t) = N_0 e^{-(6 \lambda) t}$ है।
अविघटित नाभिकों का अनुपात $\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{N_0 e^{-9 \lambda t}}{N_0 e^{-6 \lambda t}} = e^{-9 \lambda t + 6 \lambda t} = e^{-3 \lambda t}$ है।
हमें दिया गया है कि यह अनुपात $\frac{1}{e}$ है,जो $e^{-1}$ के बराबर है।
अतः,$e^{-3 \lambda t} = e^{-1}$ है।
घातांकों की तुलना करने पर: $-3 \lambda t = -1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$t = \frac{1}{3 \lambda} \ s$।

(A) ग्राफ से,हम रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ देख सकते हैं। प्रारंभ में,$t = 0 \ h$ पर,पदार्थ की मात्रा $100 \ kg$ है। पदार्थ को अपने प्रारंभिक मान के आधे $(50 \ kg)$ तक कम होने में लगा समय $20 \ h$ है। अतः,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 20 \ h$ है।
क्षय नियतांक $\lambda$ अर्ध-आयु से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}$।
$T_{1/2} = 20 \ h$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{0.693}{20} \ h^{-1} = 0.03465 \ h^{-1} \approx 0.035 \ h^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है,$K.E. = 4 \text{ eV} = 4 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 6.4 \times 10^{-19} \text{ J}$.
द्रव्यमान $m = 3.2 \times 10^{-21} \text{ kg}$.
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करते हुए,$v = \sqrt{\frac{2 \times K.E.}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 6.4 \times 10^{-19}}{3.2 \times 10^{-21}}} = \sqrt{4 \times 10^2} = 20 \text{ m/s}$.
$D = 3.6 \text{ km} = 3600 \text{ m}$ की दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{D}{v} = \frac{3600}{20} = 180 \text{ s} = 3 \text{ मिनट}$.
चूंकि अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1 \text{ मिनट}$ है,इसलिए समय $t = 3 \text{ अर्ध-आयु}$ है।
शेष कणों की संख्या $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{N_0}{8}$.
क्षय हुए कणों की संख्या $N_0 - N = N_0 - \frac{N_0}{8} = \frac{7}{8}N_0$.
क्षय हुए कणों का प्रतिशत $\frac{7/8 N_0}{N_0} \times 100 = 87.5\%$ है।

(A) माना डोरी की लंबाई $L = 5 \, cm = 0.05 \, m$ है और गोलों के बीच की दूरी $d = 6 \, cm = 0.06 \, m$ है।
संतुलन की स्थिति में, गोले पर तीन बल कार्य करते हैं: तनाव $T$, गुरुत्वाकर्षण बल $mg$, और स्थिर वैद्युत बल $F_e = \frac{kq^2}{d^2}$।
माना डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है। ज्यामिति से, $\sin \theta = \frac{d/2}{L} = \frac{3 \, cm}{5 \, cm} = 0.6$।
अतः, $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = 0.8$।
संतुलन में, $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$।
मान रखने पर: $\tan \theta = \frac{0.6}{0.8} = 0.75$।
$F_e = \frac{(9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-6})^2}{(0.06)^2} = 10 \, N$।
अब, $mg = \frac{F_e}{\tan \theta} = \frac{10}{0.75} = \frac{40}{3} \, N$।
$m = \frac{40}{3 \times 10} = \frac{4}{3} \, kg \approx 1.33 \, kg$।

(A) यह प्रिज्म $30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$ कोणों वाला एक समकोण त्रिभुज है।
जब प्रकाश की किरण $AB$ सतह पर लंबवत आपतित होती है,तो यह बिना विचलित हुए प्रिज्म में प्रवेश करती है।
इसके बाद यह कर्ण सतह पर $i = 60^{\circ}$ के आपतन कोण पर टकराती है।
कर्ण सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए,अर्थात $i > C$.
इसलिए,$\sin(i) > \sin(C)$.
यहाँ $i = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin(60^{\circ}) > \frac{\mu_l}{\mu_{\text{glass}}}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\mu_l}{3/2}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{2 \mu_l}{3}$.
$\mu_l < \frac{3 \sqrt{3}}{4}$.
अतः,तरल का अपवर्तनांक $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ से कम होना चाहिए।

(B) आस-पास के द्रव के सापेक्ष प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $(\mu)$ ज्ञात करने का सूत्र है: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$, जहाँ $A$ अपवर्तक कोण है और $\delta_m$ न्यूनतम विचलन कोण है।
दिया गया है $A = 60^{\circ}$ और $\delta_m = 30^{\circ}$, अतः:
$\mu = \frac{\sin((60^{\circ} + 30^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin(45^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2}$.
क्रांतिक कोण $(C)$ और अपवर्तनांक के बीच संबंध है: $\sin(C) = 1/\mu$.
$\mu$ का मान रखने पर: $\sin(C) = 1/\sqrt{2}$.
अतः, $C = 45^{\circ}$.

(B) माना वस्तु की दूरी '$u$' है और प्रतिबिंब की दूरी '$v$' है। चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक है,'$v$' और '$u$' लेंस के विपरीत दिशाओं में हैं। उनके बीच की दूरी '$D = |v| + |u|$' है।
आवर्धन '$m = |v/u|$',इसलिए '$|v| = m|u|$'।
इसे दूरी के समीकरण में रखने पर: '$D = m|u| + |u| = |u|(m+1)$'।
अतः,'$|u| = D/(m+1)$' और '$|v| = mD/(m+1)$'।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: '$1/f = 1/v - 1/u$'।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,'$v$' धनात्मक है और '$u$' ऋणात्मक है,इसलिए '$1/f = 1/|v| + 1/|u|$'।
'$1/f = (m+1)/(mD) + (m+1)/D = (m+1)/D * (1/m + 1) = (m+1)/D * ((1+m)/m) = (m+1)^2 / (mD)$'।
इसलिए,'$f = mD / (m+1)^2$'।

(C) मान लीजिए कि लेंस की $S_1$ से दूरी $x$ है। तब $S_2$ से दूरी $(24 - x)$ होगी।
प्रतिबिंबों के एक ही स्थान पर बनने के लिए,एक स्रोत का आभासी प्रतिबिंब और दूसरे का वास्तविक प्रतिबिंब बनना चाहिए।
मान लीजिए $S_1$,$u_1 = -x$ दूरी पर है और $S_2$,$u_2 = +(24 - x)$ दूरी पर है।
$S_1$ के लिए,प्रतिबिंब $v$ आभासी है,इसलिए $v = -v_0$। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{-v_0} - \frac{1}{-x} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{1}{v_0} = \frac{1}{x} - \frac{1}{9} \quad (i)$
$S_2$ के लिए,प्रतिबिंब $v$ वास्तविक है,इसलिए $v = +v_0$। लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_0} - \frac{1}{24-x} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{1}{v_0} = \frac{1}{9} + \frac{1}{24-x} \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9} + \frac{1}{24-x}$
$\frac{1}{x} - \frac{1}{24-x} = \frac{2}{9}$
$\frac{24-x-x}{x(24-x)} = \frac{2}{9} \Rightarrow \frac{24-2x}{24x-x^2} = \frac{2}{9}$
$9(12-x) = 24x - x^2 \Rightarrow 108 - 9x = 24x - x^2$
$x^2 - 33x + 108 = 0$
$(x - 27)(x - 6) = 0$
चूंकि $x < 24$,इसलिए हमें $x = 6 \ cm$ प्राप्त होता है।